2025年線性代數(shù)正定二次型判定試題一、正定二次型的定義與基本性質正定二次型是線性代數(shù)中二次型理論的重要概念，其定義為：對于n元二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$（其中$\boldsymbol{A}$為n階實對稱矩陣，$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$），若對任意非零向量$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$，都有$f(\boldsymbol{x})>0$，則稱該二次型為正定二次型，對應的矩陣$\boldsymbol{A}$稱為正定矩陣。從幾何意義上看，正定二次型的圖像是n維空間中開口向上的“拋物面”，例如二元正定二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2$的圖像為橢圓拋物面，在原點處取得唯一極小值0。需注意以下反例：$f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2$不是正定二次型，取$\boldsymbol{x}=(0,1)^T$時，$f(\boldsymbol{x})=-1<0$；$f(x_1,x_2)=(x_1+x_2)^2$不是正定二次型，取$\boldsymbol{x}=(1,-1)^T$時，$f(\boldsymbol{x})=0$，不滿足“嚴格大于0”的條件。正定二次型的基本性質包括：正定矩陣必為對稱矩陣（必要條件）；正定矩陣的主對角線元素全為正數(shù)（必要條件）；正定二次型的正慣性指數(shù)等于n（充要條件），即其規(guī)范形為$y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$。二、正定二次型的判定方法（一）充要條件順序主子式判別法（霍爾維茨定理）n階實對稱矩陣$\boldsymbol{A}$正定的充要條件是其所有順序主子式均大于0。對于矩陣$\boldsymbol{A}=(a_{ij}){n\timesn}$，k階順序主子式定義為：$$\Delta_k=\begin{vmatrix}a{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\quad(k=1,2,\cdots,n)$$特征值判別法實對稱矩陣$\boldsymbol{A}$正定的充要條件是其所有特征值均大于0。這是因為二次型經(jīng)正交變換可化為標準形$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$，其中$\lambda_i$為特征值，此時$f(\boldsymbol{x})>0$等價于所有$\lambda_i>0$。（二）必要條件（非充要）矩陣$\boldsymbol{A}$的主對角線元素$a_{ii}>0\quad(i=1,2,\cdots,n)$；矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式$|\boldsymbol{A}|>0$。需注意，這些條件僅為必要條件，例如矩陣$\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}$主對角線元素均為正，但行列式$1-4=-3<0$，非正定。三、典型例題解析例題1：基礎計算題（順序主子式法）題目：設二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+2x_2x_3$正定，求實數(shù)$t$的取值范圍。解析：寫出二次型矩陣：展開二次型表達式，對照$\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$的形式，可得矩陣：$$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&-2\1&2&1\-2&1&t\end{pmatrix}$$計算各階順序主子式：1階主子式：$\Delta_1=1>0$（恒成立）；2階主子式：$\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\1&2\end{vmatrix}=2-1=1>0$（恒成立）；3階主子式：$\Delta_3=|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}1&1&-2\1&2&1\-2&1&t\end{vmatrix}$按第一行展開：$1\times\begin{vmatrix}2&1\1&t\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\-2&t\end{vmatrix}+(-2)\times\begin{vmatrix}1&2\-2&1\end{vmatrix}$$=1\times(2t-1)-1\times(t+2)-2\times(1+4)=2t-1-t-2-10=t-13$求解不等式：由$\Delta_3>0$得$t-13>0\Rightarrowt>13$，故$t$的取值范圍為$(13,+\infty)$。例題2：特征值法應用題目：已知矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix}$，判定$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$正定的$k$的取值范圍（$\boldsymbol{E}$為3階單位矩陣）。解析：求$\boldsymbol{A}$的特征值：計算特征多項式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$：$$\begin{vmatrix}\lambda-1&0&-1\0&\lambda-2&0\-1&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-2)\begin{vmatrix}\lambda-1&-1\-1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-1]=(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda)$$解得特征值$\lambda_1=0$，$\lambda_2=2$，$\lambda_3=2$。