專題02不等式

目錄

明晰學考要求....................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理....................................................................................1

考點精講講練....................................................................................3

考點：不等式的性質(zhì).......................................................................3

考點二：和定求積和積定求和.................................................................5

考點三：配湊法..............................................................................6

考點四：力”的代換...........................................................................7

考點五：解不含參數(shù)的一元二次不等式........................................................8

考點六：由二次不等式的解確定參數(shù)..........................................................9

考點七：不等式的實際應(yīng)用..................................................................10

實戰(zhàn)能力訓練...................................................................................12

l明晰學考要求期

1、了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景；

2、會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；

3、通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;

4、會解一元二次不等式；

5、了解基本不等式的證明過程；

6、會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}

一、不等式的性質(zhì)

1.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對稱性a>b<=>b<a雙向性

傳遞性a>b,b>c=>a>c單向性

可加性a>b=a+c>b~\-c雙向性

同向可加性a>b,c>d^>a+c>b+d單向性

a>b,c>0=>ac>be

可乘性單向性，注意c的符號

a>b,c<O=>ac<bc

同向同正可乘性a>h>(\c>d>()=>ac>hd單向性

可乘方性a>b>O=>a">hH(ne>1)單向性

可開方性a>b>Un^>&5eN,n>2)單向性

2.倒數(shù)以及分數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

,，八11

a>/7,ab>0=>—<—.

ab

f7<0八</?，=>—1<1—.

ab

倒數(shù)的性質(zhì)

.八八,ah

a>b>O,O<c<d=>—>—.

()<a<x<匕或〃<x</?<0=>-<-<—.

bxa

bb+tnb〃一〃？/,八、

—<------:—>-------(/7-/??>0)；

a〃+〃？aa-m

分數(shù)的性質(zhì)(a>〃>0,m>0)

cia+maa—m.八、

—>------；—<-------((/?-m>0)；

bb+inbb-m

二、基本不等式

不等式內(nèi)容等號成立條件

2

重要不等式er+b>2ab(a,bGR)當且僅當“4=/?”時取"="

基本不等式\[ab4生4a>0,/?>0)當且僅當“a=b”時取“=”

一

巴U叫做正數(shù)〃力的算術(shù)平均數(shù)，而叫做正數(shù)。涉的幾何平均數(shù).

2

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

注意：”當且僅當〃=〃時，等號成立”是指若。工〃，則。"2即只能有

2

cr+b2>2ab,\/ab<

2

基本不等式與最值

已知都是正數(shù)，則（1）如果積砂等于定值P,那么當％=），時，和x+y有最小值2JA；

（2）如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積不，有最大值1s?.

注意：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：（1）X、），>0,（2）和（積）為定值，（3）

存在取等號的條件，簡稱“一正二定三相等”

三、一元二次不等式及其解法

1.三個“二次”之間的關(guān)系

判別式』二〃2—4次./>04=0J<0

jL之

y=ax1+bx+c(a>0)的圖象

一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根

沒有實數(shù)根

2b

ax+bx+c=0(?>0)的根x,x（x<x）X-"2-C

]2}2?2a

一元二次不等式

,,b.

（一嗎%1）11（々，+8）但"2/R

ax2-\-bx+c>0（a>0）的解集

一元二次不等式

（王，.）00

ax1+bx+c<0（。>0）的解集

2.一元二次不等式恒成立問題

、_\a=b=Oa>0

(1)ar+歷i+c>0恒成立的充要條件是：<或彳,

c>()b~-4^c<0

-）八\a=b=Oa<0

（2）辦2+瓜+。<（）恒成立的充要條件是：J或《

c<0b2-4ac<0

考點精講精練@

考點一：不等式的性質(zhì)

利用不等式判斷正誤的方法：

①育接法：對干說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)訐明：對干說法錯誤的只需舉出一個反例即可.

