2025-2026學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊專題提優(yōu)訓(xùn)練《圓》1.如圖，在圓0中，直徑AB平分弦CD于點E,且CD=4√3,連接AC,OD,若∠A與∠DOB互余，A.2√3B.4C.√3D3.下列說法正確的是()A.平分弦的直徑垂直于弦B.圓的內(nèi)接四邊形的對角相等C.三點確定一個圓D.三角形的任意兩邊垂直平分線的交點是三角形的外心5.如圖是一個兒童奇妙屋的主視圖，奇妙屋的一個入口是圓的一部分，點O為圓心，該入口的最高點A與圓心的連線的延長線恰好過弦BC的中點M,連接OC.若BC=0.6m,∠MOC=30°,小花身高1.1m,小亮身高1.15m,對于“小花和小亮是否需要彎腰才能進入奇妙屋”,(參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73)以下說法正確的是()A.小亮和小花都不需要B.小亮需要，小花不需要C.小亮和小花都需要D.小亮不需要，小花需要6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙0,連接OB,OC,若∠A=60°,則∠OBC的度數(shù)為()A.30°B.35°C.47.點O是△ABC的外接圓的圓心，點I是△ABC的內(nèi)心，連接OB、AI,若∠CAI=38°,則∠OBC的度數(shù)是()A.15°B.14°8.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙0上一點，點D是BC的中點，連接AC,CD,DB,若∠BAC=80°,則∠ACD的度數(shù)是()A.100°B.110°C.120°9.小紅、小明、小剛、小麗四人進行跳繩比賽，小紅的成績在前三名，小明既沒有獲得第一名，也不是最后一名，小剛也不是第一名，小麗是第二名.小紅是第()名，小明是第()名，小A.三，一，四B.三，四，一C.一，三，四D.四，一，三10.如圖，AB是⊙O的一條弦，半徑OC交AB于點D,且AD=BD,連接OA,∠OAB=30°,BD=2√3,則陰影部分的周長為()BDABD11.直線1與⊙O相切于點P,點A在直線1上，線段AO與⊙O相交于點B,若AB=2,12.若扇形的圓心角為120°,半徑為5,則該扇形的弧長為13.如圖，有一直徑是√2米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個圓周角是90°的最大扇形ABC,用該扇形鐵皮圍成一個圓錐，所得圓錐的底面圓的半徑為米.14.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠DAB=60°,則∠BCD的度數(shù)是15.已知圓錐的側(cè)面積為15π,母線長為5,則圓錐的底面半徑是16.如圖，已知圓心O在水面上方，且◎O被水面截得弦AB長為4米，⊙0半徑長為3米，若點C為圓周的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是_·CAB,則圖中陰影部分的面積是BB段CP的最小值為·20.如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知大小，將它鋸下測得深度CD為1寸，鋸長AB為10寸，21.如圖，△ABC內(nèi)接于◎0,∠C=60°,點E在直徑BD的延長線上，且AE=AB.(1)求證：AE是⊙O的切線；(1)如圖1,點P是AC延長線上一點，∠APB=∠ADC,求證：BP與⊙O相切；(2)如圖2,點G在CD上，OF⊥AC于點F,連接AG并延長交◎O于點H,若CD為⊙O的直②求⊙O半徑的長.23.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點DP,過點C作⊙O的切線，交PD的延長線于點E,交AD的延長線于點F.(2)若AF⊥EF,EF=1,求⊙O的半徑；(3)若,⊙O的半徑是5,連接DC,求四邊形POCD的面積.(2)∠A=45°,⊙O的半徑為4,求圖中陰影部分的面積.(1)求證：AE=CF.②在點P運動過程中，試探索PD,PE,PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.26.已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑，過點A作⊙O的切線MN.(1)如圖1,求證：∠ABC=∠MAC;(2)如圖2,當(dāng)D是弧AC的中點時，過點D作DE⊥AB于E.求證：AC=2DE;(3)如圖3,在(2)的條件下，DE與AC相交于點F,連接CD,BD與AC相交于點G,若△CDG的面積為12,EF=3,求點C到MN的距離.圖1圖2(3)如圖2,取BC的中點F,將△A'D'C繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為28.如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC=CD,以AB為直徑作⊙0,分別交(2)連接OC,交⊙O于點G,若AB=8,求線段CE、CG與GE圍成的陰影部分的面積S.DDCC(1)①∠ADB=②在線段AD的左側(cè)過點D作∠ADM,使∠ADM=∠ACD,證明：DM是⊙O的切線.(2)過B作AD的平行線，交AC于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊的數(shù)量關(guān)系，把邊與邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為角與角的數(shù)量關(guān)系.【構(gòu)造模型】(1)如圖①,已知△ABC,在直線BC作圖方法，并保留作圖痕跡)BB②①②【應(yīng)用模型】BB③(2)如圖②,若◎O的半徑r=5,AB=8,求AC+BC的最大值并說明理由.(3)如圖③,已知線段MN,AB為⊙O的弦，用直尺與圓規(guī)作點C,使AC+BC=MN.