2025年線性代數(shù)核心考點精講精練題一、行列式核心考點講解行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)工具，其核心考點包括定義、性質(zhì)及計算方法。n階行列式的定義基于逆序數(shù)理論，通過展開定理可將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式計算。行列式的性質(zhì)是簡化計算的關(guān)鍵，主要包括：行列式轉(zhuǎn)置后值不變；兩行（列）互換值變號；某行（列）元素全為0則行列式值為0；兩行（列）對應(yīng)元素成比例則行列式值為0；行列式某行（列）元素的k倍加到另一行（列），值不變。實際計算中，常用“化三角法”將行列式轉(zhuǎn)化為上（下）三角行列式，其值等于主對角線元素之積。對于含參數(shù)的行列式，需結(jié)合行列式性質(zhì)分析參數(shù)取值對結(jié)果的影響。典型例題例1：計算四階行列式[D=\begin{vmatrix}2&-1&0&1\1&1&-1&0\0&2&1&-1\-1&0&2&1\end{vmatrix}]解析：通過初等行變換化為上三角行列式：交換第1、2行，得$D=-D_1$，其中$D_1$第1行首元素為1；第1行×(-2)加到第2行，第1行×1加到第4行，消去第1列下方元素；按列展開后逐步化簡，最終得$D=12$。例2：已知行列式$\begin{vmatrix}\lambda&1&1\1&\lambda&1\1&1&\lambda\end{vmatrix}=0$，求λ的值。解析：將第2、3行加到第1行，提取公因式$(\lambda+2)$，得$(\lambda+2)(\lambda-1)^2=0$，解得$\lambda=-2$或$\lambda=1$（二重根）。二、矩陣及其運算核心考點講解矩陣是線性代數(shù)的核心研究對象，需掌握以下內(nèi)容：矩陣運算：線性運算（加法、數(shù)乘）、乘法、轉(zhuǎn)置及運算律。注意矩陣乘法不滿足交換律，即$AB\neqBA$，且$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。逆矩陣：方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$（非奇異矩陣），逆矩陣公式為$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$（$A^$為伴隨矩陣）。實際計算中，更常用初等行變換法：$(A|E)\xrightarrow{初等行變換}(E|A^{-1})$。矩陣的秩：矩陣$A$的秩$r(A)$是其最高階非零子式的階數(shù)，等價于行（列）向量組的秩。秩的性質(zhì)包括：$r(A^T)=r(A)$；$r(kA)=r(A)(k\neq0)$；$r(AB)\leq\min{r(A),r(B)}$；若$A$可逆，則$r(AB)=r(B)$，$r(BA)=r(B)$。分塊矩陣：適用于高階矩陣運算，如分塊對角矩陣的逆矩陣為各對角塊逆矩陣構(gòu)成的分塊對角矩陣，即$\begin{pmatrix}A&O\O&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\O&B^{-1}\end{pmatrix}$。典型例題例3：設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\-1&3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\0&-1\end{pmatrix}$，求$AB$及$A^{-1}$。解析：$AB=\begin{pmatrix}1×2+2×0&1×1+2×(-1)\-1×2+3×0&-1×1+3×(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\-2&-4\end{pmatrix}$；$|A|=1×3-2×(-1)=5$，$A^*=\begin{pmatrix}3&-2\1&1\end{pmatrix}$，故$A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-2\1&1\end{pmatrix}$。例4：設(shè)$A$為三階方陣，且$|A|=2$，求$|A^*-2A^{-1}|$。解析：由$A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1}$，代入得$|2A^{-1}-2A^{-1}|=|O|=0$。三、向量組的線性相關(guān)性核心考點講解向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的理論難點，需從定義、性質(zhì)、判別三方面掌握：基本概念：對于向量組$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$，若存在不全為0的數(shù)$k_1,k_2,...,k_m$使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0$，則稱該向量組線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。單個非零向量線性無關(guān)，含零向量的向量組必線性相關(guān)。判別方法：定義法：構(gòu)造齊次線性方程組$Ax=0$（$A$為向量組構(gòu)成的矩陣），若有非零解則線性相關(guān)，否則線性無關(guān)；秩判別法：向量組的秩$r<$向量個數(shù)$m$時線性相關(guān)，$r=m$時線性無關(guān)；特殊情形：n+1個n維向量必線性相關(guān)；若部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)；若整體組線性無關(guān)，則任意部分組線性無關(guān)。