2025北京初二（上）期末數(shù)學匯編

三角形全等的判定

一、單選題

1.（2025北京門頭溝初二上期末）如圖，在△48。中，4C3=90。，AC=BC,40平分NB4C交4c于

點D,延長4c到點E,使CE=C。，連接交力。的延長線于點尸.給出下面四個結(jié)論：

①AD=BE?，②BE=2BF,@AB=AC+CD；④4力8。的面積是“C。的面積的2倍；上述結(jié)論中，所有

正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.?<D?@

2.（2025北京門頭溝初二上期末）如圖,AC,BD交于點、O,且40=00,添加下列條件不能判定

△/8。絲△COO的是（）

A.AB=CDB.BO=DOC.ZJ=ZCD.NB=ZD

3.（2025北京石景山初二上期木）如圖,在。中，/ACB=900,CA=CB,CQ是N4C8內(nèi)部的射線

且2BCD<45。,過點/作AE1CD于點E,過點B作BFA.CD于點F.給出下面四個結(jié)論①/EAB=4FBA；

②=C產(chǎn)；③石尸二片石-叱.上述結(jié)論乜所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.

4.（2025北京海淀初二上期末）如用，4B=4C,點D在上，點E在4c上,若添加一個條件可使

“型"CD,則添加的這個條件不可以是（）

B.AD=AE

C.Z.ADC=^AEBD.BE=CD

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5.（2025北京通州初二上期末）下面是“作乙4。8的角平分線”的尺規(guī)作圖方法：

（1）以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線0408十點C、D.

（2）分別以點。、。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在/力＜加的內(nèi)部交于點M.

⑶作射線QW.?！熬褪堑钠椒志€.

上述方法通過判定=^DOM,其中判定△OMUQMD的依據(jù)是：）

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

B.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.三邊分別相等的兩個三角形全等

6.（2025北京東城初二上期末）下面是“作一個角使其等于的尺規(guī)作圖方法.

上述方法通過判定△UO'Dg/XC。。得到4'。'8'=乙408,其中判定△CO'。g△COZ）的依據(jù)是（）

A.三功分別相等的兩個三角形全等

B,兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D,兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

二、填空題

7.（2025北京懷柔初二上期末）如圖，△48C,小明通過尺規(guī)作圖、裁剪、重合的操作，證實一種全等三角

形的判定方法，以下是小明的操作過程：

第一步：尺規(guī)作圖.

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作法：(1)作射線。M；

(2)以點。為圓心，線段4c的長為半彳仝圓弧交射線0M十點￡；

(3)以。為圓心，線段48的長為半徑畫??；

(4)以上為圓心，線段4c的長為半徑畫弧，與前弧相交于點廣；

(5)連接。心EF.

第二步：把作出的剪下來，放到V48C上.

第三步：觀察發(fā)現(xiàn)△44C和S比重合.

根據(jù)小明的操作過程，請你寫出小明探究的是哪種判定三角形全等的方法.

小明探究的是.

8.(2025北京東城初二上期末)如圖，點￡尸在8c上，AB=CD,AF=DE,AF,?相交于點G,若

添加一個條件，可使得△/8F24DCE,則添加的條件可以是.

9.(2025北京懷柔初二上期末)如圖，力川|CE,乙4=NC,要使△44"治△CQE,可以添加的條件是_

(添加一個即可)

10.(2025北京朝陽初二上期末)如圖所示的網(wǎng)格為正方形網(wǎng)格，則N2-N1=

11.(2025北京石景山初二上期末)如圖，AB//CD,點￡/在BC上且8尸=CE.請你只添加一個條件,

使得A.4E8三SDFC.

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（1）你添加的條件是;（要求：不再添加輔助線，只需填一個答案即可）

（2）依據(jù)所添條件，判定△力￡4與△。bC全等的理由是.

