高中高2024級(jí)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.20 B. C. D.252.已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.23.如圖，已知的平面直觀圖是等腰直角，且，，則的面積是（）A. B. C.1 D.4.在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.5.若事件與相互獨(dú)立，且，，則（）A. B. C. D.6.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為８小時(shí)，方差為0.5，則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.757.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值（）A. B. C. D.8.某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：等級(jí)24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在圖示正方體中，O為BD中點(diǎn)，直線平面，下列說法正確的是（）．A.A，C，，四點(diǎn)共面 B.，M，O三點(diǎn)共線C.平面 D.與BD異面10.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差11.若四面體各棱長(zhǎng)均為1或2，但不是正四面體，則該四面體外接球的表面積可能為（）A. B. C. D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上）．12.已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形弧長(zhǎng)為_______.13.若一個(gè)圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為3和8．母線長(zhǎng)為13，則該圓臺(tái)的體積為__________．14.在中，，，D是BC的中點(diǎn)，E是的內(nèi)心，則_______四、解答題（本大題共5小題，其中15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．15.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．16.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．17.為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校舉辦了傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分，所有參賽學(xué)生成績(jī)都不低于50分．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，按照，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求恰有1人成績(jī)?cè)诘母怕剩?8已知平面向量，，且．求：（1）向量在向量上的投影向量；（2）的值；（3）向量與夾角的余弦值．19.甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)入某次決賽，比賽采用“主客場(chǎng)比賽制”，具體賽制如下：若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均獲勝或一勝一平，則獲得冠軍；若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均平局或一勝一負(fù)，則通過加時(shí)賽決出冠軍.現(xiàn)假定甲隊(duì)在主場(chǎng)獲勝的概率為，平局的概率為，其中；甲隊(duì)在客場(chǎng)獲勝和平局的概率均為；加時(shí)賽甲隊(duì)獲勝的概率為.不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立，假設(shè)甲隊(duì)先主場(chǎng)后客場(chǎng).（1）已知.（i）求甲隊(duì)通過加時(shí)賽獲得冠軍的概率；（ii）求甲隊(duì)獲得冠軍概率.（2）除“主客場(chǎng)比賽制”外，也經(jīng)常采用在第三方場(chǎng)地的“單場(chǎng)比賽制”：若某隊(duì)比賽獲勝則獲得冠軍；若為平局，則通過加時(shí)賽決出冠軍.假定甲隊(duì)在第三方場(chǎng)地獲勝的概率為，平局的概率為，加時(shí)賽甲隊(duì)獲勝的概率為.問哪種賽制更有利于甲隊(duì)奪冠？高2024級(jí)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.20 B. C. D.25【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)虛部的含義可得答案.【詳解】的虛部是20.故選：A2.已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0列式，可求的值.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D3.如圖，已知的平面直觀圖是等腰直角，且，，則的面積是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖的畫法求出原圖形的長(zhǎng)度即可求出面積.【詳解】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，所以，且，，，所以原平面圖形的面積是.故選：A．4.在正方體中，異面直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線線角求法，將異面直線平移至同一平面內(nèi)，求得正確答案.【詳解】畫出圖象如下圖所示根據(jù)正方形的性質(zhì)可知所以是直線與所成角由于三角形是等邊三角形所以即直線與所成的角的大小為故選：5.若事件與相互獨(dú)立，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用和事件及獨(dú)立事件概率公式即得.【詳解】∵事件與相互獨(dú)立，且，，∴.故選：D.6.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為８小時(shí)，方差為0.5，則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75【答案】B【解析】【分析】利用抽樣中樣本平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式即可算出．【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：（小時(shí)），該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：．故選：B．7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將繞翻折至與共面，當(dāng)共線時(shí)，最小，再由余弦定理求解即可.【詳解】連接，如圖，由正方體的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，故，為直角三角形，，將圖中繞翻折至與共面，如圖，所以由圖可知，共線時(shí)，最小，此時(shí)，由余弦定理可知，所以最小值為.故選：B8.某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：等級(jí)24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在圖示正方體中，O為BD中點(diǎn)，直線平面，下列說法正確的是（）．A.A，C，，四點(diǎn)共面 B.，M，O三點(diǎn)共線C.平面 D.與BD異面【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】由正方體性質(zhì)，，所以A，C，，四點(diǎn)共面，A正確；直線交平面于點(diǎn)，平面，直線，又平面，平面，為的中點(diǎn)，平面，底面為正方形，所以為的中點(diǎn)，平面，且平面，又平面，且平面，面與面相交，則，，在交線上，即三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)正確；平面平面，平面，但，所以平面，C錯(cuò)誤；平面，面，，所以與BD為異面直線，D正確.