(不寫作法，保留作圖痕跡)31.如圖，AB是半圓O的直徑，點C是弦AD延長線上一點，連接CB、BD,∠CBD=∠CAB.AA(2)連接OD,若∠CAB=30°,AB=4,求扇形OBD的面積.求作：直線PA和直線PB,使PA切⊙O于點A,PB切⊙O于點B.作法：如圖，①連接OP,分別以點O和點P為圓心，大的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點M,N;②連接MN,交OP于點Q,再以點Q為圓心，0Q的長為半徑作弧，交⊙O于點A和點B;③作直線PA和直線PB.所以直線PA和PB就是所求作的直線.根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡);(2)完成證明過程.一點，且OG=OB,連接GH,求GH的長；問題解決(3)如圖3,某次施工中，工人師傅需要畫一個20°的角，但他手里只有一把帶刻度的直角尺，工程監(jiān)理給出了下面簡易的作圖方法：①畫線段OB=15cm,再過它的中點C作m⊥OB;②利用刻度尺在m上尋找點A使得OA=15cm,再過點A作1//OB;③利用刻度尺過點O作射線，將射線與AC和I的交點分別記為點F、E,調(diào)節(jié)刻度尺使FE=□cm時(“□”內(nèi)的數(shù)字被汗?jié)n侵蝕無法看清),則∠EOB=20°.你認為監(jiān)理給的方法可行嗎?如果可行，請寫出“□”內(nèi)的數(shù)字，并說明理由；如果不可行，請給出可行的方案.34.(1)如圖1,用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖1中作出◎O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF,保留作圖痕(2)如圖2、圖3是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.其中點A、點D為格點，⊙O經(jīng)過點A、點D,僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖任務(wù).①如圖2,過點O作AD的垂線，交◎O于E,F;②如圖3,點B在⊙O上，過點B作弦BC//AD.圖1圖3(1)畫出△ABC右移2個單位，再上移2個單位后得到的△A?B?C?;(2)畫出△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A?B?C?;(3)求出點A繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°后到A?所經(jīng)過的路徑長.36.有公共頂點A的兩個正方形ABCD與AEFG,連接DE,BG,點M是BG的中點，連接AM交圖1圖2圖1(1)如圖1,當(dāng)點E,G分別在邊AB,AD上時，直接寫出線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系和位置(2)如圖2,將正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立?請說明理由：時，連接BE與CF相交于點H,延長線上的點E,連接DA,DB.(3)延長ED交AB的延長線于F,若AD=DF,DE=√3,求⊙O的半徑；38.如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，其半徑為1,P為弧AB上的動點(P點不與A、B重合),連接AP,BP,CP.39.定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若某函數(shù)的圖象(1)在點A(2,3),B(-2,-3),C(-3,-2)中，(2)若函數(shù)y=-x2+bx存在唯一的“3倍點”,求b的值；(3)若函數(shù)y=-x+2m+1的“m倍點”在以點(0,10)為圓心，半徑長為2m的圓外，求m的所有值.40.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙0與AC邊交于點D,過點D的直線交CC(3)過點D作DH⊥BC于H,直接寫出DB-DH的最大值.(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)當(dāng)∠CAB=30°,AB=2時，求BD的長度.于點E,延長EC交AB延長線于點F,且EF是⊙O的切線，連接AC,OC.(3)若的值.43.(1)已知：△ABC(圖①),求作：△ABC的外接圓(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法，不要求證明)④連接AC.若AC=3,求⊙O的半徑.(圖①)(圖②)(1)如圖1,求證AD是⊙0的切線；(2)如圖2,CD交◎O于點E,過點A作AG⊥BE,垂足為F,交BC于點G,若AD=2,CD=3,求GF的長.45.如圖，Rt△ABC是◎O的內(nèi)接三角形，點D為⊙O上一點，點C、點D分別在線段AAC=2,CB=2√3.BB(圖1)(圖2)(1)求◎O的半徑長；(2)如圖1,若CD⊥AB,求CD的長；(3)如圖2,若CD=2√2,求∠ACD的度數(shù).(1)尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡):作△ABC的外接圓⊙0,作直徑AE,連接BE;(2)證明：△ABE∽△ADC.(2)若◎O的半徑為2cm,且AB=2BC,求陰影部分的面積.49.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),點A的坐標(biāo)為(-1,0),與y軸交于點C(0,3),作直線BC.