專題02反比例函數(shù)（5知識(shí)&5題型&4易錯(cuò)&5方法清單）

清單01反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=人（女是常數(shù)，后0）叫做反比例函數(shù)，其解析式也可寫成卜=依-|或xy=

X

〃的形式，自變量式的取值范圍是燈0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù).

清單02反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

圖象是雙曲線，當(dāng)心＞0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x

的增大而減??；當(dāng)"V0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x

的增大而增大.反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線y=x和y—x,又是中心

對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn).

清單03反比例函數(shù)解析式的確定

確定解析式的方法是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y=4中只有一個(gè)待定系數(shù)2,因此只需

x

一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出〃的值，從而確定其解析式.

試卷第1頁，共16頁

清單04反比例函數(shù)中網(wǎng)的幾何意義

從反比例函數(shù)（后0）圖象上任意一點(diǎn)向X軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的

X

矩形面積為網(wǎng)，以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為;四.

清單05反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

聯(lián)立一次函數(shù)），=k\x+b與反比例函數(shù)），=8■的解析式，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)圖象可

X

比較為與”的大小，即觀察一次函數(shù)圖象高于或低于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的X的

范圍.

期中?？碱}型清單

【題型一】根據(jù)定義判別是否反比例函數(shù)

[例1]（24—25八年級(jí)卜河南周口?期中）

1.下列關(guān)于N的函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（）

A.y=-x+lB.y=——C.y=x2D.y=\[x

x

【變式1-11（24-25八年級(jí)下?江蘇泰州?期中）

2.以下是反比例函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=-x-\C.y=--D.y=x2-x

【變式1一2]（24-25八年級(jí)下?江蘇連云港?期中）

3.下列函數(shù)：①），=-：■，?-=1，③刈=11,④?=二，⑤，」+1,⑥y=/，其

3XXX+1A

中y是x的反比例函數(shù)的有（）

A.②③⑥B.①③⑥C.①③⑤D.④⑤⑥

【題型二】已知反比例函數(shù)的解析式求圖象和性質(zhì)

【例2】（24-25九年級(jí)上?湖南益陽?期中）

4.關(guān)于反比例函數(shù)y=3的圖象，下列說法正確的是（）

X

A.它的圖象與x軸、J軻各有一個(gè)交點(diǎn)B.點(diǎn)（8,2）在它的圖象上

c.它的圖象在第二、四象限D(zhuǎn).y隨工的增大而減小

【變式2—1]（24-25八年級(jí)下?山西晉城?期中）

試卷第2頁，共16頁

5.下列關(guān)于反比例函數(shù)）=-上的描述不正確的是（）

X

A.圖象位于第二、四象限B.圖象必經(jīng)過點(diǎn)g'

C.圖象不可能與坐標(biāo)軸相交D.V隨工的增大而增大

【變式2一2］（24—25八年級(jí)下?河南南陽?期中）

6.己知點(diǎn)/（-L-3）在反比例函數(shù)），=&的圖象上，下列結(jié)論中正確的是（）

X

A.圖象位于第二、四象限

B.y隨x的增大而減小

C.點(diǎn)96）在它的圖象上

,k

D.若點(diǎn)8（-3,必）、。（3,月）都在反比例函數(shù)、=一的圖象上，則必>為

X

【變式2一3］（24-25九年級(jí)上?吉林?期中）

7.已知反比例函數(shù)歹=生吆（。為常數(shù)）.

x

（1）若該反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，求。的取值范圍；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，卜隨x的增大而減小，求〃的取值范圍.

【題型三】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解

【例3】（24—25九年級(jí)下?廣東中山期中）

8.已知點(diǎn)（-2,。）、（㈤、（3,c）在反比例函數(shù)j，="（QO）的圖象上，則。、Ac的大小關(guān)

A

系為.（請(qǐng)用連接）

【變式3一1］（24-25九年級(jí)下?陜西咸陽?期中）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)歹=與（〃/0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,〃?）和（-2,〃），則〃?+〃

X

的值是.

【變式3一2］（24-25九年級(jí)下全國期中）

k4.1

10.反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，則4的取值范圍是—.

x

【題型四】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題

【例4】（24-25九年級(jí)下?湖北十堰?期中）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)乂=-（x+3的圖象與反比例函數(shù)以=人的

圖象相交于4-2,⑼,8（%-1）兩點(diǎn).

試卷第3頁，共16頁

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：

(2)若乂>/，請(qǐng)直接寫出滿足條件的x的取值范圍.