A.若a>b,c<d貝！Ja+c>6+4B.若—,則a>〃

tab~a~b

C.若a>力，則D.若a>〃>0,c<d<0,則@>—

dc

4.如果人>0>a,那么下列不等式中正確的是()

A.—ab<b2B.y/^a<Jb

C.a2<b1D.—<:

ab

5.下列命題為真命題的是()

A.若a>Z?>0,則acfbc?B.若。>Z?>0,則/>

D.若a</><(),則一<,

C.a<b<(),PPJa2<ab<Ir

考點二：和定求積和積定求和

（1）如果積盯是定值P,那么當且僅當x=y時，工+》有最小值是2JA.（簡記：積定和最?。?/p>

產(chǎn)

（2）如果和x+y是定值P,那么當且僅當x=y時，刈有最大值是二.（簡記：和定積最大）

4

注意：應(yīng)用不等式需滿足“一正二定三相等”

【典型例題】

例I.（2022高二下.河北.學業(yè)考試）已知正數(shù)。力滿足必=2,則a+〃的最小值是（）

A.72B.2C.2夜D.4

例2.（2024高二下.安徽?學業(yè)考試）已知x>0,y>0,且x+y=2,則（）

A.平的最大值為1B.W的最小值為1

c.個的最大值為及D.邛的最小值為及

例3.（2023高三?河北?學業(yè)考試）若X,>'€R.,且X+2.V=3,則外的最大值為.

例4.已知正實數(shù)機，〃滿足"7+〃=1,則，+?的最大值是（）

A.2B.C.—D.-

丫22

例5.已知x、ywR+,且』+2），=3,則上的最大值為

xx

【即時演練】

1.若正數(shù)，力滿足：〃+4/=2,則當曲取最大值時。的值為（）

A.1D-5

2.已知x，）'為正實數(shù)，且滿足4x+y=40,則的最大值是

3.已知函數(shù)/（x）=x+:+l（x>0）,則當且僅當x=時，/（力有最小值

4.已知正數(shù)％b滿足3=,嗚的最大值為

5.已知a+2h=l.則邛+y的最小俏為

考點三：配湊法

添項配湊出“和為定值”或“積為定值”，使用基本不等式；

【典型例題】

例I.（2024高二上?江蘇揚州?學業(yè)考試）若3>1,則函數(shù)/（%）=9X+2的最小值為（

A.6B.9C.12D.15

例2.已知x〉2,則x+的最小值是()

x-2

A.3B.4C.5D.2

4

例3.（2023高二?湖南衡陽?學業(yè)考試）函數(shù)y=x+—-（x>2）的最小值是______.

x-2

例4.（2022高二下?遼寧?學業(yè)考試）已知x>2,則函數(shù)/（x）=x+±-2的最小值為

例5.若x>l,則2x+—1的最小值是________.

A-1

【即時演練】

0

1

1.函數(shù)），=%++21人〉—LTJ取J、圖定：I)

A.4B.6C.8D.12

2

2.已知x>3,貝i」x+—^的最小值為（)

x-3

A.2>/2+3B.2>/5-3C.272D.4

3.已知X>1,y>0,x+y=3,則的最大值是（）

B.1

A.-D.1

42

則4%+」的最小值為（

4.已知X>-1,)

X+1

A.-4B.0C.4D.8

5.若x>2,則），=」的最小值為_________.

x-2

考點四：“1”的代換

ntn

出現(xiàn)分式相加模型一+一,可進行以下步驟：

①根據(jù)已知條件或者利用分母得到“1”的表達式；

②把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘，進而構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求解最值.

【典型例題】

49

例I.（2022高三下?廣東?學業(yè)考試）已知一+一=1,且x>0,y>0,則x+y的最小值是（）

xy

A.24B.25C.26D.27

例2.若正實數(shù)盯滿足x+3y=l.則2+上的最小值為（）

xy

A.12B.25C.27D.36

例3.若。>0,b>（）,a+b=\,則L+?的最小值為________.

ab

2+y2

例4.（2023高二下?浙江?學業(yè)考試）正實數(shù)x,），滿足2x+3y=l,則一+一的最小值是（）

xy

A.3B.7C.10+4/D.10+77

例5.（2023高三上?重慶?學業(yè)考試）已知X>1,）>0,X+L=4,則」一+）,的最小值為________,

yx-\'

【即時演練】

17

1.若〃>0,/?>（）,a+2b=3,則一+7的最小值為（）

ab

A.1B.3C.6D.9

2.已知0<x<1,貝ij』一+J-的最小值為（）

2x\-x

3+V2

A.3B.

