27/28專題2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)1.圓的基本要素，能用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.能夠判斷點與圓的位置關(guān)系.教學(xué)重難點1.重點(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用．2.難點(1)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與圓有關(guān)的最值問題．知識點01圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（重點）1.圓的定義平面內(nèi)點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓A的圓心的坐標(biāo)為,半徑為,為圓上任意一點，圓A可用集合表示為：2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把（r>0）稱為圓心為，半徑長為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【知識剖析】（1）所謂“標(biāo)準(zhǔn)”方程，是指方程的形式，它的優(yōu)點在于明確地指出了圓心和半徑；（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的右端，當(dāng)方程右端小于或等于0時，對應(yīng)方程不是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【即學(xué)即練】1．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．2．寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑.(1)x2+y2=2;(2)(x-3)2+y2=a2(a≠0);(3)(x+2)2+(y+1)2=b2(b≠0).知識點02點與圓的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)(如圖所示).2.判斷點與圓的位置關(guān)系的方法圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心C(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點為M(x0，y0)，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上│MC│＝r?點M在圓C上點M(x0，y0)在圓上?點在圓內(nèi)│MC│<r?點M(x0，y0)在圓內(nèi)?點在圓外│MC│>r?點M(x0，y0)在圓外?【即學(xué)即練】1．（24-25高二下·河北石家莊·期末）點P與圓的位置關(guān)系為（

）A．點在圓外 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi) D．無法確定2.點P(m2，5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓外C．點P在圓上D．不確定知識點03幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（拓展）條件標(biāo)準(zhǔn)方程的形式圓心在原點x2+y2=r2(r>0)過原點(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2(r>0)圓心在y軸上________圓心在x軸上且過原點(x-a)2+y2=a2(a≠0)圓心在y軸上且過原點__________圓與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)圓與y軸相切_____________圓與兩坐標(biāo)軸都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【即學(xué)即練】1.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝12．圓心為點P(－2,3),且與y軸相切的圓的方程是()A.(x－2)2＋(y＋3)2＝4B.(x+2)2＋(y－3)2＝4A.(x－2)2＋(y＋3)2＝9A.(x+2)2＋(y－3)2＝9題型01由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑【典例】（24-25高二上·福建福州·期中）給定圓的方程，則過坐標(biāo)原點和圓心的直線方程為（

）A． B．C． D．將圓的方程統(tǒng)一成標(biāo)準(zhǔn)方程形式：，此時圓心為，半徑為．【變式1】（24-25高二上·陜西西安·月考）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圓的方程為，則圓的圓心和半徑分別是（

）A．， B．，C．， D．，題型02求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】求圓心在直線2x-y-3=0上,且過點(5,2)和點(3,-2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（試用三種不同的方法解答）.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的三種常見方法：1.直接法.根據(jù)題中條件確定圓心坐標(biāo)和半徑（有些題目中已明確圓心坐標(biāo)和半徑）,再直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個參數(shù)，因此確定圓的方程，需有三個獨立條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件.由三個獨立條件可得到三個方程，解方程組得三個參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中待定系數(shù)法是求圓的方程最基本、最常用的方法.3.幾何性質(zhì)法.即利用圓的幾何性質(zhì)確定圓心坐標(biāo)和半徑長，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式1】（24-25高二上·北京昌平·期末）以，為直徑的兩個端點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高二上·四川樂山·期末）已知圓的圓心在軸上且經(jīng)過兩點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高二上·海南·月考）的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【變式4】（24-25高二上·浙江臺州·期中）已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．題型03判斷點與圓的位置關(guān)系【典例】已知兩點A(4,9),B(6,3),(1)求以AB為直徑的圓的方程;(2)試判斷點M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在(1)中所求圓的圓上,圓內(nèi),還是圓外.判斷點與圓的位置關(guān)系通常有兩種方法:(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷；(2)把點M(x0,y0)的坐標(biāo)代入圓的方程左邊，比較(x-a)2+(y-b)2與r2的大小關(guān)系.【變式1】（24-25高二上·福建泉州·月考）點與圓的位置關(guān)系是（

）A．在外 B．在上 C．在內(nèi) D．不確定，與的取值有關(guān)【變式2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）點與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓外 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．與a的值有關(guān)【變式3】（24-25高二上·福建泉州·月考）點與圓的位置關(guān)系是（