12.（2025北京二中初二上期末）如圖，在3x3的正方形方格中，每個小正方形方格的邊長都為1,則

13.（2025北京西城初二上期末）皿圖，在△4。和△臺。后中，AC=BC,4CD=/BCE.只需添加一個條件

即可證明A/CO三A8CE,這個條件可以是.（寫出一個即可）

14.（2025北京延慶初二上期末）數(shù)學課上老師布置了“測量錐形瓶內(nèi)部底面的內(nèi)徑”的探究任務，小聰想到

老師講過“利用全等三角形對應邊相等，可以把不能直接測量的物體'移'到可以直接測量的位置測量”于是他

設計了如下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒＜C,8。的中點。固定，只要測得C。之間的距離，就可

知道內(nèi)徑4?的長度.此方案中，判定△力。B絲△C。。的依據(jù)是.

A

15.（2025北京燕山初二上期末）如圖，點C是線段48的中點，ZDCA=^EBC.請你添加一個條件，使

XDAC^XECB.你添加的條件是.（要求：不再添加輔助線，只需填一個答案即可）

三、解答題

16.（2025北京平谷初二上期末）如圖，點。在8E上，AB1BE,DEiBE,給出以下四個等量關系：

①NC1OC,②AB=CE,③BC=ED,④/。=CO請你以其中兩個為條件，另一個為結(jié)論，組成一個真

命題，并證明.

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A

⑴條件：,結(jié)論：；（填序號）

（2）寫出你的證明過程.

17.（2025北京懷柔初二上期末）如圖，點叫E,C,尸在一條直線上，4。與。E相交于點O,AB=DE,

4B=/DEF,BE=C77.求證：.DEF.

18.（2025北京朝陽初二上期末）如圖，點4B,C,。在一條直線上，4A=4FBD,AC=BD,EC\\FD.求

證：AE=BF.

19.（2025北京平谷初二上期末）已知：如圖，E,/是線段8。上的兩點，AB=CD,AB\\CD,BE=CF.求

證：AF=DE.

20.（2025北京延慶初二上期末）如圖，。。是N/O8的角平分線，點。在射線04上，點E在射線08上,

點尸在射線OC上，連接。尸，E尸.請你添加一個條件，使△。尸。且△ObE.

小明同學寫出以下條件：

①OD=OE,②4ODF=4OEF,③"FD=/OFE,

④FD=FE,⑤RADF=NBEF,⑥4DFC=/EFC.

他認為：“添加以上條件中的任何一個，都可以使△。尸。妾△。尸田”

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（1）小明的說法（填“正確”或“錯誤”）；

（2）從小明寫出的條件中選擇一個（填寫序號），使得△OEDgaOFE,補全圖形，并寫出證明過程.

21.（2025北京延慶初二上期末）在證明等腰三角形的性質(zhì)定理1時，甲、乙、丙三位同學的方法如下圖所

22.（2025北京東城初二上期末）如圖，在△48。和△力。后中，AB=AD,&AD=/CAE,AC=AE.求

證：BC=DE.

B

23.（2025北京二中初二上期末）小亮同學在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探

究：在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A,小球A可以自由擺動，擺動過程中繩子的伸長不

考慮且繩子始終是繃直的.如圖，3表示小球靜止時的位置.當小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從。4擺

到。8位置，此時過點8作4。1。力于點。，當小球擺到OC位置時，過點。作CE1O4于點￡,測得

B￡）=7cm,OF=7cm.（圖中的A、8、0、。在同一平面上），求證此時OB1OC.

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24.(2025北京西城初二上期末)如圖所示的10x1()網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，正方形的頂點稱為格點，頂點都在

格點上的三角形稱為格點三角形.將與△力8。全等，并與△月夕C有且只有一條邊重合的格點三角形稱為

△Z8C的“友好格點三角形”.

(1)畫出以48為公共邊的△力8C的所有“友好格點三角形”；

(2)V48c共有個“友好格點三角形

25.(2025北京大興初二上期末)如圖，在△/IB。中，力。是8C邊上的中線，AC=AF,AB=AE,

NC/出+NE4E=180°.求證：M=24。.

26.(2025北京西城初二上期末)如圖，點￡/分別在四邊形力8co的邊月5,C。的的延長線上，連接

分別交力。，8。于點G,〃，4*1CD,AE=CF,EH=FG.

