2025年下學期高一數(shù)學結構不良試題專練（二）一、函數(shù)與導數(shù)綜合題（15分）題目：已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值$-1$，且其圖像在點$(2,f(2))$處的切線斜率為$4$。（1）請補充一個條件，使得函數(shù)$f(x)$的解析式唯一確定；（2）在（1）的條件下，若關于$x$的方程$f(x)=k$有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)$k$的取值范圍。解答思路：（1）由極值與切線斜率可建立方程組。函數(shù)$f(x)$的導數(shù)為$f'(x)=x^2-2ax+b$，根據(jù)題意得：$f(1)=\frac{1}{3}-a+b+c=-1$（極值條件）$f'(1)=1-2a+b=0$（極值點導數(shù)為0）$f'(2)=4-4a+b=4$（切線斜率條件）聯(lián)立后解得$a=1$，$b=1$，$c=-\frac{4}{3}$。此時函數(shù)解析式已唯一確定，補充條件可選擇“函數(shù)的圖像經過原點”（驗證：$f(0)=c=0$，與$c=-\frac{4}{3}$矛盾，故需調整條件，如“$f(0)=-1$”）。（2）由（1）得$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+x-\frac{4}{3}$，$f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$。導數(shù)$f'(x)\geq0$恒成立，函數(shù)單調遞增，方程$f(x)=k$僅有一個實數(shù)根，與題意矛盾。問題修正：若補充條件為“函數(shù)在$x=2$處取得極小值”，則需$f'(2)=0$且$f''(2)>0$，此時可解得$a=2$，$b=4$，$c=-\frac{10}{3}$，函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x-\frac{10}{3}$，導數(shù)$f'(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2$，仍無極值。正確補充條件應為“函數(shù)在$x=0$處的函數(shù)值為2”，解得$c=2$，此時$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+x+2$，導數(shù)$f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$，仍單調遞增。結論：題目需調整導數(shù)條件，如“切線斜率為-4”，解得$a=2$，$b=3$，$c=-\frac{11}{3}$，此時$f'(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，函數(shù)在$x=1$處取極大值$f(1)=-1$，在$x=3$處取極小值$f(3)=-5$，方程$f(x)=k$有三個不同實根時，$-5<k<-1$。二、立體幾何開放題（12分）題目：在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為平行四邊形，$PA\perp$底面$ABCD$，$AB=2$，$AD=4$，$PA=3$。請從以下兩個條件中選擇一個作為已知，求三棱錐$P-BCD$的體積：條件①：$AB\perpAD$；條件②：$AC=BD$。解答分析：選擇條件①：$AB\perpAD$底面$ABCD$為矩形，$S_{\triangleBCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}\timesAB\timesAD=\frac{1}{2}\times2\times4=4$。三棱錐$P-BCD$的高為$PA=3$（$PA\perp$底面$ABCD$）。體積$V=\frac{1}{3}S_{\triangleBCD}\timesPA=\frac{1}{3}\times4\times3=4$。選擇條件②：$AC=BD$底面$ABCD$為平行四邊形且對角線相等，故$ABCD$為矩形（與條件①等價），后續(xù)計算同條件①，體積$V=4$。問題延伸：若條件②改為“$AC\perpBD$”，則底面$ABCD$為菱形，$AB=AD=2$（矛盾，原$AD=4$），故需調整底面邊長，如“$AB=AD=2$”，此時$S_{\triangleBCD}=\frac{1}{2}\timesAC\timesBD$，設$AC=2m$，$BD=2n$，由菱形性質$m^2+n^2=AB^2=4$，體積$V=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2m\times2n\times3=2mn$，最大值為$2\times\frac{m^2+n^2}{2}=4$（當$m=n=\sqrt{2}$時取等）。三、數(shù)列探索題（14分）題目：已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且滿足$a_1=1$，$S_{n+1}=2S_n+\lambda$（$\lambda$為常數(shù)）。（1）請寫出數(shù)列${a_n}$為等比數(shù)列的一個必要條件，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若不等式$a_n\leq2S_n+1$對任意$n\in\mathbb{N}^*$恒成立，求$\lambda$的取值范圍。解答過程：（1）由$S_{n+1}=2S_n+\lambda$得$S_n=2S_{n-1}+\lambda$（$n\geq2$），兩式相減得$a_{n+1}=2a_n$（$n\geq2$）。若${a_n}$為等比數(shù)列，則需$a_2=2a_1=2$。又$S_2=a_1+a_2=2S_1+\lambda\Rightarrow1+a_2=2\times1+\lambda\Rightarrowa_2=1+\lambda$，故$1+\lambda=2\Rightarrow\lambda=1$。必要條件：$\lambda=1$。（2）當$\lambda=1$時，$S_{n+1}=2S_n+1$，$S_1=1$，則$S_n=2^n-1$，$a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}$（$n\geq2$），$a_1=1$滿足$a_n=2^{n-1}$。不等式$2^{n-1}\leq2(2^n-1)+1\Rightarrow2^{n-1}\leq2^{n+1}-1$，即$-3\times2^{n-1}\leq-1$，對任意$n\in\mathbb{N}^*$恒成立。若改為充分條件：如“$\lambda=1$且$a_1=1$”，則${a_n}$為等比數(shù)列。四、概率與統(tǒng)計案例題（16分）題目：某學校為了解學生數(shù)學學習情況，隨機抽取100名學生進行調查，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：人）：數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀總計男生2050女生30總計100（1）請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有95%的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關”；（2）從數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中隨機抽取2人，記其中男生人數(shù)為$X$，求$X$的分布列和數(shù)學期望。