專題22.3相似形（全章分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·上海嘉定·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，下列推理錯誤的是（

）

A．∵直線//

∴ B．∵，∴直線//C．∵，∴直線//// D．∵直線////，∴2．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對3．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，、分別是邊上兩個三等分點，、分別交、、于、、，則（

）A．3：2：1 B．5：3：2 C．6：5：4 D．5：4：34．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1是古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟（ParthenomTemple），把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形，當(dāng)以矩形的寬為邊作正方形時，驚奇地發(fā)現(xiàn)矩形與矩形相似，則等于（

）A． B． C． D．5．（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖，三角形OAB的頂點、、，C是OB邊的中點，過點C作交x軸于點D，將沿x軸向右平移，當(dāng)點C的對應(yīng)點恰好落在AB邊上時，此時點D對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知：中，為邊中點，過點的直線交延長線于，交于，記，，則（

）

A．2 B． C． D．17．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方形中，是中點，連接，，作交于，交于，交于，延長交延長線于，則的值為（

）

A． B． C． D．8．（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學(xué)校聯(lián)考期中）將等邊折疊，使得頂點A與上的D重合，F(xiàn)為折痕，若，則（

）．A． B． C． D．9．（2022秋·天津河北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，若，，與交于點，且，，則等于（

）A． B． C． D．10．（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）圖1是小玉制作的簡易投石機的示意圖，是杠桿，點A為支點，，支架垂直于地面，且．如圖2，當(dāng)投石機準(zhǔn)備時，點G恰好與點B重合，且此時和互相垂直，線段（）A．4 B． C．6 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，若是與的比例中項，，求12．（2020秋·上海青浦·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，、在邊上，（在的左邊）且是邊長為6的等邊三角形，則．13．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點、、、分別在銳角的邊上，四邊形為矩形，，，，則．

14．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是．

15．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，、、均為等要直角三角形，其中，連接，分別與AC、AD交于點M、N，則．

16．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，D是上一點，B是y正半軸上一點，且，，垂足為E，（1）當(dāng)D是的中點時，；（2）求的最小值；

17．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，從左到右依次擺放三個正方形：，，，已知頂點，，在邊上，頂點，，在邊上，，，則的長為．18．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點在的延長線上，，連接交于點，點在邊上，，連接，點為中點，連接交于點，下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積為，其中所有正確結(jié)論的序號為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知點，分別在邊，上，，交于點，，，，，．（1）求的長；（2）若的面積為70，求的面積．20．（8分）（2022秋·上海徐匯·九年級?？茧A段練習(xí)）在梯形中，，，E為邊上的任意一點，，且交于點F．（1）當(dāng)時，______．（用含的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)時，求的長．（用含和k的代數(shù)式表示）21．（10分）（2023秋·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形中，點E在邊上，且，連接，點F、G分別在、上．（1）給定三個關(guān)系：①是的角平分線，②，③，從中選擇兩個作為條件，一個作為結(jié)論構(gòu)成一個真命題，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求線段的長度．22．（10分）（2022春·九年級課時練習(xí)）已知不等臂蹺蹺板AB長為3米，當(dāng)AB的一端點A碰到地面時，（如圖1）點B離地高1.5米；當(dāng)AB的另一端點B碰到地面時，（如圖2）點A離地高1米，求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的距離為多少米？23．（10分）（2023秋·山西大同·九年級大同一中校考期末）如圖，在中，于點D，于點E，與相交于點F，

（1）求證：．（2）連接，小明進行了深入探究，他發(fā)現(xiàn)，得到老師和同學(xué)們的認同，他利用（1）中的結(jié)論，具體推理過程如下：∵∴∴又∵∴請你仿照小明的方法證明．24．（12分）（2023·遼寧盤錦·校聯(lián)考一模）如圖，中，，，D為的中點，E為線段上一點，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，連接．（1）如圖1，當(dāng)，位于線段同側(cè)時，______；（2）如圖2，當(dāng)，位于線段的異側(cè)時，求的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若與的交點為點G，若G為的三等分點，，請直接寫出的長．參考答案1．C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的判定與性質(zhì)逐項分析即可得出答案．解：A.∵直線//

∴，推理正確，故選項不符合題意；B.∵，∴直線//，推理正確，故選項不符合題意；C.∵，不能得出直線////，推理錯誤，故選項符合題意；D.∵直線////，∴，推理正確，故選項不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查平行線分線段成比例和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】點P是AB的黃金分割點，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則，即可求解．解：由題意知，點P是AB的黃金分割點，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，∴，∴（20?x）2＝20x，故選：A．【點撥】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．3．B【分析】過作，交于，于，根據(jù)三角形中位線定理得到，得到，，得到、與的關(guān)系，求比即可．解：過作，交于，于，為中點，是的中位線，，，，，，，，是的中位線，，，，，，，故選：B．【點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系．4．D【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，列出比例式，進行求解即可．解：∵矩形與矩形相似，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，即：，設(shè)，則：，解得：（負值已舍去）；∴；故選D．【點撥】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解一元二次方程．熟練掌握相似多邊形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)勾股定理可得，，由是的中點可得，，由題意可得：，可得，即可求得，即可求解．解：∵、、∴，，∴∵是的中點∴，∵，∴又∵∴，∴，即解得∵，，將沿x軸向右平移，當(dāng)點C的對應(yīng)點恰好落在AB邊上時，可知是將沿x軸向右平移了個單位長度此時點對應(yīng)的坐標(biāo)為，即故選：A【點撥】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，正確求得的長．6．A【分析】作交于，設(shè)，則，，先證，推出，再根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得，進而可得．解：如圖，作交于，