極大線性無關(guān)組：向量組中能線性表示其余向量的線性無關(guān)子組，其所含向量個數(shù)為向量組的秩。求極大無關(guān)組需通過矩陣初等行變換將向量組構(gòu)成的矩陣化為行階梯形，非零行首個非零元（主元）所在列對應(yīng)的向量即為極大無關(guān)組。典型例題例5：判斷向量組$\alpha_1=(1,2,-1)^T$，$\alpha_2=(2,-3,1)^T$，$\alpha_3=(4,1,-1)^T$的線性相關(guān)性。解析：構(gòu)造矩陣$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，通過初等行變換化為行階梯形：[A\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4\0&-7&-7\0&0&0\end{pmatrix}]$r(A)=2<3$，故向量組線性相關(guān)。例6：求向量組$\alpha_1=(1,1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1,1)^T$，$\alpha_3=(2,1,1,1)^T$，$\alpha_4=(0,1,-1,-1)^T$的極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該組表示。解析：矩陣$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$經(jīng)初等行變換化為：[\begin{pmatrix}1&1&2&0\0&-1&-1&1\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]主元所在列為1、2列，故$\alpha_1,\alpha_2$為極大無關(guān)組。由行最簡形得$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_4=-\alpha_2$。四、線性方程組核心考點講解線性方程組的解的判定與結(jié)構(gòu)是線性代數(shù)的核心應(yīng)用，需重點掌握：解的判定：非齊次線性方程組$Ax=b$：有解$\Leftrightarrowr(A)=r(A,b)$；有唯一解$\Leftrightarrowr(A)=r(A,b)=n$（n為未知數(shù)個數(shù)）；有無窮多解$\Leftrightarrowr(A)=r(A,b)<n$；齊次線性方程組$Ax=0$：僅有零解$\Leftrightarrowr(A)=n$；有非零解$\Leftrightarrowr(A)<n$，基礎(chǔ)解系含$n-r(A)$個線性無關(guān)解向量。解的結(jié)構(gòu)：齊次方程組通解：$x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r}$（$\xi_1,...,\xi_{n-r}$為基礎(chǔ)解系，$k_i$為任意常數(shù)）；非齊次方程組通解：$x=\eta^+k_1\xi_1+...+k_{n-r}\xi_{n-r}$（$\eta^$為特解，$\xi_1,...,\xi_{n-r}$為對應(yīng)齊次方程組基礎(chǔ)解系）。求解方法：對增廣矩陣$(A,b)$作初等行變換化為行最簡形，寫出同解方程組，確定自由未知數(shù)，賦值后求得基礎(chǔ)解系與特解。典型例題例7：設(shè)非齊次線性方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3=2\2x_1+x_2-x_3=0\ax_1+bx_2+cx_3=d\end{cases}]已知$\eta_1=(1,0,1)^T$，$\eta_2=(0,1,1)^T$是該方程組的兩個解，求其通解。解析：對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含$n-r(A)=3-r(A)$個解向量。由$\eta_1-\eta_2=(1,-1,0)^T$是齊次方程組的非零解，知$r(A)\leq2$。又系數(shù)矩陣前兩行線性無關(guān)，故$r(A)=2$，基礎(chǔ)解系含1個解向量。通解為$\eta_1+k(\eta_1-\eta_2)=(1,0,1)^T+k(1,-1,0)^T$（k為任意常數(shù)）。例8：設(shè)齊次線性方程組[\begin{cases}(\lambda-1)x_1+2x_2-2x_3=0\2x_1+(\lambda+2)x_2-4x_3=0\-2x_1-4x_2+(\lambda+2)x_3=0\end{cases}]當(dāng)λ為何值時方程組有非零解？并求通解。解析：系數(shù)矩陣行列式$|A|=(\lambda-2)^2(\lambda+7)$，令$|A|=0$得$\lambda=2$或$\lambda=-7$。當(dāng)$\lambda=2$時，$r(A)=1$，基礎(chǔ)解系含2個解向量，通解為$k_1(2,-2,0)^T+k_2(2,0,1)^T$；當(dāng)$\lambda=-7$時，$r(A)=2$，基礎(chǔ)解系含1個解向量，通解為$k(1,2,-2)^T$（k為任意常數(shù)）。五、矩陣的特征值與特征向量核心考點講解矩陣的特征值與特征向量是對角化理論的基礎(chǔ)，需掌握以下內(nèi)容：定義與計算：對于n階方陣$A$，若存在數(shù)λ和非零向量$\xi$使得$A\xi=\lambda\xi$，則λ為特征值，$\xi$為對應(yīng)特征向量。