2025年線性代數(shù)神經(jīng)形態(tài)計(jì)算中的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)試題一、基礎(chǔ)理論題（共30分）1.1脈沖神經(jīng)元模型的線性代數(shù)表示（15分）考慮一個(gè)包含N個(gè)LIF（LeakyIntegrate-and-Fire）神經(jīng)元的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其膜電位動態(tài)方程為：$$\tau_m\frac{du_i}{dt}=-(u_i-u_{\text{rest}})+R_mI_i(t)$$其中$\tau_m$為膜時(shí)間常數(shù)，$u_i$為神經(jīng)元膜電位，$u_{\text{rest}}$為靜息電位，$R_m$為膜電阻，$I_i(t)$為輸入電流。當(dāng)$u_i$達(dá)到閾值$u_{\text{th}}$時(shí)，神經(jīng)元發(fā)放脈沖并重置為$u_{\text{reset}}$。（1）將上述微分方程轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間形式，寫出第t時(shí)刻膜電位$u_i(t)$的線性代數(shù)表達(dá)式（5分）（2）若網(wǎng)絡(luò)中存在突觸連接權(quán)重矩陣$W\in\mathbb{R}^{N\timesN}$，且突觸后電流滿足$I_i(t)=\sum_jW_{ij}s_j(t)$（其中$s_j(t)$為神經(jīng)元j在t時(shí)刻的脈沖發(fā)放狀態(tài)，取值0或1），構(gòu)建包含膜電位向量$\mathbf{u}(t)\in\mathbb{R}^N$和脈沖矩陣$S(t)\in{0,1}^{N\timesT}$的狀態(tài)空間模型（7分）（3）證明當(dāng)輸入脈沖序列滿足稀疏性條件（即$|S(t)|_0\llN$）時(shí)，該系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度可降低至$O(N\cdot\text{sparsity})$量級（3分）1.2突觸可塑性的矩陣分解問題（15分）脈沖時(shí)序依賴可塑性（STDP）機(jī)制中，突觸權(quán)重更新規(guī)則可表示為：$$\DeltaW_{ij}=\eta\cdot\sum_{t_p<t_q}A_+e^{-(t_q-t_p)/\tau_+}-\eta\cdot\sum_{t_q<t_p}A_-e^{-(t_p-t_q)/\tau_-}$$其中$t_p$、$t_q$分別為突觸前、后神經(jīng)元的脈沖發(fā)放時(shí)間，$\eta$為學(xué)習(xí)率，$A_+$、$A_-$為可塑性幅值，$\tau_+$、$\tau_-$為時(shí)間常數(shù)。（1）若將脈沖發(fā)放時(shí)間編碼為向量$\mathbf{t}_p\in\mathbb{R}^M$和$\mathbf{t}_q\in\mathbb{R}^M$（M為脈沖數(shù)量），使用外積運(yùn)算表示權(quán)重矩陣的增量$\DeltaW$（5分）（2）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，證明權(quán)重矩陣$W$可分解為兩個(gè)低秩矩陣$U\in\mathbb{R}^{N\timesK}$和$V\in\mathbb{R}^{K\timesN}$的乘積，其中$K\llN$（5分）（3）在神經(jīng)形態(tài)芯片的存算一體架構(gòu)中，若權(quán)重存儲精度限制為8位定點(diǎn)數(shù)，計(jì)算矩陣分解前后的存儲量壓縮比（5分）二、算法設(shè)計(jì)題（共40分）2.1脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空反向傳播算法（20分）考慮一個(gè)三層脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層$L_1$（$n_1$個(gè)神經(jīng)元）、隱藏層$L_2$（$n_2$個(gè)神經(jīng)元）和輸出層$L_3$（$n_3$個(gè)神經(jīng)元），連接權(quán)重矩陣分別為$W^{(1)}\in\mathbb{R}^{n_2\timesn_1}$和$W^{(2)}\in\mathbb{R}^{n_3\timesn_2}$。