求$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$的特征值：若$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda$，則$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$的特征值為$\lambda+k$，故其特征值為$k$，$k+2$，$k+2$。判定正定性：需所有特征值大于0，即$\begin{cases}k>0\k+2>0\end{cases}$，解得$k>0$。例題3：證明題（綜合應用）題目：設$\boldsymbol{A}$為n階正定矩陣，證明$\boldsymbol{A}^{-1}$、$\boldsymbol{A}^*$（伴隨矩陣）均為正定矩陣。證明：證明$\boldsymbol{A}^{-1}$正定：$\boldsymbol{A}$正定$\Rightarrow\boldsymbol{A}$對稱且可逆，故$(\boldsymbol{A}^{-1})^T=(\boldsymbol{A}^T)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}$，即$\boldsymbol{A}^{-1}$對稱；設$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_i>0\quad(i=1,2,\cdots,n)$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_i}>0$，故$\boldsymbol{A}^{-1}$正定。證明$\boldsymbol{A}^*$正定：$\boldsymbol{A}^=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，因$\boldsymbol{A}$正定，$|\boldsymbol{A}|>0$且$\boldsymbol{A}^{-1}$正定，故$\boldsymbol{A}^$為正定矩陣的正倍數(shù)，其特征值為$|\boldsymbol{A}|\cdot\frac{1}{\lambda_i}>0$，因此$\boldsymbol{A}^*$正定。例題4：含參數(shù)選擇填空題題目：二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2ax_1x_3+2ax_2x_3$正定，則$a$的取值范圍是（）A.$a<1$B.$a>1$C.$a<\frac{1}{2}$D.$a>\frac{1}{2}$解析：二次型矩陣為$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&a&a\a&1&a\a&a&1\end{pmatrix}$，各階順序主子式：$\Delta_1=1>0$；$\Delta_2=1-a^2>0\Rightarrowa^2<1\Rightarrow-1<a<1$；$\Delta_3=|\boldsymbol{A}|=(1+2a)(1-a)^2>0$，因$(1-a)^2\geq0$，故需$1+2a>0\Rightarrowa>-\frac{1}{2}$。綜上，$-\frac{1}{2}<a<1$，但選項中最接近的為A（注：原題選項可能存在簡化，實際嚴格范圍需結合所有條件）。四、易錯點與拓展應用（一）常見錯誤分析混淆“順序主子式”與“主子式”：順序主子式要求選取前k行前k列，而主子式可任選k行k列，例如矩陣$\begin{pmatrix}1&-2\-2&1\end{pmatrix}$的2階順序主子式為$-3<0$，故非正定，但其1階主子式均為1>0，需注意順序性。忽略矩陣對稱性：若題目未明確$\boldsymbol{A}$對稱，則需先驗證對稱性，例如$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$非對稱，直接用順序主子式判斷正定性無意義。（二）實際應用：多元函數(shù)極值判定對于二元函數(shù)$f(x,y)$，在駐點$(x_0,y_0)$處的Hessian矩陣為：$$\boldsymbol{H}=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$$若$\boldsymbol{H}$正定，則$(x_0,y_0)$為極小值點；若負定（各階順序主子式負正交替），則為極大值點。例如$f(x,y)=x^2+xy+y^2$的Hessian矩陣$\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$正定，故原點為極小值點。五、練習題（附答案）練習題1題目：判定二次型$f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_2x_3$的正定性。答案：正定（順序主子式$\Delta_1=3>0$，$\Delta_2=8>0$，$\Delta_3=28>0$）。練習題2題目：設$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}k&1&1\1&k&1\1&1&k\end{pmatrix}$正定，求$k$的范圍。答案：$k>2$（特征值法：特征值$k-1$，$k-1$，$k+2$，需均大于0）。練習題3題目：證明：若$\boldsymbol{A}$正定，則存在正定矩陣$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}^2$（平方根分解）。提示：利用正交相似對角化$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q