特征值由特征方程$|A-\lambdaE|=0$求解，特征向量是齊次方程組$(A-\lambdaE)x=0$的非零解。性質(zhì)：特征值之和等于$A$的跡（主對角線元素之和），特征值之積等于$|A|$；若λ是$A$的特征值，則$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值（$f$為多項式）；實對稱矩陣的特征值為實數(shù)，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交。相似對角化：n階方陣$A$可對角化的充要條件是$A$有n個線性無關(guān)的特征向量，或?qū)γ總€k重特征值λ，$r(A-\lambdaE)=n-k$。實對稱矩陣必可正交對角化，即存在正交矩陣$Q$使得$Q^{-1}AQ=\Lambda$（$\Lambda$為對角矩陣，對角線元素為特征值）。典型例題例9：求矩陣$A=\begin{pmatrix}2&-1&1\0&3&-1\2&1&3\end{pmatrix}$的特征值與特征向量。解析：特征方程$|A-\lambdaE|=(\lambda-2)^2(\lambda-4)=0$，特征值λ=2（二重根），λ=4。對λ=2，解$(A-2E)x=0$，得基礎(chǔ)解系$\xi_1=(1,1,-1)^T$，特征向量為$k_1\xi_1$（$k_1\neq0$）；對λ=4，解$(A-4E)x=0$，得基礎(chǔ)解系$\xi_2=(1,-1,1)^T$，特征向量為$k_2\xi_2$（$k_2\neq0$）。例10：設(shè)$A$為三階實對稱矩陣，特征值λ=1（二重根），λ=-2，對應(yīng)λ=1的特征向量$\xi_1=(1,1,0)^T$，$\xi_2=(1,-1,1)^T$，求λ=-2對應(yīng)的特征向量。解析：實對稱矩陣不同特征值的特征向量正交，設(shè)$\xi_3=(x_1,x_2,x_3)^T$，則$\xi_1^T\xi_3=0$且$\xi_2^T\xi_3=0$，解得$\xi_3=(-1,1,2)^T$（k≠0）。六、二次型核心考點講解二次型是線性代數(shù)的重要應(yīng)用，需掌握其標準化與正定性：二次型的矩陣表示：n元二次型$f(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$可表示為$f=x^TAx$，其中$A$為實對稱矩陣（二次型的矩陣），$A$的秩稱為二次型的秩。標準化方法：配方法：通過配方將二次型化為平方和形式$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2$（標準形）；正交變換法：通過正交矩陣$Q$將$A$對角化，令$x=Qy$，則$f=\lambda_1y_1^2+...+\lambda_ny_n^2$（λ為$A$的特征值）。正定性：實二次型$f=x^TAx$正定的充要條件：對任意非零向量$x$，$f(x)>0$；$A$的特征值全為正數(shù)；$A$的各階順序主子式全大于0；$A$合同于單位矩陣$E$。典型例題例11：用正交變換化二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3$為標準形。解析：二次型矩陣$A=\begin{pmatrix}2&0&0\0&3&2\0&2&3\end{pmatrix}$，特征值λ=2，1，5。對應(yīng)特征向量$\xi_1=(1,0,0)^T$，$\xi_2=(0,-1,1)^T$，$\xi_3=(0,1,1)^T$；正交化、單位化后得正交矩陣$Q$，令$x=Qy$，標準形為$f=2y_1^2+y_2^2+5y_3^2$。例12：判斷二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$的正定性。解析：二次型矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&1\1&2&2\1&2&3\end{pmatrix}$，各階順序主子式：$1>0$，$\begin{vmatrix}1&1\1&2\end{vmatrix}=1>0$，$|A|=1>0$，故$f$正定。七、綜合應(yīng)用題典型例題例13：設(shè)$A$為三階實對稱矩陣，$r(A)=2$，且$A\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}$，$A\begin{pmatrix}1\-1\0\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}1\-1\0\end{pmatrix}$，求$A$及$|A+2E|$。解析：由已知得λ=3，-3為$A$的特征值，對應(yīng)特征向量正交。因$r(A)=2$，故λ=0為第三個特征值。設(shè)$A=Q\LambdaQ^T$（$Q$為正交矩陣，$\Lambda=diag(3,-3,0)$），解得$A=\begin{pmatrix}0&3&0\3&0&0\0&0&0\end{pmatrix}$，$|A+2E|=(3+2)(-3+2)(0+2)=-10$。例14：設(shè)向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，證明$\beta_1,\beta_2,\beta_3$線性無關(guān)，并求由$\beta$組到$\alpha$組的過渡矩陣。解析：$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{pmatrix}=AK$，$|K|=2\neq0$，故$r