⑴求證："EG^CFH；

(2)判斷線段/I。與8c的位置關系，并證明.

27.(2025北京海淀初二上期末)如圖，E是上一點，CA-CD,CB?CE,4BCE=乙心.

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求證:EC平分乙BED.

28.（2025北京大興初二上期末）如圖，點E,尸在8C上，BE=CF、4=NO,ZB=ZC,求證：48=QC.

29.（2025北京通州初二上期末）已知：如圖，點4D、B、E在同一直線上,

AC=EF,AD=BE,Z.CAB=/.FED.求證：BC=DF.

30.（2025北京延慶初二上期末）如圖，AB=CD,BE14C于點、E,。///C于點上AF=CE.

（2）求證：AB〃CD.

31.（2025北京燕山初二上期末）如圖，/C和4。相交于點。OA=OC,OB=OD.求證：力用二CD

32.（2025北京門頭溝初二上期末）已知:如圖,點A、B、C、D在一條直線上，AC=DB.AE=DF,BE=CF.求

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參考答案

1.B

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵.根據(jù)

全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式判斷求解即可.

【詳解】解=90°,

/BCE=180°-Z,ACB=90°,

在△/1OC和V8EC中，

AC=BC

?NACD=NBCE=9e,

CD=CE

二.△/^々△8￡1C(SAS),

:,AD=BE,4CAD=NCBE,

故①正確，符合題意；

,二乙4DC=4BDF,4cAD=4CBE,

:ZCD=NBFD=90°,

：.AFiBE,

..ND平分N84C,

Z.EAF=BAF,

在△力EF和A4BF中,

"EAF=/BAF

-AF-AF,

[AAFE=^AFB=W

"EF義UBF(ASA),

EF=BF,AE=AB,

BE=2BF,

故②正確，符合題意；

：AE=AC+CE,AE=AB,CE=CD,

AB=AC+CD；

故③正確，符合題意；

根據(jù)三角形面積公式得，只有8O=2CO時，△44。的面積是“。。的面積的2倍，

故④錯誤，不符合題意；

故選：B.

2.A

【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法?一判斷即可.

【詳解】解：A、/408和NCOQ分別是和8的對邊，不能判定故A符合題意；

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B、由SAS判定△48。空△C。。，故B不符合題意；

C、由ASA判定△/18gAC￡)0,故C不符合題意；

D、由AAS判定故D不符合題意.

故選：A.

3.B

【分析】本題重點考查平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，由4E1CQ于點￡BF±CD

于點凡證明力/，則NE4B=NFB4,可判斷①正確；再證明得4E=CF,CE=BF,

由EF=CF-CE=AE—BF,可判斷③正確，由/?>&?,BC>CF,推導出月8>C凡可判斷②錯誤；于

是得到問題的答案.

【詳解】解：TAELCD于點E,BF.LCD于點F,

:.AE\\BFf/AEC=/CFB=9(f,

NEAB="BA,故①正確；

?:乙4cB=90。,

上CAE=Z.BCF=90°-Z/fCF,

在“:/￡和八次才中.

ZCAE=NBCF

NAEC=NCFB,

AC=CB

「.△CAE^^BCF(AAS),

AE=CF,CE=BF,

EF=CF—CE=AE-BF,

..EF=AE-BF,故③正確，

'：AB>BC,BC>CF,

：.AB>CF,故②錯誤；

故選：B.

4.D

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理，逐?驗證即可.

本題考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

【詳解】解：A.添加/8=NC,

在中

Z5=ZC

?/-AB=AC

NBAE=^CAD

：.-8虐"CO(ASA),

故此選項正確，不符合題意；

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B.添加AD=AE,

在小BE"CO中

AE=AD

,乙BAE=Z.CAD

AB=AC

4^5￡^A^CZ)(SAS),

故此選項正確，不符合題意；

C.添加4OC二乙4E8

在。中

^ADC=乙4EB

?/-4CAD=Z.BAE

AC=AB

-8廬△4C7)(AAS),

故此選項正確，不符合題意；

D.添加8E=C力，不符合任何一定判定定理，

無法證明，

故此選項錯誤，不合題意；

故選：D.

