2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day28）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域?yàn)椋ǎ〢.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+m（m為常數(shù)）在[-2,2]上有最大值3，則該函數(shù)在[-2,2]上的最小值為（）A.-37B.-29C.-5D.-11已知向量a=(1,2)，b=(2,-3)，若向量c滿足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，則c=（）A.(7/9,7/3)B.(-7/3,-7/9)C.(7/3,7/9)D.(-7/9,-7/3)已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，tan(π-β)=1/2，則tan(α-β)的值為（）A.-2B.2C.1/2D.-1/2已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=7，S6=63，則a7+a8+a9=（）A.512B.256C.128D.64已知直線l1:ax+2y+6=0與l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1或2B.-1C.2D.1若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切，則m=（）A.21B.19C.9D.-11已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線x=π/3對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π/12,0)對(duì)稱B.f(x)在[π/12,7π/12]上單調(diào)遞增C.將f(x)的圖象向左平移π/12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.f(x)在[0,π/2]上的最大值為1已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，則球O的表面積為（）A.4πB.8πC.12πD.16π已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若PF=3MF，則|MN|=（）A.16/3B.8C.20/3D.10已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則不等式f(x)>x的解集為（）A.(-∞,-3)∪(0,3)B.(-3,0)∪(3,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,0)∪(0,3)二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）已知tanα=2，則sin2α+cos2α=______。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______。已知直線y=kx+1與圓x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2√3，則k=______。已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，若過點(diǎn)P(1,t)可作曲線y=f(x)的三條切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______。三、解答題（共6小題，共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x，x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=5，S15=225。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2an+2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求三棱錐E-ABC的體積。（12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，短軸長(zhǎng)為2。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOA·kOB=-1/4，求△AOB面積的最大值。（12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證：x1+x2>2/e。（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d∈R)的圖象過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)M(-1,f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0。（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題答案：C解析：A={1,2}，B={x|(x-1)(x-(a-1))=0}。由A∪B=A知B?A，所以a-1=1或a-1=2，即a=2或3。當(dāng)a=2時(shí)，B={1}；當(dāng)a=3時(shí)，B={1,2}，均滿足條件，故選C。答案：A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足{x-1≥0,3-x>0}，解得1≤x<3，故選A。答案：A解析：f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-16-24+m=m-40，f(0)=m，f(2)=16-24+m=m-8。由最大值為3知m=3，最小值為3-40=-37，故選A。答案：D解析：設(shè)c=(x,y)，則c+a=(x+1,y+2)，a+b=(3,-1)。由(c+a)∥b得-3(x+1)=2(y+2)；由c⊥(a+b)得3x-y=0。聯(lián)立解得x=-7/9，y=-7/3，故選D。答案：B解析：由sinα=3/5，α∈(π/2,π)得tanα=-3/4。由tan(π-β)=1/2得tanβ=-1/2。tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=(-3/4+1/2)/(1+3/8)=(-1/4)/(11/8)=-2/11，故選B。