網(wǎng)絡(luò)采用替代梯度法（surrogategradient）訓(xùn)練，替代函數(shù)為：$$\hat{g}(u)=\alpha\frac{e^{\alpha(u-u_{\text{th}})}}{1+e^{\alpha(u-u_{\text{th}})}}$$其中$\alpha$為陡峭系數(shù)。（1）推導(dǎo)輸出層脈沖發(fā)放率$\rho_3=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TS_3(t)$對權(quán)重矩陣$W^{(2)}$的梯度表達(dá)式，要求包含脈沖時(shí)間矩陣$T_3\in\mathbb{R}^{n_3\timesT}$和膜電位動態(tài)矩陣$U_2\in\mathbb{R}^{n_2\timesT}$（8分）（2）設(shè)計(jì)基于動量法的優(yōu)化器，寫出權(quán)重更新公式$W^{(k+1)}=W^{(k)}-\mu\cdot\nablaJ(W^{(k)})+\nu\cdot(W^{(k)}-W^{(k-1)})$中動量項(xiàng)的矩陣表示形式（6分）（3）當(dāng)訓(xùn)練樣本為事件相機(jī)數(shù)據(jù)（時(shí)空脈沖序列）時(shí)，如何通過張量分解技術(shù)（如CP分解）降低梯度計(jì)算的時(shí)空復(fù)雜度？給出具體分解步驟和復(fù)雜度分析（6分）2.2神經(jīng)形態(tài)硬件的矩陣向量乘法優(yōu)化（20分）某神經(jīng)形態(tài)芯片采用存算一體架構(gòu)，包含$m\timesn$個(gè)憶阻器交叉陣列，支持并行計(jì)算$Y=WX$（其中$W\in\mathbb{R}^{m\timesn}$為權(quán)重矩陣，$X\in\mathbb{R}^n$為輸入向量）。但受硬件限制，權(quán)重矩陣需滿足：非零元素占比不超過20%（稀疏性約束）每行元素之和不超過127（動態(tài)范圍約束）（1）使用L1正則化方法設(shè)計(jì)稀疏權(quán)重矩陣的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并用坐標(biāo)下降法推導(dǎo)單次迭代的矩陣更新規(guī)則（7分）（2）若原始權(quán)重矩陣的奇異值分解為$W=U\SigmaV^T$（其中$\Sigma=\text{diag}(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_k)$且$\sigma_1>\sigma_2>...>\sigma_k$），設(shè)計(jì)基于閾值截?cái)嗟牡椭冉扑惴ǎ怪貥?gòu)矩陣$\hat{W}$滿足上述硬件約束（8分）（3）對比全連接矩陣與優(yōu)化后的稀疏低秩矩陣在執(zhí)行MNIST數(shù)據(jù)集分類任務(wù)時(shí)的能耗比，已知憶阻器讀寫能耗公式為$E=\sum_{i,j}|W_{ij}|\cdot|X_j|\cdotV_{\text{dd}}^2\cdott_{\text{cycle}}$（5分）三、綜合應(yīng)用題（共40分）3.1多尺度腦仿真的線性系統(tǒng)建模（25分）Orangutan腦仿真框架中，多室神經(jīng)元模型將單個(gè)神經(jīng)元分為樹突、胞體、軸突三個(gè)隔室，其電生理特性滿足：$$\begin{cases}C_d\frac{du_d}{dt}=g_L(u_{\text{rest}}-u_d)+g_{sd}(u_s-u_d)+I_{\text{syn}}\C_s\frac{du_s}{dt}=g_L(u_{\text{rest}}-u_s)+g_{sd}(u_d-u_s)+g_{sa}(u_a-u_s)\C_a\frac{du_a}{dt}=g_L(u_{\text{rest}}-u_a)+g_{sa}(u_s-u_a)\end{cases}$$其中$u_d,u_s,u_a$分別為樹突、胞體、軸突膜電位，$C_d,C_s,C_a$為膜電容，$g_L$為漏電流conductance，$g_{sd},g_{sa}$為隔室間連接conductance。