點M是第一象限拋物線上一動點，MP⊥x軸于點P,交BC于點N,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式和直線BC的解析式；(2)過點A、O、C的圓上有一點Q,請直接寫出∠AQC的度數(shù)為;(3)當(dāng)點P在線段OB上運動時，連接MB,求△MBC面積的最大值；(4)當(dāng)m-1≤x≤m+1時，拋物線的最大值為3,請直接寫出m的值(2)連接AD與BC交于點E,若AE=DE,求sin∠ABC的值.如圖，等腰直角△ABC與等腰直角△CEF共頂點C,點D為AB的中點，連接AE,DF,已知BB備用圖(1)問題解決：如圖①,當(dāng)點E在AC邊上時，則線段AE與線段DF的數(shù)量關(guān)系是_(2)問題探究：如圖②,將圖①中的等腰直角△CEF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AE和線段DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?請說明理由；(3)拓展延伸：若BC=10,CF=6,將圖①中的等腰直角△CEF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使得B,E,F三點在同一直線上，利用所提供的備用圖求出線段DF的長.52.如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點C,使BC=OB,E(1)求BD所對的圓心角的度數(shù).(3)點P是⊙O上一動點(不與點A,B重合),連接PE,PC,求的值.53.已知：如圖，A、B、C三個點.求作：⊙O,使⊙O經(jīng)過A、B、C三點.AB℃如圖①、②,點P分別在⊙O外、在⊙O內(nèi)，直線PO分別交⊙O于點A、B,則PA是點P到⊙0上的點的最短距離，PB是點P到⊙O上的點的最長距離.[問題解決]請就圖①中PB為何最長進行證明.[初步應(yīng)用](1)已知點P到⊙O上的點的最短距離為3,最長距離為7.則⊙O的半徑為(2)如圖③,在△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6.點E在邊BC上，且CE=2,動點P在半徑為2的⊙E上，則AP的最小值是_[拓展延伸]如圖④,點A(2,0),動點B在以P(4,4)為圓心，√2為半徑的圓上，OB的中點為C,則線段AC的最大值為55.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙0,∠ABC>90°,△ABC的外角∠EAC的平分線交◎O于點D,連接(1)求證：△DBC是等腰三角形.①求證：BC2=DC·BF.②若⊙O的半徑為5,BC=6,的值.56.如圖，在△ABC中，∠A=90°,AB=3,BC=5.(1)用圓規(guī)和直尺作出◎P,使圓心P在AC邊上，且與AB、BC兩邊都相切(保留作圖痕跡，不寫作法和證明).(2)若在(1)的條件下，設(shè)◎P與BC的切點為D,求◎P的半徑.57.如圖，已知以AB為直徑的⊙0中，點D,C在AB的同側(cè)，點D是AC的中點，連接BD,過點(2)已知AB=10,BD=8,求BC的長.(2)若⊙O的半徑為5,∠BAC=30°,求線段BE的長.59.如圖，在菱形ABCD中，點P、Q均在對角線BD上(不與點B、D重合),且BP=QD.(1)求證：△BCQ=△DAP;(2)若∠BAD=120°,①已知BD=4√3,求平行線AD與BC之間的距離；②若△APD的外心在其內(nèi)部，且n°<∠PAD<m°,求m-n的值.60.【問題提出】車輪為什么要做成圓形?這里面有什么原理?【合作探究】(1)探究A組：如圖1,圓形車輪半徑為6cm,其車輪軸心O到地面的距離始終為_cm.(2)探究B組：如圖2,正方形車輪的軸心為0,若正方形的邊長為6cm,求車輪軸心O距離地面的最高點與最低點的高度差.(3)探究C組：如圖3,有一個破損的圓形車輪，半徑為6cm,破損部分是一個弓形，其所對圓心角為90°,車輪軸心為0,讓車輪在地上無滑動地滾動一周，求點O經(jīng)過的路程.【拓展延伸】(4)探究D組：如圖4,分別以正三角形的三個頂點A,B,C為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60°圓弧，這樣形成的曲線圖形叫做“萊洛三角形”.使“萊洛三角形”沿水平方向向右滾動.在其“最高點”和“車輪軸心O”所形成路徑的大致圖案是()A.人人B.參考答案與試題解析一、選擇題(本題共計10小題，每題3分，共計30分)【答案】D【考點】切線的判定與性質(zhì)勾股定理圓周角定理圓的綜合問題垂徑定理的應(yīng)用【解析】連接CO,由直徑AB平分弦CD及垂徑定理知∠COB=∠DOB,則∠A與∠COB互余，由圓周角定理知∠A=30°,∠COE=60°,則∠OCE=30°,設(shè)OE=x,則CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.【解答】連接CO,∵AB平分CD,解得x=2,故選D.【答案】B【考點】勾股定理的應(yīng)用圓周角定理半圓(直徑)所對的圓周角是直角圓和圓的位置關(guān)系【解析】首先根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°,∠ADB=90°,角平分線得∠ACD=∠BCD,再利用勾股定理計算出BC,AD的長，可得△ABD等腰直角三角形，設(shè)△ABD內(nèi)切圓的半徑為rcm,根據(jù)切線長定理列出方程求解.【解答】解：∵AB是直徑，設(shè)△ABD內(nèi)切圓的圓心為I,與AD,BD,AB切于點E,G,F,半徑為rcm,CCID【答案】D【考點】【解析】利用利用垂徑定理可判斷A,由反證法可判斷B,由確定圓的條件可判斷C,根據(jù)三角形的外接圓與外心的定義可判斷D.【解答】B、在四邊形ABCD中，∠B=80°,∠D=100°,【答案】C【考點】【解析】連結(jié)OC,由垂徑定理可得CE=DE==4,由OE:OB=3:5,可得OE:OC=3:5,設(shè)OE=3x,OC=5x,在Rt△OEC中，可求OC=5即可；【解答】在Rt△OEC中，整理得16x2=16,解得x=1,x=-1(舍去),故選擇C.