29/30專題03拋物線的六大?？碱}型題型一：拋物線的定義及應(yīng)用題型二：求拋物線的方程題型四：拋物線的簡單幾何性質(zhì)題型三：拋物線的焦點(diǎn)弦問題題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用題型六：與拋物線有關(guān)的創(chuàng)新題（數(shù)學(xué)文化題、新定義題等）題型一：拋物線的定義及應(yīng)用1．拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，且，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【詳解】由題意可得，解得，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是2.故選：B2．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以的最小值也即是到準(zhǔn)線的距離的最小值，當(dāng)與原點(diǎn)重合時，到準(zhǔn)線的距離最小為，也即是的最小值為.故選：A3．已知點(diǎn)，動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．則曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】方法一：軌跡方程法設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)．連接PF，由題意知，即，整理得，則曲線的方程為．方法二：幾何定義法由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于其到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線的方程為．故選：B．4．已知點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為F，P是C上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【詳解】過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，拋物線的準(zhǔn)線，即時，有最小值.故選：B.5．已知實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖：根據(jù)題意，的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，分析可得點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，過作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，交與點(diǎn).所以的幾何意義為.由.過作直線的垂線，垂足為，交拋物線與點(diǎn).則（當(dāng)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時取等號）故選：B6．（多選）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的差為定值，記動點(diǎn)的軌跡為曲線C，則（

）A．當(dāng)時，由拋物線和x軸的負(fù)半軸構(gòu)成B．當(dāng)時，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱C．當(dāng)時，為軸對稱圖形D．當(dāng)時，是由兩部分拋物線構(gòu)成的封閉圖形【答案】AC【詳解】對于A，設(shè)，由題意得點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的差為定值，得到，當(dāng)時，，則，兩邊同時平方得，得到，即，當(dāng)時，方程化為，當(dāng)時，方程化為，即，此時由拋物線和x軸的負(fù)半軸構(gòu)成，故A正確，對于B，因?yàn)椋?，?dāng)時，兩邊同時平方得，則，化簡得，令，此時曲線方程為，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在曲線上，找關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，將其代入方程，則不在曲線上，即不可能關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故B錯誤，對于C，由已知得曲線方程為，由已知得，設(shè)，將其代入曲線方程，得到，則在曲線上，故曲線關(guān)于軸對稱，即為軸對稱圖形，故C正確，對于D，由已知得，令，故，解得或，結(jié)合已知條件此時方程為，當(dāng)時，方程化為，此時，不存在這樣的曲線，當(dāng)時，方程化為，此時，不存在這樣的曲線，則當(dāng)時，不可能是由兩部分拋物線構(gòu)成的封閉圖形，故D錯誤.故選：AC7．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個動點(diǎn)，，則周長的最小值為．【答案】/【詳解】解:將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程:，求得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線,且．設(shè)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則由拋物線的定義得:，所以的周長．當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，即時，等號成立.8．已知拋物線，點(diǎn)在上且位于第一象限，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)，，直線與交于另外一點(diǎn)，若的最小值為2，則，的最小值為.【答案】16100【詳解】設(shè)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)到軸的距離為，連接，由對稱性及拋物線的定義可得，解得，故點(diǎn)重合，的方程為，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程并化簡得，設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最小值為100.題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程9．拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線準(zhǔn)線方程為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于雙曲線：因?yàn)椋?，所以，所?所以雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.對于拋物線，因?yàn)榻裹c(diǎn)為，即.所以其準(zhǔn)線方程為：.故選：B10．（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】易知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，當(dāng)焦點(diǎn)為時，可知拋物線方程為：；當(dāng)焦點(diǎn)為時，可知拋物線方程為：.故選：BD11．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸是軸，與直線相交所得線段的長為12，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，設(shè)拋物線，因?yàn)閽佄锞€與直線相交所得線段的長為12，所以點(diǎn)在上，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B12．已知拋物線的焦點(diǎn)為（不同于原點(diǎn)）是直線與的一個公共點(diǎn).若，則的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】聯(lián)立，解得或（舍去），所以.因?yàn)?，所以，解得，所以的方程為，?zhǔn)線方程為.故選：B13．已知拋物線過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為F，則直線的方程為．【答案】【詳解】由拋物線過點(diǎn)，得，拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為，即.14．過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】或【詳解】由于點(diǎn)在第二象限，所以過M的拋物線開口向左或開口向上．若拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為，將點(diǎn)代入，可得，所以．所以拋物線的方程為.若拋物線開口向上，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為，將點(diǎn)代入可得，所以，所以拋物線的方程為．綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．15．根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為；(2)對稱軸是軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；(3)對稱軸是軸，經(jīng)過點(diǎn)．【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）因?yàn)閷ΨQ軸是軸，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．因?yàn)轫旤c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2，所以，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或．（3）因?yàn)閷ΨQ軸是軸，經(jīng)過點(diǎn)，所以設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為16．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為與拋物線的焦點(diǎn)重合，且的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．過點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且．(1)求的離心率；(2)若點(diǎn)是與的公共點(diǎn)，且，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】（1）如圖，因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，故可設(shè)拋物線的方程為，不妨設(shè)在第一象限，由題意可得直線和直線均過點(diǎn)，且軸，軸，將代入拋物線方程得，則，將代入雙曲線方程得，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，解得或（舍去），所以的離心率為3．（2）由（1）得，則的方程為的方程為，聯(lián)立，消去得，解得或（舍去），則的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，故由拋物線定義可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)17．下列拋物線中，開口最小的是

