第頁人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《14.3角的平分線》同步練習(xí)題及答案性質(zhì)定理角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.（三角形三條角平分線的交點到三邊距離相等）證明的基本方法⑴明確命題中的已知和求證.（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隱含的邊角關(guān)系）⑵根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)字符號表示已知和求證.⑶經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.作角平分線1．按要求作圖，尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)如圖1，作的角平分線；(2)如圖2，過點作的平行線．2．如圖，四邊形，E為邊上一點．求作：四邊形內(nèi)一點P，使，且點P到，的距離相等．（簡要描述思路，用直尺、圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡．）3．如圖，．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點E；(2)在（1）的前提下，連接，若E是的中點，求證：是的平分線．4．尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)如圖1，點在的邊上．在角的內(nèi)部過點作射線的平行于邊；(2)如圖2，在Rt中，，在邊上求作一點，使點到邊和邊的距離相等．5．如圖，直線與交于點，．(1)作的平分線（保留作圖痕跡）．(2)求的度數(shù)．角平分線的性質(zhì)定理6．如圖中，，、為、上的點，，垂足為E，且，．(1)求證：平分；(2)求證：．7．如圖，有一塊三角形空地，，，，以的平分線為界，將該空地分成兩塊，其中空地用于種植辣椒，空地用于種植茄子（地邊界和空隙面積忽略不計），分別求辣椒和茄子的種植面積．8．如圖，是的角平分線，，垂足為，若的面積為，，求的長．9．如圖，在中，，，平分，交于點D，平分，交于點E．求的度數(shù)．10．如圖，在中，，D為邊上一點，平分，且，若，，求的長．-角平分線的判定定理11．如圖，在中，D是的中點，，垂足分別為E，F(xiàn)，．求證：是的角平分線．12．如圖，點E在的平分線上，過點E作于點F，于點G，且．(1)求證：CE是的平分線：(2)求證：．13．已知：如圖，于點，于點，和交于點，．求證：點在的平分線上．14．已知：如圖，在四邊形中，，過點C作于E，于F且．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．15．如圖，在四邊形中，，為的中點，且平分．求證：(1)平分．(2)．角平分線的實際應(yīng)用16．如圖，某市區(qū)南北走向的解放路，龍?zhí)堵放c東西走向的人民路交匯于B，C兩點，現(xiàn)想建造一加油站P，使得加油站到三條公路的距離相等．請你用所學(xué)的知識確定P點的位置（用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．17．如圖，直線a、b、c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可供選擇的站址有幾處？（不寫作法，保留作圖痕跡）18．如圖，已知的周長是21，，分別平分，，于點，且，求的面積．19．如圖，要在區(qū)建一個電子商品批發(fā)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處，這個電子商品批發(fā)市場應(yīng)建于何處（請在圖上標(biāo)出它的位置，保留作圖痕跡，比例尺為）．20．已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）參考答案性質(zhì)定理角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.（三角形三條角平分線的交點到三邊距離相等）證明的基本方法⑴明確命題中的已知和求證.（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隱含的邊角關(guān)系）⑵根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)字符號表示已知和求證.⑶經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.作角平分線1．按要求作圖，尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)如圖1，作的角平分線；(2)如圖2，過點作的平行線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線和尺規(guī)作平行線，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法和平行線的尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的基本方法，通過構(gòu)造全等三角形的原理來作出的平分線．（2）利用尺規(guī)作平行線的方法，通過構(gòu)造相等的同位角來作出過點且平行于的直線．【詳解】（1）解：如圖即為所求作的角平分線．（2）解：如圖即為的平行線．2．如圖，四邊形，E為邊上一點．求作：四邊形內(nèi)一點P，使，且點P到，的距離相等．（簡要描述思路，用直尺、圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡．）【答案】見解析【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作的平分線，以為頂點，為一邊作，交于，點即為所求．【詳解】解：作的平分線，以為頂點，為一邊作，交于，如圖：點即為所求．3．如圖，．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點E；(2)在（1）的前提下，連接，若E是的中點，求證：是的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖作角平分線，角平分線的判定和性質(zhì)．（1）直接根據(jù)角平分線的作法畫圖即可；（2）作交于F，根據(jù)角平分線的判定定理得到，進(jìn)而得到，即可證明是的平分線．【詳解】（1）解：如圖，點E即為所求；（2）解：如圖，作交于F，∵是的角平分線，∴，∵若E是的中點，∴，∴，∴是的平分線．4．尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)如圖1，點在的邊上．在角的內(nèi)部過點作射線的平行于邊；(2)如圖2，在Rt中，，在邊上求作一點，使點到邊和邊的距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了過直線外一點作已知直線的平行線，作角平分線(尺規(guī)作圖)，角平分線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）理解題意，在點C處作，則，即可作答．（2）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等，且結(jié)合點到邊和邊的距離相等，則作的平分線，交邊于點，即可作答．【詳解】（1）解：如圖所示，射線即為所求；（2）解：如圖所示，點即為所求．5．如圖，直線與交于點，．(1)作的平分線（保留作圖痕跡）．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了角平分線的作圖、角平分線的相關(guān)計算．（1）根據(jù)角平分線的作圖步驟進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)平角的定義得到，再根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：如圖所示，射線即為所求．（2），．平分，．角平分線的性質(zhì)定理6．如圖中，，、為、上的點，，垂足為E，且，．(1)求證：平分；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，線段的和差，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明，得到，即可得到平分．