【變式4一1](24-25九年級(jí)上?甘肅蘭州?期中)

12.如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖像與反比例函數(shù)),二§的圖像交于點(diǎn)力(1,〃])，與X軸交于

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)P在第三象限為反比例函數(shù)y=上圖像上一點(diǎn)，SAOBP=2S,C，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

x

⑶當(dāng)x+3<±時(shí)，求x的取值范圍.

X

【變式4一2](24—25九年級(jí)下?四川內(nèi)江?期中)

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，直線48：V=x+見與反比例函數(shù)丁=上的圖象交于力、

x

B兩點(diǎn),與x軸相交丁點(diǎn)C,己知點(diǎn)46的坐標(biāo)分別為(3,1)和(-1,〃).

試卷第4頁，共16頁

⑴求?次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)請(qǐng)直接寫出不等式工+用>-的解集：

X

(3)點(diǎn)。為反比例函數(shù)y二七圖象上的任意一點(diǎn)，若以必二350次.，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

X

【題型五】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【例5】(24-25八年級(jí)下?四川宜賓?期中)

14.某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“蚊蟲叮咬'、，對(duì)教室進(jìn)行“蕙藥消毒已知藥

物在燃燒釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量Mmg)與燃燒時(shí)間x(min)之間的關(guān)系如圖

所示.根據(jù)圖象所示信息，解答下列問題：

(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量低于3mg,對(duì)人體無毒害作用.從消毒開始，

至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室？

(3)當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于4mg且持續(xù)時(shí)間不低于40分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中

的病菌.你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由.

【變式5一1](23-24九年級(jí)上?江西宜春?期中)

15.如圖1是某新款茶吧機(jī)，開始加熱時(shí)，水溫每分鐘上升25款,加熱到100。(3時(shí),停止

加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫)，(℃)是通電時(shí)間x(min)的反比例函數(shù).若在水溫為20(時(shí)

開始加熱，水溫V與通電時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

圖1圖2

⑴將水從2U℃加熱到10。(需要_min；

試卷第5頁，共16頁

（2）在水溫下降的過程中，求水溫y關(guān)于通電時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；

⑶加熱一次，水溫不低于40。（2的時(shí)間有多長？

【變式5一2］（23-24八年級(jí)下?湖南衡陽?期中）

16.我校后勤處每周周日均會(huì)對(duì)學(xué)校教室進(jìn)行消毒處理，已知消毒水的消毒效果隨著時(shí)間變

化如圖所示，消毒效果v（單位：效力）與時(shí)間x（單位：分鐘）呈現(xiàn)三段函數(shù)圖象，其中

48段為漸消毒階段，8C段為深消毒階段，CQ段是反比例函數(shù)圖象的一部分，為降消毒階

段，請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：

⑴第3分鐘時(shí)消毒效果為效力：

（2）求深消毒階段和降消毒階段中V與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若消毒效果持續(xù)28分鐘達(dá)到4效力及以上，即可產(chǎn)生消毒作用，請(qǐng)問本次消毒是否有

效？

高頻易錯(cuò)歸因清單

【題型一】根據(jù)反比例函數(shù)的定義求參數(shù)

【例1】（24-25九年級(jí)上?湖南永州?階段練習(xí)）

17.已知函數(shù)歹=（〃?+2）利是關(guān)于x的反比例函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃?的值是.

【變式1一1］（24—25八年級(jí)下?湖南衡陽?期中）

4

18.函y=F■數(shù)是反比例函數(shù)，則，

A

【變式1一2］（24—25八年級(jí)下?湖南衡陽?期中）

19.若y=（〃L1）乃是反比例函數(shù)，則〃?的值為.

【題型二】反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象的綜合

【例2】（24-25九年級(jí)上?安徽滁州?期中）

20.如圖是拋物線3，=加+6+，（*b>c是常數(shù)且。>0）的圖象，則雙曲線》=七±把

X

和直線y=（/>-2a）x+c在同一坐標(biāo)系中的位置可能為（）

試卷第6頁，共16頁

【變式2一2］（24-25九年級(jí)上?安徽滁州?期中）

22.如圖，同一平面宜角坐標(biāo)系中，拋物線與雙曲線y=工0）的圖象

大致為（）

試卷第7頁，共16頁

【題型三】反比例函數(shù)中利用k值求圖形的面積

【例3】（24-25八年級(jí)下?福建泉州期中）

23.如圖，平行于歹軸的直尺（一部分）與雙曲線y="（x>0）交于點(diǎn)力和C,與x軸交于

X

點(diǎn)8和。，點(diǎn)4和8的刻度分別為5cm和2cm,直尺的寬度2cm,OB=2cm,（注：平面

直角坐標(biāo)系內(nèi)一個(gè)單位長度為1cm）△40C的面積是cm2.

