6/15解答題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)根據(jù)近幾年的高考情況，導(dǎo)數(shù)已知是非常重要的一個(gè)專題，作為壓軸題之一，經(jīng)常在高考中看到導(dǎo)數(shù)的身影，其重要地位不可言喻。在考試中通常包含兩部分內(nèi)容，一部分內(nèi)容為函數(shù)求導(dǎo)和含參或不含餐單調(diào)性，另外一部分通過各種工具求參數(shù)的取值范圍，在2026年的高考中，仍然是解答題最有可能出現(xiàn)的壓軸題，在本專題中，我們將對(duì)導(dǎo)數(shù)的壓軸題部分進(jìn)行詳解。題型一：導(dǎo)數(shù)的切線方程以及切線條數(shù)問題（25-26高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)若曲線在處的切線過原點(diǎn)，求的值.(2)當(dāng)時(shí)，①判斷過點(diǎn)的切線條數(shù)，直接寫出結(jié)果；②判斷過點(diǎn)的切線條數(shù)并說明理由.【答案】(1)；(2)①過點(diǎn)的切線分別有1條、0條；②2條，理由見解析.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、已知某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)或自變量、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)切線過原點(diǎn)，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)值；（2）①②設(shè)切點(diǎn)為且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)點(diǎn)在切線上得到相關(guān)方程，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得.【詳解】（1）由題設(shè)，則，且，所以曲線在處的切線為，由切線過原點(diǎn)，則，可得，所以；（2）由題設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為且，所以切線方程為，則，①若切線過點(diǎn)，則，可得，即過點(diǎn)的切線僅有一條；若切線過點(diǎn)，則，令，則，所以時(shí)，時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以在上無(wú)零點(diǎn)，即沒有過點(diǎn)的切線；②切線過點(diǎn)，則，令，則，所以時(shí)，時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有2條.根據(jù)求切線方程構(gòu)造函數(shù)切線方程當(dāng)切線條線為三條時(shí)，切線方程有三個(gè)零點(diǎn)當(dāng)切線條線為三條時(shí)，切線方程有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)切線條線為三條時(shí)，切線方程有一個(gè)零點(diǎn)3.根據(jù)方程和零點(diǎn)之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍（25-26高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最值；(2)若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最大值是18，最小值；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出在指定區(qū)間上的最值.（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出的范圍.【詳解】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，所以函數(shù)的最大值是18，最小值.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由（1）得切線斜率，切線方程為，由切線過點(diǎn)，得，整理得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，由過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，得方程有3個(gè)互不相同的解，即直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象得當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（不含參）以及利用單調(diào)性求參數(shù)（25-26高三上·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記較小的一個(gè)零點(diǎn)為，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)（i）；（ii）證明見解析.【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）（i）先討論單調(diào)性，根據(jù)有兩個(gè)零點(diǎn)得出最小值，即可得的取值范圍；（ii）結(jié)合（i）知，要證，即證，即，分和進(jìn)行證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（i）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，，時(shí)，，所以.設(shè)，易知函數(shù)在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以的解集?綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）因?yàn)?，由，結(jié)合（i）知，要證，即證，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，不等式恒成立；?dāng)時(shí)，由得.即證.即證.即證.設(shè)，，由，所以在單調(diào)遞增.所以，故原不等式成立.所以.求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于0導(dǎo)函數(shù)大于0的函數(shù)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0的函數(shù)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間1．（安徽省皖江名校聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期9月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性；（2）因有三個(gè)極值點(diǎn)，即有三個(gè)根，從而再將問題轉(zhuǎn)換問兩函數(shù)的交點(diǎn)，進(jìn)而確定的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因此，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增.綜上，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)，定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，，因此是的一個(gè)極值點(diǎn).因?yàn)橛腥齻€(gè)極值點(diǎn)，因此在上有兩個(gè)不同的根，且.不妨設(shè).當(dāng)時(shí)，該方程只有1個(gè)根，不滿足題意，故.因此方程可等價(jià)于.設(shè)，，上述方程有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于該兩函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由于，，且單調(diào)遞增，而單調(diào)遞減，故兩函數(shù)圖像在上沒有交點(diǎn)，不符合題意，故.則，因此圖像的一條過原點(diǎn)的切線為，其中切點(diǎn)為.故，解得.即該切線為.因此，只有當(dāng)時(shí)，函數(shù)與才有兩個(gè)交點(diǎn)，且.此時(shí)，有三個(gè)根，即由三個(gè)極值點(diǎn).因此.故.題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參）（24-25高三上·福建三明·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)判斷是否存在，使得的最小值為，并說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)不存在，理由見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、已知函數(shù)最值求參數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)題意，求得，設(shè)，得到，求得的單調(diào)性，得出，再結(jié)合和，兩種情況討論，即可求解；（2）由（1）得到，假設(shè)存在滿足條件的，進(jìn)而得到，設(shè)，求得，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）由得，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，若，則，，在上單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在（0，a）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.假設(shè)存在滿足條件的，則，即又，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，與矛盾，所以不存在，使得的最小值為.含參數(shù)單調(diào)性討論：1.求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；2.變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；3.恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；4.根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；5.判斷定義域是否符合取值范圍1.（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）求導(dǎo)，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得最小值后可得，即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)，要使當(dāng)時(shí)，成立，則，再分，，三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，顯然，令，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由，，則，因?yàn)?，所以要使?dāng)時(shí)，，則必須滿足，即．下面證明：．當(dāng)時(shí)，，令，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，令，，則，故在上單調(diào)遞增，（?。┊?dāng)時(shí)，，，所以存在，使得，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，所以；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)1(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域分類討論，時(shí)的單調(diào)性;（2）由（1）知，分別求出最小值即可算出實(shí)數(shù)的取值范圍，根據(jù)恒成立即可求出;（3）要證，即證，令,根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由解得，所以在上單調(diào)遞增；由解得，所以在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知：（?。┊?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增且，所以時(shí)，不符合題意．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故．令，依題意．①又由得，由得．所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此在處取得最大值，即，故．②由①②得，．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且．所以有且僅有一個(gè)解，即．（3）要證，即證，令．．令．又，所以，使得，即，所以，所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．所以又（2）知當(dāng)時(shí)，恒成立，，又，所以故．即：【點(diǎn)睛】本題考查了含有參量的函數(shù)問題，遇到參量問題主要是進(jìn)行分類討論，一定要將所有情況全部討論，不要漏掉情況，在解答恒成立問題時(shí)要轉(zhuǎn)化為求最值的問題，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性即可.3．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1），討論符號(hào)確定單調(diào)性；（2）設(shè)，由求解.【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增；由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）顯然，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，由得則在上單調(diào)遞增；由得則在上單調(diào)遞減.∴在處取得最小值，設(shè)則，故在上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即(*)，∴欲使，須使.當(dāng)時(shí)，,(*)式不成立；當(dāng)時(shí)，，(*)式不成立；當(dāng)時(shí)，，(*)式不成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（2025高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求a的值；(2)解不等式（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由題意可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得其最小值，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得解.【詳解】（1），由函數(shù)在單調(diào)遞增，則在上恒成立，令，即在上恒成立，若，則當(dāng)時(shí)，，不符題意；故，，當(dāng)，，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，即；（2）由，則，，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，即，所以不等式的解集為.函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．解題步驟：求導(dǎo)判斷單調(diào)區(qū)間根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而求參數(shù)的取值范圍1.（25-26高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的值；(2)設(shè)，證明：存在最小值且最小值小于1.【答案】(1)(2)證明見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)非負(fù)結(jié)合分類討論可求的值；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)虛設(shè)零點(diǎn)可求最小值，結(jié)合基本不等式可證最小值小于1.【詳解】（1），因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，而時(shí)，，故即；而時(shí)，，故即，故.（2）,故，設(shè)，則，故即在上單調(diào)遞增.而，，故在存在一個(gè)零點(diǎn)且：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，而，故，故，而，雙勾函數(shù)在為減函數(shù)，故，故.題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)問題（25-26高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)若在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析；(3)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；（2）求導(dǎo)，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）原問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的圖象與在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，又，，故切線方程為.（2），令，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，使得，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（3）在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，故的圖象與在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在處有最大值即，又，的取值范圍為.求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟1.先確定函數(shù)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)；3.求方程的根；4.檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.5.通過函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求參數(shù)的取值范圍1．（25-26高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)若在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；（2）求導(dǎo)，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）原問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的圖象與在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，又，，故切線方程為.（2），令，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，使得，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（3）在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，故的圖象與在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在處有最大值即，又，的取值范圍為.2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1），，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)確定極值即可；（2）根據(jù)題意可得，在上有兩個(gè)不同的根，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增．