大題仿真卷01（A組+B組+C組）（模式：5題滿分：77分限時(shí)：70分鐘）一、解答題1．（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知，其內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求；(2)若，，為邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合已知條件整理化簡(jiǎn)，求得，則得解；（2）根據(jù)面積公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得.【詳解】（1）因?yàn)?，即，且，即，得，且，則，可得，且，所以．（2）如圖：因?yàn)?，，由，所以，解得，在中，由余弦定理得，則，又D為BC邊上的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，則，在中，由余弦定理得，所以．2．（2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有極小值，且極小值大于，求的取值范圍．【答案】(1)分類(lèi)討論，答案見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分和來(lái)討論單調(diào)性；（2）由（1）求出函數(shù)的極小值，列出不等式，將不等式轉(zhuǎn)化為，令，研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解即可．【詳解】（1）的定義域?yàn)椋贂r(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；②時(shí)，令得，令得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知時(shí)，，整理得．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故在上單調(diào)遞增，又，所以的取值范圍為．3．（2025·云南紅河·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，等腰梯形中，，，，分別為的中點(diǎn)，且，將梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如圖2的多面體.(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)在上取一點(diǎn)，使得平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由平行向量的坐標(biāo)關(guān)系證得，即可證得四點(diǎn)共面；（2）由題意設(shè)，求出，分別求出平面與平面的法向量，由垂直向量的坐標(biāo)表示求出，再求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，所以平面，又，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得，則，則，則，即，所以四點(diǎn)共面.（2）由（1）知，，，，，設(shè)，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，由平面平面，則，解得，則，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，易得平面的一個(gè)法向量為，則，則平面與平面夾角的余弦值為.4．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，P是直線AB外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，垂足為Q，且Q在線段AB外，，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．不過(guò)原點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為T(mén)，直線TB和NB的斜率之積為6．(1)求C的方程；(2)判斷l(xiāng)是否過(guò)定點(diǎn)，若是請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)試判斷的形狀（銳角、直角或鈍角三角形），并給出證明．【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)鈍角三角形，證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，由，及得出，結(jié)合Q在線段AB外，即可求解；（2）設(shè)，，根據(jù)直線TB和NB的斜率之積為6，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理即可得出l過(guò)定點(diǎn)；（3）分類(lèi)討論和的情況，由平面向量數(shù)量積即可證明．【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，，且，垂足為Q，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，已知，即，因?yàn)镼在線段AB外，所以，則，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，則，顯然l的斜率不為零，否則有，，，此時(shí)，與直線TB和NB的斜率之積為6，矛盾；故可設(shè)，由得，依題意，且，∴且，，，由得，∴，，∵直線TB和NB的斜率之積為6，∴，所以，，，解得，此時(shí)恒成立，∴，過(guò)定點(diǎn)．（3）由（2）知，，，，①當(dāng)，即時(shí)，，∴M，N均在C的右支，如圖，

