回顧與思考教學目標(一)教學知識點1．在回顧與思考中建立本章的知識框架圖．2．在回顧與思考中，復習有關定理的探索與證明，證明的思路和方法，尺規(guī)作圖等．(二)能力訓練要求1．進一步體會證明的必要性，發(fā)展學生的初步的演繹推理能力．2．進一步掌握綜合理的證明方法，結(jié)合實例體會反證法的含義．3．提高學生用規(guī)范的數(shù)學語言表達論證過程的能力．(三)情感與價值觀要求1．積極參加數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲．2．在尋找?guī)缀蚊}的證明過程中，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．3．形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣．教學重點1．在回顧與思考中建立本章的知識框架圖．2．回顧本章的主要內(nèi)容，包括探索與證明、思路與方法等．教學難點進一步領會證明的思路和方法教學方法小組討論法教具準備多媒體演示教學過程Ⅰ．創(chuàng)設問題情境，搭建“回顧與思考”的平臺問題1你能說說作為證明基礎的幾條公理嗎？[生]公理：同位角相等，兩直線平行．公理：兩直線平行，同位角相等．公理：兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等．公理：三邊對應相等的兩個三角形全等．公理：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等．公理：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．問題2向你的同伴講述一兩個命題的證明思路和證明方法．[生]在這一章里，我們采用提問的方式讓學生回憶了一些比較了解的結(jié)論，以及探索這些結(jié)論的方法和過程，因為這些方法往往會對征明的思路有所啟發(fā)，然后再利用公理和已有的定理去證明這些結(jié)論．這樣往往可以將抽象的證明與直觀的探索聯(lián)系起來．如在證明“等腰三角形的兩個底角相等”時從折紙中探索出證明思路：作底邊上的中線構(gòu)造全等三角形，從而利用公理證明了兩個底角相等．[生]這個命題的證明還可以有多種證法，例如作底邊上的高線構(gòu)造全等三角形，也可以證明兩個底角相等．作頂角的角平分線構(gòu)造全等三角形，也可以證明兩個底角相等．[師]很好！請同學們分別向你的同伴講述這三種方法具體的證明過程．(教師可關照基礎較差的學生，給予輔導)我們以前已了解過的結(jié)論，在這一章利用公理和已學過的定理可以證明的還有哪些命題呢？[生]線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)定理．[生]勾股定理的逆命題．[師]很好！我們這一章還涉及了一些以前沒有探索過的命題，有哪些呢？[生]HL定理．[師]你能用語言簡單地敘述一下你是如何證明的嗎？[生]因為直角三角形中，斜邊和一條直角邊確定，根據(jù)勾股定理，另一條直角邊也相等．再根據(jù)“SSS”公理判定兩個三角形全等．[生]我們還學習過“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”．[師]我們是如何探索這個命題的證明思路的？[生]我們先是拼擺三角尺，在拼擺的過程中得到啟示，尋找到了證明的思路．[師]我們不妨再來一同證明一下這個命題，體會合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論中各自發(fā)揮的作用．多媒體演示：用兩個含30°角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能拼出等邊三角形嗎？由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的關系？你能證明你的結(jié)論嗎？[生]我們根據(jù)兩個三角尺拼出的圖形發(fā)現(xiàn)了結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．證明如下：如圖(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則∠B＝60°．延長BC至D，使CD＝BC，連結(jié)AD．(如圖(2))∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°．∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB＝AD(全等三角形的對應邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC＝BD＝AB．[師]上面我們想到的都是從已知出發(fā)，利用學過的公理和已證的定理證明的一些命題．這一章，我們還通過一個實例讓同學們體會了反證法的含義．[生]我們在證明了“等角對等邊”這個命題后，發(fā)現(xiàn)：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．而證明這個命題，常用的方法行不通．于是我們先假設命題的結(jié)論不成立，然后推導出矛盾的結(jié)果，從而證明命題結(jié)論一定成立．具體過程如下：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等．假設AB＝AC，根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C＝∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C＝∠B”與已知的條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC．[師]通過本章的學習，我們不僅學習了用綜合法證明一個幾何命題，而且也了解了用反證法證明幾何命題的思路．