（1）構(gòu)建該系統(tǒng)的狀態(tài)方程$\dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u}+B\mathbf{I}$，寫出系數(shù)矩陣$A\in\mathbb{R}^{3\times3}$和輸入矩陣$B\in\mathbb{R}^{3\times1}$的具體形式（9分）（2）計(jì)算系統(tǒng)的特征值$\lambda(A)$，分析樹突隔室對神經(jīng)元發(fā)放模式的動態(tài)影響（要求結(jié)合特征向量方向進(jìn)行說明）（8分）（3）若將1000個(gè)此類多室神經(jīng)元組成微環(huán)路網(wǎng)絡(luò)，且連接矩陣滿足小世界特性（平均路徑長度$L\propto\logN$，聚類系數(shù)$C\approx0.5$），設(shè)計(jì)基于圖拉普拉斯矩陣的同步性控制策略（8分）3.2動態(tài)環(huán)境下的脈沖編碼與解碼（15分）事件驅(qū)動視覺系統(tǒng)中，動態(tài)目標(biāo)的邊緣信息可表示為時(shí)空脈沖序列$S\in{0,1}^{M\timesT}$（$M$為像素?cái)?shù)，$T$為時(shí)間步數(shù)）。現(xiàn)需通過以下步驟實(shí)現(xiàn)目標(biāo)跟蹤：（1）使用主成分分析（PCA）對脈沖矩陣進(jìn)行降維，保留95%的能量。若$S$的協(xié)方差矩陣$C=\frac{1}{T}SS^T$的特征值為$\lambda_1\geq\lambda_2\geq...\geq\lambda_M$，確定降維后的維度$k$并推導(dǎo)投影矩陣$P\in\mathbb{R}^{M\timesk}$（5分）（2）采用卡爾曼濾波預(yù)測目標(biāo)位置，狀態(tài)向量$\mathbf{x}_t=[x_t,\dot{x}_t,y_t,\dot{y}_t]^T$包含位置和速度信息。已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣$F=\begin{bmatrix}1&\Deltat&0&0\0&1&0&0\0&0&1&\Deltat\0&0&0&1\end{bmatrix}$，觀測矩陣$H=\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&0&1&0\end{bmatrix}$，寫出預(yù)測步和更新步的矩陣運(yùn)算公式（6分）（3）證明當(dāng)脈沖序列滿足泊松分布時(shí)，卡爾曼增益矩陣$K_t$將收斂至穩(wěn)態(tài)值（4分）四、開放創(chuàng)新題（共40分）4.1憶阻器交叉陣列的容錯(cuò)計(jì)算（20分）某神經(jīng)形態(tài)芯片的憶阻器陣列存在器件缺陷，導(dǎo)致權(quán)重矩陣$W$中隨機(jī)位置出現(xiàn)固定值故障（部分元素恒為0或$\pmW_{\text{max}}$）?，F(xiàn)需設(shè)計(jì)基于矩陣補(bǔ)全的容錯(cuò)算法：（1）建立故障模型：設(shè)故障位置服從伯努利分布$P(\Omega)=p$，構(gòu)造包含掩碼矩陣$M\in{0,1}^{m\timesn}$（故障位置$M_{ij}=0$）的觀測模型$W_{\text{obs}}=M\odotW+(1-M)\odotE$（$E$為故障值矩陣）（5分）（2）使用核范數(shù)最小化方法$\min_{\hat{W}}|\hat{W}|*+\lambda|M\odot(\hat{W}-W{\text{obs}})|_F^2$進(jìn)行矩陣恢復(fù)，推導(dǎo)該優(yōu)化問題的對偶形式并分析拉格朗日乘子的物理意義（7分）（3）在MNIST數(shù)據(jù)集上進(jìn)行驗(yàn)證：若原始網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確率為98.2%，當(dāng)故障概率$p=10%$時(shí)，補(bǔ)全后的權(quán)重矩陣$\hat{W}$需達(dá)到至少97%的準(zhǔn)確率。