A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于對于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，開口最?。赫f明一次項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最小，觀察四個選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：A選項(xiàng)平方項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最小，本題選擇A選項(xiàng).18．（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為【答案】AC【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．故選：AC19．已知，則方程表示的曲線可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】方程，得或，當(dāng)時，則有或，分別表示開口向上的拋物線滿足的部分和斜率為正且在軸上截距為正的直線，故A，B，D不符合，C符合；當(dāng)時，則有或，分別表示開口向上的拋物線滿足的部分和斜率為負(fù)且在軸上截距為負(fù)的直線，故A，B，C，D均不符合，綜上，方程表示的曲線可能是C.故選：C.20．已知M為拋物線G：上的動點(diǎn)，P，Q為圓C：上的兩個不同點(diǎn)，若MP，MQ均與圓C相切，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】如圖，設(shè)，設(shè)，則，所以，又MP，MQ均與圓C相切，所以，則，所以，又在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：B.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：A.22．已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示，點(diǎn)在曲線上，給定點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）A．任意，都存在點(diǎn)，使得B．任意，都存在點(diǎn)，滿足這對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱C．存在，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，使得D．任意，恰有三對不同的點(diǎn)，滿足每對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】D【詳解】拋物線和的對稱軸都為，因此封閉曲線關(guān)于軸對稱，對于A，任意，在曲線上取關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，而點(diǎn)在軸上，有，A正確；對于B，對每個值，過點(diǎn)垂直于軸的直線與曲線的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；對于C，聯(lián)立與解得或，取，即，拋物線，即的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上運(yùn)動時，，，拋物線可由拋物線向上平移5個單位而得，拋物線，即的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上運(yùn)動時，，，因此當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，，恒有，C正確；對于D，取，即，直線與拋物線的兩個交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，在此拋物線上關(guān)于點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)就只有一對，在拋物線上不存在兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，另外關(guān)于點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)則分別在和上，不妨令，此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)必在上，而方程，即無解，則此時不存在關(guān)于點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)分別在兩條拋物線上，D錯誤.故選：D題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦問題23．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A．3 B． C．4 D．5【答案】A【詳解】因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以，設(shè)，因?yàn)?，則，故到軸的距離為3.故選：A．24．過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時，直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，不妨設(shè)P在Q的上方，過兩點(diǎn)作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，結(jié)合拋物線的定義知，，得，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，設(shè)，，則，設(shè)l：，聯(lián)立，得，則，故，，解得，，此時l的斜率為，結(jié)合拋物線的對稱性可知，當(dāng)P在Q的下方時，l的斜率為，所以直線l的斜率為.故選：D.25．已知拋物線過點(diǎn)，圓如圖，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】A【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，則，則，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為；圓：，圓心為，半徑為1，故直線PQ過拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線PQ的斜率不為0，設(shè)直線PQ的方程為，；聯(lián)立，整理可得，所以，，再由焦半徑公式可得，則，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最小值為故選：A26．（多選）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，對應(yīng)垂足分別為點(diǎn)M，N，連接MF，NF，則（

