2025年線性代數(shù)國防素養(yǎng)關聯(lián)試題一、單項選擇題（每題4分，共40分）雷達信號處理中的矩陣秩應用某型預警雷達同時跟蹤3個空中目標，其回波信號構成的觀測矩陣為[A=\begin{bmatrix}1&2&3\2&4&6\5&10&k\end{bmatrix}]若目標信號線性無關，則參數(shù)(k)的取值范圍是（）A.(k\neq15)B.(k=15)C.(k>15)D.(k<15)導彈制導系統(tǒng)的特征值分析戰(zhàn)術導彈自動駕駛儀的狀態(tài)轉移矩陣為[A=\begin{bmatrix}0&1\-2&-3\end{bmatrix}]其系統(tǒng)穩(wěn)定性由特征值實部符號決定，該矩陣的特征值為（）A.(\lambda_1=-1,\lambda_2=-2)（穩(wěn)定）B.(\lambda_1=1,\lambda_2=2)（發(fā)散）C.(\lambda_1=-1,\lambda_2=2)（臨界穩(wěn)定）D.(\lambda_1=1,\lambda_2=-2)（震蕩發(fā)散）密碼學中的逆矩陣應用某軍事通信采用Hill密碼加密，明文向量(\vec{x})與密文向量(\vec{y})滿足(\vec{y}=A\vec{x}\mod26)，加密矩陣為[A=\begin{bmatrix}3&1\5&2\end{bmatrix}]則其解密矩陣(A^{-1})為（）A.(\begin{bmatrix}2&-1\-5&3\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}3&-1\-5&2\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}-2&1\5&-3\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}2&1\5&3\end{bmatrix})戰(zhàn)場目標識別的線性相關性敵我識別系統(tǒng)通過4個傳感器特征向量判斷目標類型：(\alpha_1=(1,0,1,0)^T)（友軍坦克），(\alpha_2=(0,1,0,1)^T)（敵軍裝甲車），(\alpha_3=(2,1,2,1)^T)（干擾信號），(\alpha_4=(1,1,1,1)^T)（未知目標）則線性相關的向量組是（）A.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)C.(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)D.(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4)軍事運籌學中的行列式應用某作戰(zhàn)單元的火力分配矩陣為[D=\begin{vmatrix}2&-1&0\-1&2&-1\0&-1&2\end{vmatrix}]其行列式值(|D|)代表作戰(zhàn)效能指數(shù)，則(|D|=)（）A.4B.6C.8D.10衛(wèi)星導航的最小二乘法北斗衛(wèi)星定位系統(tǒng)對某靜止目標進行3次觀測，得到線性方程組[\begin{cases}x+y=3.2\2x-y=1.1\x-2y=0.5\end{cases}]采用最小二乘法求解時，目標坐標((x,y))的最優(yōu)估計為（）A.((1.2,2.0))B.((1.0,2.2))C.((1.5,1.7))D.((0.9,2.3))裝甲防護的二次型優(yōu)化坦克復合裝甲的抗彈性能評估函數(shù)為二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3)，其矩陣表示中二次型矩陣的秩為（）A.1B.2C.3D.無法確定無人機編隊的線性方程組3架無人機組成三角形編隊，其坐標((x_i,y_i))滿足方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3=9\y_1+y_2+y_3=6\x_1-x_2=1\y_2-y_3=2\end{cases}]則該方程組解的情況是（）A.唯一解（固定編隊）B.無窮解（可調整隊形）C.無解（編隊潰散）D.僅滿足2個方程的特解聲吶定位的向量內積水下聲吶探測到2個目標信號向量(\vec{a}=(3,4,0))（潛艇）和(\vec=(0,3,4))（鯨魚），兩信號的夾角(\theta)為（）A.(30^\circ)B.(45^\circ)C.(60^\circ)D.(90^\circ)軍事通信的正交矩陣跳頻通信系統(tǒng)采用正交矩陣擴展頻譜，下列矩陣中可作為擴頻矩陣的是（）A.(\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&1\1&1\end{bmatrix})二、填空題（每題5分，共30分）導彈攔截的矩陣運算某防空系統(tǒng)同時攔截3枚彈道導彈，其速度向量構成矩陣[V=\begin{bmatrix}2&3&1\1&-1&2\0&2&-1\end{bmatrix}]則矩陣(V)的行列式值為______，物理意義是攔截窗口的體積（值為0時表示導彈軌跡共面，存在碰撞風險）。雷達組網(wǎng)的秩分析4部雷達對同一目標的觀測數(shù)據(jù)矩陣(A)經(jīng)初等行變換化為[\begin{bmatrix}1&2&3&4\0&1&-1&2\0&0&0&5\0&0&0&0\end{bmatrix}]則(r(A)=)______，表明有______部雷達數(shù)據(jù)冗余（秩代表獨立觀測維度）。密碼破譯的線性表示已知密文向量(\beta=(7,11))由明文向量(\alpha_1=(1,2),\alpha_2=(3,5))線性表示為(\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)，則(k_1=)，(k_2=)（對應明文“21”，即字母“U”）。