24/28專題3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.掌握拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線、離心率的概念，理解拋物線的范圍和對稱性．2.掌握已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時p的幾何意義及其應(yīng)用.教學(xué)重難點1.重點：掌握拋物線的簡單性質(zhì).2.難點：用代數(shù)法研究拋物線的幾何性質(zhì)，在熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識點01拋物線的幾何性質(zhì)（重點）以拋物線為例（1）范圍：由方程可知，對于拋物線上的點，，，拋物線在軸的右側(cè)，開口方向與的正方向相同；當(dāng)?shù)闹翟龃髸r，的值也增大，這說明，拋物線向右上方和右下方無限延伸．（2）對稱性：以代，方程不變，所以拋物線關(guān)于軸對稱．我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．（3）頂點：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當(dāng)時，，因此拋物線的頂點就是原點．（4）離心率：拋物線上的點與焦點的距離和點到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用表示．由拋物線的定義可知，．【即學(xué)即練】9．（24-25高三上·北京·期中）已知拋物線頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，從以下兩個條件中任選一個條件，使得拋物線開口向右，并根據(jù)所選條件寫出一個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點；②經(jīng)過點.你所選的條件是，得到的一個拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】②,【解析】頂點在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，開口向右的拋物線焦點在軸的正半軸上，因此條件①不可選，選擇條件②，設(shè)拋物線方程為，由拋物線經(jīng)過點，得，解得，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.2.（24-25高二上·廣東梅州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點，點在拋物線上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)點，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：A.知識點02拋物線的焦點弦性質(zhì)（拓展）1．焦點弦的定義：過拋物線的焦點的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的焦點弦．2．焦點弦的常考性質(zhì)假設(shè)拋物線方程為.過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，其坐標(biāo)分別為

.性質(zhì)1、,.性質(zhì)2、拋物線的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，則.注：一般地，如果直線恒過定點與拋物線交于兩點，那么.于是，若恒過定點.性質(zhì)3、已知傾斜角為直線的經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則（1）.（2）.性質(zhì)4、已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，若弦中點的坐標(biāo)為，則.性質(zhì)5、（1）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.（2）以為直徑的圓與切于焦點；（3）以焦半徑為直徑的圓與軸相切；（4）以焦半徑為直徑的圓與與軸相切；【即學(xué)即練】1．（23-24高三下·重慶·月考）拋物線，過焦點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的傾斜角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)拋物線焦點弦性質(zhì)及直線的傾斜角、斜率關(guān)系計算即可.【解析】由題意可知，不妨設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程得，又，而，則，即或，所以直線的傾斜角為或.故選：C題型01由拋物線的方程研究其性質(zhì)【典例1-1】（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標(biāo)是B．拋物線關(guān)于軸對稱C．拋物線的準(zhǔn)線方程為D．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4【答案】AC【解析】因為拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，所以拋物線的方程為，則拋物線的焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程為，故A、C正確；拋物線關(guān)于軸對稱，故B錯誤；拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，故D錯誤.故選：AC【典例1-2】（24-25高三上·江蘇·開學(xué)考試）已知線段AB是拋物線的一條弦，且AB中點M在上，則點A橫坐標(biāo)（

）A．有最大值，無最小值 B．無最大值，有最小值C．無最大值，無最小值 D．有最大值，有最小值【答案】D【分析】由題意，可知當(dāng)點A在原點時橫坐標(biāo)有最小值0，由于AB中點M在上，從而最大值為2.【解析】