【答案】B【考點】含30度角的直角三角形【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識，根據(jù)垂徑定理的推論可得),AM⊥BC,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OC=2CM=OM=√OC2-CM2≈0.52(m),則可求AM=OA+OM=1.12(m),然后用兩人的身高與AM比較即可得出結(jié)論.【解答】解：∵該入口的最高點A與圓心的連線的延長線恰好過弦BC的中點M,【答案】A【考點】【解析】【解答】【答案】B【考點】【解析】【解答】B【答案】D【考點】半圓(直徑)所對的圓周角是直角【解析】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.連接BC,根據(jù)圓周角定理求出∠ACB=90°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠D=100°,求出∠DCB=40°,再根據(jù)角的和差求解即可.【解答】B故選：D.【答案】C【考點】反證法【解析】本題主要考查了邏輯推理能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進行合理的邏輯推理.根據(jù)給出的信息進行合理的邏輯推理即可.【解答】解：由小明既沒有獲得第一名，也不是最后一名，小剛也不是第一名，小麗是第二名，得出第一名是小紅；則小明是第二名或者第三名；∵小麗是第二名，∴小明是第三名；剩下第四名是小剛；故選：C.【答案】A【考點】含30度角的直角三角形【解析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長，直角三角形的性質(zhì).連接OB,利用SSS求出OA,再由陰影部分的周長=lAc+AD+CD,計算即可.【解答】∴OA=4(負值舍去),∴陰影部分的周故選：A.【答案】【考點】等邊三角形的性質(zhì)與判定切線的性質(zhì)求弧長【解析】先證明△OPB是等邊三角形，得到∠BPA=∠OAP=30°,推出PB=AB=2,OB=OP=2,再根據(jù)弧長公式即可求解.【解答】解：連接OP、PB,∴△OPB是等邊三角形，∴劣弧PB的長故答案為：【答案】【考點】求弧長【解析】本題考查了弧長公式.根據(jù)弧長的計算公式(n是扇形圓心角的度數(shù)，r是扇形的半徑),由此即可求解.【解答】解：根據(jù)題意可得，該扇形的弧故答案為：【答案】一一寸寸【考點】圓錐的展開圖及側(cè)面積弧長的計算【解析】先利用△ABC為等腰直角三角形得到AB=1,再設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,則根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到然后解方程即可.【解答】1一41一4【答案】【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補解答即可.【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，故答案為120°.【答案】3【考點】求圓錐底面半徑【解析】【解答】故答案為：3.【答案】【考點】垂徑定理的應(yīng)用【解析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用等知識點，熟練掌握垂徑定鍵.如圖：連接OC交AB于D,由垂徑定理得2(米),再由勾股定理得OD=√5,然后求出CD的長即可.【解答】解：如圖：連接OC交AB于D,(米),∠ADO=90°,∴CD=OC-OD=(3-√5)米，即點C到弦AB所在直線的距離是(3-√5米.故答案為(3-√5米.【答案】【考點】扇形面積的計算求其他不規(guī)則圖形的面積【解析】根據(jù)題意可求得△ACB的面積和扇形CAB的面積，利用做差即可求得陰影部分的面積.【解答】解：∵CA=BC=2,∠C=90°,則陰影部分的面積為S扇形CAB-S△ABC=π-2,故答案為：π-2.【答案】2【考點】勾股定理的應(yīng)用90度的圓周角所對的弦是直徑【解析】本題為求線段的最值-隱圓問題，考查了“直角所對的弦是直徑”,勾股定理等知識.根據(jù)AP⊥BP,得到點P在以AB為直徑的圓上，以AB為直徑作圓O,連接OC交圓O于點P,此時CP有最小值.根據(jù)勾股定理求出OC=5,即可求出CP有最小值為2.【解答】解：如圖，∵P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足AP⊥BP,以AB為直徑作圓O,連接OC交圓O于點P,此時CP有最小值·CC故答案為：2【答案】【考點】弧長的計算【解析】連接AO,求出AB的長度，然后求出BC的弧長，進而求出扇形圍成的圓錐的底面半徑，應(yīng)用勾股定理，求出圓錐的高.【解答】【答案】【考點】垂徑定理的應(yīng)用【解析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.設(shè)圓形木材的圓心為0,連接OA,OD,先根據(jù)垂徑定理可得AD=5寸，再設(shè)圓材的半徑為r寸，則OA=OC=r寸，OD=(r-1)寸，在Rt△AOD中，利用勾股定理求解即可得.【解答】解：如圖，設(shè)圓形木材的圓心為O,連接OA,OD,(寸),設(shè)圓材的半徑為r寸，則OA=OC=r寸，∵深度CD為1寸，解得r=13,即圓材的半徑為13寸，故答案為：三、解答題(本題共計40小題，每題10分，共計400分)【答案】(1)見解析【考點】證明某直線是圓的切線求其他不規(guī)則圖形的面積圓周角定理解直角三角形的相關(guān)計算【解析】(1)先根據(jù)圓周角定理求得∠AOB=2∠C=120°,進而有,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠E=30°,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠OAE=90°,根據(jù)切線判斷定理可得(2)先利用銳角三角函數(shù)求得AO,再根據(jù)扇形面積公式和三角形的面積公式求解即可【解答】解：(1)證明：連接OA,·(2)解：在Rt△AOE中，∠OAE=90°,∠E=30°,AE=AB=6,【答案】(1)見解析(2)①見解析；②2√6.