故選：ABD10.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：舉反例說明，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即，所以的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差，這一論斷不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD.11.若四面體各棱長(zhǎng)均為1或2，但不是正四面體，則該四面體外接球的表面積可能為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)四面體的外接球的球心為，半徑為，分三種情況討論①若一條棱長(zhǎng)，其余各棱棱長(zhǎng)均為2，②若其中一組對(duì)棱相等且長(zhǎng)度為1，其余棱長(zhǎng)為2，③三棱錐為正三棱錐，且側(cè)棱長(zhǎng)為2，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.根據(jù)對(duì)稱性確定球心位置，由球心到各頂點(diǎn)距離相等列式可求半徑，進(jìn)而得到四面體外接球的表面積.【詳解】設(shè)四面體的外接球的球心為，半徑為，表面積為，依題意，四面體長(zhǎng)為1的棱最多有3條，分以下三種情況討論：①若，其余各棱棱長(zhǎng)均為2，取的中點(diǎn)，連接、，由，為中點(diǎn)，得，,，則，，根據(jù)對(duì)稱性，球心在上，設(shè)，則，由，得，解得，因此，B可能；②若其中一組對(duì)棱相等，不妨設(shè)，其余各棱棱長(zhǎng)均為2，取的中點(diǎn)，連接，由，，為的中點(diǎn)，得，則，，，根據(jù)對(duì)稱性，球心為中點(diǎn)，因此，A可能；③三棱錐為正三棱錐，且側(cè)棱長(zhǎng)為2，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，設(shè)頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影點(diǎn)為，連接、，則是底面正三角形的中心，且，，根據(jù)對(duì)稱性，球心在直線上，設(shè)，則，由得，解得，因此，C可能.故選：ABC三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上）．12.已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形弧長(zhǎng)為_______.【答案】【解析】【分析】利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，，故答案為：13.若一個(gè)圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為3和8．母線長(zhǎng)為13，則該圓臺(tái)的體積為__________．【答案】【解析】【分析】先求出圓臺(tái)的高，再由圓臺(tái)的體積公式求解即可．【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和8，母線為13，所以圓臺(tái)的高為：，由圓臺(tái)的體積公式，求得圓臺(tái)體積為：．故答案為：14.在中，，，D是BC的中點(diǎn)，E是的內(nèi)心，則_______【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積定理可得，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及余弦定理求解.【詳解】令的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，延長(zhǎng)交于，連接，由E是的內(nèi)心，得分別平分，，，同理，即，令，則，即，因此，，又，于是，由余弦定理得，則，所以.故答案為：3四、解答題（本大題共5小題，其中15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．15.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，結(jié)合中位線證明出結(jié)論；（2）求出底面積和高，利用錐體體積公式求出答案.【小問1詳解】連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，故；【小問2詳解】由題意得，正方形的面積為，，，故，又⊥平面，故⊥平面，三棱錐的體積為.16.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，根據(jù)角范圍即可求解；（2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周長(zhǎng).【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋傻?，所以，若，則，不合題意，故，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，可得，可得，又因?yàn)椋?，由余弦定理，可得，所以，所以的周長(zhǎng)為.17.為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校舉辦了傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分，所有參賽學(xué)生的成績(jī)都不低于50分．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，按照，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求恰有1人成績(jī)?cè)诘母怕剩敬鸢浮浚?），平均數(shù)為分，中位數(shù)為分；（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，將每個(gè)矩形的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（2）分析可知后三組中所抽取的人數(shù)分別為，將這人進(jìn)行標(biāo)記，列舉出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】由已知可得，解得，所抽取的名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為（分），由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以，中位數(shù)，由題意可得，解得（分）.【小問2詳解】由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為，記成績(jī)?cè)谶@組的名學(xué)生分別為，成績(jī)?cè)谶@組的名學(xué)生分別為，成績(jī)?cè)谶@組的名學(xué)生為，則從中任抽取人的所有可能結(jié)果為、、、、、、、、、、、、、、，共種.其中恰有人成績(jī)?cè)跒?、、、、、、、共種.故所求概率為.18.已知平面向量，，且．求：（1）向量在向量上的投影向量；（2）的值；（3）向量與夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由已知及數(shù)量積的運(yùn)算律得，再由投影向量的定義求向量在向量上的投影向量；（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求向量的模長(zhǎng)；（3）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求向量與夾角的余弦值.【小問1詳解】由，得，即，向量在向量上的投影向量是；【小問2詳解】由；【小問3詳解】，所以.19.甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)入某次決賽，比賽采用“主客場(chǎng)比賽制”，具體賽制如下：若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均獲勝或一勝一平，則獲得冠軍；若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均平局或一勝一負(fù)，則通過加時(shí)賽決出冠軍.現(xiàn)假定甲隊(duì)在主場(chǎng)獲勝的概率為，平局的概率為，其中；甲隊(duì)在客場(chǎng)獲勝和