成考（專升本）高數(shù)（二）收斂與發(fā)散的判定CONTENT目

錄收斂與發(fā)散概念介紹01數(shù)列的收斂與發(fā)散判定方法02函數(shù)的收斂與發(fā)散判定方法0301收斂與發(fā)散概念介紹數(shù)列收斂是指當(dāng)項(xiàng)數(shù)趨于無窮大時(shí)，數(shù)列項(xiàng)趨近于某個(gè)固定的數(shù)一個(gè)數(shù)列收斂的充分條件是它的任意子數(shù)列都收斂于同一個(gè)數(shù)數(shù)列收斂的必要條件是它的極限存在數(shù)列的收斂01函數(shù)在某點(diǎn)收斂是指當(dāng)自變量趨近于某點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值趨近于某個(gè)確定的值函數(shù)收斂的點(diǎn)是它的定義域內(nèi)的點(diǎn)，或者是定義域的極限點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)的收斂性可以通過極限定義來判定函數(shù)的收斂03數(shù)列發(fā)散是指當(dāng)項(xiàng)數(shù)趨于無窮大時(shí)，數(shù)列項(xiàng)不趨近于任何固定的數(shù)數(shù)列可能無限增大、無限減小或震蕩，無法趨向一個(gè)確定的值發(fā)散數(shù)列的子數(shù)列可能收斂，但收斂的值不唯一或全部發(fā)散數(shù)列的發(fā)散02函數(shù)在某點(diǎn)發(fā)散是指當(dāng)自變量趨近于某點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不趨近于任何確定的值函數(shù)可能在該點(diǎn)趨向無窮大或不存在極限函數(shù)的發(fā)散點(diǎn)可能是函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)或間斷點(diǎn)函數(shù)的發(fā)散04收斂與發(fā)散的定義收斂函數(shù)的連續(xù)性：連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)收斂收斂函數(shù)的保號性：如果函數(shù)在某點(diǎn)收斂于正數(shù)，那么存在一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)函數(shù)值都是正數(shù)收斂函數(shù)的四則運(yùn)算：兩個(gè)收斂函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）也收斂收斂函數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)散數(shù)列的無界性：某些發(fā)散數(shù)列是無界的發(fā)散數(shù)列的不保號性：發(fā)散數(shù)列的項(xiàng)可以任意正負(fù)發(fā)散數(shù)列的四則運(yùn)算：發(fā)散數(shù)列的運(yùn)算結(jié)果不一定確定，可能收斂也可能發(fā)散發(fā)散函數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)散函數(shù)的不連續(xù)性：發(fā)散函數(shù)可能在某些點(diǎn)不連續(xù)發(fā)散函數(shù)的不保號性：發(fā)散函數(shù)的值可以任意正負(fù)發(fā)散函數(shù)的四則運(yùn)算：發(fā)散函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果可能不確定，可能收斂也可能發(fā)散收斂數(shù)列的基本性質(zhì)發(fā)散數(shù)列的基本性質(zhì)收斂數(shù)列的有界性：每個(gè)收斂數(shù)列都是有界的收斂數(shù)列的保號性：如果數(shù)列收斂于正數(shù)，那么存在一個(gè)項(xiàng)數(shù)，之后的所有項(xiàng)都是正數(shù)收斂數(shù)列的四則運(yùn)算：兩個(gè)收斂數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)和、差、積、商（除數(shù)不為零）也收斂收斂與發(fā)散的性質(zhì)條件收斂與絕對收斂條件收斂是指數(shù)列的項(xiàng)乘以絕對值后不收斂，但原數(shù)列收斂絕對收斂是指數(shù)列的項(xiàng)乘以絕對值后收斂，因此原數(shù)列也收斂條件收斂和絕對收斂的數(shù)列極限值相同發(fā)散的類型與特點(diǎn)發(fā)散到無窮大：數(shù)列或函數(shù)的值無限增大或減小振蕩發(fā)散：數(shù)列或函數(shù)的值在正負(fù)之間震蕩且不趨近于任何值無界發(fā)散：數(shù)列或函數(shù)的值無界，沒有一個(gè)確定的界限收斂的充分必要條件數(shù)列收斂的充分必要條件是其任一子數(shù)列都收斂于相同的極限函數(shù)在某點(diǎn)收斂的充分必要條件是左極限和右極限都存在且相等收斂的充分必要條件通常涉及數(shù)列或函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算收斂與發(fā)散的相互轉(zhuǎn)化收斂數(shù)列乘以一個(gè)非零常數(shù)后仍然收斂發(fā)散數(shù)列乘以一個(gè)常數(shù)后可能變?yōu)槭諗炕虮３职l(fā)散收斂和發(fā)散的數(shù)列通過特定運(yùn)算可能相互轉(zhuǎn)化收斂與發(fā)散的分類02數(shù)列的收斂與發(fā)散判定方法01020304確界準(zhǔn)則如果數(shù)列有上界，則存在上確界如果數(shù)列有下界，則存在下確界收斂數(shù)列的極限即為確界單調(diào)有界定理單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列收斂單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列收斂收斂數(shù)列的極限是其單調(diào)性的界限子數(shù)列判定法如果數(shù)列的任一子數(shù)列都收斂于同一極限，則原數(shù)列收斂如果存在發(fā)散的子數(shù)列，則原數(shù)列發(fā)散子數(shù)列的極限可以用來證明原數(shù)列的收斂性夾逼準(zhǔn)則如果兩個(gè)收斂數(shù)列夾逼一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列收斂夾逼的極限是兩個(gè)數(shù)列極限的交集需要證明兩個(gè)數(shù)列的極限相等基本判定方法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為

an

=

a1

*

q^(n-

1)當(dāng)公比q的絕對值小于1時(shí)，數(shù)列收斂當(dāng)公比q的絕對值大于等于1時(shí)，數(shù)列發(fā)散等比數(shù)列的收斂性02冪級數(shù)形式為