【考點】半圓(直徑)所對的圓周角是直角證明某直線是圓的切線全等三角形的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用【解析】(1)如圖1,連接BC,根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°,易得∠ABC=∠APB,進而得到∠ABP=90°即可證明結(jié)論；△AOD=△BOC(SAS)得到AD=BC=2OF=6,證明△AON=△BOM(AAS),則OM一步證明∠AOG=∠AGO,即可得到結(jié)論；②設(shè)OM=ON=a,利用勾股定理構(gòu)建方程求出a即可解決問題.【解答】(1)解：如圖1,連接BC,(2)解：①如圖：連接BC、BH,作BM⊥CD于M,AN⊥CD于N.∴BC=2OF,BC//OF,∴Rt△BMG=Rt△AND(HL),【答案】(1)見詳解【考點】【解析】(1)連接OD,由題意易得OD⊥AC,則有OD⊥PE,進而問題可求證；(2)連接CD,設(shè)OD與AC交于點H,先證四邊形AOCD是菱形，則有∠OAC=30°,然后根據(jù)含30度角的性質(zhì)可進行求解；股定理可得方程求解x,進而可得AH=CH=4,OH=3,最后根據(jù)割補法可求四邊形的面積.【解答】解：(1)證明：連接OD,如圖所示：(2)解：連接CD,設(shè)OD與AC交于點H,如圖所示：即⊙O的半徑為2√3;(3)解：如(2)圖，在Rt△AHO中，由勾股定理可得：(5-x)2+4x2=25,【答案】(1)證明過程見詳解(2)圖中陰影部分的面積為2π-4√2【考點】證明某直線是圓的切線扇形面積的計算求其他不規(guī)則圖形的面積圓與三角形的綜合(圓的綜合問題)【解析】(1)如圖所示，連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODB=∠ACB,OD//AC,根據(jù)DE⊥AC,可得DE⊥OD,由此即可求解；徑定理可得BG的值，由此可算出S△OBD,再根據(jù)扇形的面積計算方法可得S扇形OBD’由此即可求【解答】(1)解：如圖所示，連接OD,∴OB,OD是半徑，即OB=OD,∴OD//AC,∴DE是⊙O的切線.CC∴△ABH是等腰直角三角形，且⊙O的半徑為4,∴∠BOD=45°,且⊙O的半徑為4,【答案】(1)見解析；(3);②PF=PE+√2PD,證明見解析.【考點】全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)圓周角定理已知圓內(nèi)接四邊形求角度解直角三角形的相關(guān)計算【解析】解答即可；(2)連接EF,先求出∠EDF=90°,可得EF為直徑，再利用tan∠AEF=tan∠ADF=3,求出AF=3AE,可得AF=3CF,求出AF和AE,利用勾股定理求得EF的值，則⊙O的面積可求；的三角形的面積相等，得到S△PFD=S△OFD,證明∠FOD=2∠CAD=90°,通過計算△OFD的面積即可得出結(jié)論；②連接EF,過點D作DN⊥DP,交PF于點N,通過證明△DEP=△DFN,得到EP=FN,DN=DP,利用等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得出結(jié)論.【解答】解：(1)證明：∵在Rt△ABC中，AB=AC,∵四邊形FAED是圓的內(nèi)接四邊形，(2)解：連接EF,如圖，·證明：連接EF,過點D作DN⊥DP,交PF于點N,如圖，∴EP=FN,DN=DP,【答案】(1)見解析(2)見解析【考點】【解析】(2)連接CD,AD,OD,OD與AC交于點F,延長DE交◎0于點G,利用圓心角，弧，弦的(3)過點C作CH⊥AB于點H,連接OD,DA,OD與AC交于點K,延長DE交⊙0于點J,利行線之間的距離相等得出結(jié)論即可.【解答】解：(1)證明：∵AB是直徑，(2)證明：連接CD,AD,OD,OD與AC交于點F,延長DE交⊙O于點G,如圖，∵AB是直徑，∴△DKF=△AEF(AAS),∵△CDG的面積為12,∴點C到MN的距離為【答案】2,30或210【考點】90度的圓周角所對的弦是直徑【解析】BC=2√2時，過點A作AH⊥BC于點H,分兩種情況畫出圖形，可得答案；(2)畫出圖形，可,同(3)連接AF,由AB=AC,點F為BC的中點，知∠AFB=90°,故點F的運動軌跡是以AB為直徑的圓，利用圓的周長公式即可得答案.【解答】(1)解：如圖，當(dāng)BC=2√2時，過點A作AH⊥BC于點H,如圖，故答案為：2;30或210;(2)解：如圖，同理(3)解：連接AF,如圖，∴點F的運動路徑長為【答案】【考點】【解析】(1)已知△ABC為等邊三角形，可得AC=BC,又因AC=CD,所以AC=BC=CD,即可判定△ABD為【解答】∴△OAE是等邊三角形，∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，【答案】(1)解：①答案為：45.解析：∵AC為直徑，②如圖，連接OD,如圖，將△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM,連接FM,【考點】半圓(直徑)所對的圓周角是直角用ASA(AAS)證明三角形全等(ASA或者AAS)【解析】【解答】(1)解：①答案為：45.