5.D

【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)作圖得到OC'=OO,CM=QM,再根據(jù)。得到

△OMC^^OMQ(SSS),即可.

【詳解】解：由作圖過程可知，OC=OD,CM=DM,

?「OM=OM,

：.△OMa.OMO(SSS),

判定△。"/△。必。的依據(jù)是三邊分別相等的兩個三角形全等

故選：D.

6.A

【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得OC=O'C；0D=0D、CD=CD',

故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，

故選A.

7.SSS

【分析】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS；三條邊對應相等的兩個三

角形全等，由此即可得到答案.

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【詳解】證明：由題意得：8C=OF,BA=DF,AC=FE,

???由SSS判定ADEF.

故答案為：SSS

8.乙4=ND（答案不唯一）

【分析】本題考查了三角形全等的判定：添加條件使三角形全等，由全等三角形的判定方法，即可得到答案.

【詳解】依題意，若添加條件是4=NO,

.?.在△//尸和△QCE中，

AB=DC

NA=/D,

AF=DE

:AABF^ADCE（SAS）

使得DCE,

則添加的條件可以是4=ND（答案不唯一）

故答案為：4=/。（答案不唯一）

9.AF=CE（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定方法，由題意得乙4FE=NCEF,推出4FB=NCED,結(jié)合N/i=NC即

可求解；

【詳解】證明：VAF\\CE,

乙4FE=4CEF,

?:NAFB+/4FE=ZCED+NCEF=18（）。，

AAFB=4CED,

???ZJ=ZC,

.,.當笈時，可通過ASA證△力3/治ACQE；

故答案為：力尸=。后（答案不唯一）

10.90

【分析】先證△/出CgZXCQE,則可得4=N3,再根據(jù)三角形外角定理即可得解.

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形外角定理.熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?△48C和△（?￡>￡■中，

AC=CE=2

-NACB=NCED=9（T,

BC=DE=\

，△/IB雀△CDE（SAS）,

,\Z1=Z3,

■.?N2是△COE的一個外角，

/.Z2=Z3+ZCED,

第12頁/共27頁

即N2=N3+90。,

Z2=Z1+9O°,

Z2-Zl=90°.

故答案為：90

11.力8=。?；?=/。或，/砧=/。產(chǎn)。；(答案不唯一)SAS或AAS或ASA(答案不唯一).

【分析】本題考查三角形全等的判定以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關

健.

(1)由根據(jù)平行線的性質(zhì)得N8=NC,由BF=CE得BE=CF,根據(jù)SAS,AAS,ASA添加相應的條件即可；

(2)先證明=再由平行線的性質(zhì)得N8=NC,然后證明VX￡7WVO/：C,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：...BF=CE,

BF-EF=CE-EF,

即BE=CF,

AB//CD,

：.N8=NC,

二.添加的條件是力8=。。，根據(jù)SAS,△4*△力打C(SAS),

添加的條件是4=/。，根據(jù)AAS,詢△。尸C(AAS),

添加的條件是n4歐=NQR7,根據(jù)ASA,"E償△。向C(ASA),

故答案為：48=。?；?=/?；?AEB"DFC；

(2)方法一：添加的條件是4?=OC時，

?：BF=CE,

BF-EF=CE-EF,

即BE=CF,

：AB//CD,

N8=NC,

在一￡7?和△。尸。中，

AB=DC

NB=/C,

BE=CF

△力翦△OW(SAS),

故答案為：SAS.

第13頁/共27頁

方法二：添加的條件是4=NO,

\'BF=CE,

:.BF-EF=CE-EF,

即EE=CT7,

AB//CD,

N8=NC,

在一E4和△。尸。中，

Z=ZD

4=NC,

BE=CF

△/腔zsOpAAS),

故答案為：AAS.

方法三：添加的條件是NAEB=4DFC,

，：BF=CE,

:.BF-EF=CE-EFt

即BE=CF,

AB//CD,

N8=NC,

在&/1E8和△OPC中，

ZB=4C

BE=CF,

4EB=NDFC

△J^AZ)FC(ASA),

故答案為：ASA.

