初中數(shù)學(xué)八年級上冊XJ湖南專用綜合與實踐利用拼接探究勾股定理1.意大利著名畫家達(dá)·芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理,其中剪開前紙片中

的空白部分由2個正方形和2個全等的直角三角形組成,面積記為S1;剪開、翻轉(zhuǎn)后

紙片中的空白部分由2個全等三角形和1個正方形組成,面積記為S2.小嘉同學(xué)得出

了以下四個結(jié)論:①S1=a2+b2+ab;②S2=c2+ab;③S1=S2;④a2+b2=c2.其中正確的結(jié)論有

(

)D

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個2.(新考法·探究與運用)【探究發(fā)現(xiàn)】中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時,創(chuàng)制了“趙爽弦圖”.他利用四個全等的

直角三角形拼成如圖1所示的圖形,其中四邊形ABED和四邊形CFGH都是正方形,

巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a,b,c之間的關(guān)系:a2+b2=c2.(1)請你根據(jù)圖1將說理過程補(bǔ)充完整.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求證:a2+b2=c2.證明:由圖1可知S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH,因為S正方形ABED=c2,

=___________,正方形CFGH的邊長為___________,所以c2=4×

ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2,即a2+b2=c2.【深入思考】如圖2,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰

直角三角形ABD,其中AB=BD,∠ABD=90°,過點D作DE⊥CB,交CB的延長線于點E.(2)求證:DE=a,BE=b.

a-b

ab

(3)請你用兩種不同的方法表示梯形ACED的面積,并證明:a2+b2=c2.【實際應(yīng)用】(4)將圖1中的四個直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度至點M,N,

P,Q,連接ME,ND,PA,QB,得到如圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”.若a=12,b=9,“數(shù)學(xué)風(fēng)

車”外圍輪廓(圖中實線部分)的總長度為108,求“數(shù)學(xué)風(fēng)車”圖案的面積.解:(2)證明:因為DE⊥CB,所以∠BED=∠DBE+∠BDE=90°.因為∠ABD=90°,所以∠ABC+∠DBE=90°,所以∠ABC=∠BDE.在△ABC和△BDE中,

所以△ABC≌△BDE(角角邊),所以BC=DE=a,AC=BE=b.(3)第一種方法:S梯形ACED=S△ABC+S△ABD+S△BED=

ab+

c2+

ab=ab+

c2.第二種方法:S梯形ACED=

(AC+DE)·(CB+BE)=

(a+b)(a+b)=

(a+b)2.證明如下:因為

(a+b)2=ab+

c2,所以a2+2ab+b2=2ab+c2,所以a2+b2=c2.(4)由題意可得,MB=NE=PD=QA,BE=ED=DA=AB,∠FBE=∠GED=∠HDA=∠CAB,所以∠MBE=∠NED=∠PDA=∠QAB.在△MEB和△NDE中,

所以△MEB≌△NDE(邊角邊),所以ME=ND.同理可證QB=ME,PA=ME,所以ME=ND=QB=PA,所以MB+ME=NE+ND=PD+PA=QA+QB.因為“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓(題圖3中實線部分)的總長度為108,所以QA+QB=108÷4=27.設(shè)QA=x,則QB=27-x,CQ=AC+QA=b+x,在Rt△BCQ中,BC2+CQ2=QB2,所以a2+(b+x)2=(27-x)2,將a=12,b=9代入可得,144+(9+x)2=(27-x)2,解得x=7,所以C