【變式3一1］（24—25九年級(jí)上?陜西西安?期中）

Q

24.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形。力BC的邊與函數(shù)y=-（x>0）圖象交于E,F兩點(diǎn),

X

且F是8c的中點(diǎn)，則四邊形/。心的面積等于.

【變式3一2］（24-25九年級(jí)上吶蒙古包頭?期中）

42

25.雙曲線C：y=—（x>0）和。2：?=一（工>0）如圖所示，設(shè)點(diǎn)P在G上，PC_Lx軸于點(diǎn)C,

X.X

交于G點(diǎn)兒。。，卜軸于點(diǎn)。，交G于點(diǎn)8,則四邊形408的面積為.

試卷第8頁，共16頁

【題型四】己知反比例函數(shù)的定義求函數(shù)的解析式

【例4】（24—25八年級(jí)下?福建泉州?期中）

26.已知y二為一必，其中乂與x成反比例，為與x+2成正比例，當(dāng)K=-1時(shí)，y=-2,當(dāng)

x=2時(shí)，y=10.

⑴求y與％的函數(shù)表達(dá)式：

（2）當(dāng)X=4時(shí)，求y的值

【變式4一1］（23—24八年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州期中）

27.已知y=2%%與x+1成正比例，%與x成反比例，且當(dāng)x=l時(shí)，y=4；x=2時(shí),

y=3：

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

⑵求當(dāng)x=3時(shí)的函數(shù)值.

方法技巧速通清單

【題型一】反比例函數(shù)與三角形的綜合問題

方法技巧總結(jié)：

1.坐標(biāo)化處理：將三角形的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)系中.通常把一個(gè)頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，或利用坐標(biāo)軸

簡化計(jì)算.

2.利用函數(shù)求坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=七中.用一個(gè)未知數(shù)表示兩個(gè)坐標(biāo),

X

如點(diǎn)（a,—）.

3.運(yùn)用幾何公式列方程：根據(jù)三角形的面積、邊長或相似等條件，列出關(guān)于未知數(shù)的方程.

［例1］（24—25八年級(jí)」二?上海?期中）

28.如圖，雙曲線y=勺經(jīng)過點(diǎn)力（2,3）和點(diǎn)C,48〃工軸，點(diǎn)。是08的中點(diǎn).

試卷第9頁，共16頁

⑴試求A-的值；

(2)試求三角形048的面積.

【變式1一1](24—25九年級(jí)上?福建莆田?期中)

k—3

的圖象的一支位于第一象限.

⑴若石(國,必)，產(chǎn)&，必)在圖象上，且再＜/＜。，則)'】_必；

(2)點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

C,若△力8C的面積為4,求A的值.

【變式1一2](24—25九年級(jí)下?河南商丘?期中)

30.如圖，△048為等邊三角形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0),C為。力的中點(diǎn)，且在反比例函數(shù)

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若將△38向左平移，使得點(diǎn)4落在反比例函數(shù)的圖象上，求平移的距離：

⑶若反比例函數(shù)y=±(x＞0)的圖象與邊交于點(diǎn)。，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

X

【題型二】反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題

方法技巧總結(jié)：

試卷第10頁，共16頁

1.坐標(biāo)化與模型化：將四邊形放在坐標(biāo)系中，利用函數(shù)關(guān)系設(shè)出頂點(diǎn)坐標(biāo).這類問題常涉

及特殊四邊形，如平行四邊形、菱形或梯形.

2.拆分或補(bǔ)全：將不規(guī)則四邊形拆分成兩個(gè)三角形，或通過補(bǔ)全成大矩形再減去周圍三角

形面積.這種方法可以簡化面積計(jì)算.

3.利用幾何性質(zhì)：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)列方程.例如平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，菱

形的四條邊相等等，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系.

【例2】(2024?江蘇常州?二模)

31.如圖，四邊形。是平行四邊形，反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)力和AC的

中點(diǎn)。，AB=6,平行四邊形O/8C的面積是48.

(1)點(diǎn)。的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為;

(2)求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

【變式2一1](24—25八年級(jí).卜.?四川宜賓?期中)

m—1

32.如圖，一次困數(shù)7=6-4太(％工0)的圖象與反比例函數(shù)y=--(6-1=0)的圖象

x

交于點(diǎn)。，與X軸交于點(diǎn)兒過點(diǎn)。作Cy軸,垂足為連接OC,已知四邊形4BCO

是平行四邊形，且其面積是12.

(1)求點(diǎn)彳的坐標(biāo)及機(jī)和〃的值；

(2)若兩函數(shù)圖象另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)。的縱坐標(biāo)為-|,請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出不等式

m—I

——2心-44的解集；

試卷第11頁，共16頁

(3)若直線y=x+r與口44。。有交點(diǎn)時(shí)，求，的取值范圍.