）A．在外 B．在上 C．在內(nèi) D．不確定，與的取值有關(guān)題型04利用點與圓的位置關(guān)系求參【典例】若點(3,a)在圓x2+y2=16的內(nèi)部,則a的取值范圍是()A.[0,7) B.(-∞,7) C.{7} D.(7,+∞)若已知點與圓的位置關(guān)系，也可利用代數(shù)法或幾何法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍．【變式1】（24-25高二上·廣東·開學(xué)考試）“”是“點在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式2】已知點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，則a的取值范圍為___________．題型05與圓有關(guān)的對稱問題【典例】（24-25高二上·重慶·期中）已知圓M：，求圓M關(guān)于直線l：的對稱圓方程（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高二上·河南周口·期末）若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓關(guān)于直線的對稱圓為圓，則、的值分別為（

）A． B． C． D．題型06利用點與圓的位置關(guān)系求最值【典例】（24-25高二上·遼寧·月考）已知直線過定點，若為圓上任意一點，則的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9設(shè)圓A的方程，圓心，點是圓A上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;（1）若點在外，則;（2）若點在上，則;（3）若點在內(nèi)，則;【變式1】（24-25高二上·湖北·期中）已知半徑為3的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知點在圓上，點，則的值可能為（

）A．1 B．7 C．13 D．15題型07利用圓的知識求代數(shù)式的最值【典例】已知實數(shù)x,y滿足方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，則的最大值為________．對于有些關(guān)于x,y的代數(shù)式的最值問題，若x,y滿足的關(guān)系式可視為圓的方程，則往往可構(gòu)造圓，借助圓的知識求最值,即利用該代數(shù)式的幾何意義求解.【變式1】已知x,y滿足(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，則x＋y的最大值和最小值分別為.【變式2】已知x,y滿足方程x2＋y2－2x＝0，則2x2＋y2的最大值與最小值分別為.一、單選題1．（24-25高二上·北京密云·期末）圓心為(2,2)且過原點的圓的方程是（

）A．x2+yC．(x?2)2+(y?2)2．（2024高二·全國·專題練習(xí)）圓x2＋y2＝4上的點到點(1，0)的距離的最大值為（

）A．1 B．2C．3 D．53．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若點在圓外，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河南南陽·月考）已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·重慶長壽·期末）已知點是圓上任意一點，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．25 D．366．（24-25高二上·重慶·期末）方程|x|?2=1?(y?1)2A．一個圓 B．一個半圓 C．兩個圓 D．兩個半圓7．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知等腰三角形ABC的一個頂點為A2,2，底邊的一個端點為B0,0，則底邊的另一個端點C的軌跡方程為（A．x?12+y?12=1（x≠0且x≠1） B．x?2C．x?12+y?12=1（x≠0且x≠4） D．x?28．（24-25高二上·云南保山·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為常數(shù)λ（λ>0且λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓稱為“阿波羅尼斯圓”，簡稱“阿氏圓”．已知在平面直角坐標(biāo)系O?xy中，A3,0，B0,?3，動點Px,y滿足PB=2PAA．6?22 B．6 C．6+22二、多選題9.．（24-25高二上·青海海南·期中）已知，兩點，以線段為直徑的圓為圓，則（

）A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．在圓外10．（24-25高二上·福建福州·期中）圓與軸相切，且經(jīng)過兩點，則圓可能是（

）A． B．C． D．11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）過四點中的三點的圓的方程為（

）A． B．C． D．三、填空題12.（24-25高三下·海南·階段練習(xí)）圓心在直線上，并且與軸相切于點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．（24-25高二上·重慶渝中·期末）若點P是圓上的動點，則點P到直線的距離最大值為．14．（24-25高二上·廣東廣州·期末）某圓拱形橋一孔圓拱如圖，圓拱跨度AB=24m，拱高OP=6m，建造時每間隔3m需要用一根支柱支撐，則A

四、解答題15．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心為C?3,4，半徑是5(2)圓心為C?8,3，且經(jīng)過點M16．（24-25高二上·河南安陽·期中）（1）求圓心在y軸上，并且過原點和?3（2）求圓C:x+12+17.（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圓M過C1,?1，D?1,1兩點，且圓心M在(1)求線段CD的垂直平分線l的方程；(2)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）已