2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)向量的概念與幾何表示試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）下列各量中是向量的為（）A．海拔B．壓強(qiáng)C．加速度D．溫度已知向量$\overrightarrow{a}=(1,3)$，$\overrightarrow=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$且角$\alpha\in(0,\pi)$，則$\alpha$的值為（）A．$\frac{\pi}{6}$B．$\frac{\pi}{3}$C．$\frac{\pi}{4}$D．$\frac{2\pi}{3}$在$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$是$AB$的中點(diǎn)，點(diǎn)$P$在$CD$上，若$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，則實(shí)數(shù)$\lambda$的值為（）A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{5}{6}$已知向量$\overrightarrow{a}=(0,2)$，$\overrightarrow=(m,2)$，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{\pi}{3}$，則$m$的值為（）A．0B．1C．2D．$\pm2\sqrt{3}$設(shè)向量$\overrightarrow{a}=(x+4,x)$，$\overrightarrow=(x,2)$，則“$x=4$”是“$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件在正方形$ABCD$中，$E$為$AB$的中點(diǎn)，$F$為$CE$的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AF}=$（）A．$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$B．$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$C．$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$D．$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$已知向量$\overrightarrow{a}=(1,1)$，$\overrightarrow=(-1,2)$，則$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影向量為（）A．$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$B．$\left(-\frac{1}{2},1\right)$C．$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$D．$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$已知$\vert\overrightarrow{OA}\vert=2$，$\vert\overrightarrow{OB}\vert=2$，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{\pi}{3}$，點(diǎn)$P$滿足$\vert\overrightarrow{OP}\vert=2$且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$（$x,y\in\mathbb{R}$），則$x+y$的最大值為（）A．2B．$\frac{3}{2}$C．$\frac{5}{2}$D．$\frac{4\sqrt{3}}{3}$設(shè)向量$\overrightarrow{a}=(x+4,x)$，$\overrightarrow=(x,2)$，若$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow$，則$x$的值為（）A．0B．-6C．0或-6D．4或-2已知向量$\overrightarrow{a}=(1,-2)$，$\overrightarrow=(-1,1)$，則$\vert2\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert$的值為（）A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{5}$C．$3\sqrt{2}$D．$\sqrt{10}$二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）向量是既有________又有________的量，物理學(xué)中也稱其為________；只有大小沒有方向的量稱為________，例如________（舉一例）。已知$\vert\overrightarrow{a}\vert=4$，$\vert\overrightarrow\vert=8$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$120^\circ$，則$\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert=$________。在平面直角坐標(biāo)系中，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{OA}=(3,1)$，點(diǎn)$B(2,0)$，$C(5,5)$，若$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，則$\lambda+\mu=$________。在$\triangleABC$中，$D$是$BC$上一點(diǎn)，且$BD=3DC$，用基底${\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}}$表示向量$\overrightarrow{AB}=$________。已知向量$\overrightarrow{a}=(m,n)$，$\overrightarrow=(-1,2)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$且$\vert\overrightarrow{a}\vert=2\sqrt{5}$，則$m+n=$________。三、解答題（本大題共5小題，共75分）16.（14分）如圖所示，在$\triangleABC$中，$AD$與$BE$相交于點(diǎn)$O$，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，試用$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{AO}$。解析：設(shè)$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow$，其中$x,y\in\mathbb{R}$。∵$B$，$O$，$E$三點(diǎn)共線，可設(shè)$\overrightarrow{BO}=\lambda\overrightarrow{BE}$（$\lambda\in\mathbb{R}$），又$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{a}+\lambda\left(\frac{1}{2}\overrightarrow-\overrightarrow{a}\right)=(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\frac{\lambda}{2}\overrightarrow$。同理，∵$A$，$O$，$D$三點(diǎn)共線，可設(shè)$\overrightarrow{AO}=\mu\overrightarrow{AD}$（$\mu\in\mathbb{R}$），又$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{AO}=\mu\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow\right)=\frac{2\mu}{3}\overrightarrow{a}+\frac{\mu}{3}\overrightarrow$。