2

C.—+5/2D.3+2上

2

3.若正實數(shù)。，人滿足a+2/xl,則?有（

）

ab

A.最小值，且最小值為1+72B.最小值，且最小值為3+2&

C.最大值，且最大值為1+V2D.最大值，且最大值為3+2亞

4.已知x>（）,,y>0,H-+2y=l,則2x+，的最小值為（）

xy

A.4B.6C.8D.10

12

5.已知。>0,/?>0?fi—+-=4.

ab

⑴證明：ab>^

⑵求2a+〃的最小值.

考點五：解不含參數(shù)的一元二次不等式

解一元二次不等式的一般步驟：

（1）通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；

（2）計算對應(yīng)方程的判別式;

（3）求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；

（4）根據(jù)函數(shù)圖象與工軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.

【典型例題】

例I.（2024高二上?北京?學業(yè)考試）在下列各數(shù)中，滿足不等式（x-l）（x+2）v0的是（）

A.-2B.-1C.1D.2

例2.（2024高二下.福建.學業(yè)考試）不等式（al）（x-2卜0的解集為（）

A.{x|l<x<2}B.{x|-2<x<-l}C.{小>2或x<l}D.{巾4-1}

例3.（2024高二上?北京?學業(yè)考試）不等式/>1的解集為（）

A.{x|-l<x<0|B.{x|0<.r<l}C.{x|-l<x<l}D.{上<-1或%>1}

例4.（2021高二上?新疆?學業(yè)考試）不等式Y(jié)+2x<o的解集是（）

A.{x|-2<x<0）B.{x|x<-2}C.{x\-2<x<2}D.{x|0<x<2}

例5.（2023高三上?廣西學業(yè)考試）二次函數(shù)丫=f（%）的圖象如圖所示，不等式/（x）＜0的解集為（）

A.RB.{x|2<x<3}C.{x|x<2}D.{x|x>3}

【即時演練】

I.不等式(3-x)(x+2)>0的解集為()

A.{x|-2<x<3}B.{?d-3<x<2}

C.{x\x>3ng.v<-2}D.{Mx>2或xv-3}

2.不等式一3/+5x—4>0的解集為()

A.{H或xN2}B.{A!X<-3D￡X>1}

C.{x\-3<x<\^x>2]D.0

3.不等式*+4x+5v0的解集為()

A.{x|-l<x<5}B.{dx>5或％<-1}

C.{x|x>l或x<-5}D.{x|-5<x<l}

4.不等式一d+2x—2v0的解集為.

5.不等式三21的解集為_____.

2x-\

考點六：由二次不等式的解確定參數(shù)

（1）一元二次不等式af+bx+c>o（awo）的解集的端點值是一元二次方程辦2+〃％+c=o的根，也是

函數(shù)y=依？++c的圖象與工地交點的橫坐標.

（2）二次函數(shù)y=+〃x+c,的圖象在x軸上方的部分，是由不等式or?+/zr+c>0（。w0）的x的值構(gòu)

成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式依2+〃x+cv0（。工0）的工的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、

相互轉(zhuǎn)化.

【典型例題】

例I.（2024高三上.廣東.學業(yè)考試）若不等式加+加:+2>0的解集為卜1-：。<共，貝1」。+》=（）

A.1B.-12C.-28D.-14

例2.（2019高二?湖南?學業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式“一m）*-〃丫。的解集為k|24工44},則

m-vn=.

例3.（2011高二上?山東濰坊?學業(yè)考試）若關(guān)于人的不等式f+21+。>0的解集為R,則實數(shù)”的取值范圍

是—.

例4.（2023高三?廣東?學業(yè)考試）已知關(guān)于人的不等式2/+依一/>0的解集中的一個元素為2,則實數(shù)a

的取值范圍為

例5.（2022高二下?寧夏吳忠?學業(yè)考試）己知不等式收2-2X+6AVO（AWO）,若不等式的解集為“1x<-3或

x>-2]t求k的值.

