2025?2026學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《1.3三角函數(shù)的計(jì)算》

自主學(xué)習(xí)同步練習(xí)題（附答案）

一、單選題

1.下列計(jì)算結(jié)果是有理數(shù)的是（）

A.1-|1-V3|B.V2cos45°C.sin60°-1D.3tan30°

2.已知cos4>號(hào)則銳角乙4的取值范圍是（）

A.0°<<30°B.30°<LA<90°

C.0°<Z.A<60°D.60°<LA<90°

3.已知a為銳如月.cos（90。一a）=｝則sina的值為i）

V3421門(mén)6

AA.——DB.—rC.-D.——

3222

4.已知a、夕均為銳角，且滿足卜ina-'+J（tan3-1]=0,則a+夕=（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

5.利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算gcos35。，下列按鍵順序正確的是（）

PT1國(guó)白固|T|口||二|

r\?

D?nn國(guó)nn詢nnnn口

cr~nI~Inn回nni§ii=?

國(guó)nnnn由nnHHE

6.將三角尺按如圖所示的方式放置在一張矩形紙片上/￡TG=90。，EG=2FG,乙1=73°,

A.73°B.77°C.83°D.88°

7.如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=：(kHO)圖像上一點(diǎn)，B、C分別在x、y軸上，連接A8與

丁軸相交于點(diǎn)Q，已知sin匕以0=cos408。=爭(zhēng)且△ABC的面積為2,則攵的值為()

A.2B.-2C.-4D.4

二、填空題

8.計(jì)算：2sin30°+V2cos450=.

9.如果a是銳角，sina=1,那么cos(90。一a)=.

10.在△4BC中，若cos/l=遺，tanB=1,則乙。=_。.

2

11.計(jì)算：V2sin450-2cos30°+7(1-tan60°)2=.

12.在等腰三角形ABC中，AB=AC,sinF=點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn),若CD?BC=AC2,則“DB

的度數(shù)為.

13.已知sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?,請(qǐng)利用特殊角三角函數(shù)值求sin75。的值

為.

14.如圖，在矩形4BCD中，E是DC上一點(diǎn)，4E=AB,AB=2AD,則4EBC的度數(shù)是.

15.計(jì)算:

(1)sin45°—cos30°4-tan60°

(2)sin60°cos600+cos2450-sin30°cos30°.

16.求滿足下列條件的銳角a

(l)sin(a+10°)=

(2)tan2a—2tana+1=0.

17.計(jì)算

(l)sin60°-cos30°+V2-sin45°-3tan230°

(2Man2600+4tan600+4-

18.先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式(六一鬻)+三的值，其中Q=2sin45。一tan45.

19.已知，RtlMBC中，0C=9O?.

(1)當(dāng)團(tuán)B=60。時(shí)，咚；當(dāng)財(cái)=45。時(shí)，夢(mèng)

AB

(2)當(dāng)回8=2胡時(shí)，求母勺值;

(3)若AB=2BC,求助的度數(shù).

20.若a,B為銳角且a+/?H90。時(shí)，現(xiàn)有公式：tan(a+/?)=；利用此公式求

解下列問(wèn)題:

(1)求tan75。的值;

(2)若A,B為銳角且A+E=45。時(shí),求(1+tan4)(l+tanB)的值;

⑶求(1+tanl°)(l+tan2°)(l+tan30)-(l+tan43°)(l+tan44。)的值.

參考答案

1.解:A、1-|1-V3|=1+1-73=2-V3,結(jié)果是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、V2cos45°=^x^=l,結(jié)果是有理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

C、sin600-1=^-1=^,結(jié)果是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、3tan300=3X=73,結(jié)果是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式運(yùn)算，特殊角三角函數(shù)，有理數(shù).熟練掌握二次根式運(yùn)算和特殊

角三角函數(shù)值是解題的關(guān)SL

2.C

【分析】根據(jù)特殊角的三免函數(shù)值求出cos6(r=5根據(jù)當(dāng)乙4是銳角時(shí)，其余弦隨角度的增

大而減小即可求解，

【詳解】解團(tuán)團(tuán)乙4為銳角，且8560。=%

又團(tuán)當(dāng)乙4是銳角時(shí)，其余弦隨角度的增大而減小，

00°<Z.A<60°,

故選回C.