故函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則方程在上有兩個(gè)不同的根，即方程在上有兩個(gè)不同的根，即方程在上有兩個(gè)不同的根，令，，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)圖像如下，又在上有兩個(gè)不同的根所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的最值；(2)若，對(duì)，求證：；(3)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)在上的最小值為，最大值為(2)證明見解析(3)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）求導(dǎo)分析的單調(diào)性從而得到給定區(qū)間上的最值；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，通過依次求導(dǎo)分析得到在上單調(diào)遞增，從而，即可證明結(jié)果；法二：對(duì)求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并利用求出在上單調(diào)遞增，所以，即可證明結(jié)果；（3）分和進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，得到在上恒成立，從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.對(duì)求導(dǎo)并分析單調(diào)性可得是函數(shù)的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得存在，使得，從而時(shí)，，，對(duì)求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，從而不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，最終可得的范圍.【詳解】（1）若，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；而，故在上的最小值為，最大值為.（2）法一：若，令，則，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，即，則在上單調(diào)遞增，所以，即，則在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即.法二：若，故在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即.令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，即.（3）由題意得，，.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，因?yàn)?，故在上恒成立，單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，故不是函數(shù)的極小值點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)1.（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）依次求出和即可由點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)工具求出，再結(jié)合恒成立即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）證明：的定義域?yàn)椋?，得，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增，所以因?yàn)楹愠闪?，所以，?2（25-26高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有最大值且為.則求的值.【答案】(1)答案見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、已知函數(shù)最值求參數(shù)【分析】（1）分類討論求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）求導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性再根據(jù)最大值求參數(shù).【詳解】（1）由題意可得的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則無(wú)最大值，即不符合題意．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，由已知?jiǎng)t，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以是的唯一解，綜上，．3．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)解不等式：；(2)設(shè)．①證明：時(shí)，函數(shù)有最小值；②若恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）由題意可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求解即可；（2）①求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，即可求證；②由①知，在必有一個(gè)極值點(diǎn)，則在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，法一：，在上恒成立，進(jìn)而分類討論求解即可；法二：由，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增，又，由，即．（2）由，則，設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，，使得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上有最小值．②由①知，在必有一個(gè)極值點(diǎn)，在無(wú)極值點(diǎn)，即在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn).法一：，在上恒成立．當(dāng)時(shí)，成立，符合題意：當(dāng)時(shí)，（i）若，因?yàn)闀r(shí)，，，在上有變號(hào)零點(diǎn)，不符合題意；（ii）若，，由（1）知時(shí)，，，恒成立，符合題意．綜上，．法二：由，設(shè)，，則，設(shè)，，則，設(shè)，，則，設(shè)，，則，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；則，又，，，使得，則時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，又，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，即，由題意方程無(wú)解，，.題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與y軸垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】已知某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)或自變量、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）先根據(jù)題意得到的定義域及，再根據(jù)即可得到的值，進(jìn)而根據(jù)的正負(fù)可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先根據(jù)題意分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過求導(dǎo)分析其單調(diào)性即可得到的取值范圍．【詳解】（1）依題意得的定義域?yàn)?，，由曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，則，得，所以，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由得，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，所以，即．故的取值范圍是．恒成立問題：設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛?，或或中之一種，則①若恒成立（即無(wú)解），則；②若恒成立（即無(wú)解），則；解題步驟：求導(dǎo)判斷單調(diào)性分離參變量或者分類討論①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；注意：【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．1．（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性，并求相應(yīng)極值.(2)若，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無(wú)極大值.(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、求已知函數(shù)的極值【分析】先求出導(dǎo)數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與的大小關(guān)系，分情況討論單調(diào)性，進(jìn)而求出極值.先根據(jù)的結(jié)論求出函數(shù)的最小值，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，最后通過構(gòu)造函數(shù)求解的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，即，解得（舍去，因?yàn)椋┊?dāng)時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，極小值為，無(wú)極大值，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無(wú)極大值.