【即時演練】

3

1.已知不等式2/-0￥+6<0的解集是Jx-2Vx<-]卜則實數(shù)〃二（）

A.-7B.-6C.6D.7

2.已知I,g是方程/-法+a=0的兩個根，則〃的值為（）

A.—B.2C.-D.—2

22

3.已知不等式/+狽+4<0的解集非空，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（<4）B.（-oo,-4）U（4,-<?）

C.y,-2）D（2,+8）D.（-2,2）

4.若關(guān)于x的不等式2小+履+：4。的解集為空集，則實數(shù)k的取值范闈是

O

5.關(guān)于x的不等式a?+版+2〉。的解集為{幻-2Vx<3},則。+〃=.

考點七：不等式的實際應(yīng)用

【典型例題】

例I.（2024高二下?安徽?學業(yè)考試）某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率

和降低生產(chǎn)成本.已知購買4臺設(shè)備的總成本為/（力=焉/+X+800（單位：萬元）.若要使每臺設(shè)備的

平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備臺.

例2.（2U2I高二上西?學業(yè)考試）某中學計劃在勞動實習基地的空地上用籬笆圍出一個面積為144m2的矩

形菜地，則需要的籬笆長度至少是m.

例3.（2024高二下?湖北?學業(yè)考試）若不計空氣阻力，豎直上拋的物體距離拋出點的高度〃（單位：m）與

時間1（單位：s）滿足關(guān)系式/?=其中g(shù)al0m/s1%為初速度.向盼歸同學以％=豎直上

拋一個排球，該排球在拋出點上方2m處及以上的位置最多停留時間為（）

A.1.8sB.2.8sC.3.8sD.4.8s

例4.（2020高二?廣西?學業(yè)考試）用長度為40m的鐵絲圍成一個矩形，該矩形面積的最大值等于（）

A.50m2B.l（X）m2C.150m2D.300m2

例5.（2023高二?湖北?學業(yè)考試）為建設(shè)美麗中國，增強民眾幸福感，市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程.和

諧小區(qū)計劃建設(shè)一塊長為10m、變?yōu)?m的矩形花園，其四周種植花卉，中間種植草坪（如圖所示）.如果

花卉帶的寬度相同，且草坪的面積不超過總面積的三分之一，那么花卉帶的寬度可能為（）

【即時演練】

I.某網(wǎng)店銷售一批新款削筆器，每個削筆器的最低售價為15元若按最低售價銷售，每天能賣出30個，若

一個削筆器的售價每提高1元，日銷售量將減少2個.為了使這批削筆器每天獲得400元以上的銷售收入，

這批削筆器的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A.（10,20）B.[15,20lC.（16,20）D.[15,25）

2.已知某商品每件的成本為8元，每月銷量y（萬件）與每件售價X（元）的函數(shù)關(guān)系近似為：

x

若使每月的凈利潤最高，則每件售價應(yīng)定為（）（注；凈利潤=銷售總額-總成本）

A.10元B.12元C.15元D.16元

3.某校為了讓學生感受生命的奧秘，培養(yǎng)學生熱愛自然、探索大自然的意識，開展了“種植當歲初，滋榮

及春暮”的活動.學校打算在宿舍后面的空地上開設(shè)一塊面積為50m?的矩形[II地A8CD讓學生種植自己喜歡

的植物，四周留有寬度分別為1m和2m的過道，如圖所示，則該矩形田地的邊A8長為m時，

過道占地面積最小，最小面積為nr.

$Im

AD

田地

’2m、，2m、

B1ImC

4.如圖所示，為迎接國慶節(jié)，某花卉基地計劃在三塊完全相同的矩形花卉四周（斜線部分）鋪設(shè)寬度相同的

觀賞通道?已知三塊花卉的面積均為150平方米.若矩形花卉的長比寬至少多5米，則花卉寬的取值范圍

為.

5.某地方政府準備建造一個面積為3（XX）平方米的矩