由題意，設(shè)由拋物線范圍可知，，所以如圖1，當(dāng)點A在原點時橫坐標(biāo)有最小值，為0，由AB中點M在上，可知，即，所以，即如圖2，當(dāng)點B在原點時,點A橫坐標(biāo)有最大值，為2.故選：D.根據(jù)拋物線方程求解與幾何性質(zhì)相關(guān)的問題由已知拋物線方程討論其幾何性質(zhì)時，首先要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點所在坐標(biāo)軸和拋物線的開口方向，然后再求解幾何性質(zhì)中的其他相關(guān)量.【變式1-1】（20-21高二上·江蘇揚州·期中）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【解析】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標(biāo)為.故選：A.【變式1-2】（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知點在拋物線上，則點到點的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記點，，則，且，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的最小值.【詳解】記點，，則，所以，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.即點到點的距離的最小值為.故選：C.【變式1-3】（2025·上海浦東新·二模）設(shè)為拋物線上任意一點，若的最小值為，則的值為．【答案】【解析】因為為拋物線上任意一點，所以，，所以，所以當(dāng)時取得最小值，依題意可得，所以.題型02由拋物線的性質(zhì)求其方程【典例2-1】（24-25高二下·江蘇南京·期末）拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，直線交于，兩點，的準(zhǔn)線交軸于點，若，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)已知條件求出的坐標(biāo)，然后利用垂直關(guān)系列出等式求出，進而得到拋物線方程.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線方程為，則，準(zhǔn)線方程為.所以點.因為，所以，化簡得，即，解得.所以拋物線方程為.故選：D.【典例2-2】（1）已知拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M(eq\r(3)，－2eq\r(3))，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,52)＝1的焦點，求拋物線的方程．【解析】(1)∵拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M(eq\r(3)，－2eq\r(3))，∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)．又∵點M在拋物線上．∴(eq\r(3))2＝－2p(－2eq\r(3))，即p＝eq\f(\r(3),4).因此所求方程是x2＝－eq\f(\r(3),2)y.(2)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,52)＝1的焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為(0，－6)，(0,6)．故拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－6或y＝6.當(dāng)準(zhǔn)線方程為y＝－6時，設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)，則p＝12，所求拋物線的方程為x2＝24y；當(dāng)準(zhǔn)線方程為y＝6時，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則p＝12，所求拋物線的方程為x2＝－24y.故所求拋物線的方程為x2＝24y或x2＝－24y.根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線方程根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的方程，一般利用待定系數(shù)法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分運用拋物線定義，并結(jié)合圖形，必要時還要進行分類討論.【變式2-1】（2025·遼寧·一模）若拋物線上一點到準(zhǔn)線和對稱軸的距離均為4，則的值為（

）A．18 B．4 C．2或18 D．4或9【答案】B【解析】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為拋物線上一點到準(zhǔn)線和對稱軸的距離均為4，所以點的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，解得.故選：B.【變式2-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知拋物線的焦點為，過斜率為的直線交拋物線于兩點，在第一象限，則.【答案】【解析】由拋物線，得，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，因為在第一象限，則，解得，所以，所以.故答案為：.【變式2-3】（24-25高二上·安徽·期中）已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與相交于，兩點，且，若，則直線的斜率為.【答案】【解析】設(shè)，，由題意設(shè)直線：，聯(lián)立可得：，，由拋物線的定義可得：，所以，所以，又因為，所以，解得：.題型03焦點弦問題【典例3-1】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且從上到下與依次交于兩點，，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】

由于，直線方程為，聯(lián)立方程，消去得，顯然，得，所以，即.故選：D.【典例3-2】（2025·河南·二模）已知拋物線的焦點為，過點且不與軸垂直的直線與交于兩點，過的中點作軸的平行線交于點，則.【答案】4【分析】根據(jù)題意作示意圖，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可得點的坐標(biāo)，從而求得點的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義求解.【解析】如圖，由題意可知，直線的斜率存在且不等于0，因為拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程可得，設(shè)，則，設(shè)，則代入拋物線方程可得，由拋物線的定義可知，.所以.拋物線的焦點弦問題求解策略對于拋物線的焦點弦問題，解決的方法有兩種：（1）坐標(biāo)法，即聯(lián)立焦點弦所在直線方程與拋物線的方程，對弦的兩端點坐標(biāo)設(shè)而不求，借助韋達定理轉(zhuǎn)化求解；（2）幾何法，利用拋物線的焦點弦的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化求解.【變式3-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知是過拋物線的焦點的弦，若，則中點的橫坐標(biāo)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由拋物線的焦點弦長公式，即可求得線段的中點的橫坐標(biāo)，得到答案.【解析】設(shè)，由已知，由焦半徑公式可得所以，所以.故選：B.【變式3-2】（24-25高二上·江蘇淮安·期中）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，過焦點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為，即，則拋物線方程為，，所以直線方程為，即，設(shè)直線與拋物線交點，，聯(lián)立直線與拋物線，得，則，，又由拋物線可知，，所以，故選：A.練基礎(chǔ)1．（2024·貴州·三模）設(shè)拋物線的焦點為，點為該拋物線上任意一點，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】恒成立，利用拋物線的幾何性質(zhì)，求的最小值即可.【解析】拋物線的焦點為，點為該拋物線上任意一點，由拋物線定義可知，等于點到拋物線準(zhǔn)線的距離，的最小值為拋物線頂點到準(zhǔn)線的距離，即，若恒成立，則，即.故選：B2．（24高二上·天津紅橋·期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C:交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出兩點坐標(biāo)，根據(jù)垂直得到方程，求出，得到答案.【解析】令中得，解得，

