2025年下學期高一數(shù)學限時訓練（120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|log_2(x+1)=1})，則(A\capB=)（）A.({1})B.({2})C.({1,2})D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1})的定義域是（）A.([-2,+\infty))B.((-2,1)\cup(1,+\infty))C.([-2,1)\cup(1,+\infty))D.((-2,+\infty))已知命題(p)：“若(x>y)，則(x^2>y^2)”，命題(q)：“若(x>1)，則(x^2>1)”，則下列命題為真命題的是（）A.(p\wedgeq)B.(p\veeq)C.(\negp\wedge\negq)D.(p\wedge\negq)已知函數(shù)(f(x)=2^x+1)，則其反函數(shù)(f^{-1}(x))的解析式為（）A.(log_2(x-1))B.(log_2x-1)C.(2^{x-1})D.(2^x-1)在等差數(shù)列({a_n})中，若(a_3+a_5+a_7=15)，則(a_5=)（）A.3B.4C.5D.6已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_1=1)，公比(q=2)，則(S_5=)（）A.15B.31C.32D.63不等式(x^2-2x-3<0)的解集是（）A.((-1,3))B.((-\infty,-1)\cup(3,+\infty))C.((-3,1))D.((-\infty,-3)\cup(1,+\infty))已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(3,4))，則(2\vec{a}-\vec=)（）A.((-1,0))B.((-1,-1))C.((1,0))D.((1,1))已知直線(l_1:y=2x+1)，(l_2:y=kx-1)，若(l_1\perpl_2)，則(k=)（）A.(-2)B.(-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.2圓(x^2+y^2-4x+6y-3=0)的圓心坐標和半徑分別是（）A.((2,-3))，4B.((-2,3))，4C.((2,-3))，16D.((-2,3))，16已知圓錐的底面半徑為2，高為3，則其體積為（）A.(4\pi)B.(6\pi)C.(8\pi)D.(12\pi)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\2^x,x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)，則(f(x))在區(qū)間([0,3])上的最大值是________。已知數(shù)列({a_n})的通項公式為(a_n=2n-1)，則其前(n)項和(S_n=)________。已知點(A(1,2))，(B(3,4))，則線段(AB)的中點坐標是________。已知直線(l)過點((1,2))，且與直線(2x-y+1=0)平行，則直線(l)的方程是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知集合(A={x|x^2-4x+3<0})，(B={x|2<x<4})，求(A\cupB)和(\complement_{R}(A\capB))。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=log_2(x+1))。（1）求(f(x))的定義域；（2）判斷(f(x))的單調(diào)性，并證明；（3）求(f(x))在區(qū)間([1,3])上的值域。（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_3=5)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)；（3）若(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分12分）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(x,1))。（1）若(\vec{a}\parallel\vec)，求(x)的值；（2）若(\vec{a}\perp\vec)，求(x)的值；（3）若(\vec{a})與(\vec)的夾角為(60^\circ)，求(x)的值。（本小題滿分12分）已知直線(l:3x+4y-12=0)與圓(C:x^2+y^2-2x-4y+m=0)相交于(A)，(B)兩點。（1）若圓(C)的半徑為2，求(m)的值；（2）若(|AB|=2\sqrt{3})，求(m)的值；（3）在（2）的條件下，求過點(A)，(B)且圓心在直線(y=x)上的圓的方程。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)。（1）求證：(BC\perp)平面(PAB)；（2）求三棱錐(P-ABC)的體積；（3）求異面直線(PB)與(AC)所成角的余弦值。（第22題圖）參考答案及評分標準一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.C3.B4.A5.C6.B7.A8.A9.B10.A11.A12.C二、填空題（每小題5分，共20分）614.(n^2)15.(2,3)16.(2x-y=0)三、解答題（共70分）解：由(x^2-4x+3<0)，得(1<x<3)，所以(A=(1,3))。（2分）由(2<x<4)，得(B=(2,4))。（4分）所以(A\cupB=(1,4))。（6分）(A\capB=(2,3))，所以(\complement_{R}(A\capB)=(-\infty,2]\cup[3,+\infty))。（10分）解：（1）由(x+1>0)，得(x>-1)，所以(f(x))的定義域為((-1,+\infty))。