2025年下學期高一數學溝通表達能力試題（二）一、解答題（共60分）1.函數性質應用（10分）已知函數$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$，請完成以下任務：（1）用數學語言描述該函數的單調性，并說明判斷依據；（2）在平面直角坐標系中畫出函數的大致圖像，要求標注關鍵points（極值點、與坐標軸交點）的坐標；（3）若方程$f(x)=m$有三個不同實根，求實數$m$的取值范圍，并用三段論格式寫出推理過程。2.三角函數綜合題（12分）某游樂園的摩天輪設施可抽象為半徑為20米的圓周運動模型，其中心O距離地面30米。摩天輪按逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周需要6分鐘。以游客在最低點位置為起始時刻（t=0）：（1）建立游客距離地面高度h（米）關于時間t（分鐘）的函數關系，要求說明：①選擇的坐標系及理由；②函數表達式中各參數的數學意義；③定義域與值域的確定依據。（2）若游客在距離地面45米以上時能看到遠處的風景，求連續(xù)觀賞時間超過1分鐘的時間段（精確到0.1分鐘），需寫出完整的不等式求解過程。3.立體幾何證明題（14分）如圖所示，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠ABC=90°，AB=BC=AA?=2，D為AC中點。請使用兩種不同的推理方法證明：（1）BD⊥平面ACC?A?；（2）異面直線BC?與AB?所成角的余弦值為√3/6。要求：①方法一使用幾何綜合法，需注明每一步推理的依據（如"線面垂直判定定理"）；②方法二使用空間向量法，需寫出：空間直角坐標系的建立過程及理由；各關鍵點的坐標計算過程；向量運算的完整步驟。4.概率統(tǒng)計分析題（12分）某高中為研究學生數學學習時長與成績的關系，隨機抽取50名學生進行調查，得到以下數據：每日學習時長人數平均成績成績方差[0,1)小時10658[1,2)小時20755[2,3]小時20856（1）計算該樣本的平均成績，要求：①寫出計算公式并解釋每個符號的含義；②說明采用加權平均的理由；③計算過程保留兩位小數。（2）有學生認為"學習時長與成績正相關，因此應增加學習時間以提高成績"，請從統(tǒng)計學角度分析該觀點的合理性與局限性，需包含：①用數據特征支持的合理之處；②可能存在的混雜變量（至少列舉2個）；③改進研究方案的具體建議（至少2條）。5.數列建模題（12分）某公司計劃研發(fā)一款新產品，根據市場調研得到以下信息：初始研發(fā)投入50萬元；第1年銷售收入10萬元，此后每年銷售收入是前一年的1.5倍；每年生產成本為當年銷售收入的40%；研發(fā)成功后，產品生命周期為8年。（1）設第n年的累計利潤為S?（萬元），建立S?關于n的數學模型（n∈[1,8]且n∈N*），要求：①定義每個數列的名稱及首項、公比（若為等比數列）；②推導S?的表達式并化簡；③說明模型的適用條件。（2）該公司規(guī)定累計利潤達到初始投入的2倍時停止研發(fā)投入，通過計算說明：①第幾年開始實現盈利（累計利潤為正）；②能否在產品生命周期內達到停止研發(fā)投入的標準。（3）若市場環(huán)境變化導致年銷售收入增長率降為1.2倍，分析這一參數變化對上述結論的影響，需用數學語言描述變化趨勢。二、開放探究題（共40分）6.數學寫作題（15分）請以"函數的周期性與對稱性的關系"為題，撰寫一篇數學短文，要求：（1）包含3個層次的內容：①定義闡釋：用數學符號語言準確表述周期函數和中心對稱函數的定義；②關系探究：通過具體函數案例（至少2個）分析兩者可能存在的聯(lián)系；③結論推廣：提出一個關于周期性與對稱性關系的猜想，并嘗試證明或證偽。（2）結構要求：①使用"總-分-總"論述結構；②每個案例分析需包含圖像描述、代數推導、幾何意義三要素；③語言表達需同時使用自然語言和數學符號，兩者轉換自然。7.問題解決評價題（10分）以下是兩名學生求解"已知a>0，b>0，a+b=1，求1/a+2/b的最小值"的過程：學生甲：∵a+b=1∴1/a+2/b=(a+b)(1/a+2/b)=3+b/a+2a/b≥3+2√(b/a·2a/b)=3+2√2當且僅當b/a=2a/b即b=√2a時取等號∵a+b=1∴a=√2-1，b=2-√2∴最小值為3+2√2學生乙：令f(a)=1/a+2/(1-a)，a∈(0,1)f'(a)=-1/a2+2/(1-a)2令f'(a)=0得：2/(1-a)2=1/a2√2a=1-a?a=√2-1∵當a∈(0,√2-1)時f'(a)<0，a∈(√2-1,1)時f'(a)>0∴f(a)在a=√2-1處取得最小值f(√2-1)=1/(√2-1)+2/(2-√2)=3+2√2（1）比較兩種解法的異同點，從：①數學思想方法；②適用范圍；③計算復雜度三個維度進行分析。（2）請設計一個新的問題情境，使：①兩種方法都能適用；②其中一種方法具有明顯優(yōu)勢；③寫出優(yōu)勢方法的解題過程并說明理由。8.跨學科應用題（15分）某城市計劃修建一條地鐵線路，工程師需要計算隧道挖掘的土方量。隧道截面設計為拋物線形，具體參數如下：截面底部寬度AB=6米；最大高度OC=3米（C為拋物線頂點）；隧道長度為1000米。（1）建立隧道截面的拋物線方程，要求：①選擇合適的坐標系并說明理由；②推導方程系數的計算過程；③驗證方程的正確性（至少代入3個點）。（2）計算隧道挖掘的土方量（即截面面積×長度），要求：①選擇兩種不同的積分方法計算截面積：方法一：定積分定義法（分割、近似、求和、取極限）；方法二：微積分基本定理法；②比較兩種方法的特點及適用場景；③若施工中發(fā)現地質條件變化，需將拋物線拱高降低1米（底部寬度不變），計算土方量的變化率并解釋其實際意義。三、數學辯論題（共20分）9.觀點論證題（20分）"在數學解題中，規(guī)范的表達比正確的答案更重要"請選擇支持或反對的立場，完成以下論證任務：（1）明確提出核心觀點（不超過20字）；（2）提供3個不同角度的論據支持觀點，每個論據需包含：①數學學科中的具體案例（如"在解析幾何中..."）；②對應的邏輯推理過程；③可能的反駁及回應。（3）總結觀點對數學學習的啟示，需包含：①對課堂學習的建議（至少1條）；②對解題訓練的建議（至少1條）；③對評價方式的建議（至少1條）。要求：論證過程需同時使用數學術語和自然語言，關鍵邏輯節(jié)點需用"∵∴"等符號強化表達。注意事項：所有題目均需寫出完整的思維過程，包括：問題分析（如何理解題意）方法選擇（為何選