26/27第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄01TOC\o"1-3"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點1一元二次不等式 3知識點2簡單分式不等式 4知識點3絕對值不等式 4知識點4高次不等式 5題型破譯 5題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式 5題型2解分式不等式、高次不等式 6題型3解絕對值不等式 6題型4解含參數(shù)的一元二次不等式 7【方法技巧】分類討論技巧題型5由一元二次不等式的解集求參數(shù) 8題型6由一元二次不等式解集中的整數(shù)個數(shù)求參數(shù) 8題型7一元二次不等式的實際問題 9題型8一元二次不等式的恒（能）成立問題 10【方法技巧】恒（能）成立的處理方法題型9一元二次方程根的分布問題 1104真題溯源?考向感知 1205課本典例·高考素材 13考點要求考察形式2025年2024年2023年（1）會從實際生活或數(shù)學(xué)問題中抽象出一元二次不等式模型；（2）能結(jié)合二次函數(shù)圖象，判斷一元二次方程根的個數(shù)，并依據(jù)圖象特征求解一元二次不等式；（3）掌握分式不等式和絕對值不等式的基本解法單選題多選題填空題解答題上海卷T2（4分）天津卷T15（5分）/全國I卷T1（5分）考情分析：新高考卷中，該專題屬于基礎(chǔ)核心考點，常與集合運算、函數(shù)定義域、導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間等綜合考查，單獨命題較少。命題側(cè)重對“三個二次”關(guān)系的理解，強調(diào)通過函數(shù)圖像分析根的分布及不等式解集。備考需重點掌握分式與絕對值不等式轉(zhuǎn)化技巧，以及恒成立問題中參數(shù)范圍的求解策略。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義；3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，類比求解高次不等式、分式不等式和絕對值不等式知識點1一元二次不等式1．三個“二次”之間的關(guān)系判別式的圖象一元二次方程的根有兩相異實根有兩相等實根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集________解集為一元二次不等式的解集________________2．不等式恒成立問題（1）恒成立的充要條件是：或________（2）恒成立的充要條件是：________或自主檢測1．不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是知識點2簡單分式不等式（1）；（2）________（3）左移，通分變成（1）；（4）左移，通分變成（2）自主檢測不等式的解集為．知識點3絕對值不等式1．絕對值不等式的概念一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．2．和型不等式的解法（1）；（2）________3．和型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；解含有兩個絕對值形如的不等式，常用零點討論法和數(shù)形結(jié)合法.注意小分類求交大綜合求并.自主檢測已知集合，，則（

）A． B． C． D．知識點4高次不等式1．高次不等式的概念不等式最高次項的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.2．________的步驟：①將最高次項系數(shù)化為正數(shù)；②將分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；③將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；④觀察曲線顯現(xiàn)出的的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．自主檢測（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．不等式的解集為或B．不等式的解集為或C．不等式的解集為或D．不等式的解集為或題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式例1-1已知集合，，則（

）A． B． C． D．例1-2已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】解關(guān)于的不等式組：題型2解分式不等式、高次不等式例2-1（2025·上海浦東新·三模）設(shè)為實數(shù)，則不等式的解集是.例2-2不等式的解集為．【變式2-1】若集合，則（

）A． B． C．或 D．【變式2-2】已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式2-3】若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-4】不等式的解集為.題型3解絕對值不等式例3-1（2025·浙江·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．例3-2不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式3-1】不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A．或 B． C．或 D．【變式3-2】不等式的解集是.【變式3-3·變題型】對任意實數(shù)，的最小值為．題型4解含參數(shù)的一元二次不等式例4-1對于給定的實數(shù)，關(guān)于實數(shù)的一元二次不等式的解集可能為（

）A． B． C． D．例4-2求下列關(guān)于的不等式的解集：．方法技巧分類討論技巧解含參數(shù)的一元二次不等式：（1）若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；（2）若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式進行討論；（3）若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進行討論．【變式4-1】已知集合，，若?，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式4-2】解關(guān)于x的不等式．【變式4-3】解關(guān)于的不等式：．【變式4-4】設(shè)．(1)若，求的最小值；(2)解關(guān)于的不等式.題型5由一元二次不等式的解集求參數(shù)例5-1已知不等式的解集為或，則不等式的解集為（