通過數(shù)值模擬確定正則化參數(shù)$\lambda$的最優(yōu)取值范圍（要求給出矩陣條件數(shù)$\kappa(\hat{W})$與準(zhǔn)確率的關(guān)系曲線）（8分）4.2腦機(jī)接口中的脈沖序列解碼（20分）基于顱內(nèi)腦電圖（iEEG）的神經(jīng)解碼系統(tǒng)需將神經(jīng)元脈沖序列轉(zhuǎn)換為文本語義。已知：脈沖發(fā)放率矩陣$R\in\mathbb{R}^{N\timesT}$（$N$為神經(jīng)元數(shù)量，$T$為時(shí)間窗）語義嵌入空間維度為$d$，詞表大小為$V$解碼損失函數(shù)$L=\text{CrossEntropy}(Y,\text{softmax}(ZR))$（其中$Z\in\mathbb{R}^{V\timesd}$為詞嵌入矩陣）（1）設(shè)計(jì)兩層線性映射網(wǎng)絡(luò)$R\rightarrowH\rightarrowY$，其中隱藏層$H=\sigma(R^TW_1+b_1)$（$\sigma$為ReLU激活），輸出層$Y=H^TW_2+b_2$。寫出參數(shù)矩陣$W_1\in\mathbb{R}^{N\timesd}$和$W_2\in\mathbb{R}^{d\timesV}$的最優(yōu)求解條件（8分）（2）當(dāng)iEEG信號存在50Hz工頻噪聲時(shí)，如何通過矩陣奇異值分解（SVD）實(shí)現(xiàn)噪聲抑制？要求給出帶通濾波的矩陣表示形式（6分）（3）若患者運(yùn)動皮層神經(jīng)元的脈沖發(fā)放與肢體運(yùn)動軌跡存在線性相關(guān)性（相關(guān)系數(shù)$r=0.85$），設(shè)計(jì)基于嶺回歸的在線解碼算法，解決運(yùn)動意圖預(yù)測中的過擬合問題（6分）五、硬件實(shí)現(xiàn)題（共20分）5.1脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的并行計(jì)算架構(gòu)（10分）某FPGA平臺包含4個(gè)處理核心，需實(shí)現(xiàn)$4096\times4096$權(quán)重矩陣的并行乘法。（1）采用2D分塊策略將矩陣劃分為$P\timesQ$個(gè)子塊$W_{pq}\in\mathbb{R}^{B\timesB}$，輸入向量劃分為$Q$個(gè)子向量$X_q\in\mathbb{R}^B$。推導(dǎo)分塊矩陣乘法的通信量公式$C(P,Q)=2PQ(B^2+B)$，并確定最優(yōu)分塊大小$B$（5分）（2）若核心間數(shù)據(jù)傳輸延遲為$t_{\text{comm}}=\alpha\cdot\text{datasize}+\beta$（$\alpha=0.1\mu\text{s/Byte}$，$\beta=10\mu\text{s}$），計(jì)算當(dāng)$B=128$時(shí)的總通信開銷與計(jì)算開銷之比（5分）5.2能效優(yōu)化的量化與剪枝（10分）為降低神經(jīng)形態(tài)系統(tǒng)功耗，需對權(quán)重矩陣進(jìn)行量化和剪枝：（1）將32位浮點(diǎn)數(shù)權(quán)重量化為4位定點(diǎn)數(shù)，設(shè)計(jì)量化函數(shù)$W_q=\text{round}(W/\Delta)+Z$，推導(dǎo)量化步長$\Delta$和零點(diǎn)偏移$Z$的計(jì)算公式（要求保留符號位）（5分）（2）基于$L_0$正則化的剪枝方法中，權(quán)重存活概率滿足$P(W_{ij}\neq0)=\sigma(\theta_{ij})$（$\theta_{ij}$為可學(xué)習(xí)參數(shù)）。證明該概率模型等價(jià)于對權(quán)重矩陣施加稀疏先驗(yàn)$p(W)\pro