12.1800/180g

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.根據(jù)SAS證

明。經(jīng),利用全等三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，標注字母，

在N4BC與&EDF中,

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BC=DF

■Z.ABC-/.EDF-W,

AB=DE

/.A=NBAC.

.?.由平行線的性質(zhì)可得N84C+N2=180°,

Zl+Z2=180°.

故答案為：180°.

13.CD=CE（答案不唯一）

【分析】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解題的關鍵.根據(jù)全等三角形的判定填

寫即可.

【詳解】解：添加的條件為：CD=CE,

QAC=BC,NACD=ZBCE,CD=CE,

二△力CNZk8C￡（SAS）,

故答案為：CD=CE（答案不唯一）.

14.5JS/邊角邊

【分析】根據(jù)題意可得，OC=OA,OB=OD,NDOC=2OB,再根據(jù)全等三角形的判定方法，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，OC=OA,4DOC=4OB,OB=OD,

則△408空△CO。（SAS）,

故答案為：SAS

【點睛】此題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法.

15.DC=EB（答案不唯一）

【分析】由已知條件可知：/QC4=NE8C,4C=C8,再添加DC=E8,根據(jù)SAS判定

【詳解】解：添加條件：DC=EB；

證明：?點C是線段48的中點，

AC=CB.

在△D4C和中，

DC=EB

NDCA=Z.EBC,

AC=CB

:.'DA0RECB（SAS）.

故答案為：DC=EB（答案不唯一）.

【點睛】本題是開放性題目，考行了全等三角形的判定；添加條件不唯一；熟練掌握全等三角形的判定方法

是脩題的關鍵.

16.⑴②③；①

第15頁/共27頁

(2)證明見解析

【分析】本題考查/全等三角形的性質(zhì)與判定，命即，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

⑴根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定組成真命題即可；

⑵根據(jù)全等三角形的判定證明(1)中的命題即可.

【詳解】(1)解?：條件：①@或①③或①④或②③或②④或③④，結(jié)論：③或④；②或④；②或③；①或④；

①或③；①或②；(答案不唯一)

(2)證明：*.?ABLBE,DE1BE,

N8=NE=90。，

(1)條件：①②，結(jié)論：③或④時

???ACLDC,

：.LACB=ZD=9(T-Z.DCE,

在。和△COE中

Z1CB=ND

4B=/E,

AB=CE

.?⑥BC=ED,④4C=CO.

(2)條件：①③，結(jié)論：②或④時

/AC1.DC,

：.乙4cB=4D=9Y-/DCE,

在△力4C和中

乙ACB=￡D

<BC=DE,

乙B=/E

AABHACDE(ASA).

：.@AB=CE,?AC=CD.

(3)條件：①④，結(jié)論：②或③時

?「AC1DC,

：.Z.ACB=ZD=9(T-ZDCE,

在△力BC和△。?！曛?/p>

ZCB=ND

-=NE,

AC=CD

^ABC^^CDE(AAS).

：.?AB=CE,③BC=ED.

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(4)條件：②③，結(jié)論：①或④時

在zVlBC和△CQE中

AB=CE

心=/E,

BC=DE

^ABC^^CDE(SAS).

；乙4=4DCE,?AC=CD.

,/zB=90°,

/.Z4+ZJC5=90°,

NDCE+4cB=90。,

/力8=90。，

.?.①4C1QC.

(5)條件：②④，結(jié)論：①或③時

在向△48。和RSCDE中

AB=CE

[AC=C>

/.^ABC^^CDE(HL).

.,Z=NDCE,③BC=ED.

/zB=90°,

.?.乙4+NJC8=90。，

NDCE+乙4cB=90°,

^ACD=9Q0,

:.?ACLDC.

(6)條件：③④，結(jié)論：①或②時

在R24BC和R以CDE中

AC=CD

BC=DE>

：."BR.CDE(HL).

:.AA=/DCE,②AB=CE.