由平面向量基本定理得：$\begin{cases}1-\lambda=\frac{2\mu}{3}\\frac{\lambda}{2}=\frac{\mu}{3}\end{cases}$，解得$\lambda=\frac{2}{3}$，$\mu=1$，∴$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$。17.（15分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(\lambda,-1)$，$\overrightarrow{c}=(2,\mu)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow$，$\overrightarrow\parallel\overrightarrow{c}$。（1）求$\lambda$和$\mu$的值；（2）若$\overrightarrowiiymysy=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$，求$\overrightarrowqq4gkwm$的單位向量。解析：（1）∵$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times\lambda+2\times(-1)=0$，解得$\lambda=2$。∵$\overrightarrow=(2,-1)$，$\overrightarrow{c}=(2,\mu)$，且$\overrightarrow\parallel\overrightarrow{c}$，∴$2\times\mu-(-1)\times2=0$，解得$\mu=-1$。（2）由（1）得$\overrightarrow{c}=(2,-1)$，則$\overrightarrowceiwwa8=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=(1+2,2+(-1))=(3,1)$，$\vert\overrightarrow0gi0sqs\vert=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，∴$\overrightarrow0eaia66$的單位向量為$\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$。18.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{OA}=(3,1)$，點(diǎn)$B(2,0)$，$C(5,5)$。（1）若$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，求$\lambda$和$\mu$的值；（2）若點(diǎn)$P$在直線$BC$上，且$\overrightarrow{OP}\perp\overrightarrow{OA}$，求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。解析：（1）由題意得$\overrightarrow{OC}=(5,5)$，$\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}=(3\lambda+2\mu,\lambda+0)$，∴$\begin{cases}3\lambda+2\mu=5\\lambda=5\end{cases}$，解得$\lambda=5$，$\mu=-5$。（2）設(shè)點(diǎn)$P(x,y)$，∵點(diǎn)$P$在直線$BC$上，直線$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{5-0}{5-2}=\frac{5}{3}$，∴直線$BC$的方程為$y=\frac{5}{3}(x-2)$，即$5x-3y-10=0$。又$\overrightarrow{OP}=(x,y)$，$\overrightarrow{OA}=(3,1)$，且$\overrightarrow{OP}\perp\overrightarrow{OA}$，∴$3x+y=0$，即$y=-3x$。聯(lián)立$\begin{cases}5x-3y-10=0\y=-3x\end{cases}$，解得$x=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$，$y=-\frac{15}{7}$，∴點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$\left(\frac{5}{7},-\frac{15}{7}\right)$。19.（16分）在$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$為邊$AC$上靠近$A$的三等分點(diǎn)，點(diǎn)$M$為形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$5\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$。（1）用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AM}$；（2）若$\vert\overrightarrow{AB}\vert=4$，$\vert\overrightarrow{AC}\vert=6$，$\angleBAC=60^\circ$，求$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}$的值。解析：（1）∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，∴$5\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$。（2）∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\right)\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{5}(\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{AB}^2)$，又$\vert\overrightarrow{AB}\vert=4$，$\vert\overrightarrow{AC}\vert=6$，∴$\overrightarrow{AC}^2=36$，$\overrightarrow{AB}^2=16$，∴$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{5}(36-16)=4$。20.（15分）已知$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$。（1）若$A$，$B$，$D$三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)$k$的值；（2）在（1）的條件下，若$\overrightarrow{e_1}=(1,0)$，$\overrightarrow{e_2}=(0,1)$，求$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$的夾角余弦值。解析：（1）$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})-(\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}$，∵$A$，$B$，$D$三點(diǎn)共線，∴$\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{BD}$，可設(shè)$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BD}$（$\lambda\in\mathbb{R}$），即$2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}=\lambda(\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2})$，∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$不共線，∴$\begin{cases}2=\lambda\k=-4\lambda\end{cases}$，解得$k=-8$。（2）由（1）得$\overrightarrow{AB}=(2,-8)$，$\overrightarrow{BD}=(1,-4)$，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2^2+(-8)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$，$\vert\overrigh