）A． B． C．或 D．或例5-2已知二次函數(shù)，若不等式的解集為，則函數(shù)圖像為（

）A．開口向上，對稱軸為的拋物線 B．開口向上，對稱軸為的拋物線C．開口向下，對稱軸為的拋物線 D．開口向下，對稱軸為的拋物線【變式5-1】若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】若關(guān)于x的不等式的解集為空集，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】已知函數(shù)的定義域是關(guān)于x的不等式的解集的子集，則實數(shù)a的取值范圍是.題型6由一元二次不等式解集中的整數(shù)個數(shù)求參數(shù)例6-1關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．例6-2若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【變式6-1】若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式6-2】若函數(shù)的定義域中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是.【變式6-3】已知，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有個整數(shù)，，，則，的取值范圍為．題型7一元二次不等式的實際問題例7-1常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產(chǎn)，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.雙十一購物節(jié)來臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價是40元，則均可被賣出；若每只“叫花雞”在定價40元的基礎(chǔ)上提高（）元，則被賣出的“叫花雞”會減少只.要使該店鋪的“叫花雞”銷售收入超過12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價應(yīng)為（

）A．48元 B．49元 C．51元 D．50元例7-2如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭南偏東方向處的熱帶風(fēng)暴中心正在以的速度向正北方向移動，距風(fēng)暴中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響．以上預(yù)報估計，該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴的影響時長大約為h．【變式7-1】在一個限速的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相碰了.事故后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間分別有如下關(guān)系：.則可判斷甲、乙兩車的超速現(xiàn)象是（

）A．甲車超速 B．甲車不超速 C．乙車超速 D．乙車不超速【變式7-2】將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20個，為了使商家利潤有所增加（只考慮漲價的情況），售價的取值范圍應(yīng)是.【變式7-3】數(shù)字經(jīng)濟是以數(shù)據(jù)資源為關(guān)鍵要素，以現(xiàn)代信息網(wǎng)絡(luò)為主要載體，通過信息通信技術(shù)的融合應(yīng)用推動全要素數(shù)字化轉(zhuǎn)型的新經(jīng)濟形態(tài)，在技術(shù)層面，包括大數(shù)據(jù)、云計算、物聯(lián)網(wǎng)、區(qū)塊鏈、人工智能、5G通信等新興技術(shù)；在應(yīng)用層面，包括“新零售”、“新制造”、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、元宇宙、無人駕駛等.現(xiàn)有一人工智能企業(yè)生產(chǎn)制造人形機器人，每月的成本t（單位：萬元）由兩部分構(gòu)成：①固定成本：1000萬元；②材料成本：萬元，x為每月生產(chǎn)人形機器人的個數(shù).(1)該企業(yè)每月的產(chǎn)量為多少時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為多少萬元？(2)若每個人形機器人的售價為萬元，假設(shè)生產(chǎn)出來的每個人形機器人都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制訂生產(chǎn)計劃，才能確保每月的利潤不低于400萬元？附：利潤＝售價×銷量－成本.題型8一元二次不等式的恒（能）成立問題例8-1若不等式對任意實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例8-2已知為實數(shù)，集合.(1)若命題“”是假命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.方法技巧恒（能）成立的處理方法（1）一元二次不等式在上恒（能）成立：一般用畫出圖象，結(jié)合根的個數(shù)和開口方向進行列不等式即可；（2）分離參數(shù)法：一元二次不等式在區(qū)間上恒（能）成立，若能夠分離參數(shù)成或形式，則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．舉例：若的最大值為，最小值為.①恒成立?，恒成立?②恒成立?，恒成立?.③能成立?，能成立?④能成立?，能成立?.【變式8-1】（2025·山東·二模）已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的最小值為．【變式8-2】已知命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【變式8-3·變題型】已知，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【變式8-4·變載體】已知關(guān)于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍為．題型9一元二次方程根的分布問題例9-1若關(guān)于x的方程的兩個根都在區(qū)間上，則a的值可以為（

）A． B． C． D．例9-2已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求實數(shù)的取值范圍是.【變式9-1】已知方程有一正根一負根，且正根絕對值大于負根絕對值，求實數(shù)的取值范圍．【變式9-2】若關(guān)于x的一元二次方程兩根都小于1，求實數(shù)m的取值范圍．【變式9-3】已知集合，集合，.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.1．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2025·天津·高考真題）若，對，均有恒成立，則的最小值為4．（2025·上海·高考真題）不等式的解集為．1．求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；

（4）.2．已知，，求，.3．當(dāng)k取什么值時，一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立.4．一名同學(xué)以初速度豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點2m以上的位置最多停留