（注：原題選項(xiàng)可能存在印刷錯(cuò)誤，正確計(jì)算結(jié)果應(yīng)為-2/11，若按選項(xiàng)倒推，可能題目條件應(yīng)為tan(π/2-β)=1/2，則tanβ=2，此時(shí)tan(α-β)=(-3/4-2)/(1-3/2)=(-11/4)/(-1/2)=11/2，仍無對(duì)應(yīng)選項(xiàng)，建議核對(duì)題目條件）答案：A解析：S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列，即7，56，S9-S6成等比數(shù)列，所以562=7(S9-S6)，解得S9-S6=448，即a7+a8+a9=448。（注：原題選項(xiàng)無此答案，若S6=63改為S6=15，則答案為128，建議核對(duì)題目數(shù)據(jù)）答案：B解析：由a(a-1)-2×1=0得a2-a-2=0，解得a=2或a=-1。當(dāng)a=2時(shí)，兩直線重合；當(dāng)a=-1時(shí)，兩直線平行，故選B。答案：C解析：C1(0,0)，r1=1；C2(3,4)，r2=√(25-m)。由外切得√(32+42)=1+√(25-m)，即5=1+√(25-m)，解得m=9，故選C。答案：C解析：T=π得ω=2，由對(duì)稱軸x=π/3得2×π/3+φ=π/2+kπ，φ=-π/6+kπ，取φ=-π/6，f(x)=sin(2x-π/6)。向左平移π/12個(gè)單位得sin2x，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選C。答案：B解析：三棱錐為正四面體，棱長(zhǎng)為2，外接球半徑R=√6/2，表面積S=4πR2=6π。（注：原題選項(xiàng)無此答案，若棱長(zhǎng)為√2，則表面積為8π，建議核對(duì)題目數(shù)據(jù)）答案：A解析：F(1,0)，l:x=-1，設(shè)P(-1,t)，M(x1,y1)。由PF=3MF得(-2,t)=3(1-x1,-y1)，解得x1=5/3，代入拋物線得y1=±2√15/3。直線PF方程為y=-t/2(x-1)，與拋物線聯(lián)立得t2x2-(2t2+16)x+t2=0，由x1x2=1得x2=3/5，|MN|=x1+x2+2=5/3+3/5+2=16/3，故選A。答案：A解析：當(dāng)x>0時(shí)，x2-2x>x得x>3；當(dāng)x<0時(shí)，-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x>x得x2+x<0，解得-1<x<0；當(dāng)x=0時(shí)，0>0不成立。綜上解集為(-1,0)∪(3,+∞)。（注：原題選項(xiàng)可能存在印刷錯(cuò)誤，建議核對(duì)題目條件）二、填空題答案：1解析：sin2α+cos2α=(2sinαcosα+cos2α)/(sin2α+cos2α)=(2tanα+1)/(tan2α+1)=(4+1)/(4+1)=1。答案：2?-1解析：an+1+1=2(an+1)，數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)2，公比2的等比數(shù)列，所以an+1=2?，an=2?-1。答案：±√3解析：圓心到直線距離d=1/√(k2+1)，由|AB|=2√(r2-d2)=2√3得√(4-d2)=√3，d=1，即1/√(k2+1)=1，解得k=±√3。答案：(-3,-2)解析：設(shè)切點(diǎn)(x0,x03-3x02+2)，切線方程為y=(3x02-6x0)(x-x0)+x03-3x02+2，代入(1,t)得t=-2x03+3x02-1。令g(x)=-2x3+3x2-1，g'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1)，g(x)極大值=g(1)=0，極小值=g(0)=-1，由題意知t∈(-1,0)。（注：原題答案與解析可能存在偏差，此處按標(biāo)準(zhǔn)解題過程修正）三、解答題解析：（1）f(x)=1/2(1-cos2x)+√3/2sin2x+(1+cos2x)=√3/2sin2x+1/2cos2x+3/2=sin(2x+π/6)+3/2，T=π。（2）x∈[0,π/2]時(shí)，2x+π/6∈[π/6,7π/6]，sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]，所以f(x)∈[1,5/2]，最大值5/2，最小值1。解析：（1）設(shè)公差為d，由a3=a1+2d=5，S15=15a1+105d=225，解得a1=1，d=2，an=2n-1。（2）bn=2^(2n-1)+2n=1/2×4?+2n，Tn=1/2×4(4?-1)/(4-1)+2×n(n+1)/2=2(4?-1)/3+n(n+1)。解析：（1）證明：BB1⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以BB1⊥AB。又AB⊥BC，BB1∩BC=B，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1。（2）V=1/3×S△ABC×AA1=1/3×(1×√3/2)×2=√3/3。（注：AC=2，BC=1，AB=√3）解析：（1）e=c/a=√3/2，2b=2，b=1，a2=1+c2，解得a=2，c=√3，方程為x2/4+y2=1。（2）聯(lián)立{x2/4+y2=1,y=kx+m}得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，Δ=16(4k2+1-m2)>0。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=4(m2-1)/(1+4k2)。kOA·kOB=y1y2/(x1x2)=(k2x1x2+km(x1+x2)+m2)/x1x2=-1/4，化簡(jiǎn)得2m2=4k2+1。|AB|=√(1+k2)×4√(4k2+1-m2)/(1+4k2)=√(1+k2)×4√m2/(2m2)=2√(1+k2)/|m|。原點(diǎn)到直線距離d=|m|/√(1+k2)，S=1/2|AB|d=1/2×2√(1+k2)/|m|×|m|/√(1+k2)=1，故面積最大值為1。解析：（1）f'(x)=1/x-a(x>0)，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=0得x=1/a，f(x)在(0,1/a)單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)單調(diào)遞減。（2）由題意知lnx1=ax1，lnx2=ax2，兩式相減得ln(x1/x2)=a(x1-x2)。設(shè)x1>x2>0，令t=x1/x2>1，則a=lnt/(t-1)x2。要證x1+x2>2/e，即證(t+1)x2>2/e，即證x2>2/(e(t+1))。由lnx2=ax2=lnt/(t-1)x22，得lnx2