不妨設(shè)，因為OD⊥OE，所以，解得，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3．（24-25高三上·北京海淀·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過拋物線上的一點作的垂線，垂足為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得的傾斜角為，進而可得，計算即可.【解析】作出示意圖如圖所示：

則拋物線的性質(zhì)，可得，又，所以可得的傾斜角為，則可得，從而.故選：C.4．（2025·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在該拋物線上，點C在y軸上，若，，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程，求出準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線上的點到焦點距離求出點的橫坐標(biāo)，在根據(jù)相似三角形求出邊長的比值即可.【解析】如圖所示，設(shè)，由，，由可知準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，，故，，過A，B分別作y軸的垂線垂足為，過B作的垂線，垂足為E，明顯，所以，故選：A．5．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點為F，直線m與C交于A，B兩點，，若線段AB上存在一點P滿足，過點P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用拋物線的幾何定義來求焦半徑長度，結(jié)合中位線、余弦定理、基本不等式，即可求最小值．【解析】分別過點A，B作，，垂足分別為M，N，如圖所示．因為線段AB上存在一點P滿足，所以P為線段AB的中點．設(shè)，，由拋物線定義可知，，則，在中，由余弦定理可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即直線AB斜率不存在時，等號成立，所以，故的最小值為．故選：C6．（多選）（25-26高二上·全國·單元測試）已知拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩動點，下列說法正確的有（

）A．拋物線的焦點坐標(biāo)為B．若，則線段AB的中點到軸的距離為3C．以線段為直徑的圓與軸相切D．以為圓心，線段的長為半徑的圓與準(zhǔn)線相切【答案】BCD【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A，由拋物線的焦點弦公式可判斷B，由拋物線的定義計算圓心到直線的距離等于半徑可判斷C和D.【解析】對于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點為，故A錯誤．對于B，設(shè)點，由拋物線的定義可得，可得，所以線段的中點到軸的距離為，故B正確．對于C，因的中點為

該點到軸的距離為，故以線段為直徑的圓與軸相切，故C正確．對于D，因，故以為圓心，線段的長為半徑的圓與準(zhǔn)線相切，即D正確．故選：BCD.7．（多選）（24-25高二下·江蘇鹽城·期末）若點是拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，連交拋物線C于另一點Q，則（