【變式2一2](24-25九年級(jí)上?江蘇南通?期中)

33.平行四邊形488在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖麻示,其中力(-6,0),8(4,0),C(5,3),

(1)求此反比例函數(shù)的解析式；

⑵將平行四邊形沿x軸翻折得到平行四邊形/O'C'8,請(qǐng)你通過計(jì)算說明點(diǎn)。在雙曲

線上；

(3)求△/OC的面積.

【題型三】反比例函數(shù)與矩形的綜合問題

方法技巧總結(jié)：

1.利用直角和坐標(biāo)軸：通常會(huì)把矩形的一個(gè)頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，兩條鄰邊分別與x軸、y軸重

合.這樣，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)就很容易表示出來.

2.利用面積公式：矩形的面積等于長乘以寬.結(jié)合反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)(a,k/a)

可以快速建立關(guān)于面枳的方程.

3.巧用人的幾何意義：這是最核心的技巧.

【例3】(24—25八年級(jí)下?江蘇無錫?期中)

34.如圖直角坐標(biāo)系中，矩形力的邊3C在x軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為8(1,0),

7)(33).

試卷第12頁，共16頁

⑴若反比例函數(shù)y=A(%=0)的圖象經(jīng)過直線4C上的點(diǎn)E,且點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,〃。，求小

X

的值及反比例函數(shù)的解析式；

(2)若(2)中的反比例函數(shù)的圖象與C。相交于點(diǎn)尸，連接Eb,在直線48上找一點(diǎn)尸，使

得S.PEF=,求點(diǎn)P的坐標(biāo)?

【變式3一1](24-25八年級(jí)下?河南洛陽?期中)

35.四個(gè)角都是直接的四邊形是矩形.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形力4c。是矩形,

(1)直接寫出伉三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將矩形488向右平移機(jī)個(gè)單位，使點(diǎn)4。恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y=?x>0)的圖象

上，得矩形A'BCD:求矩形ABCD的平移距離m和反比例函數(shù)的解析式：

(3)在(2)的條件下，直接寫出△H。*的面積.

【變式3—2](24—25八年級(jí)下?四川眉山?期中)

36.已知，矩形。力4。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/的坐

標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(10,8).

⑴求直線4C的解析式：

⑵已知直線4C與雙曲線卜=:，〃3。，在第一象限內(nèi)有一交點(diǎn)。為(5,〃)；若動(dòng)點(diǎn)尸從4點(diǎn)

出發(fā)，沿折線力O-OC的路徑以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)。處停止，求△。尸。

的面積S與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/(秒)的函數(shù)關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象；

試卷第13頁，共16頁

(3)在(2)的條件下,當(dāng)SN10時(shí)，求f的取值范圍.

【題型四】反比例函數(shù)與菱形的綜合問題

方法技巧總結(jié)：

1.利用中心時(shí)稱性：菱形是中心對(duì)稱圖形.如果它的對(duì)稱中心恰好是原點(diǎn)，那么對(duì)角的兩

個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)是(。，b)和(-4,~h}.這種對(duì)稱性在解題時(shí)非常有用.

2.利用邊長相等：菱形的四條邊都相等.設(shè)出頂點(diǎn)坐標(biāo)后，可以利用兩點(diǎn)間距離公式，根

據(jù)邊長相等的條件列出方程.

3.利用對(duì)角線性質(zhì)：菱形的對(duì)角線互相垂直平分.這個(gè)性質(zhì)可以用來計(jì)算面積，或者在坐

標(biāo)系中確定頂點(diǎn)的位置關(guān)系.

【例4】(24-25九年級(jí)上?湖南岳陽期中)

37.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形力8c。在第一象限內(nèi)，邊8C與“軸平行，A,B兩點(diǎn)、

的縱坐標(biāo)分別為6,4,反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象經(jīng)過力，3兩點(diǎn)，若菱形/切CD的

(1)求菱形的邊長；

(2)求上的值.

【變式4一1](24-25九年級(jí)上?湖南永州?期中)

38.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為(1,相)

(1)求過點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)。在x軸上，當(dāng)以8、。、。三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

【變式4一2](24-25九年級(jí)下?全國?期中)

試卷第14頁，共16頁

39.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XON中，反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象和菱形力88都在第

一象限內(nèi)，^=|,8O〃x軸，且80=4,點(diǎn)力的坐標(biāo)為(3,5).

⑴若反比例函數(shù)y=§(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,求此反比例函數(shù)的解析式；

(2)若將菱形48CQ向下平移〃?(加>0)個(gè)單位長度，使菱形48CO的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)同時(shí)

落在反比例函數(shù)圖象上，求機(jī)及此時(shí)女的值.

