2025年線性代數(shù)終極一戰(zhàn)版試題一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix})，若(\text{rank}(A)=1)，則常數(shù)(t)的值為（）A.3B.6C.9D.12向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(1,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,1)^T)，(\alpha_4=(2,3,4)^T)的極大線性無關(guān)組的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4設(shè)(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A^*|=)（）A.-16B.16C.-32D.32已知矩陣(A)與(B)相似，其中(A=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}a&1\0&b\end{pmatrix})，則(a+b=)（）A.2B.3C.4D.5二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&2.5\2&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&5\4&2&6\5&6&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&5\2&2&6\5&6&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&2&2.5\2&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix})設(shè)(A)為(n)階正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.(|A|=\pm1)B.(A^{-1}=A^T)C.(A)的特征值必為1或-1D.(A^2)也是正交矩陣二、填空題（每題5分，共30分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}=)________。設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A^{-1}=)________。向量(\alpha=(1,2,3)^T)與(\beta=(4,5,6)^T)的內(nèi)積為________。設(shè)(A)為3階矩陣，其特征值為1，2，3，則(|A^2-2A+E|=)________。齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\2x_1+3x_2+4x_3=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為________。設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3)正定，則(t)的取值范圍為________。三、計算題（每題10分，共40分）計算行列式(D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\-b&a&-d&c\-c&d&a&-b\-d&-c&b&a\end{vmatrix})。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0&0\1&1&0\1&1&1\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0\end{pmatrix})，且矩陣(X)滿足(AXA+BXB=AXB+BXA+E)，求(X)。已知向量組(\alpha_1=(1,1,1,3)^T)，(\alpha_2=(-1,-3,5,1)^T)，(\alpha_3=(3,2,-1,p+2)^T)，(\alpha_4=(-2,-6,10,p)^T)，問：（1）當(p)為何值時，該向量組線性無關(guān)？（2）當(p)為何值時，該向量組線性相關(guān)？并求出此時向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix})，求正交矩陣(P)和對角矩陣(\Lambda)，使得(P^TAP=\Lambda)。四、證明題（每題10分，共20分）設(shè)(A)為(n)階矩陣，且(A^2=A)，證明：(\text{rank}(A)+\text{rank}(E-A)=n)。設(shè)(\lambda_1,\lambda_2)是矩陣(A)的兩個不同特征值，(\alpha_1,\alpha_2)分別是對應于(\lambda_1,\lambda_2)的特征向量，證明：(\alpha_1+\alpha_2)不是(A)的特征向量。五、應用題（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A、B、C三種原料的數(shù)量如下表所示：產(chǎn)品原料A（kg）原料B（kg）原料C（kg）利潤（元）甲2114乙1215丙1126若工廠每天可提供的原料A、B、C分別為100kg、100kg、120kg，問如何安排生產(chǎn)計劃（即每天生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品各多少件），才能使總利潤最大？試用線性代數(shù)方法建立數(shù)學模型并求解。參考答案及解析（部分）一、選擇題B解析：矩陣(A)的行向量成比例，故(t=6)時(\text{rank}(A)=1)。C解析：向量組的秩為3，故極大線性無關(guān)組含3個向量。D解析：(|-2A^|=(-2)^3|A^|=-8|A|^{n-1}=-8\times2^2=-32)（注：原答案選項中D為32，此處應為題目印刷錯誤，正確結(jié)果為-32）。B解析：相似矩陣跡相等，故(a+b=1+2=3)。A解析：二次型矩陣的對角線元素為平方項系數(shù)，非對角線元素為交叉項系數(shù)的一半。C解析：正交矩陣的特征值模為1，但可為復數(shù)，如(e^{i\theta})。二、填空題0解析：行列式的行向量線性相關(guān)。(\begin{pmatrix}-2&1\1.5&-0.5\end{pmatrix})解析：利用伴隨矩陣法求逆矩陣。32解析：內(nèi)積(\alpha^T\beta=1\times4+2\times5+3\times6=32)。0解析：(A^2-2A+E=(A-E)^2)，特征值為0，1，4，行列式為0×1×4=0。1解析：系數(shù)矩陣的秩為2，故基礎(chǔ)解系含(3-2=1)個向量。(t>2)解析：二次型矩陣的各階順序主子式均大于0，解得(t>2)。三、計算題（提示）利用行列式的性質(zhì)，將行列式平方后化為對角矩陣，得(D^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4)，故(D=\pm(a^2+b^2+c^2+d^2)^2)，根據(jù)主對角線元素符號，取正號。將方程變形為((A-B)X(A-B)=E)，故(X=[(A-B)^{-1}]^2)，計算得(A-B=E)，因此(X=E)。（1）(p\neq2)時線性無關(guān)；（2）(p=2)時線性相關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)。特征值為0，3，3，正交矩陣(P)由特征向量單位化后組成，對角矩陣(\Lambda=\text{diag}(0,3,3))。四、證明題（提示）利用矩陣秩的不等式(\text{rank}(A)+\text{rank}(E-A)\geq\text{rank}(A+E-A)=\text{rank}(E)=n)，且(\text{rank}(A)+\text{rank}(E-A)\leqn)，故等式成立。反證法：假設(shè)(\alpha_1+\alpha_2)是特征向量，則存在(\lambda)使得(A(\alpha_1+\alpha_2)=\lambda(\alpha_1+\alpha_2))，即((\lambda_1-\lambda)\alpha_1+(\lambda_2-\lambda)\alpha_2=0)，由特征向量線性無關(guān)得(\lambda_1=\lambda_2=\lambda)，矛盾。五、應用題設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙、丙產(chǎn)品分別為(x_1,x_2,x_3)件，目標函數(shù)為(\maxz=4x_1+5x_2+6x_3)，約束條件為：[\begin{cases}2x_1+x_2+x_3\leq100\x_1+2x_2+x_3\leq100\x_1+x_2+2x_3\leq120\x_1,x_2,x_3\geq0\end{cases