【答案】【考點】【解析】(1)當(dāng)點D在BC的延長線上時，以點C為圓心，AC長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D,連接AD,即為所求；當(dāng)點D在CB的延長線上時，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交CB的延長線于點D?,連接AD?,即為所求；(2)由三角形兩邊之和大于第三邊可得AC+BC>8,連接AC并延長至D,使得CD=CB,連接AO,(3)第1步：作AB的垂直平分線交⊙O于點P;第2步：以點P為圓心，PA為半徑作◎P;第3步：以A為圓心，MN的長為半徑畫弧交◎P于點E;第4步：連接AE交⊙O于點C.【解答】解：如圖，當(dāng)點D在BC的延長線上時，以點C為圓心，AC長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D,連接AD,即為所求；當(dāng)點D在CB的延長線上時，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交如圖，連接AC并延長至D,使得CD=CB,連接AO,(3)如圖，第1步：作AB的垂直平分線交⊙O于點P;第2步：以點P為圓心，PA為半徑作⊙P;第3步：以A為圓心，MN的長為半徑畫弧交◎P于點E;第4步：連接AE交⊙O于點C.【答案】(1)見解析【考點】【解析】(1)先根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°,則∠A+∠ABD=90°,再由∠CBD=∠CAB即可證明BC⊥OB,即可證明BC是⊙O的切線；(2)先根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠A=60°,再由扇形面積公式求解即可.【解答】解：(1)證明：∵AB是半圓O的直徑，∴BC是⊙O的切線；(2)解：如圖，AA∴扇形OBD的面【答案】(1)見解答；(2)見解答.【考點】切線的判定尺規(guī)作圖——過圓外一點作圓的切線【解析】(1)按照尺規(guī)作圖中的線段的垂直平分線步驟進行即可；(2)根據(jù)切線的判定證明即可.【解答】(1)補圖如下：P(2)如圖，連接PA,PB,OA,OB,【答案】2(3)可行，30【考點】含30度角的直角三角形【解析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出OC=OB即可得證；(2)連接OH,證出△GOH為等邊三角形即可得證；(3)取FE中點P,連接AP,證出AP=FP=EP=AO即可求解.【解答】(1)解：∵∠BAC=90°,AO是它的一條中線，故答案：2.(3)解：可行，30。故答案：可行，30.【答案】(1)畫圖見解析；(2①畫圖見解析；②畫圖見解析【考點】圓周角定理正多邊形和圓無刻度直尺作圖利用垂徑定理求值【解析】(1)先作直徑AD,分別以A,D為圓心，OA為半徑畫弧，與⊙O的交點分別為F,B,E,C,再順次連接即可得到正六邊形ABCDEF;(2)①取格點Q,K,連接QK交AD于N,過O,N作直線交⊙O于E,F即可；②取格點Q,K,連接QK交AD于N,過O,N作直線交⊙O于E,F,連接AB交EF于M,連接DM并延長交⊙O于C,連接BC,則BC即為所求.【解答】解：(1)如圖，六邊形ABCDEF即為所求；理由：連接OB,OC,OE,OF,由作圖可得：OA=OB=AB,∴六邊形ABCDEF為⊙O的正六邊形；(2①如圖，EF即為所求；理由：由格點圖形可得：四邊形AQDK為正方形，理由：由(2)得：EF是AD的垂直平分線，∴BC//AD.【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【考點】【解析】分別向右移2個單位，再上移2個單位，再順次連接即可；分別繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°,再順次連接即可；(3)利用弧長公式求解.【解答】(1)解：如圖，△A?B?C?即為所求；(2)解：如圖，△A?B?C?即為所求；(3)解：如圖，【答案】(1)DE=2AM,DE⊥AM.(2)DE=2AM,DE⊥AM,理由見詳解【考點】【解析】(2)延長AM至點H,使得AM=MH,連接BH,證明△AMG=△HMB(SAS),由全等三角形的性ED=AH=2AM,結(jié)合角的等量代換，則可得出答案.(3)①過點C作CM//EB交AD于一點M,連接FM,證明四邊形EBCM是平行四邊形，再推出△FEM=△MDC,再進行角的等量代換得出∠FMC=90°,得出△FMC是等腰直角三角形，即可作答.②連接BD交CF于點I,連接MI,根據(jù)同弧所對的圓周角是相等是，得出點M,I,C,D四點共圓，,MI=IC,即可作答.【解答】(1)解：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，故答案為：DE=2AM,DE⊥AM.(2)解：仍然成立，證明如下：延長AM至點H,使得AM=MH,連接BH,∵四邊形ABCD是正方形，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴△EAD=△ABH(SAS),故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE=2AM.線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM.∴四邊形EBCM是平行四邊形，∵MD=AD-AM,EF=AE=EM-AM=DC-AM=AD-AM,∴△FMC是等腰直角三角形，∵△FMC是等腰直角三角形，則∵四邊形EBCM是平行四邊形，·【答案】BD2=CE·AB;【考點】【解析】(1)、連接OD,根據(jù)弧的中點以及OA=OD得出OD和AE平行，從而得出切線；(3)、根據(jù)AD=DF得出∠1=∠F=∠3,根據(jù)△ADF的內(nèi)角和得出∠1=30°,∠4=60°據(jù)Rt△ECD的三角函數(shù)得出CE、BD的長度，然后根據(jù)(2)的結(jié)論得出答案.【解答】(1)解：數(shù)量關(guān)系是BD2=CE·AB,連接CD,在△ADF中，∠1+∠F+∠3+∠ODF=180°,*由BD2=CE·AB得(2)2=1×AB,∴AB=4,∴⊙O的半徑是2.