）A． B．C．（O為坐標(biāo)原點） D．【答案】ABD【分析】求出拋物線的焦點及準(zhǔn)線，結(jié)合拋物線定義及直線與拋物線交點坐標(biāo)逐項判斷.【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，對于AB，由，得，，AB正確；對于CD，直線方程為，即，由消去得，則，，不垂直，，C錯誤，D正確.故選：ABD8．（2025·上海浦東新·二模）設(shè)為拋物線上任意一點，若的最小值為，則的值為．【答案】【分析】依題意可得，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【解析】因為為拋物線上任意一點，所以，，所以，所以當(dāng)時取得最小值，依題意可得，所以.故答案為：9．（2025·天津?qū)氎妗ざ＃佄锞€的焦點恰好是圓的圓心，過點且傾斜角為的直線與交于不同的A，B兩點，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：，，聯(lián)立方程利用韋達定理求，進而得出圓心及半徑即可求解．【解析】由題意知，焦點，則拋物線，直線，設(shè)，，聯(lián)立消去y并整理得，則，所以所以．則以線段AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：．10．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）過點的直線與拋物線交于，兩點，是的焦點．(1)若線段中點的橫坐標(biāo)為1，求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)3；(2).【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到且，求得，結(jié)合，即可求解.【解析】（1）拋物線的焦點，設(shè)，由線段中點的橫坐標(biāo)為，得，由拋物線定義得，所以.（2）由直線過點，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，由，得，且，則，所以的取值范圍為.11．（2025·河南·二模）設(shè)拋物線的焦點為，過的直線與交于A，B兩點.(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)為準(zhǔn)線上一點，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線方程即可得準(zhǔn)線方程，（2）根據(jù)兩點斜率公式，求解直線方程，聯(lián)立與拋物線方程，即可根據(jù)韋達定理以及焦點弦公式求解.【解析】（1）因為拋物線的方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為（2）因為在的準(zhǔn)線上，所以，即，易得的坐標(biāo)為，此時，因為，所以，解得，所以的方程為，設(shè)，，聯(lián)立消去并整理得，由韋達定理得，所以提升12．（24-25高三下·重慶·階段練習(xí)）已知拋物線，過點的直線與拋物線C交于，兩點，則的最小值是（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，再結(jié)合韋達定理及不等式性質(zhì)求解即可.【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，且，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立，則的最小值是64.故選：C.13．（24-25高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于A、B兩點，與'軸的正半軸交于點，與準(zhǔn)線交于點，且，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】設(shè)，由拋物線定義，，結(jié)合相似圖形性質(zhì)可得，然后再由拋物線定義及相似圖形性質(zhì)可得與關(guān)系，即可得答案.【解析】由題及圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點為D，過A，B向準(zhǔn)線做垂線，與y軸，準(zhǔn)線分別交于G，C，H，E.則，設(shè)，由拋物線定于可得.因，則.又O為DF中點，準(zhǔn)線與y軸平行，則S為FT中點，.又，結(jié)合拋物線定義可得：，則.故選：B14．（多選）已知點是拋物線的焦點，是經(jīng)過點的弦且，的斜率為，兩點在軸上方．則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．四邊形面積的最小值為C． D．若，則直線的斜率為【答案】ACD【分析】由拋物線焦點弦直線方程可得，即可得到C；根據(jù)焦半徑公式，即可確定D；利用即可判斷B；設(shè)，，，聯(lián)立得到即可判斷A.【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，所以，C正確；，，若，則，，直線的斜率為，D正確；，所以B不正確；

設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，，所以A正確．故選：ACD．15．（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，直線與交于兩點，其中在第一象限，若，則直線的斜率為.【答案】【分析】過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作于，利用拋物線定義結(jié)合直角三角形求解作答.【解析】過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作于，顯然四邊形是矩形，由拋物線定義知，，因為，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，則直線的斜率為.16．（25-26高二上·全國·單元測試）生活中一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，如圖，曲線為四葉玫瑰線，則曲線上任一點到坐標(biāo)原點的距離的最大值為，曲線上整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)為

【答案】21【解析】曲線上任一點到坐標(biāo)原點的距離為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以曲線上任一點到坐標(biāo)原點的距離的最大值為2．可以先討論第一象限內(nèi)的圖象上是否有整點，因為曲線上任一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過2，所以可將代入曲線的方程中，通過驗證可知，這5個點均不在曲線上．又點在曲線上，所以結(jié)合曲線的對稱性可知，曲線僅經(jīng)過整點．17．（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)為拋物線上過焦點的弦，求證：必為定值．【解析】證法一：設(shè)．（1）若為通徑，則為定值．（2）若不垂直軸，則存在且不為零．又設(shè)方程為：，代入，得，，為定值．證法二：設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為．又分別過作的垂線，垂足為．不難證明：．，．，，為定值．18．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸相交于點，過點任作一直線與拋物線交于兩點，設(shè)．求證：(1)平分；(2)．【解析】（1）由題可知，設(shè)直線方程為，將直線方程代入得，設(shè)，，有，，設(shè)直線的斜率為，則，所以平分；（2）如圖所示，延長交拋物線于，作于，于，因為直線關(guān)于軸對稱，所以點關(guān)于軸對稱，又，所以，所以，因為軸，所以．19．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線，點是上任意一點，過點作的法線．(1)求法線在軸上截距的取值范圍；(2)設(shè)點是拋物線的焦點，過點作平行于軸的直線，求證：直線與直線的夾角與與的夾角相等．【解析】（1）由得，