我們要得出一個新命題，除了直觀操作外，還有什么辦法？你能舉幾個例子嗎？[生]例如角平分線的判定定理就是由角平分線的性質(zhì)定理構(gòu)造逆命題，然后經(jīng)過邏輯推理而得到的．線段垂直率分線的判定定理也是構(gòu)造出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題，然后經(jīng)過邏輯推理而得到的．[生]再例如等腰三角形的判定定理“等角對等邊”是通過構(gòu)造“等邊對等角”的逆命題而推理得證的．[師]很棒！請看問題3你能說出一對互逆命題嗎？它們的真假性如何？[生]例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”是互逆命題，且它們都是真命題．[生]例如“如果ab＝0，那么a＝0，b＝0”和“如果a＝0，b＝0，那么ab＝0”是互逆命題，如果把第一個命題稱作原命題，則第二個命題是逆命題，原命題是假命題，逆命題是真命題．[生]再例如：“如果兩個角是對頂角，那么它們相等”和“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”是互逆命題，其中第一個命題是真命題，第二個命題是假命題．……問題4任意畫一個角，利用尺規(guī)將其二等分、四等分．已知：如圖，∠AOB．求作：(1)射線OC，使∠AOC＝∠BOC；(2)射線OD、OE，使∠AOD＝∠DOC＝∠COE＝∠EOB．作法：(1)以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于M、N；再分別以M、N為半徑，大于MN為半徑畫弧交∠AOB內(nèi)部于C點；作射線OC．則OC就是所求作的射線．(2)同上，分別在∠AOC和∠BOC內(nèi)部作射線OD、OE．[師]你能說明這樣做的理由嗎？[生]由作圖過程可知，OM＝ON，MC＝NC，OC＝OC，∴△MOC≌△NOC(SSS)．∴∠MOC＝∠NOC，即∠AOC＝∠BOC(全等三角形的對應邊相等)．Ⅱ．建立本章的知識框架圖[師]本章所證明的命題大都與等腰三角形和直角三角形有關，主要包括哪些呢？[生]等腰三角形(含等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理)、直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理、角平分線的性質(zhì)定理及判定定理．[師]很好！下面我們一同來回憶一下本章的知識．1．通過探索、猜測、計算、證明得到的定理：(1)與等腰三角形、等邊三角形有關的結(jié)論：性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，即等邊對等角(等邊三角形三個角都相等，并且每個角都等于60°)；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形兩底角的平分線相等，兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等．判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)．三個角都相等的三角形是等邊三角形．(2)與直角三角形有關的結(jié)論勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．(即HL定理)(3)與一般三角形有關的結(jié)論在一個三角形中，兩個角不相等，它們所對的邊也不相等(用反證法證明)．2．命題的逆命題及其真假在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺規(guī)作圖線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作線段的垂直平分線；已知底邊和底邊上的高，用尺規(guī)作等腰三角形．角平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作已知角的平分線．通過對以上知識的學習，使我們經(jīng)歷了探索、猜測、證明的過程，進一步體會了證明的必要性．在掌握了基本的證明步驟和要求的基礎上，探索了證明的思路和方法，推理證明是本章的學習重點．Ⅲ．例題講解多媒體演示[例1]已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，且DE＝DF．求證：△ABC是等腰三角形．分析：要證△ABC是等腰三角形，可證∠B＝∠C．證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB．∴∠DEB＝∠DFC＝90°在Rt△DEB和Rt△DFC中∵DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL定理)．∴∠B＝∠C(全等三角形的對應角相等)．∴AB＝AC(等角對等邊)，即△ABC是等腰三角形．[例2]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于點E，已知△BCE的周長為8，AC－BC＝2，求AB與BC的長．分析：由已知AC－BC＝2，即AB－BC＝2，要求AB和BC的長，利用方程的思想，需找另一個AB與BC的關系．解：∵DE垂直平分線段AB．∴AE＝BE(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)．又∵△BCE的周長為8，即BC＋BE＋EC＝8，∴BC＋(AE＋EC)＝8．∴BC＋AC＝8． ①又∵AC－BC＝2， ②由①②得AC＝5，BC＝3．又∵AB＝AC，∴AB＝5．Ⅳ．課時小結(jié)本章的內(nèi)容總結(jié)如下：Ⅴ．課后作業(yè)復習題A組Ⅵ．活動與探究已知等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為15cm與12cm兩部分．求它的三邊長．[過程]在△ABC中，AB＝AC，BD是中線．BD的周長分為1