【答案】【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓周角定理圓的綜合問題垂徑定理的應(yīng)用【解析】(1)在PC上截取PD=AP,利用圓周角定理得到∠APC=60°,則△APD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AP=PD,∠ADP=60°,進而推出∠ADC=∠APB,即可證明,易知PC為⊙O的直徑時，四邊形APBC的面積最大，求出三角形ABC的邊長即可求面積.【解答】(2)當(dāng)點P為弧AB的中點時，四邊形APBC的面積最大.理由如下，如圖2,過點P作PE⊥AB,垂足為E.圖2過點C作CF⊥AB,垂足為F.∴此時四邊形APBC的面積最大.如圖所示，過0作OM⊥BC,連接OB,OC,【答案】點A(2,3)和C(-3,-2)【考點】拋物線與x軸的交點【解析】B作BC⊥y軸于C,由兩點間的距離公式得出10-√4m2-1>2m,求解即可.【解答】(1)解：當(dāng)m=1時，故答案為：點A(2,3)和C(-3,-2);(2)解：當(dāng)m=3時，y=3x+3,(3)解：∵如圖所示，直線x=1與⊙A交于點B,連接AB,過點B作BC⊥y軸于C,【答案】DB-DH的最大值【考點】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】(1)連接OD,利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出(3),作DH⊥BC,作點H關(guān)于DE的對稱點F,連接連接BF,DF,EH,則BD-DH=BD-DF≤BF,即當(dāng)B,F,D三點共線時取得最大值，根據(jù)切線長定理以及對稱性∠EBD=∠EDB=∠HDE=30°,進而【解答】理由如下：連接OD.在Rt△ABC中(2)如圖，作DH⊥BC,作點H關(guān)于DE的對稱點F,連接連接BF,DF,EH,0BCDAA0DFBEHC°°【答案】【考點】同弧或等弧所對的圓周角相等證明某直線是圓的切線【解析】出求BD的長度.【解答】解：(1)證明：連接BC,如圖1所示，(2)解：連接OD,【答案】(1)∠CAO(答案不唯一)(2)證明見解析【考點】半圓(直徑)所對的圓周角是直角切線的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】(1)利用切線性質(zhì)和平行線、等腰三角形性質(zhì)，找出與∠CAE相等的角.(2)通過切線性質(zhì)、圓周角定理推導(dǎo)角相等，結(jié)合公共角證明三角形相似；(3)利用圓周角定理得到線段相等，結(jié)合相似三角形△BCF∽△CAF的性質(zhì)，通過設(shè)BF=x,則CF=2x,AF=4x,建立關(guān)系求解比值.【解答】(1)解：∵EF是⊙O的切線，∵OA=OC,△AOC為等腰三角形，∴∠CAE=∠CAO(答案不唯一);。【答案】(1)見解析；(2)◎0的半徑√3.【考點】等邊三角形的性質(zhì)與判定勾股定理的應(yīng)用尺規(guī)作圖——確定圓心【解析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，確定三角形的外接圓的圓心.(1)根據(jù)三角形的外接圓的圓心是三角形邊的垂直平分線的交點進行確定即可；(2)由題意易得△OAB是等邊三角形，則∠OAB=∠OBA=∠O=60°,進而可得∠C=∠BAC=30°,然后可得AC=√OC2-OA2=√30A,最后問題可求解.【解答】解：(1)△ABC的外接圓⊙O如圖所示：由作圖知OA=AB,【答案】55一4【考點】【解析】形的性質(zhì)可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC,利用垂徑定理可得出AO⊥BC,結(jié)合AD//BC可得出AD⊥AO,由此即可證出AD是⊙O的切線；全等三角形的性質(zhì)可求出AF,BF的長，設(shè)FG=x,在此題得解.【解答】(1)證明：如圖1,連接OA,OB,OC可證出△ADC=△AFB(AAS),利用Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，在△OAC和△OAB中，(2)如圖2,連接AE.在△ADC和△AFB中·【答案】【考點】90度的圓周角所對的弦是直徑【解析】(1)先根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑判斷出AB是直徑，即可求解；(2)設(shè)CD與AB相交于點E,根據(jù)等面積法求出CE,然后根據(jù)垂徑定理求解即可；(3)證明△ACO是等邊三角形，得出∠ACO=60°,根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠DOC=90°,結(jié)合等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠DCO=45°,即可求解.【解答】(1)解：∵∠ACB=90°,AC=2,CB=2√3,∴⊙O的半徑(2)解：設(shè)CD與AB相交于點E,.BC,.∵CD⊥AB,AB是⊙0是直徑，(3)解：∵AC=CO=AO=2,∴△ACO是等邊三角形，∴△DOC是等腰直角三角形，【答案】(1)見解析(2)見解析【考點】半圓(直徑)所對的圓周角是直角畫圓(尺規(guī)作圖)同弧或等弧所對的圓周角相等【解析】(1)根據(jù)三角形的外心為三角形三邊中垂線的交點，作AC,AB的中垂線，兩條中垂線的交點即(2)根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠ADC=90°,∠ACB=∠AEB,即可得證；【解答】(1)解：由題意，作圖如下：【答案】(1)見解析；(2)∠BAD=65°【考點】全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)半圓(直徑)所對的圓周角是直角【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，圓周角定理的推論.熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)四邊形ABCD是矩形，推出∠B=90°,AD//BC,從△AFD=△EBA(AAS),從而得到AB=DF.可求得∠BAD的度數(shù).【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，【答案】【考點】【解析】(2)連結(jié)OC,通過證明△BOC為等邊三角扇形OCA的面積減去△OCA的面積即可得解.【解答】理由如下：如圖，連結(jié)OD,∵△ABC內(nèi)接于⊙0,AB為直徑(2)如圖，連結(jié)OC∴△BOC為等邊三角形∵⊙O的半徑為2cm【答案】(1)拋物線解析式為y=-x2+2x+3;直線BC解析式為y=-x+33或-1【考點】【解析】(1)利用待定系數(shù)法，將已知點代入拋物線和直線的解析式中求解系數(shù)即可；(2)由題意知，四邊形AOCQ是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得(3)先用m表示出MN,然后用含m的式子表示出△MBC的面積，再通過二次函數(shù)的性質(zhì)即可(4)先將拋物線解析式化為頂點式，然后分情況討論對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，從而確定最大值的情況，進而求出m的值.【解答】(1)解：∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),點A的坐標(biāo)為(-1,0),與y軸交于點C(0,3),將點A,點C的坐標(biāo)分別代入得：解得：∴直線BC解析式為y=-x+3;(2)解：由題意知，四邊形AOCQ是圓內(nèi)接四邊形，(3)解：∵PM⊥x軸，點P的橫坐標(biāo)為m,(4)解：拋物線y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,其對稱軸為直線x=1,解得m=-1或1(不合題意，舍去);解得m=1(不合題意，舍去)或m=3;綜上所述，m的值為3或-1.故答案為：3或-1.【答案】(1)證明見解析；【考點】【解析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.(1)連接CO,DO,證明△CDO=△BDO(SSS),所以∠OCD=∠OBD,又CD與◎O相切，可得∠OCD=90°,從而可證OB⊥BD,再由切線的判定即可求證；∠DFC=∠ACB=∠DFB=90°,證明△AEC=△DEF(AAS),所BF=2a,BE=3a,BC=4a,然后通過勾股定理得DF=2√2a,即有AC=DF=2√2a,AB=2√6a,再由sin即可求解.【解答】解：(1)證明：如圖，連接CO,DO,∴DF=√DE2-FE2=√(3a)2-a2=2√2a,AB-V4C+BC=(2√2a2+(4a2=2√6a,【答案】AE=√2DF(2)成立；理由見解析【考點】圓周角定理根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】(1)證明△ACD為等腰直角三角形，得到AC=√2CD.則CE=√2CF,C,F,D三點共線，即可得到AE=AC-CE=√2CD-√2CF=√2(CD-CF)=√2DF;(2)證明△ACE∽△DCF,得到即可證明結(jié)論成立；(3)分兩種情況進行解答即可.【解答】(1)解：(1)∵△ABC為等腰直角三角形，D為AB的中點，∴△ACD為等腰直角三角形，∵△CEF為等腰直角三角形，∴CE=√2CF,C,F,D(2)成立，理由如下：如解圖，連接CD.∵△CEF為等腰直角三角形，·(3)∵△ABC是等腰直角三角形，BC=10,【答案】(2)見解析【考點】【解析】(1)連接OD,DB,利用線段垂直平分線的性質(zhì)，同圓的半徑相等，得到△OBD為等邊三角形，(2)利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求得∠CDB=30°,則∠CDO=90°,再利用圓的(3)連接OP,利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.【解答】(1)解：如圖1中，連接OD,DB,圖1∵點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D,(3)解：連接OP,如圖2,由已知可得：OP=OB=BC=2OE.?！ぁ敬鸢浮恳娊獯稹究键c】三角形的外接圓與外心作三角形的內(nèi)切圓與外接圓【解析】連接AB、AC,分別作線段AB、AC的垂直平分線，相交于點O,連接AO,以點O為圓心，AO的長為半徑畫圓即可.【解答】解：如圖，⊙O即為所求，【答案】解：[問題解決]如圖，點C為⊙O上任意一點，連接PC,OC,∴PB的長是點P到◎O上的點的最長距離.[初步應(yīng)用](1)若點P在◎O外，如圖①,B∴⊙O的半徑為2;∴⊙O的半徑為5;綜上所述，⊙O的半徑為2或5.故答案為：2或5.(2)連接AE,交⊙O于點D由[模型建立]可得AD的長是點A到◎E上的點的最短距∴AP的最小值是AD的長.[拓展延伸]取點D(4,0),連接BD,∴點A是線段OD的中點，∵點C是線段OB的中點，∴當(dāng)線段BD取得最大值時，線段AC也取得最大值，∴當(dāng)點B位于點B′時，線段DB有最大值，∴線段AC的最大值為故答案為：【考點】點與圓的位置關(guān)系【解析】此題暫無解析【解答】解：[問題解決]如圖，點C為⊙O上任意一點，連接PC,OC,當(dāng)點C與點B不重合時，當(dāng)點C與點B重合時，PB=PC,∴PB的長是點P到⊙O上的點的最長距離.(1)若點P在⊙O外，如圖①,∴⊙O的半徑為2;若點P在◎O內(nèi)，如圖②,∴⊙O的半徑為5;綜上所述，⊙O