連宙輝初等數(shù)論課件XX有限公司匯報(bào)人：XX目錄第一章數(shù)論基礎(chǔ)概念第二章整除性理論第四章素?cái)?shù)分布第三章同余理論第五章數(shù)論函數(shù)第六章數(shù)論應(yīng)用數(shù)論基礎(chǔ)概念第一章自然數(shù)與整數(shù)01自然數(shù)定義自然數(shù)是從0開始，依次遞增的正整數(shù)序列，用于計(jì)數(shù)。02整數(shù)概念整數(shù)包括自然數(shù)、零及它們的相反數(shù)，構(gòu)成完整的數(shù)軸體系。素?cái)?shù)與合數(shù)只能被1和自身整除，大于1的自然數(shù)稱為素?cái)?shù)。素?cái)?shù)定義除了1和自身外，還有其他因數(shù)的自然數(shù)稱為合數(shù)。合數(shù)定義最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)最大公約數(shù)是共有最大約數(shù)，最小公倍數(shù)是共有最小倍數(shù)，兩數(shù)乘積等于其GCD與LCM的乘積。定義與關(guān)系GCD用于簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)、分配問題，LCM用于分?jǐn)?shù)通分、周期性事件同步。實(shí)際應(yīng)用可通過質(zhì)因數(shù)分解、歐幾里得算法或短除法計(jì)算GCD，利用GCD計(jì)算LCM。計(jì)算方法010203整除性理論第二章整除的定義若整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商為整數(shù)且余數(shù)為零，則稱a能被b整除。整除概念用符號(hào)“|”表示整除關(guān)系，如b|a表示b能整除a。整除表示整除性質(zhì)若a整除b且b整除c，則a整除c。傳遞性01若a整除b且a整除c，則a整除b的任意倍數(shù)與c的任意倍數(shù)的和或差。線性組合性02歐幾里得算法0201通過帶余除法迭代，求兩數(shù)最大公約數(shù)。算法原理算法證明在數(shù)論、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。算法應(yīng)用證明每次迭代后，公約數(shù)性質(zhì)保持不變。03同余理論第三章同余概念同余定義兩整數(shù)a、b除以同一正整數(shù)m，余數(shù)相同則稱a與b對(duì)模m同余，記作a≡b(modm)。同余性質(zhì)同余具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，且滿足同加性、同乘性、同冪性。同余性質(zhì)同余基本定義同余運(yùn)算性質(zhì)01若m整除a-b，則稱a與b模m同余，記作a≡b(modm)。02同余式可相加、相乘，且保持同余關(guān)系，如a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)。同余方程整數(shù)除以同一模數(shù)，余數(shù)相同歸為一類，形成同余方程同余方程定義利用擴(kuò)展歐幾里得算法、中國(guó)剩余定理等求解同余方程同余方程解法在密碼學(xué)、日歷計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用同余方程應(yīng)用素?cái)?shù)分布第四章素?cái)?shù)定理01定理內(nèi)容素?cái)?shù)定理描述素?cái)?shù)分布，π(x)～x/ln(x)，揭示素?cái)?shù)漸近行為。02歷史發(fā)展高斯、勒讓德提出猜想，阿達(dá)馬等證明，塞爾伯格等給出初等證明。素?cái)?shù)分布規(guī)律素?cái)?shù)定理指出，n以內(nèi)素?cái)?shù)數(shù)量約等于n/lnn，揭示素?cái)?shù)漸近稀疏趨勢(shì)。素?cái)?shù)定理01任意自然數(shù)n與其后繼數(shù)n+1的平方數(shù)間，至少存在2個(gè)素?cái)?shù)。平方數(shù)區(qū)間02存在無窮多對(duì)相差2的素?cái)?shù)對(duì)，雖未嚴(yán)格證明但可能性大。孿生素?cái)?shù)猜想03素?cái)?shù)檢驗(yàn)方法從2到√n用奇數(shù)試除，若無整除則為素?cái)?shù)。試除法列出范圍內(nèi)數(shù)，依次篩去素?cái)?shù)倍數(shù)，剩余為素?cái)?shù)。埃氏篩法數(shù)論函數(shù)第五章常見數(shù)論函數(shù)表示小于等于n且與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，用于RSA加密算法。歐拉函數(shù)無平方因子時(shí)為±1，否則為0，用于數(shù)論反演。莫比烏斯函數(shù)表示n的所有正除數(shù)之和，用于研究數(shù)的因數(shù)分解。除數(shù)函數(shù)歐拉函數(shù)小于等于n且與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，具有積性等重要性質(zhì)。定義與性質(zhì)通過質(zhì)因數(shù)分解或篩法高效計(jì)算，如phi(n)=n(1-1/p1)...(1-1/pk)。計(jì)算方法在RSA加密、既約真分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。實(shí)際應(yīng)用積性函數(shù)定義：若對(duì)互質(zhì)整數(shù)a、b滿足f(ab)=f(a)f(b)，則為積性函數(shù)；若對(duì)任意整數(shù)均成立則為完全積性函數(shù)。典型：歐拉函數(shù)φ(n)、莫比烏斯函數(shù)μ(n)和因子函數(shù)σ?(n)是典型積性函數(shù)。0102積性函數(shù)數(shù)論應(yīng)用第六章密碼學(xué)基礎(chǔ)密碼學(xué)包括散列、對(duì)稱與非對(duì)稱加密，保障信息安全。密碼學(xué)分類數(shù)論為密碼學(xué)提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如素?cái)?shù)、同余等概念。數(shù)論與密碼學(xué)數(shù)論在算法中的應(yīng)用質(zhì)數(shù)檢測(cè)算法用于加密，埃拉托斯特尼篩法高效生成質(zhì)數(shù)列表。質(zhì)數(shù)檢測(cè)與生成0102歐幾里得算法通過輾轉(zhuǎn)相除，快速計(jì)算兩數(shù)最大公約數(shù)。最大公約數(shù)計(jì)算03同余理論簡(jiǎn)化計(jì)算，模運(yùn)算用于加密、哈希算法等領(lǐng)域。同余與模運(yùn)算數(shù)論在其他領(lǐng)域的應(yīng)