【題型五】反比例函數(shù)與正方形的綜合問題

方法技巧總結(jié)：

1.利用直角和坐標(biāo)軸：這是最常見的突破口.通常將正方形的一個(gè)頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，兩條鄰

邊分別與x軸、y軸重合.這樣，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)就可以用一個(gè)邊長。來表示.

2.巧用人的幾何意義：如果正方形的頂點(diǎn)在雙曲線上，可利用A的幾何意義.從雙曲線上

一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，形成的矩形面積是因.在正方形中，這個(gè)小矩形和正方形的面積關(guān)系

往往是解題的關(guān)鍵.

3.利用旋轉(zhuǎn)或全等：當(dāng)正方形的頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，可■考慮旋轉(zhuǎn)法.將圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

90度，利用全等三角形來尋找坐標(biāo)間的關(guān)系.這種方法技巧性稍高，但在一些難題中非常

有效.

【例5】(24-25九年級(jí)上?山東淄博?期中)

40.如圖，四邊形力灰刀為正方形，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(01)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,-2),反比例函

數(shù)y=±的圖象經(jīng)過點(diǎn)C一次函數(shù)1=。'+人的圖象經(jīng)過/、C兩點(diǎn).

x

試卷第15頁，共16頁

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式：

(2)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)M的坐標(biāo)：

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

【變式5一1](23-24八年級(jí)下?江蘇泰州?期中)

41.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力在y軸上，正方形48CD的頂點(diǎn)8在反比例函數(shù)"(k

x

為常數(shù)，且女工0,x>0)的圖像上，點(diǎn)力在反比例函數(shù)y=(〃為常數(shù)，且上工0,

X

且〃*0)的圖像上.

①k=:

②如圖1,當(dāng)正方形/16CD的頂點(diǎn)力與點(diǎn)O重合時(shí)，試探究是否為定值.如果是，求出

這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明理由；

(2)如圖2,當(dāng)正方形R8CD的頂點(diǎn)力在y軸的正半軸時(shí)，直接寫出〃?、〃滿足的等量關(guān)系式.

試卷第16頁，共16頁

1.B

k

【分析】本題考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的定義，形如y=一（左為

X

常數(shù)且%工0）的函數(shù)是反比例函數(shù)，需逐一分析選項(xiàng)是否符合該形式.

【詳解】解：A、y=-x+i不符合反比例函數(shù)的形式；

1-1k

B、歹=?一可整理為y=—,符合歹=一（〃:1）,是反比例函數(shù)，

XXX

C、y=不符合反比例函數(shù)的形式，

D、y=4不符合反比例函數(shù)的形式，

故選：B.

2.C

【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，注意掌握反比例函數(shù)解析式的一般形式夕=4（4工0）,

x

也可以轉(zhuǎn)化為y二日穴人工0）的形式.由題意直接根據(jù)反比例函數(shù)的定義，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判

定即可.

【詳解】解：A.y=2x是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.y=-x-1是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

c.y=是反比例困數(shù)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

x

D.y=x,不是反比例函數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：C.

3.B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義：形如N="（其中AHO且上為常數(shù)）的函數(shù)是反比

x

例函數(shù)，據(jù)此定義判斷即可.

【詳解】解：由母=11得丁=以，故反比例函數(shù)有：①③⑥；

XX

故選:B.

4.B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可

x

得解，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

答案第1頁，共37頁

【詳解】解：A、反比例函數(shù)的圖象為雙曲線，無限接近坐標(biāo)軸但不會(huì)與％軸或歹軸相交，

故A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、將點(diǎn)(8,2)代入函數(shù)，y=?=8,滿足方程，故該點(diǎn)在圖象上，B正確，符合題意；

C、反比例函數(shù)y的圖象位在第一、三象限，C錯(cuò)誤，故不符合題意；

D、反比例函數(shù)y二3，在每一象限內(nèi)，隨x的增大而減小，故D錯(cuò)誤，不符合題意；

X

故選：B.

5.D

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)y=的性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)

X

的正誤即可.

【詳解】A.反比例函數(shù)y=上的圖象位置由上的符號(hào)決定.當(dāng)左二-3<0時(shí)，圖象位于第二、

X

第四象限，故A正確.不符合題意：

(3、3

B.將點(diǎn)2,--代入函數(shù)：當(dāng)x=2時(shí)，y=與點(diǎn)的縱坐標(biāo)一致，故B正確.不符合題

\)2

忠；

C.反比例函數(shù)中工工0且因此圖象永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交，故C正確.不符合題意；

D.當(dāng)％<0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，N隨x的增大而增大.但若未限定“每個(gè)象限內(nèi)”，當(dāng)x跨

象限變化時(shí)(如從負(fù)數(shù)到正數(shù))，V會(huì)先減小后增大，故D的描述不完整，錯(cuò)誤.符合題意；

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征逐項(xiàng)分析判斷即可.