?.?￡)8=90°,

Z/l+ZJCT=90o,

NQCE+4C8=90。，

/.ZJC/>90o,

...①/CiOC.

17.見解析

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【分析】本題考查全等三角形的判定，由=得到8C=￡/"即可證明；

【詳解】證明:：BE=CF、

BC=EF,

在△力3c和中，

AB=DE

NB=ADEF,

BC=EF

^ABC^^DEF.

18.見解析

【分析】本題主要考查三角形全等.解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì).

根據(jù)￡C||尸。得到N/1C￡=N。，結(jié)合=,得至1伯力。虐△B。尸(ASA),即可得到證明.

【詳解】證明:':EC"FD,

NACE=4D.

在△/!"和△8。/中，

Z=4FBD、

-AC=BD,

ZACE=/D、

.?."C廬△4O"(ASA).

/.AE=BF.

19.證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，

先根據(jù)“兩直線平行內(nèi)錯角相等"得N8=NC,再根據(jù)“邊角邊”證明AABFs八DCE,即可得出答案.

【詳解】證明:AB\\CD,

/.N8=NC.

\'BE=CF,

BF=CE.

?.,在△48/和△OCE中

'AB=CD

，N8=/。

BF=CE

:.&ABFDCE,

/.AF=DE.

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20.(1)錯誤

(2)①或②或③或⑤或⑥，圖見解析，證明見解析

【分析】本題考查了添加條件使三角形全等(全等三角形的判定綜合)，熟練掌握全等三角形的判定方法是

解題的關鍵.

(1)利用全等三角形的判定方法對小明同學寫出的6個條件逐一分析判斷即可；

(2)補全圖形，從小明寫出的條件中選擇一個，然后利用全等三角形的判定方法證明△。丘。笑△。在即可.

【詳解】(1)解：對于小明同學寫出的6個條件,

選擇條件①時,可以利用SAS證明AOFD色AOFE,

選擇條件②時,可以利用AAS證明^OFD知OFE,

選擇條件③時,可以利用ASA證明△。尸。為OFE,

選擇條件④時,利用SSA不能證明AOFDAOFE,

選擇條件⑤時,可以利用AAS證明M)FD%OFE,

選擇條件⑥時,可以利用ASA證明^OFDmOFE,

???小明的說法錯誤,

故答案為：錯誤；

(2)解：補全圖形如下：

選擇條件①時，證明如下：

.「OC是N.4O月的角平分線,

￡DOF=NEOF,

在△ObO和△。bE中，

OD=OE

-4D0F=4E0F,

OF=OF

「廬△。陽SAS);

選擇條件②時，證明如下：

:0C是N4O8的角平分線,

:"DOF=NEOF,

在△OF0和△。日E中，

40DF=40EF

NDOF=NEOF,

OF=OF

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.?.△。自廬△。陽AAS);

選擇條件③時，證明如下：

70C是/力。8的角平分線，

￡DOF=4E0F,

在△。尸。和△。心中，

Z.DOF=4EOF

OF=OF,

40FD=/0FE

..△OF廬△。問ASA);

選擇條件④時，利用SSA不能證明△。自。義△。氏E；

選擇條件⑤時，證明如下：

「OC是/ZO8的角平分線，

/.NDOF="OF,

?：ZADF=4BEF,

.-.1800-NADF-1800-NBEF,

BP:NODF=NOEF,

在40/。和△<7方E中，

NODF=Z.OEF

ZDOF=々EOF,

OF=OF

..△OF廬40莊(AAS);

選擇條件⑥時，證明如卜：

.：0C是NAOB的角平分線，

:"DOF=/EOF,

■:ZDFC=4EFC、

80。-/DFC=180°-4EFC,

即：40FD=40FE,

在AO/。和△<?在中，

4D0F=4E0F

OF=OF,

N0FD=20FE

日廬△OFE'(ASA);

故答案為：①或②或③或⑤或⑥.