注：$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$。臨界值表：$P(K^2\geqk_0)$0.050.01$k_0$3.8416.635解答步驟：（1）補充列聯(lián)表：男生不優(yōu)秀人數(shù)為$50-20=30$，女生總計為$100-50=50$，女生優(yōu)秀人數(shù)為$50-30=20$，總計優(yōu)秀人數(shù)為$20+20=40$，不優(yōu)秀人數(shù)為$30+30=60$。數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀總計男生203050女生203050總計4060100計算$K^2=\frac{100\times(20\times30-30\times20)^2}{50\times50\times40\times60}=0$，$0<3.841$，無95%把握認為有關。若調整數(shù)據(jù)：女生優(yōu)秀人數(shù)為10，則$K^2=\frac{100\times(20\times30-30\times10)^2}{50\times50\times30\times70}\approx4.08>3.841$，有95%把握認為有關。（2）若優(yōu)秀學生中男生20人、女生20人，$X$的可能取值為0，1，2。$P(X=0)=\frac{\binom{20}{0}\binom{20}{2}}{\binom{40}{2}}=\frac{190}{780}=\frac{19}{78}$$P(X=1)=\frac{\binom{20}{1}\binom{20}{1}}{\binom{40}{2}}=\frac{400}{780}=\frac{20}{39}$$P(X=2)=\frac{\binom{20}{2}\binom{20}{0}}{\binom{40}{2}}=\frac{190}{780}=\frac{19}{78}$數(shù)學期望$E(X)=0\times\frac{19}{78}+1\times\frac{20}{39}+2\times\frac{19}{78}=1$。五、解析幾何探究題（18分）題目：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）請寫出橢圓$C$的一個標準方程，并說明這樣的標準方程是否唯一；（2）在（1）的橢圓$C$中，過點$P(1,0)$的直線$l$與橢圓交于$A$，$B$兩點，$M$為線段$AB$的中點，是否存在直線$l$使得$OM\perpAB$（$O$為坐標原點）？若存在，求出直線$l$的方程；若不存在，說明理由。解答要點：（1）離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$。橢圓過點$(2,1)$，則$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8$，$b^2=2$，標準方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。若改為“離心率為$\frac{1}{2}$”，則$b^2=\frac{3}{4}a^2$，方程不唯一，需補充條件如“焦距為2”。（2）設直線$l$：$x=my+1$，聯(lián)立橢圓方程得$(m^2+4)y^2+2my-7=0$，$M\left(\frac{4}{m^2+4},\frac{-m}{m^2+4}\right)$。$k_{OM}=-\frac{m}{4}$，$k_{AB}=\frac{1}{m}$，由$OM\perpAB$得$-\frac{m}{4}\times\frac{1}{m}=-1\Rightarrow-\frac{1}{4}=-1$，矛盾。存在性結論：不存在滿足條件的直線$l$。若橢圓方程改為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，則可解得$m=\pm\sqrt{3}$，直線$l$：$x=\pm\sqrt{3}y+1$。六、不等式選講題（14分）題目：已知函數(shù)$f(x)=|x-1|+|x+2|$。（1）求不等式$f(x)\leq5$的解集；（2）若關于$x$的不等式$f(x)\geqa^2-2a$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，請寫出一個$a$的值，并說明理由。解答：（1）$f(x)=\begin{cases}-2x-1,&x\leq-2,\3,&-2<x<1,\2x+1,&x\geq1.\end{cases}$當$x\leq-2$時，$-2x-1\leq5\Rightarrowx\geq-3$，故$-3\leqx\leq-2$；當$-2<x<1$時，$3\leq5$恒成立；當$x\geq1$時，$2x+1\leq5\Rightarrowx\leq2$，故$1\leqx\leq2$。綜上，解集為$[-3,2]$。（2）$f(x)_{\min}=3$，則$a^2-2a\leq3\Rightarrowa^2-2a-3\leq0\Rightarrow-1\leqa\leq3$?？扇?a=0$，此時$a^2-2a=0\leq3$，滿足條件。七、綜合應用題（19分）題目：某工廠生產一種精密零件，其直徑$X$（單位：mm）服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，已知$P(X<10)=0.1$，$P(X>14)=0.2$。（1）請估計$\mu$的值（精確到0.1）；（2）若零件直徑在$(11,13)$內為合格品，從一批零件中隨機抽取10個，記合格品數(shù)量為$Y$，求$Y$的方差。解答思路：（1）由正態(tài)分布對稱性，$P(X<\mu)=0.5$，$P(X<10)=0.1$，$P(X>14)=0.2\RightarrowP(X<14)=0.8$。設$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$，則$\Phi\left(\frac{10-\mu}{\sigma}\right)=0.1$，$\Phi\left(\frac{14-\mu}{\sigma}\right)=0.8$。查標準正態(tài)分布表得$\Phi(-1.28)\approx0.1$，$\Phi(0.84)\approx0.8$，故$\frac{10-\mu}{\sigma}=-1.28$，$\frac{14-\mu}{\sigma}=0.84$，解得$\mu\approx12.4$，$\sigma\approx1.87$。（2）$P(11<X<13)=P\left(\frac{11-12.4}{1.87}<Z<\frac{13-12.4}{1.87}\right)=\Phi(0.32)-\Phi(-0.75)\approx0.6255-0.2266=0.3989$，$Y\simB(10,p)$，方差$D(Y)=10p