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，熱練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)

鍵.

【詳解】解：A、?.?點(diǎn)力(-1,-3)在反比例函數(shù)尸千的圖象上，

,,^=-3x(-l)=3>0,反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

B、?./=3>0,反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨工的增大而減小，

???選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、,x6=3=A,

2

答案第2頁，共37頁

二點(diǎn)6）在它的圖象上，選項(xiàng)說法正確，符合題意；

D、當(dāng)X=-3時(shí)，=-^=-1:當(dāng)X=3時(shí)，乃=：=1,

.?.乂<為，故選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意：

故選：C.

7.（1）"3

⑵”3

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）由反比例函數(shù)^=生辿的圖象位于第二、四象限，得到2a-6<0,然后求解即可;

x

（2）當(dāng)x>（）時(shí)，y隨x的增大而減小，得到2a-6>0,,然后求解即可.

【詳解】（1）解：???反比例函數(shù)曠=組3的圖象位于第二、四象限，

x

-6<0,

解得”3,

的取值范圍是。<3；

（2）解：?.?反比例函數(shù)y=也”（〃為常數(shù)），當(dāng)x>0時(shí)，'隨x的增大而減小，

x

2a-6>0,

解得

二.a的取值范圍是a>3.

8.a<c<b

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)4>0,得到反比例函數(shù)的圖象在一、

三象限，再根據(jù)點(diǎn)所在象限，結(jié)合反比例函數(shù)的增減性，即可解題.

【詳解】解：???〃>（）,

;反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，

?.?點(diǎn)（-2,〃）、（1,6）、（3,c）在反比例函數(shù)上="他>0）的圖象上,

X

???當(dāng)x=-2時(shí)，a<0,

???（1力）、（3,c）在第一象限的圖象上，又y隨x的增大而減小，

0<c</>,

：?a<c<b,

答案第3頁，共37頁

故答案為：a<e<h.

9.0

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)健.

根據(jù)題意，根⑹和(-2,〃)都滿足解析式y(tǒng)=1化工0),即可求解.

A

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=g(AH0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，〃)和(-2,〃)，

:.2m=-In,

解得：m+/?=0

故答案為：0.

1().k<-\

【分析1本題考查了已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍.對(duì)于反比例函數(shù)尸二"，當(dāng)人>0

x

時(shí),圖象經(jīng)過一、二象限：當(dāng)％<0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限：據(jù)此即可求解.

【詳解】解：由題意得：％+1<0,

：.k<-\

故答案為：k〈-l.

Q

11.(1)反比例函數(shù)為必=——;

X

(2)x<-2或0cx<8

【分析】本題是反比例函數(shù)與?次函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)必滿足兩函

數(shù)解析式成為解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)一次函數(shù)的解析式確定〃八〃的值，進(jìn)而確定力、4的坐標(biāo)，然后代入反比例函

數(shù)解析式即可解答；

(2)直接根據(jù)函數(shù)圖象即可解答.

【詳解】(I)解：:一次函數(shù)乂=一；工+3的圖象過4-2,〃7),8(〃,—1),

/.m=-ix(-2)+3,一］=一；〃+3,

w=4,”=8,

4點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4)兩點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-1)兩點(diǎn)，

把4(一2,4)代入%=￡求得〃=一8,

X

Q

???反比例函數(shù)為弘=一-;

X

答案第4頁，共37頁

(2)解：觀察圖象，若%>%，則％的取值范圍是X<-2或〉<xv8.

4

12.⑴尸一

x

⑵(-2,-2)

(3)%<-4或0cx<1

【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)

合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)先把點(diǎn)力(1,m)代入？=x+3,求出〃?的值，再用待定系數(shù)法求出左的值即可；

(2)先求出04和OC長，過點(diǎn)力作/軸于點(diǎn)〃，過點(diǎn)P作尸。_Lx軸于點(diǎn)。，連接

OA,OB,OP,利用心。配=2s徵優(yōu)得到go8xPO=2x；OCxN〃，列出方程進(jìn)行求解即

可；

(3)首先求出一次函數(shù)J=x+3的圖像和反比例函數(shù)y=&的圖像的交點(diǎn)為(1,4),

X

然后根據(jù)圖象求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，將力(1,〃?)代入y=x+3中，

/.m=\+3,

〃7=4,

二力(1,4),

k

將題1,4)代入反比例函數(shù)y=￡,

x

，A=1x4=4,

4

???反比例函數(shù)的解析式為」=—;