（2）先證明，得到，得到，即，則，即可求解．【詳解】（1）證明：，，和是直角三角形，在和中，，，，，，，平分；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．7．如圖，有一塊三角形空地，，，，以的平分線為界，將該空地分成兩塊，其中空地用于種植辣椒，空地用于種植茄子（地邊界和空隙面積忽略不計），分別求辣椒和茄子的種植面積．【答案】辣椒的種植面積為，茄子的種植面積為．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過點分別作于點，于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，設(shè)，根據(jù)等面積法求出，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，過點分別作于點，于點．平分，．設(shè)，則，解得．，．辣椒的種植面積為，茄子的種植面積為．8．如圖，是的角平分線，，垂足為，若的面積為，，求的長．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，熟悉掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點作，于點，利用角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式運算求解即可．【詳解】解：過點作，于點，如圖所示：∵平分，且，，∴，∵，，∴，解得：．9．如圖，在中，，，平分，交于點D，平分，交于點E．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了角平分線的定義及三角形外角的定義．先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形外角的定義求出的度數(shù)，緊接著再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，最后即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．10．如圖，在中，，D為邊上一點，平分，且，若，，求的長．-【答案】4【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，過點A作于H，利用“”可證明，得到，再利用“”可證明，得到，利用線段的和差關(guān)系即可求出的長，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點A作于H，，，平分，，，在和中，，，，在和中，，，，．角平分線的判定定理11．如圖，在中，D是的中點，，垂足分別為E，F(xiàn)，．求證：是的角平分線．【答案】見解析【分析】此題主要考查了角平分線定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．首先可證明，可得，又因為，根據(jù)角平分線定理的逆定理即可證明是角平分線．【詳解】證明：，，在和中，∴，，，，，是的角平分線．12．如圖，點E在的平分線上，過點E作于點F，于點G，且．(1)求證：CE是的平分線：(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）過點E作于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理求解即可；（2）證明出，得到，同理可得，進(jìn)而可得出，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：過點E作于點H點E在的平分線上，，，．又是的平分線．（2）證明：，在和中，同理可得，．∵，，∴．13．已知：如圖，于點，于點，和交于點，．求證：點在的平分線上．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定，掌握證明的方法是關(guān)鍵；先證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵于點，于點，∴，在和中，∴，∴，又于點，于點，∴點在的平分線上．14．已知：如圖，在四邊形中，，過點C作于E，于F且．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)4cm【分析】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形全等的判定證明，所以，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形全等的判定證明，可得，進(jìn)一步即可求得答案．【詳解】（1）證明：，，，，和均為直角三角形，在和中，，，，，，平分；（2）解：，，和均為直角三角形，在和中，，，，，，，．15．如圖，在四邊形中，，為的中點，且平分．求證：(1)平分．(2)．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中點定義，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）過點作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)得；根據(jù)中點得進(jìn)而得，再根據(jù)角平分線的判定得平分；（）根據(jù)“”證明和得和，即為所求．【詳解】（1）證明：過點作于，∵，平分，∴，∵點為的中點，∴，∴，又∵，∴平分；（2）證明：由（）得，在和中，∴，∴，在和中，∵，∴，∵，∴．角平分線的實際應(yīng)用16．如圖，某市區(qū)南北走向的解放路，龍?zhí)堵放c東西走向的人民路交匯于B，C兩點，現(xiàn)想建造一加油站P，使得加油站到三條公路的距離相等．請你用所學(xué)的知識確定P點的位置（用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見詳解【分析】本題考查了角平分線的判定，角平分線的尺規(guī)作圖，理解題意：加油站P，使得加油站到三條公路的距離相等，且結(jié)合到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，即作出的角平分線，它們交于一點，即為點P，進(jìn)行作答．【詳解】解：P點的位置如圖所示：17．如圖，直線a、b、c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可供選擇的站址有幾處？（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】4處，作圖見解析【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，尺規(guī)作角平分線，作三角形內(nèi)角的平分線，兩條平分線交于點，點到這個三角形三邊的距離相等；再作兩個外角的平分線，交于點，點到這三條公路的距離相等；同理還有點，，則此題可解.【詳解】解：如圖所示，一共有4處，即點，，，.18．如圖，已知的周長是21，，分別平分，，于點，且，求的面積．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，求三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及三角形面積的求解是解題的關(guān)鍵．過點O分別作于點E，于點F，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可證明，根據(jù)，可列出算式，并結(jié)合的周長求出面積．【詳解】如圖，過點O分別作于點E，于點F，分別平分，，，同理，的周長是21，，．19．如圖，要在區(qū)建一個電子商品批發(fā)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處，這個電子商品批發(fā)市場應(yīng)建于何處（請在圖上標(biāo)出它的位置，保留作圖痕跡，比例尺為）．【答案】見解析【分析】本題考查了成比例線段的性質(zhì)，作角平分線；作角平分線，在射線上截取，使得，點即為所求．【詳解】解：依題意，在射線上截取，使得，如圖點為所求，20．已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站