Σ(a_n

*

x^n)根據(jù)比值法則，收斂半徑R

=

1

/

lim

sup

(|a_n|)對于收斂半徑內(nèi)的x值，冪級數(shù)收斂冪級數(shù)的收斂性03等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為

an

=

a1

+

(n-

1)d當(dāng)公差d為0時(shí)，數(shù)列收斂于首項(xiàng)a1當(dāng)公差d不為0時(shí)，數(shù)列發(fā)散等差數(shù)列的收斂性01指數(shù)函數(shù)數(shù)列形式為

an

=

e^(nx)當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，數(shù)列收斂于0當(dāng)x為正數(shù)時(shí)，數(shù)列發(fā)散指數(shù)函數(shù)數(shù)列的收斂性02特殊數(shù)列的收斂性發(fā)散數(shù)列的極限形式發(fā)散數(shù)列的極限不存在或趨向無窮發(fā)散數(shù)列可能趨向正無窮或負(fù)無窮發(fā)散數(shù)列可能振蕩不收斂無界數(shù)列的判定無界數(shù)列的項(xiàng)無限增大或減小無界數(shù)列的項(xiàng)不滿足有界性無界數(shù)列的任意子數(shù)列也是無界的發(fā)散數(shù)列的子數(shù)列性質(zhì)發(fā)散數(shù)列至少有一個(gè)子數(shù)列發(fā)散發(fā)散數(shù)列的子數(shù)列可能收斂到不同值發(fā)散數(shù)列的子數(shù)列可能具有不同的發(fā)散性質(zhì)010203發(fā)散數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)發(fā)散數(shù)列與收斂數(shù)列的和可能發(fā)散發(fā)散數(shù)列與發(fā)散數(shù)列的和可能發(fā)散發(fā)散數(shù)列的乘積或商也可能發(fā)散04發(fā)散數(shù)列的特征03函數(shù)的收斂與發(fā)散判定方法函數(shù)極限的定義函數(shù)極限描述當(dāng)自變量趨向某一值時(shí)函數(shù)值的趨勢極限值是函數(shù)值趨向的目標(biāo)值，可以是有限數(shù)或無窮大函數(shù)極限分為左極限和右極限，需分別考慮函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限具有唯一性，若存在則唯一函數(shù)極限滿足四則運(yùn)算法則函數(shù)極限可以傳遞不等式關(guān)系函數(shù)極限的計(jì)算利用極限運(yùn)算法則直接計(jì)算通過函數(shù)的連續(xù)性擴(kuò)展到極限點(diǎn)的計(jì)算使用洛必達(dá)法則解決不定式極限問題函數(shù)極限的存在性函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，意味著該點(diǎn)附近函數(shù)值無限接近極限值極限存在需要左極限和右極限相等存在性問題可通過夾逼準(zhǔn)則或序列極限證明函數(shù)極限的基本概念函數(shù)序列的極限可用來判斷函數(shù)極限函數(shù)序列的收斂性可轉(zhuǎn)化為子序列的收斂性函數(shù)序列的極限點(diǎn)可能是函數(shù)的極限函數(shù)序列的極限04若兩函數(shù)在某點(diǎn)極限相同，則中間函數(shù)在該點(diǎn)極限也存在且相同夾逼準(zhǔn)則適用于證明函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在需要找到兩個(gè)易于處理且極限相同的函數(shù)函數(shù)夾逼準(zhǔn)則03單調(diào)遞增或遞減函數(shù)在極限點(diǎn)收斂或趨向無窮單調(diào)性結(jié)合有界性可判定函數(shù)收斂函數(shù)的單調(diào)性可通過導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性與收斂性02連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)極限存在且等于函數(shù)值函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)收斂函數(shù)的間斷點(diǎn)可能是收斂也可能是發(fā)散函數(shù)連續(xù)性與收斂性01函數(shù)收斂的判定方法發(fā)散函數(shù)的極限形式發(fā)散函數(shù)的極限可能是無窮大或不存在發(fā)散可以是向正無窮或負(fù)無窮發(fā)散發(fā)散函數(shù)的極限形式可通過洛必達(dá)法則或無窮小替換判斷發(fā)散函數(shù)的無界性發(fā)散函數(shù)在其極限點(diǎn)附近無界無界性表現(xiàn)為函數(shù)值任意大或任意小無界函數(shù)的極限可能不存在或?yàn)闊o窮大發(fā)散函