）A．若A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，則B．若，則直線AF的斜率C．若，則的面積為D．記，，的面積分別為，，，則【答案】BCD【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，整理得，設(shè)，，，故選項(xiàng)A錯誤；，選項(xiàng)B：結(jié)合題意及拋物線的定義，有，故，代入拋物線，得，則.故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：，,解得，直線，則軸，此時.故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，，同理，，而，故，結(jié)合選項(xiàng)A運(yùn)算的聯(lián)立，，故.而，則.故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.27．（多選）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線交C于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D、E，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．以DE為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)FB．C．的長度可以為6D．【答案】AD【詳解】對于A，當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時F在以DE為直徑的圓上，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的斜率為k，以及、、、，則直線的直線方程為，所以，，也即，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，所以，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，所以，同理得，因?yàn)椴灰欢ㄏ嗟?，所以不恒成立，故B錯誤；對于C，由聯(lián)立直線方程與拋物線方程得，由韋達(dá)定理得，，根據(jù)弦長公式，即的長度不可能為6，故C錯誤；對于D，由拋物線定義得，，，結(jié)合韋達(dá)定理得，故D正確．故選：AD．28．(多選)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若拋物線C在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，與x軸分別交于點(diǎn)M，N．則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．若，則直線過點(diǎn)F D．若，則直線過點(diǎn)F【答案】ABD【詳解】，求導(dǎo)可得，則直線，直線，聯(lián)立直線方程，消可得，，即，故A正確；由直線，令，可得，所以，又，所以，，，所以，即，故B正確；由，可得，化簡得，，所以，設(shè)直線斜率為，則，則直線的方程為：，令，可得，故直線過點(diǎn)，不過點(diǎn)，故C錯誤；在直線中，令，可得，即，又，所以，即，同理代入直線方程，可得直線過點(diǎn)，即過點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.29．已知拋物線Γ：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與Γ交于A，B兩點(diǎn)．若且，則Γ的準(zhǔn)線方程為．【答案】【詳解】如圖，設(shè)直線的傾斜角為，，，，．所以，，所以，，即，，故．因?yàn)椋?，又，所以，解得，故的?zhǔn)線方程為．