（3分）（2）(f(x))在((-1,+\infty))上單調(diào)遞增。證明如下：設(shè)(-1<x_1<x_2)，則(f(x_1)-f(x_2)=log_2(x_1+1)-log_2(x_2+1)=log_2\frac{x_1+1}{x_2+1})。（5分）因為(-1<x_1<x_2)，所以(0<x_1+1<x_2+1)，所以(0<\frac{x_1+1}{x_2+1}<1)，所以(log_2\frac{x_1+1}{x_2+1}<0)，即(f(x_1)<f(x_2))，所以(f(x))在((-1,+\infty))上單調(diào)遞增。（7分）（3）因為(f(x))在([1,3])上單調(diào)遞增，所以(f(1)\leqf(x)\leqf(3))。（9分）(f(1)=log_22=1)，(f(3)=log_24=2)，所以(f(x))在區(qū)間([1,3])上的值域為([1,2])。（12分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，則(a_3=a_1+2d=1+2d=5)，解得(d=2)。（2分）所以(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1)。（4分）（2）(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2)。（8分）（3）(b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)。（10分）所以數(shù)列({b_n})是以(b_1=2)為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3})。（12分）解：（1）因為(\vec{a}\parallel\vec)，所以(1\times1-2x=0)，解得(x=\frac{1}{2})。（4分）（2）因為(\vec{a}\perp\vec)，所以(\vec{a}\cdot\vec=1\timesx+2\times1=0)，解得(x=-2)。（8分）（3）因為(\vec{a})與(\vec)的夾角為(60^\circ)，所以(\cos60^\circ=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|})，即(\frac{1}{2}=\frac{x+2}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{x^2+1^2}})。（10分）化簡得(\sqrt{5(x^2+1)}=2(x+2))，兩邊平方得(5(x^2+1)=4(x+2)^2)，即(5x^2+5=4x^2+16x+16)，整理得(x^2-16x-11=0)，解得(x=8\pm5\sqrt{3})。（12分）解：（1）圓(C)的方程可化為((x-1)^2+(y-2)^2=5-m)，所以半徑(r=\sqrt{5-m})。（2分）因為圓(C)的半徑為2，所以(\sqrt{5-m}=2)，解得(m=1)。（4分）（2）圓心(C(1,2))到直線(l)的距離(d=\frac{|3\times1+4\times2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1}{5})。（6分）因為(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3})，所以(\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{3})，即(r^2-d^2=3)，所以(5-m-\frac{1}{25}=3)，解得(m=5-\frac{1}{25}-3=\frac{49}{25})。（8分）（3）設(shè)所求圓的圓心為((a,a))，則((a-1)^2+(a-2)^2=r^2)。（9分）因為圓心((a,a))到直線(l)的距離(d'=\frac{|3a+4a-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|7a-12|}{5})，且(r^2=d'^2+(\sqrt{3})^2)，所以((a-1)^2+(a-2)^2=(\frac{|7a-12|}{5})^2+3)。（10分）化簡得(2a^2-6a+5=\frac{49a^2-168a+144}{25}+3)，即(50a^2-150a+125=49a^2-168a+144+75)，整理得(a^2+18a-94=0)，解得(a=-9\pm\sqrt{175}=-9\pm5\sqrt{7})。（11分）所以所求圓的方程為((x+9-5\sqrt{7})^2+(y+9-5\sqrt{7})^2=(\frac{|7(-9+5\sqrt{7})-12|}{5})^2+3)或((x+9+5\sqrt{7})^2+(y+9+5\sqrt{7})^2=(\frac{|7(-9-5\sqrt{7})-12|}{5})^2+3)。（12分）（1）證明：因為(PA\perp)平面(ABC)，(BC\subset)平面(ABC)，所以(PA\perpBC)。（2分）因為(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，所以(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2})，且(AB\perpAC)。（4分）因為(PA\capAB=A)，所以(BC\perp)平面(PAB)。（5分）（2）解：(V_{P-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotPA=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times3=2)。（8分）（3）解：以(A)為原點，(AB)，(AC)，(AP)所在直線分別為(x)軸，(y)軸，(z)軸，建立空間直角坐標系，則(A(0,0,0))，(B(2,0,0))，(C(0,2,0))，(P(0,0,3)