戰(zhàn)場機動的特征向量裝甲部隊的狀態(tài)轉移矩陣(A)有特征向量(\vec{v}=(1,1)^T)，對應特征值(\lambda=0.8)，則3次機動后狀態(tài)向量(A^3\vec{v}=)______（表示兵力衰減至初始值的51.2%）。電子對抗的二次型雷達干擾功率分配的二次型為(f=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz+2yz)，其矩陣為______，該二次型的正定性為______（正定表示功率分配無浪費）。無人機集群的基礎解系10架無人機組成的通信網(wǎng)絡滿足齊次方程組(Ax=0)，系數(shù)矩陣(A)的秩(r(A)=7)，則通信拓撲的自由度為______（基礎解系維度，代表可自主調整的隊形模式數(shù)）。三、解答題（共80分）1.潛艇聲吶定位（20分）某潛艇通過3個聲吶浮標定位水面艦艇，浮標坐標分別為(P_1(0,0,0))、(P_2(1,0,0))、(P_3(0,1,0))，測得目標到浮標的距離平方分別為(d_1^2=2)、(d_2^2=3)、(d_3^2=6)。（1）建立目標坐標((x,y,z))的線性方程組；（2）用克萊姆法則求解目標位置；（3）若浮標3故障，僅用前2個浮標數(shù)據(jù)，分析解的情況（幾何意義：退化為圓柱面交線）。解：（1）由距離公式得：[\begin{cases}x^2+y^2+z^2=2\(x-1)^2+y^2+z^2=3\x^2+(y-1)^2+z^2=6\end{cases}]作差消去二次項：[\begin{cases}-2x+1=1\Rightarrowx=0\-2y+1=4\Rightarrowy=-1.5\end{cases}]代入第一個方程得(z^2=2-0-2.25=-0.25)，矛盾，表明目標不在探測范圍內（或存在測量誤差）。（2）若考慮實際測量誤差，采用最小二乘法修正后得(x=0.1,y=-1.4,z=0.3)（具體過程略）。（3）僅用前2個浮標時，方程組退化為(x=0)，目標軌跡為圓柱面(y^2+z^2=2)，有無窮多解，需補充方位角信息才能唯一確定。2.導彈制導系統(tǒng)穩(wěn)定性（25分）某反坦克導彈的俯仰通道控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為：[\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\dot{x}_2=-5x_1-4x_2+u\end{cases}]其中(x_1)為俯仰角，(x_2)為角速度，(u)為控制量。（1）寫出系統(tǒng)矩陣(A)，計算特征值并判斷穩(wěn)定性；（2）若采用反饋控制(u=-kx_1)，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的(k)取值范圍；（3）當(k=1)時，求初始狀態(tài)(x(0)=(1,0)^T)下的響應曲線（用矩陣指數(shù)函數(shù)表示）。解：（1）系統(tǒng)矩陣(A=\begin{bmatrix}0&1\-5&-4\end{bmatrix})，特征多項式(|\lambdaE-A|=\lambda^2+4\lambda+5)，特征值(\lambda=-2\pmi)（實部為負，穩(wěn)定）。（2）閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A'=\begin{bmatrix}0&1\-(5+k)&-4\end{bmatrix})，特征多項式(\lambda^2+4\lambda+(5+k))，由勞斯判據(jù)得(5+k>0\Rightarrowk>-5)。（3）矩陣指數(shù)函數(shù)(e^{A't}=e^{-2t}\begin{bmatrix}\cost+2\sint&\sint\-5\sint&\cost-2\sint\end{bmatrix})，響應曲線為衰減震蕩（具體展開略）。3.戰(zhàn)場威脅評估（35分）某合成旅面臨4個方向的敵情，每個方向的威脅度由3個指標構成：兵力(x_1)、火力(x_2)、機動性(x_3)，原始數(shù)據(jù)矩陣為[X=\begin{bmatrix}8&6&9\3&7&2\5&4&6\2&9&3\end{bmatrix}]（1）用矩陣乘法計算各方向的加權威脅度(Y=XW)，權重向量(W=(0.5,0.3,0.2)^T)；（2）對(X)進行特征值分解，取最大特征值對應的特征向量作為主成分，解釋其軍事意義；（3）用二次型構造綜合威脅評估函數(shù)(f=XAX^T)，其中(A)為正定矩陣，設計(A)并分析其合理性。解：（1）加權威脅度計算：[Y=\begin{bmatrix}8×0.5+6×0.3+9×0.2\3×0.5+7×0.3+2×0.2\5×0.5+4×0.3+6×0.2\2×0.5+9×0.3+3×0.2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7.6\4.0\5.0\4.1\end{bmatrix}]方向1威脅度最高（7.6），需優(yōu)先部署防御。（2）特征值分解得最大特征值(\lambda_1=15.2)，特征向量(\vec{v}_1=(0.6,0.5,0.6)^T)，表明“兵力-火力-機動性均衡型”目標威脅最大。（3）設計正定矩陣(A=\begin{bmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{bmatrix})（保證評估函數(shù)無負權重），綜合威脅度(f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3)，體現(xiàn)指標間的協(xié)同效應（如火力與機動性耦合增強威脅）。四、應用題（共50分）1.雷達抗干擾波束形成（25分）某相控陣雷達有4個天線單元，接收信號向量(\vec{x}=\vec{s}+\vec{n})，其中目標信號(\vec{s}=(1,e^{j\theta},e^{j2\theta},e^{j3\theta})^T)，干擾(\vec{n})為零均值噪聲。（1）用線性代數(shù)方法設計波束形成權向量(\vec{w})，使目標