六校聯(lián)考高三期中數(shù)學試卷（控江/復興/市西/松二/奉賢/金山）2025.11一.填空題1．函數(shù)，的零點為設平面向量，，若、不能組成平面上的一個基底，則已知一組數(shù)據(jù)：3、5、7、x、9的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為4．設，若復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點在第三象限，則的取值集合為若，，，則的最小值為6．若滿足，則曲線在點處切線的傾斜角為7．設直線與橢圓相交于A、B兩點，且AB的中點為，則直線的斜率為若，，則集合的子集的個數(shù)為在中，是BC邊的中點．若，，，則10．已知、是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對于任意、，（），則11．設、，的最小值為12．已知A、B兩點在曲線上，C、D兩點在曲線上，給出下列四個結論：①的最小值為；②當AC與坐標軸平行時，最小值為2；③當四邊形ABCD為正方形時，設正方形面積為，則；④當直線AC、BD均為曲線和的公切線時，線段AB的中點在軸上．其中所有正確結論的序號是二.單選題13．“”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 14．國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量（）與時間（小時）的關系為（為最初污染物數(shù)量，且）如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A．3.8小時B．4小時C．4.4小時D．5小時 15．設，．若對任意，均存在，使得函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則的取值可能是（）B．C．D． 16．已知，，在函數(shù)，圖像上，則下列判斷錯誤的是（）A．存在，使得的點有且只有一個 B．任意，使得的點至少一個 C．存在，使得的點有且僅有兩個 D．任意，使得的點最多兩個 三．解答題17．已知等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．18．某市環(huán)保部門為了監(jiān)測某條河流的水質(zhì)情況，連續(xù)30天測量了河流的PH值，整理數(shù)據(jù)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值，并估計這30天河流PH值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若PH值低于6.5的稱為“酸性超標日”，其中PH值在的稱為“輕度超標日”，PH值在的稱為“重度超標日”．環(huán)保部門決定采用分層抽樣的方法從“酸性超標日”中抽取3天，并從這3天中隨機選擇2天進行水質(zhì)復檢，求這2天都是“輕度超標日”的概率．19．如圖的幾何體是一個半圓柱，點是半圓弧BC上一動點（點與點B、C不重合），為弧BC的中點，．（1）證明：；（2）若平面PAC與平面CDE所成的銳二面角的平面角為，求此時點到平面PAC的距離．20．己知曲線，第一象限內(nèi)點在曲線上．，，連接并延長與曲線交于點，（）．以為圓心，為半徑的圓與線段交于點，記、的面積分別為、．（1）若，求點的坐標；（2）若點的坐標為，求證；（3）求的最小值．21．給定函數(shù)，若過點恰能作曲線的條切線，則稱是的“秩點”，切點的橫坐標為的“秩數(shù)”．（1）若是函數(shù)的“秩點”，求其“秩數(shù)”；（2）證明：是函數(shù)的“0秩點”；（3）記使函數(shù)的“1秩數(shù)”小于0的“1秩點”構成的集合為．證明：對，，且，有．參考答案填空題02.23.5.54.5.326.7.8.89.10.11.12.①③④【第10題】設，由，可設，設，則由，得，所以同理可得，所以當，即時，有最小值，解得，所以．【第11題】設，設，把以為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)時，得出，則，所以，當且僅當四點共線時取最小值，則最小值為．【第12題】由于與的圖象關于直線對稱，設到直線的距離為，設，得，當時，得，即有嚴格增，當時，得，即有嚴格減，即有，即有的最小值為，則的最小值為，故①正確；當與坐標軸平行時，不妨設，，可設，得在嚴格增，由，即有，使得，即，即有．則在嚴格減，在嚴格增，當且僅當取等號，但，得的最小值大于2，故②錯誤；當四邊形為正方形時，設，且，得，由，得，即，又，則，設，導數(shù)為，得時，嚴格增；時，嚴格減；得，則，故③正確；當直線均為曲線和的公切線時，可設與曲線相切于，與相切于，得切線方程為則，即，且，化為；同理可設，即有，且，化為，設方程的兩個根為，由于，得，即，則的中點的橫坐標為0，即線段的中點在軸上，故④正確．故正確的是①③④．二．選擇題13.A14.B15.D16.D【第15題】由于這兩個函數(shù)都是周期為的函數(shù)，則下面只考慮在區(qū)間上進行分析研究，因為在區(qū)間上嚴格增，在上嚴格減，在上嚴格增，而題意要求對任意，均存在，使得函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，所以只需要在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)即可，由選項得只需要滿足時取值，故．由余弦函數(shù)的單調(diào)性，若滿足，解得，若滿足，解得，若滿足無解，故必滿足題意，而，則ABC錯誤．故選D．【第16題】因為，所以直線的方程為，函數(shù)為雙曲線的一部分（如圖），因為雙曲線的漸近線為，所以直線與函數(shù)圖象交于一點，設直線與函數(shù)圖象相切，由得，令，解得，由圖形得，此時直線與直線間的距離為，又，當點為切點時，，過點與直線平行的直線為，其與直線的距離為，所以當點為或時，，所以當時，使得的點有且只有一個，故選項正確；因為函數(shù)圖象向右向上無限延伸，所以點到直線的距離可以無限大，此時任意，使得的點至少一個，故選項正確；當或時，使得的點有且僅有兩個，故選項C正確；當時，使得的點C有三個，故選項D錯誤．故選D．三．解答題17.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為等比數(shù)列滿足，則兩式相除可得，解得．所以的通項公式為：．（2），所以，18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以．平均值：．（2）抽取的3天中，＂輕度超標日＂有2天，記為a、b，＂重度超標日＂有1天，記為，樣本空間，設事件為這2天都是＂輕度超標日＂，則．因為抽中樣本空間中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．所以．19.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連接BP，在半圓柱中，因為平面平面PBC，所以，又因為BC是直徑，所以，又平面，所以平面PAB，又平面PAB，所以．（2）依題意可知，以線段BC的中點為坐標原點，以、、為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，連接OP，設，則，所以，設平面CDE的一個法向量為，所以，則，令，則，所以，設為平面PCA的一個法向量，則，所以，令，則，所以，因為平面PCA與平面CDE所成的銳二面角的平面角為，所以，令，則，平方化簡得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一個法向量，且，所以點到平面PCA的距離．20.【答案】（1）（2）見解析（3）．【解析】（1）設，與聯(lián)立可得，因為，所以，由可得，故因為在第一象限，所以，解得，由1：得；（2）由題意得，故，則，即；（3）由（1）得，故，因為，所以，當時，，故，故，所以，則，由對稱性可知，則，當，由得，將其代入中得，，顯然，當時，，當時，，解得，因為，其中，由（2）知，又，故，故，，當且僅當，即時等號成立，此時，由于，故．21.【答案】（1）0和2；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）設切點為，由已知得，所以切線方程為，又切線過點，將其代入切線方程得，即，所以或2，則＂秩數(shù)＂為0和2．（2）假設過點存在切線與相切，設切點為且有，所以切線方程為，又切線過點，所以，令，則．令，解得或當時，，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，故，故，即方程無實數(shù)解，假設不成立．故是的＂0秩點＂．（3）證明：由已知得，則曲線在點處的切線方程為．故點當且僅當關于的方程，即恰有一個實