【點(diǎn)睛】考查了特殊角的三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)的增減性的應(yīng)用，注意：當(dāng)角是銳角時(shí)，

其正弦和正切隨角度的增大而增大，余弦和余切隨角度的增大而減小.

3.C

【分析】由。為銳角，cos[90。一Q)=根據(jù)cos6(r=；,即可求得90。一a=60。，則可求

得a的度數(shù)，繼而求得sina的值.

【詳解】解：cos(90°—a)=%

90°-a=60°,

???a=30°,

???sina=sin30°=

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是熟記幾個(gè)特殊角的

二角函數(shù)值，注怠整體思想的應(yīng)用.

4.C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和二次根式的非負(fù)性即可求出sina和tan￡,再根據(jù)特殊角的銳角三角函

數(shù)值求出*6,最后代入即可解答.

【詳解】解：0|sina-1|+V(tan^-1)=0,sina-1|>0,7(tan/?-1)>0

Osina—^=0,tan￡—1=0

Osina=ptan^=1

演，8均為銳角

0a=30°,p=45°

Ha+/?=75°.

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了非負(fù)性的應(yīng)用、特殊角的銳角三角函數(shù)信等知識(shí)點(diǎn)，掌握絕對(duì)信和

二次根式的非負(fù)性以及特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】簡(jiǎn)單的電子計(jì)算器工作順序是先輸入者先算，根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶?，再根?jù)開(kāi)方

運(yùn)算即可求出顯示的結(jié)果.

【詳解】

解：利用該型號(hào)計(jì)算器計(jì)算|cos35%按健順序正確的是：

□SDUBQR1E

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算器-三角函數(shù)，要求學(xué)生對(duì)計(jì)算器上的各個(gè)功能鍵熟練掌握，

會(huì)根據(jù)按鍵順序列出所要計(jì)算的式子.借助計(jì)算器這樣的工具做題既鍛煉了學(xué)生動(dòng)手能力,

又提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

6.B

【分析】根據(jù)題意可得sinE=2=j可得NE=30。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，即可求

EG2

解.

【詳解】解：在△E/G中，Z-EFG=90°,EG=2FG,

團(tuán)NE=30°,

由題意可得：z2=180o-zl-zF=77°,

故選B

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的定義，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基

礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行求解.

7.C

【分析】先根據(jù)sinz_C71O=cos4D8。=4，得4cli08,根據(jù)同底等高可以得到=

SMBC=2,即可求得A的值?

【詳解】解：連結(jié)。4

???lCAD=乙DB0=45°

???ACWB

S^ACO=S4ABe=2,AC1y軸，

IM

-T=92

???k=-4

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=:圖象中任取

一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向人軸和），軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸同成的矩形的面積是定值|刈.

8.2

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先求出特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)

實(shí)數(shù)的計(jì)算即可.

【詳解】解：2sin30°+V2cos45°=2x1+V2Xy=1+1=2.

故答案為：2.

i

9.

2

【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，先求出a=30。，再代入即可求出答案.

【詳解】解：團(tuán)。是銳角，sina=

0a=30°,

0cos(9O0-a)=cos(90°-30°)=cos60°=

故答案為：：

10.105

【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，直接利在特殊角的三角函數(shù)值得出乙力=30。,

△8=45。，進(jìn)而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案.

【詳解】解：cosA=y>tanB=1,

AA=30°,Z-B=45°,

則4c=180°-30°-45°=105°.

故答案為：105.

11.0

【分析】本題考查了含有特殊角的三角函數(shù)解得計(jì)算，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.分別代入每一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，去絕對(duì)值，再進(jìn)行加減計(jì)算即可.

【詳解】解:原式=&x當(dāng)一2x4+|l—何

=1-V3+V3-1

=0,

故答案為：0.

12.60760g

【分析】本題主?？疾榱讼嗨迫切蔚呐卸ê托再|(zhì)，特殊角銳角三角函數(shù).根據(jù)特殊角銳角

三角函數(shù)可得=乙。=30。，再由=可得△力從而得到4CAD=

乙B=30°,即可求解.

【詳解】解：如圖,

A

團(tuán)48=zC=30°,

^CDBC=AC2,

團(tuán)CD:AC=AC:BC,

國(guó)乙c=乙c,

[2]△ACD^△BCAi

0ZC/1D=LB=30°,

0Z/IDF=ZC+/.CAD=60°.