21.證明見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

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甲同學得方法中，通過作角平分線，可得/84)=/。力，再根據(jù)(SAS),即可得出"8廬"。(SAS),

從而證明；乙同學的方法中，通過作垂線線，可得乙4所=乙4￡^=90。，再根據(jù)(HL),即可得出

Rt"〃廬R^ICE(HL),從而證明N4=NC；丙同學得方法中，通過作中線，可得BF=CF,再根據(jù)(SSS),

即可得出AAB足△力b(SSS),從而證明N8=NC.

【詳解】證明：甲同學的方法：

證明：如圖，作/氏1C的平分線交8c于點D

ZBAD=Z.CAD.

在二4BD和△4CO中，

AB=AC

ZB4D=/C4D,

AD=AD

c/8底△/CO(SAS),

.1.N8=NC.

乙同學的方法：

證明：如圖，作力El8c于點E

???NAEB=NAEC=,

在和Rt^ACE+,

AB=AC

AE=AE'

RS/1B償RtA/lCE(HL),

ANB=NC.

丙同學的方法：

證明：如圖，取8c的中點E連接總廠.

第21頁/共27頁

A

B

BF=CF、

在△月"和△力CV中，

AB=AC

BF=CF,

AF=AF

448g△4b(SSS),

/.N8=NC.

22.證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由=可得/=進而可證

△力8。△力。E(SAS),即可求證，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】證明:;/B4D=/C4E,

/BAD+NCAD=NCAE+NCAD、

BP4BAC=/DAE.

又：AB=AD,AC=AE

/Ba"OE(SAS),

BC=DE.

23.證明見解析

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì).證明

△OBD^COE,得出N8=NCOE,根據(jù)N8+N8OQ=90。，求出N8OC=90。，即可證明結(jié)論；

【詳解】證明：?/8。104于D。七1。力于￡

/.D5DO=Df?EC=90°,

又???根據(jù)題意得：08=0C,BD=0E=l,

：.RB腔4C0E,

￡B=tCOE、

又:/B+/BOD=90。,

NCOE+/BOD=90。,

即NBOC=90°,

/.OB10C.

24.(1)畫圖見解析

(2)7

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【分析】本題考查了新定義，全等三角形的性質(zhì)，理解新定義是解答關鍵.

（1）根據(jù)新定義㈣出圖形即可;

⑵根據(jù)新定義和全等三角形的性質(zhì)畫出圖形來求解.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意作圖如下

以48為公共邊的△48C的所有“友好格點三角形”為：GABCIQABJAABG.

⑵解:根據(jù)題意畫圖如下，"BC的”友好格點、三角形"有"BGQ/Bg,△/BG,"CJ"CG,A^cq,

△8CG共7個.

故答案為：7.

25.證明見解析

【分析】延長4）到點H使。"=力。，連接CH.證△4。旌得4B=CH,/D4B=/D/IC.再

證明△〃C欄AEZ尸，即可得證.

【詳解】證明：延長力。到點，，使。"=力。，連接C".

：.CD=BD.

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.,.在△/OB和△"DC中

BD=CD

ABDA=ZCD//,

AD=HD

「.△力。胎△“OC,

AB=CH,/DAB=4DHC.

:AB=AE,

：.CH=AE

?二/DAB=NDHC,

：.HC\\AB.

/.NC力〃+N"C/=180。.

'：ACAB+^FAE=\^\

LHCA=Z.EAF.

在△〃C力和△￡>!"中

AC=FA

A.HCA=Z.EAF,

CH=AE

:上HC的叢EAF,

/.AH=EF,

：.EF=2AD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)，同角的補角相等，中線定義，熟

練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)是解題的關鍵.

26.(1)見解析

Q)AD〃BC,證明見解析

【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用上述性質(zhì)是解題的關鍵.

(1)根據(jù)力加CO得至1]/￡=/凡再利用得到EG=F〃，即可證明；

(2)根據(jù)(1)中可得乙4=NC,再利用平行線得到4=NCAE,即可得到4Q〃BC.

【詳解】⑴解:'：AB\\CD,

...ZE=4F,

,:EH=FG,

:.EH+GH=FG+GH,即EG=FH,

在△/￡G與△(7"/中，

AE=CF

，NE=",

EG=FH

^AEG^△CF//(SAS);