（2）由可知，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，也是最小值，即，因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，令，對(duì)求導(dǎo)得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，因此，?shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；(3)證明：方程在上有唯一實(shí)數(shù)解.【答案】(1)(2)e(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）由已知可得，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，討論參數(shù)a的范圍，分類求解即可；（3）設(shè)，連續(xù)構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所?，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增.故所求單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，故由?設(shè)，則.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增.從而，解得，此時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞增，則需，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，變形可得.此時(shí)，.設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).綜合可知的最大值為e.③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.從而，解得.此時(shí).綜上，的最大值為e.（3）證明：設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，而的導(dǎo)數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以存在唯一，使?當(dāng)時(shí)、，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?,.所以存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以存在唯一，使?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以存在唯一，使得，即方程在上有唯一?shí)數(shù)解.題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題（25-26高三上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)極大值，極小值0(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）求導(dǎo)，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值即可；（3）在上有解，即，令，則在上單調(diào)遞增，令，在上單調(diào)遞減，則，然后求解即可.【詳解】（1），，，且，在處的切線方程為：.（2）令，得或，當(dāng)和時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為；為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為.（3）根據(jù)題意關(guān)于的不等式在上有解，即在上有解，設(shè)，，，，由于，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.導(dǎo)數(shù)能成立問題知識(shí)點(diǎn)：若有解（即存在使得成立），則；若有解（即存在使得成立），則；若有解（即無(wú)解），則；若無(wú)解（即有解），則．求導(dǎo)判斷單調(diào)性分離參變量或者分類討論通過能成立問題相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解參數(shù)的取值范圍1.（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求出函數(shù)在上的最值(2)若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較大小即可求解最值；（2）把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值分析求解即可；【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，令，令，因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以方程得解為，，的變化情況如下表所示．xe++0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值，也是的最大值.又因?yàn)?，，所以，所以為的最小?（2）因?yàn)椋圆坏仁娇苫癁椋桑?）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)榈淖畲笾?，，所以，時(shí)，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以所以a的取值范圍為.題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（25-26高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)的極大值為0，無(wú)極小值．(2)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、求已知函數(shù)的極值【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義即可得出答案；（2）求導(dǎo)，分和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的最值，從而可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由得，即，得，由得，即，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得在處取得極大值，，無(wú)極小值．故的極大值為0，無(wú)極小值．（2），當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上有零點(diǎn)，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，即，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，由得，即，得，由得，即，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，因?yàn)樵趨^(qū)間上有零點(diǎn)，，得令，因?yàn)楹瘮?shù)，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以，綜上所述，的取值范圍是.求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性通過函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)性質(zhì)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若是定義域上的增函數(shù)，求的最小值；(3)若使，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)(3)【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解；（2）令，則恒成立，利用分離參數(shù)法求解即可；（3）法一：由題可知，使，分離參數(shù)可得，令，則原問題等價(jià)于，利用倒數(shù)求出即可得解.法二：求導(dǎo)，再分，，和四種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，且等號(hào)不恒成立，故在上單調(diào)遞減，由于，從而在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（2），令，又是定義域上的增函數(shù)，則恒成立，則恒成立，而的最大值為1，所以，故的最小值為；（3）法一：由題可知，使，又，所以，故，令，則原問題等價(jià)于，設(shè)為的極大值點(diǎn)，，令，，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故在上存在唯一零點(diǎn)，故時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故時(shí)，，且等號(hào)不恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，又為的極大值點(diǎn)，故，且，即，而，故，則，得，故，由，得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)兩等號(hào)同時(shí)成立，故時(shí)，為所有極大值中最大的，又時(shí)，，又時(shí)，，故的最大值為，故，故的取值范圍為.法二：由，得，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；②由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，，符合題意；④當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，從而，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，令，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故存在，使，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由，得在時(shí)恒成立，綜上可知在上恒成立，則在上恒成立，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型十：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（25-26高三上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的最值及其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)于任意的，均有，求的取值范圍．