此時(shí)，∴∠MBN是鈍角，△BMN是鈍角三角形；②當(dāng)，即或時(shí)，，∴M，N分別在C的兩支.不妨設(shè)M在C的右支，則，如圖，

設(shè)，則，∴，∵l過(guò)點(diǎn)R，∴，∴∠BMN是鈍角，△BMN是鈍角三角形，綜上，△BMN是鈍角三角形．5．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)器人挑戰(zhàn)任務(wù)規(guī)則如下：挑戰(zhàn)按階段依次進(jìn)行，若連續(xù)兩個(gè)階段任務(wù)都執(zhí)行失敗，則挑戰(zhàn)結(jié)束；每一個(gè)階段系統(tǒng)隨機(jī)分配一個(gè)簡(jiǎn)單任務(wù)或復(fù)雜任務(wù)，分配到簡(jiǎn)單任務(wù)的概率為，分配到復(fù)雜任務(wù)的概率為.已知該機(jī)器人成功完成簡(jiǎn)單任務(wù)與復(fù)雜任務(wù)的概率分別為，且各階段任務(wù)完成情況相互獨(dú)立.(1)求該機(jī)器人在一個(gè)階段中成功完成任務(wù)的概率；(2)記為該機(jī)器人在完成第個(gè)階段任務(wù)后，整個(gè)挑戰(zhàn)還未結(jié)束的概率.①求；②證明：數(shù)列單調(diào)遞減.若對(duì)系統(tǒng)分配任務(wù)進(jìn)行設(shè)置，使得當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)停止分配任務(wù)，求該機(jī)器人最多能挑戰(zhàn)多少個(gè)階段的任務(wù).【答案】(1).(2)①；②證明見(jiàn)解析，最多進(jìn)行6次挑戰(zhàn).【分析】（1）根據(jù)全概率公式計(jì)算即可；（2）①結(jié)合挑戰(zhàn)規(guī)則分析挑戰(zhàn)未結(jié)束的條件，利用全概率公式和概率乘法公式計(jì)算即可；②結(jié)合①的分析，建立遞推關(guān)系，利用構(gòu)造等比數(shù)列及待定系數(shù)法求出的通項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性及即可證明及求解.【詳解】（1）設(shè)事件“分配到簡(jiǎn)單任務(wù)”，則“分配到復(fù)雜任務(wù)”，事件“成功完成任務(wù)”，依題意，，因此.所以機(jī)器人在一個(gè)階任務(wù)中成功完成任務(wù)的概率為.（2）①設(shè)事件“該機(jī)器人在第個(gè)階段完成任務(wù)”，各階段完成任務(wù)與否相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)，挑戰(zhàn)顯然不會(huì)終止，即，當(dāng)時(shí)，則第輪至少答對(duì)一輪.，由概率乘法公式得：；同理②設(shè)事件“第個(gè)階段任務(wù)結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)仍然未結(jié)束”，當(dāng)時(shí)，第個(gè)階段任務(wù)結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)仍然未結(jié)束的情況有兩種：（i）第輪成功，且第輪結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止；（ii）第輪失敗，且第輪成功，且第輪結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止，因此第個(gè)階段任務(wù)結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)仍然未結(jié)束的事件可表示為，則，而各輪任務(wù)成功與否相互獨(dú)立，因此，當(dāng)時(shí)，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，整理得，而，則，解得或，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，①，②，，為單調(diào)遞減數(shù)列.又，故最多進(jìn)行6次挑戰(zhàn).【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于遞推公式形如這一類(lèi)型，可通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列結(jié)合待定系數(shù)法來(lái)求通項(xiàng)。設(shè)，則，求出，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題意計(jì)算即可.（模式：3題滿分：45分限時(shí)：45分鐘）一、解答題1．（2025·遼寧·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由與的關(guān)系，即可得到結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.（2），，數(shù)列的前項(xiàng)和為.2．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）某公司準(zhǔn)備了一個(gè)不透明的箱子，該箱子中裝有6個(gè)大小一樣的小球，其中2個(gè)為紅色，1個(gè)為白色，3個(gè)為藍(lán)色.職工甲、乙兩人進(jìn)行抽球游戲，在每輪比賽中，兩人各從箱子中一次抽出3個(gè)小球.得分規(guī)則如下，若抽出的三個(gè)小球的顏色相同，得8分；若抽出的三個(gè)小球中有兩球的顏色相同，得4分；若抽出的三個(gè)小球的顏色各不相同，得2分.若第一輪得分相同，則進(jìn)行第二輪，直至出現(xiàn)兩人得分不同，得分多者獲得公司提前準(zhǔn)備的獎(jiǎng)勵(lì)，游戲結(jié)束.(1)記甲第一輪得分為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求兩人共抽輪小球的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）依題確定的可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率值，列出分布列，求出期望即可；（2）設(shè)事件為“一輪比賽甲乙得分相同”，求出，則事件“第輪比賽甲乙得分不同”的概率為，故利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可得兩人共抽輪小球的概率為.【詳解】（1）的可能取值為：8，4，2.依題意，；；.所以的概率分布列為：842（2）記乙一輪比賽的得分為，事件為“一輪比賽甲乙得分相同”，則記事件為“第輪比賽甲乙得分不同”，則.所以兩人共抽輪小球的概率：.3．（24-25高三上·天津·期末）已知函數(shù)（），．(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按分類(lèi)討論求出函數(shù)的極值.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性求出的范圍.（3）利用導(dǎo)數(shù)分別證明不等式，在時(shí)成立，再利用不等式的性質(zhì)推理得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)極值；②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)極小值為，無(wú)極大值，所以當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極小值為，無(wú)極大值．（2）對(duì)任意的，不等式，設(shè)，且，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立；當(dāng)，則，又，則在內(nèi)存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）令函數(shù)，，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，因此當(dāng)時(shí)，，即，所以成立.（模式：2題滿分：34分限時(shí)：30分鐘）一、解答題1．（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的漸近線為，雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線與雙曲線C相交于A，B（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若的中點(diǎn)為，求直線l的方程；(3)若以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，試判斷直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出漸近線方程，進(jìn)而求出即可.（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.（3）利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的關(guān)系即可得解.【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，依題意，，而雙曲線C的左頂點(diǎn)為，則，所以雙曲線的方程為．（2）由（1）知，雙曲線的方程為，設(shè)，由消去得，，，且，，由為的中點(diǎn)，得，解得，滿足，所以直線l的方程為，即.（3）由（2）知，．，則，由以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，得，于是，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.

2．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻甍多、芻童垛等的公式．我們把公差不為0的等差數(shù)列稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列是“一階等差數(shù)列”，則稱數(shù)列是“二階等差數(shù)列”．定義：若數(shù)列是“階等差數(shù)列”，則稱原數(shù)列為“階等差數(shù)列”．例如：數(shù)列，它的后項(xiàng)與前項(xiàng)之差組成新數(shù)列，新數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．(1)若數(shù)列滿足，，且，求證：數(shù)列為二階等差數(shù)列；(2)若三階等