X

(2)解：對(duì)于y=x+3,

當(dāng)y=0時(shí)，0=工+3,

解得x=-3,

.?.4(-3,0),OB=3,

vC(O,3),

???。。=3,過點(diǎn)4作力〃一p軸于點(diǎn)〃，過點(diǎn)尸作尸。_Lx軸于點(diǎn)O,連接。力，OB,0P,

答案第5頁，共37頁

S&OBP=2sMAC，

.-.-OBxPD=2x-OCxAH

22t

嗎x3xP/)=2x；x3xl,

解得PD=2,

?.?點(diǎn)尸在第三象限，

二點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2,

4

將'二-2代入y=一得x=-2,

x

4p=x+3

(3)解：聯(lián)立>=x+3和y=一得，，4,

xy=-

X

整理得，工2+3刀-4=0,

解得x=l或x=-4,

將x=-4代入y=x+3=l,

二一次函數(shù)y=x+3的圖像和反比例函數(shù)》=士的圖像的交點(diǎn)為(1,4),(-4,-1),

X

由圖象可得，當(dāng)一次函數(shù)P=x+3的圖像在反比例函數(shù))，="的圖像下方時(shí)，xv-4或

x

0<%<1,

k

.?.當(dāng)x+3<—時(shí)，x的取值范圍為工<-4或0<x<l.

x

13.(1)一次函數(shù)的解析式為y=x-2,反比例函數(shù)的解析式為y

(2)-l<x<0g￡x>3

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。,3)或(-1,-3)

【分析】(1)把點(diǎn)力(3,1)代入直線y=x+〃?得：m=-2,即可求得一次函數(shù)的解析式，把

答案第6頁，共37頁

k

點(diǎn)431)代入y=—,得〃=3,即可求得反比例函數(shù)的解析式；

x

(2)求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，根據(jù)圖象求解即可；

(3)根據(jù)圖象求出再根據(jù)S“8=3S^“求出%>”，即可求出.

【詳解】(1)解：把點(diǎn)43,1)代入直線y=x+〃?得：〃?=—2,

「?直線48:y=x—2,

即一次函數(shù)的解析式為y=x-2,

把點(diǎn)43,1)代入y=&,得1=5

x3

:.k=3x1=3,

即反比例函數(shù)的解析式為y=3；

X

(2)解：把點(diǎn)代入J，=3,得〃=3=-3,

x-1

?”(3,1),

二不等式x+的解集為一1?x<0或工之3；

x

(3)解：把y=0代入y=x—2得：x=2,

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C(2,0),

?y?"=*OCxl=gx2xl=l,

S4Poe—3s4Aoe,

S'=；xOCx|%I=；x2x|y尸1=3,

.Vpl=3,

3

當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3時(shí)，則3=±,解得x=l,

x

當(dāng)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-3時(shí)，則-3=3,解得--1,

X

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(T-3).

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一

次函數(shù)解析式，利用圖象法求不等式的解集，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，三角形面積，數(shù)

形結(jié)合是解題關(guān)鍵.

答案第7頁，共37頁

3197z

14.(1)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=(x(0vxvl6)反比例函數(shù)的表達(dá)式為^=—16),

(2)至少需要經(jīng)過64分鐘后，學(xué)生才能回到教室

(3)此次消毒有效，理由見解析

【分析】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)月，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)

表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)正比例函數(shù)表達(dá)式為》=去，反比例函數(shù)表達(dá)式為y=竺，將(24,8)代入》='，即

xx

可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，再求出點(diǎn)力的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)力的坐標(biāo)代入y=區(qū)，即可求出

正比例函數(shù)的表達(dá)式；

192

(2)把y=3代入)，=三，求出X的值，根據(jù)圖象，分析其增減性，即可進(jìn)行解答：

(3)將y=4分別代入正比例函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式，求出其自變量的值，再計(jì)算兩個(gè)自

變量的差與40進(jìn)行比較，即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)正比例函數(shù)表達(dá)式為y=去，反比例函數(shù)表達(dá)式為y=

X

由圖可知：反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(24,8),

將(24,8)代入y="，得8嗯,

解得：TM=192,

192

反比例困數(shù)的表達(dá)式為y=—(x>16),

X

把P=12代入y192,得12二19二2，

xx

解得：x=l6,

4(16,12),

將點(diǎn)力(16,12)代入y=履，得12=163

解得：

4

???正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；x(O<xvl6)：

(2)解:將V=3代入>192，得3=1匕92，

xx

解得：x=64,

由圖可知，當(dāng)0<.丫<16時(shí),，室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量隨時(shí)間的增加而增加，

答案第8頁，共37頁

當(dāng)xN16時(shí)，室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量隨時(shí)間的增加而減少,

至少需要經(jīng)過64分鐘后，學(xué)生才能回到教室:

（3）解：此次消毒有效，理由如下:

將），=4代入），=：卬得4=1工，

44

解得：X=y,

將尸4代入y=匕192，得4=1匕92,

xx

解得：工=48,

...48-3=型>4。,

33

「?此次消毒有效.