故答案為：60°

〔_、反+遍

?4

【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，根據(jù)sin75。=sin（45。+30。）結(jié)合

公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得，sin75。

=sin（45°+30°）

=sin300cos450+cos300sin45°

1V2V3V2

=—x--+--x--

2222

_您+6

一4'

故答案為：呼.

4

14.150/15度

【分析】首先根據(jù)題意得到cos54E=^=%求出54E=60。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理和等邊對(duì)等角求解即可.

【詳解】財(cái)E=AB,AB=2AD

04E=2AD

團(tuán)四邊形/BC7）是矩形

0ZD=90°

^ABAD=乙ABC=ZD=90°

而。s血八禁E

團(tuán)N/Z4E=60°

^BAE=30°

BAE=AB

團(tuán)4力BE=乙AEB=1(180°-Z.BAE)=75°

^LEBC=/.ABC-乙ABE=15°.

故答案為:15。.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

15?⑴雪

喝

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先分別化簡(jiǎn)每個(gè)特底角的三角函數(shù)，再運(yùn)算加減法，即可作答.

(2)先分別化簡(jiǎn)每個(gè)特殊角的三角函數(shù)，再運(yùn)算乘法和乘方，最后運(yùn)算加減法，即可作答.

【詳解】(1)解：sin450-cos30°+tan600

—+百

_V24-V3

⑵解：sin60°cos600+cos2450-sin30°cos30°

V31/V2?1V3

=TX5+(T)-5XT

V31V3

=---1-------

424

_i

"2,

16.(l)a=20°

(2)a=45°

【分析】本題考查了三角函數(shù)值，解一元二次方程等知識(shí).

(1)根據(jù)sin(a+l(r)=5得到1+10。=30。，即可求出a=20。；

(2)根據(jù)tan2a—2tana+1=0,求出tana=1,即可求出a=45。.

【詳解】(Q解:演為銳角，

00°<a<90°,

則10°<a+10°<100。，

0sin(a+10°)=

團(tuán)a+10°=30°,

回a=20°,

(2)解：回tan2a-2tana+1=0,

團(tuán)(tana—I)2=0,

0tana-1=0,

□tana=1,

13a為銳角，

回a=45°.

17.⑴：

（2）1

【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵.

（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方、乘法，再算加減法，即可求解；

（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，再利用平方差公式進(jìn)行分母有理化和完全平方公式進(jìn)行

求解即可.

【詳解】（1）解：sin60°?cos30°+V2-sin45°-3tan230°

7373^V2o

xv-3x

3

=4+1-1

3

4

2次sin45。

(2)解：Vtan2600+4tan60°+4-

tan60°-tan45°

2V2XV2

+4x/3+4-~2

V3-1

*i2

=J(V3+2)--^

/l、2(V3+1)

二(冉+2)-,_V.

i)(V3-1)(V5+1)

l26+2

=V3+2------=——

(V3)-l2

2Q十2

=V3+2-

3-1

2V3+2

=V3+2-

-2-

=V3+2-(V3+l)

=1.

18.工，包

a+12

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)與求值、特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算、分母有理化，熟練學(xué)

握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)式子，代入特殊角的三角函數(shù)值

求出Q的值，再代入化簡(jiǎn)后的式子即可求解.

【詳解】解：(告-等)+凸

\a-la2-l/a-1

3(a+1)2a+3a

~(a—l)(a+1)(a—l)(a+1)'a—1

3Q+3—(2Q+3)a

(a—l)(a4-1)a-1

_aa-1

(a-l)(a+1)a

i

=9

a+1

0a=2sin450-tan45°=2Xy-l=V2-l,

斕式=酒與空.

19.(1)1(2)-(3)30°

22

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出在Rt"8C中，當(dāng)團(tuán)8=60。時(shí)警的值和財(cái)=459時(shí)裝

ABAC

的值.

(2)根據(jù)(3C=90。，班=2財(cái)可求得M的度數(shù)，后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出江的值.

⑶根據(jù)心9gA8=2BC,可求出言的值，后根據(jù)反三角函數(shù)的定義可求出M的度數(shù).

【詳解】(1)?.?在RtAABC中,06=902,

?，?當(dāng)回8=60。時(shí)，cosz.5=cos600=77=