2025年線性代數(shù)國(guó)際理解素養(yǎng)試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換變?yōu)榫仃嘊，則下列結(jié)論正確的是（）A.r(A)>r(B)B.r(A)=r(B)C.r(A)<r(B)D.無(wú)法判定r(A)與r(B)的關(guān)系解析：矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩，因此r(A)=r(B)。答案為B。設(shè)A為n階方陣且|A|=0，則（）A.A中必有一行元素全為零B.A中有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例C.A中必有一行為其他行的線性組合D.A的任一行為其他行的線性組合解析：|A|=0意味著A的行向量組線性相關(guān)，故至少存在一行可由其他行線性表示。答案為C。向量組α?,α?,...,α?線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)k?,...,k?，使得k?α?+...+k?α?=0B.不存在一組不全為零的數(shù)k?,...,k?，使得k?α?+...+k?α?=0C.向量組的秩小于mD.其中任意一個(gè)向量可由其他向量線性表示解析：線性無(wú)關(guān)的定義為“僅當(dāng)系數(shù)全為零時(shí)線性組合才為零向量”，即不存在不全為零的系數(shù)使組合為零。答案為B。設(shè)A是3階矩陣，|A|=8，已知A有特征值-1和4，則另一特征值為（）A.-2B.2C.-8D.8解析：矩陣的行列式等于特征值之積，設(shè)另一特征值為λ，則(-1)×4×λ=8，解得λ=-2。答案為A。齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是（）A.A的列向量線性無(wú)關(guān)B.A的列向量線性相關(guān)C.A的行向量線性無(wú)關(guān)D.A的行向量線性相關(guān)解析：Ax=0有非零解等價(jià)于A的列向量組線性相關(guān)。答案為B。設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則A的特征值可能為（）A.0和1B.0和-1C.1和2D.-1和2解析：若λ是A的特征值，則λ2=λ，解得λ=0或1。答案為A。設(shè)A與B相似，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.|A|=|B|B.r(A)=r(B)C.A與B有相同的特征向量D.A與B有相同的特征值解析：相似矩陣具有相同的行列式、秩和特征值，但特征向量不一定相同。答案為C。二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&0\4&2&0\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&1&0\1&2&0\0&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})解析：二次型矩陣的對(duì)角線元素為平方項(xiàng)系數(shù)，非對(duì)角線元素為交叉項(xiàng)系數(shù)的一半。答案為A。設(shè)α=(1,2,3)，β=(3,2,1)，則α·β=（）A.10B.8C.6D.4解析：向量?jī)?nèi)積為對(duì)應(yīng)分量乘積之和：1×3+2×2+3×1=3+4+3=10。答案為A。設(shè)A是4階矩陣，r(A)=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解析：基礎(chǔ)解系向量個(gè)數(shù)=n-r(A)=4-2=2。答案為B。二、填空題（每題3分，共18分）設(shè)A,B為3階方陣，|A|=3，|B|=2，則|2AB?1|=________。解析：|2AB?1|=23·|A|·|B|?1=8×3×(1/2)=12。答案：12行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})的值為________。解析：該行列式的行向量線性相關(guān)（第3行=第2行+3），故行列式值為0。答案：0向量組α?=(1,0,0),α?=(1,1,0),α?=(1,1,1)的秩為________。解析：向量組線性無(wú)關(guān)，秩等于向量個(gè)數(shù)3。答案：3設(shè)A為正交矩陣，則A?A=________。解析：正交矩陣的定義為A?=A?1，故A?A=E。答案：E（單位矩陣）矩陣A=(\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})的伴隨矩陣A*=________。解析：A*=(\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})。答案：(\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})設(shè)A的特征值為1,2,3，則|B|=|A2-4A+3E|=________。解析：B的特征值為λ2-4λ+3，代入得0,-1,0，故|B|=0×(-1)×0=0。答案：0三、計(jì)算題（共40分）1.（10分）解矩陣方程AX=B，其中A=(\begin{pmatrix}1&1&-1\0&2&2\1&-1&0\end{pmatrix})，B=(\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix})。解析：（1）求A?1：通過初等行變換[A|E]→[E|A?1]，得A?1=(\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix})（2）X=A?1B=(\begin{pmatrix}\frac{1}{3}×1+\frac{1}{6}×2+\frac{2}{3}×3\\frac{1}{3}×1+\frac{1}{6}×2-\frac{1}{3}×3\-\frac{1}{3}×1+\frac{1}{3}×2+\frac{1}{3}×3\end{pmatrix})=(\begin{pmatrix}3\-1\\frac{4}{3}\end{pmatrix})2.（10分）求非齊次線性方程組的通解：[\begin{cases}x?+x?+x?+x?=2\2x?+3x?+x?+x?=1\x?-2x?+x?=5\end{cases}]解析：增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：(\begin{pmatrix}1&0&-2&1&5\0&1&3&0&-3\0&0&0&0&0\end{pmatrix})通解為：[\begin{pmatrix}x?\x?\x?\x?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\-3\0\0\end{pmatrix}+k?\begin{pmatrix}2\-3\1\0\end{pmatrix}+k?\begin{pmatrix}-1\0\0\1\end{pmatrix}\quad(k?,k?∈?)]3.（10分）設(shè)矩陣A=(\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix})，求A的特征值與特征向量。解析：特征多項(xiàng)式|λE-A|=(λ-3)2λ，特征值λ?=λ?=3，λ?=0。當(dāng)λ=3時(shí)，解(3E-A)x=0，基礎(chǔ)解系為α?=(1,1,0)?,α?=(1,0,1)?，特征向量為k?α?+k?α?（k?,k?不全為0）。當(dāng)λ=0時(shí)，解(0E-A)x=0，基礎(chǔ)解系為α?=(1,1,1)?，特征向量為k?α?（k?≠0）。4.（10分）判斷二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?是否正定。解析：二次型矩陣A=(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})。順序主子式：Δ?=1>0，Δ?=|12;22|=2-4=-2<0，故二次型非正定。四、證明題（12分）設(shè)η是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，ξ?,ξ?是對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，證明η,ξ?,ξ?線性無(wú)關(guān)。證明：假設(shè)存在k,k?,k?使kη*+k?ξ?+k?ξ?=0。兩邊左乘A得k