15.（1）3.2

c320

（2）y=—

（3）一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于40。（3的時(shí)間為7.2min

【分析】本題考杳的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、求反比例函數(shù)的解析式、利用函數(shù)解

決實(shí)際問題，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)解析式的求法及利用函數(shù)解決實(shí)際問題.

（1）依題得開始加熱時(shí)每分鐘上升25。（2,則水溫從20。?加熱到100。（2所需時(shí)間用溫度差+

每分鐘加熱的溫度即黑型，即可求解；

（2）結(jié)合（1）中可得點(diǎn)（32100）在反比例函數(shù)j，=七的身像上，代入即可求得左值，從而

得到反比例函數(shù)解析式；

（3）分類討論，降溫過程中水溫等于40（的時(shí)間一加熱過程中水溫等于40。（2的時(shí)間即為加

熱一次水溫不低于40笛的時(shí)長，其中降溫過程中水溫等于40。（3的時(shí)間利用（2）中的函數(shù)

解析式即可求得.

【詳解】⑴解:,??開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升25C

???水溫從20P加熱到100（,所需時(shí)間為3M=3.2（m：n）,

4J

故答案為：3.2：

（2）解：設(shè)水溫下降過程中，y與X的函數(shù)關(guān)系式為'=上,

x

由題意得，點(diǎn)（32100）在反比例函數(shù)y=A的圖像上，

答案第9頁，共37頁

—=100,

3.2

解得：A=320,

320

???水溫下降過程中，y與X的函數(shù)關(guān)系式是y=

X

⑶解:在加熱過程中，水溫為40笛時(shí),25x+20=40,

解得：x=0.8,

在降溫過程中，水溫為400c時(shí)，40=把320，

x

解得：x=8,

v8-0.8=7.2,

???一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不詆于4(TC的時(shí)間為7.2min.

16.(1)0.9

1QA

(2)深消毒階段的函數(shù)解析式為卜=O.15X+1.5；降消毒階段的函數(shù)解析式為二號(hào)；

(3)本次消毒有效

【分析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了求一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，求

日變量值和函數(shù)值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵.

(1)設(shè)漸消毒階段的函數(shù)解析式為y=將點(diǎn)(10,3)代入，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解

析式，再求出x=3時(shí)的函數(shù)值即可；

(2)分別設(shè)深消毒階段的函數(shù)解析式為y=+降消毒階段的函數(shù)解析式為)，=占■,利

X

用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(3)分別求出深消毒階段和降消毒階段消毒效果達(dá)到4效力的時(shí)間，作差比較即可.

【詳解】(1)解：由圖象可知，第3分鐘處于力8段漸消毒階段，

設(shè)漸消毒階段的函數(shù)解析式為》=履，

將點(diǎn)(10,3)代入得：10〃=3,

解得：左二0.3,

???漸消毒階段的函數(shù)解析式為y=o.3x,

當(dāng)x=3時(shí)，7=03x3=0.9,

即第3分鐘時(shí)消毒效果為0.9效力，

故答案為：0.9

答案第1()頁，共37頁

（2）解：設(shè)深消毒階段的函數(shù)解析式為y=Kx+力,

將點(diǎn)(/10,3、)和(/30,6\)代入得：b11o0A；\4+-/b)==36.

k.=0.15

解得：

b=L5

深消甫階段的函數(shù)解析式為，=0,15八十L5：

設(shè)降消毒階段的函數(shù)解析式為歹=與，

x

將點(diǎn)（30,6）代入得：〉6,

解得：&=180,

???降消毒階段的函數(shù)解析式為尸=吧；

X

（3）解：當(dāng)深消毒階段消毒效果達(dá)到4效力時(shí)，則0.15x+1.5=4,

2

解得：x=161；

當(dāng)降消毒階段消毒效果達(dá)到4效力時(shí)，則4=\,

解得：x=45,

???45-16-=28-!->28,

33

即本次消毒有效.

17.2

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的一般形式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：?.?函數(shù)》=（加+2）鑼7是關(guān)于X的反比例函數(shù)，

同-3=-1,且機(jī)+2W0,

rn=2f

故答案為：2.

18.-##1.5

2

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的定義，掌握形如y="（k為常數(shù)，女工0）的函數(shù)稱為

X

反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可解答.

答案第11頁，共3