設(shè)，則，，∵，∴，，又∵D為BC中點，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．故選A．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造．7．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得，推出，證明，得出，證明，得出，設(shè)，則，求出，進而可得答案.解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴；故選：C.【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．A【分析】設(shè)，然后利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到結(jié)果．解：∵，∴設(shè)，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，故選：A【點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，利用相似三角形的周長比等于相似比，再適當(dāng)?shù)挠胟表示邊是關(guān)鍵．9．C【分析】如圖（見分析）所示，延長到，使，連結(jié)，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，可得，由于，則，于是可證明，然后利用相似三角形的相似比即可算出的值．解：如圖所示，延長到，使，連結(jié)又∵，∴∴∵，∴又∵，∴∴即故選C．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建與相似．10．B【分析】先求出及的長，再證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．解：，，，，又∴=∵=，，，，，故選：B．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．/【分析】由，求得，是與的比例中項，解一元二次方程即可求得，解：∵，∴，∵是與的比例中項，∴，即，解得：，∴故答案為：【點撥】本題考查了比例中項和公式法解一元二次方程，熟練掌握比例中項是解決問題的關(guān)鍵12．9或4【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理得出，即可證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，求解即可．解：∵是邊長為6的等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得或4，故答案為：9或4．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．13．【分析】過點作于點，交于點，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，根據(jù)，得出，則，代入比例式進行計算，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．解：如圖所示，過點作于點，交于點，

∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∵，設(shè)，則，∵，∴，∴，又∵，∴，整理得，解得：，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個等式相加即可得．解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．【分析】如圖所示，延長交于F，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，證明四邊形是矩形，得到，，，，證明得到，則；進一步證明是等腰直角三角形，得到，證明，推出，設(shè)，則，，即可得到．解：如圖所示，延長交于F，∵、、均為等要直角三角形，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，故答案為：．

【點撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．【分析】（1）先求出，，在利用得出即可求出答案；（2）當(dāng)時，的值最小，此時點與點重合，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出的最小值．解：（1）∵，∴．∵D是的中點，∴．∴．∵，∴．又∵，∴．∴，即．∴．故答案是；（2）∵點E在上，∴當(dāng)時，的值最小．此時，點與點重合，如圖

∵，,∴．∵，∴是邊上的中線．∴．故答案是．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意準(zhǔn)確找到當(dāng)時，的值最小是解題的關(guān)鍵和難點．17．6【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)得出，設(shè)正方形的邊長為x，則，代入求解即可．解：∵四邊形，，為正方形，，，∴，，∴，∴，設(shè)正方形的邊長為x，則，∴，解得：（負值舍去），∴的長為6，故答案為：6．【點撥】題目主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，數(shù)量掌握運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．①②④【分析】通過證明∽，可得，可證，故正確；由勾股定理可求，由等腰三角形的性質(zhì)可求，故正確；求出時是等邊三角形，可判斷③錯誤；分別求出，，，的長，即可求四邊形的面積為，故正確，即可求解．解：，，，，，，，，∽，，，故正確；連接，，，點是的中點，，，，故正確；∵，，若，則，，，，是等邊三角形，，與題意不符合，故錯誤；，，，

，，，，四邊形是平行四邊形，，，，∽．，，，，四邊形的面積，故正確；故答案為：．【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．19．（1），；（2）28【分析】（1）先求得，再根據(jù)求得；由求得；（2）先由“高相等的兩個三角形的面積的比等于底的比”求得，則，再由，求得的面積．解：（1），，，，，，；，，，；（2）設(shè)點到的距離為，點到的距離為，，，，，的面積是28．【點撥】此題重點考查成比例線段、高相等的兩個三角形的面積的比等于底的比等知識，根據(jù)線段成比例求出線段的長是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）【分析】（1）過A作，與交于G，與交于H，證明四邊形是平行四邊形，得到，，證明，得到，再根據(jù)，將已知關(guān)系代入化簡即可；（2）同（1）的方法求解即可．（1）解：如圖，過A作，與交于G，與交于H，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴同理可得：，，∴，∵，∴，則，∴；

（2）過A作，與交于G，與交于H，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴同理可得：，，∴，∵，∴，則，∴．【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用三角形相似和平行四邊形的性質(zhì)解答．21．（1）①②為條件，③為結(jié)論，證明見分析；（2）．【分析】（1）①②為條件，③為結(jié)論，利用角平分線的定義、平行線的性質(zhì)證明，再利用等邊對等角即可得出結(jié)論；（2）利用勾股定理求得，作于點H，利用角平分線的性質(zhì)得到，證明和，推出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解．（1）解：①是的角平分線，②為條件，③為結(jié)論，證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形是正方形，且，∴，，∴，作于點H，連接，∵是的角平分線，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．22．蹺蹺板AB的支撐