30．已知拋物線，過其焦點(diǎn)作直線拋物線交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是．①以為直徑的圓與直線沒有公共點(diǎn)；②以為直徑的圓與軸只有一個公共點(diǎn)；③的最小值為4；④的最小值為2．【答案】①②③【詳解】由拋物線方程，可知焦點(diǎn)，設(shè)，，由題意知：，所以，整理得．對于①：根據(jù)拋物線定義可知，所以圓的半徑為，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)到直線的距離為，因此圓與直線相離．故①正確；對于②：以為直徑的圓的半徑為，而線段的中點(diǎn)到軸的距離為，因此圓與直線相切．故②正確；對于③：，因此的最小值為4．故③正確；對于④：，因此沒有最小值．故④錯誤；31．如圖所示，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)任作一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)．求證：(1)平分；(2)．【詳解】（1）由題可知，設(shè)直線方程為，將直線方程代入得，設(shè)，，有，，設(shè)直線的斜率為，則，所以平分；（2）如圖所示，延長交拋物線于，作于，于，因?yàn)橹本€關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)關(guān)于軸對稱，又，所以，所以，因?yàn)檩S，所以．32．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的一條直線與交于，兩點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．(1)若的縱坐標(biāo)為2，求；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且平行于的直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，證明：為線段的中點(diǎn)．【詳解】（1）若的縱坐標(biāo)為2，可知的坐標(biāo)為，又，故直線的方程為，由得，設(shè)，，則，故由拋物線的定義可知，；（2）設(shè)的方程為，由得，故根據(jù)（1）中所設(shè)，的坐標(biāo)有，，又易知，故直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立得，同理得．故，，代入，，得，，故為線段的中點(diǎn)．題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用33．2024年3月20號，我國成功發(fā)射鵲橋二號中繼衛(wèi)星，其通過一個大型可展開的星載天線，實(shí)現(xiàn)了月球背面與地球之間的信號傳輸.星載天線展開后形成一把直徑（口徑）為的“金色大傘”，它的曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處.若“金色大傘”的深度為，則“金色大傘”的邊緣點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)設(shè)拋物線的方程為，則，解得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，所以“金色大傘”的邊緣點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：B34．某社會實(shí)踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為25m，拱頂距水面，該處路面厚度約.若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長度是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為（）由已知點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，所以拋物線方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以繩子最合適的長度是，故選：B.35．如圖，雷達(dá)接收器的工作原理是將接收信號匯集到同一焦點(diǎn)，從而獲取信息；已知雷達(dá)接收器的截面曲線可看作拋物線，則水平光信號入射到拋物線上點(diǎn)A，經(jīng)拋物線反射到點(diǎn)B，反射光線與x軸的交點(diǎn)為F，則的最小值為．

【答案】9【詳解】根據(jù)題意可知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，作，垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為，如下圖所示：

設(shè)，易知，可得，即，可得，同理可得，因此，由因?yàn)?，所以，因?即的最小值為9.36．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)C和焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)Q，求的值；(3)若行車道總寬度AB為7米，請計(jì)算通過隧道的車輛限制高度為多少米（精確到0.1米）？【詳解】（1）如圖所示.依題意，設(shè)該拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，，所以該拋物線的方程為；（2），焦點(diǎn)，，設(shè)，，則，由解得，，，所以，則；（3）設(shè)車輛高為h，則，故，代入拋物線方程，得，解得，所以通過隧道的車輛限制高度為4.0米.題型六：與拋物線有關(guān)的創(chuàng)新題（數(shù)學(xué)文化題、新定義題等）37．已知過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)閳A的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，而拋物線的通徑與軸垂直，所以圓的這條直徑與軸垂直，且圓的直徑的上端點(diǎn)就是拋物線通徑的右端點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的直徑的上端點(diǎn)為，即拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，即.故選：C38．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).在拋物線中，一平行于軸的光線射向拋物線上的點(diǎn)，反射后反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)，再反射后又沿平行軸方向的直線射出.則直線與之間的最小距離為（

）A．4 B．2 C．8 D．16【答案】A【詳解】設(shè)；由題意：直線與之間的距離；因?yàn)?，設(shè)直線，與聯(lián)立，整理得：；由韋達(dá)定理：，，則；故時，.故選：A.39．（多選）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于拋物線的焦點(diǎn)．若拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則（

）A．若點(diǎn)，則 B．可以為C． D．設(shè)直線與的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在直線上【答案】CD【詳解】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，由消去，得，，所以，，對于A，若點(diǎn)，則則，故，進(jìn)而，所以，所以，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以，故B錯誤；對于C，由拋物線的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；對于D，直線的方程為，又，則，令，可得，即，而直線的方程為，則點(diǎn)在直線上，故D正確；故選：CD39．清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部軸截面均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3cm，碗蓋口直徑為8cm，碗體口直徑為10cm，碗體深6.25cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗體和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）