【答案】(1)最大值為，最小值為，只有1個(gè)零點(diǎn)；(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題化為函數(shù)定義域上單調(diào)遞增，即恒成立，分離參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值計(jì)算即可.【詳解】（1）易知，則定義域上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即最大值為，最小值為，又，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，則在上只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)，則對(duì)于任意的，均有，即在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，又，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故.1.求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性2.通常通過其中一個(gè)變量的取值范圍來判斷另一個(gè)變量的取值范圍1．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，．存在，，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）先求導(dǎo)，然后對(duì)a分類討論，判斷符號(hào)的正負(fù)，從而可得單調(diào)區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)而可得a的取值范圍.【詳解】（1）由題，.當(dāng)，則，則此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，則.若，即時(shí)，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）時(shí)，由（1）可得；又，則，得在上單調(diào)遞增，則.又注意到存在，，使得，等價(jià)于時(shí)，，則，又，則.題型十一：利用導(dǎo)數(shù)研究端點(diǎn)效應(yīng)問題（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有2個(gè)極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為4，求實(shí)數(shù)的值；(3)當(dāng)時(shí)，求證：總存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)或．(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）時(shí)，，求導(dǎo)，則，求解即得；（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)后，分類討論得函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此求出答案；（3）當(dāng)時(shí)，．設(shè)，又設(shè)，求導(dǎo)后，又由，得，由此得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，若函數(shù)有2個(gè)極值，則在有兩個(gè)零點(diǎn).所以,解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）當(dāng)時(shí)，，，．當(dāng)時(shí)，，是上的減函數(shù)，無(wú)最小值，舍去；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．由，得，解得或．（3）當(dāng)，時(shí)，有．方法一：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以存在，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，以下證明，且．令，，則，因?yàn)?，所以是上的增函?shù)，由，得是上的增函數(shù)，所以，故當(dāng)時(shí)，．故，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在，使，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．方法二：設(shè)，又設(shè)，，則，易知當(dāng)時(shí)，，故．又由，得，當(dāng)，時(shí)，取為與4中的較大者，則當(dāng)時(shí)，恒有，即當(dāng)時(shí)，．利用“端點(diǎn)效應(yīng)”解決問題的一般步驟可分為以下幾步①利用端點(diǎn)處函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足的條件，初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個(gè)范圍是不等式恒成立的必要條件②利用所得出的參數(shù)范圍判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否單調(diào)③若函數(shù)在限定參數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)，則必要條件即為充要條件，問題解決.若不單調(diào)，則需進(jìn)一步討論，直至得到使不等式恒成立的充要條件（24-25高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，設(shè)．(1)若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)于任意的，總存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）求出，寫出切線方程即可；（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、零點(diǎn)，，集合，由題意知，由時(shí)不成立知，討論與1的大小關(guān)系求出滿足的的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，則.故點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由已知有，令，解得或，列表如下：所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，由知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意的，總存在，使得，當(dāng)時(shí)，不成立，故，所以，所以.設(shè)集合集合則“對(duì)于任意的，都存在，使得”等價(jià)于.下面分兩種情況討論：當(dāng)即時(shí)，有且此時(shí)在上單調(diào)遞減，的值域?yàn)?，故，，所以A不是B的子集.當(dāng)即時(shí)，有且此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，因而，由有在上的值域?yàn)?，所以，所以滿足題意.綜上，的取值范圍為題型十二：利用導(dǎo)數(shù)通過同構(gòu)研究函數(shù)問題（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)解不等式：；(2)函數(shù)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2)有個(gè)零點(diǎn).(3).【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)值的正負(fù)，判斷不等式的解集；（2）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)之間的關(guān)系，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)特殊位置的函數(shù)值和零點(diǎn)存在定理，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.【詳解】（1）設(shè)，由，解得，即定義域?yàn)?，可知，?dāng)時(shí)，，所以，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以，即；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；綜上：的解集為.（2），定義域?yàn)?，易知，且，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，可知，令，則，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，可知，所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，易知，所以，即使得，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于中心對(duì)稱，所以.綜上有三個(gè)零點(diǎn).（3）①時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，則，可得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，則，可得；所以時(shí)，恒成立.②時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，恒成立.③時(shí)，設(shè)，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，在上，，所以，在單調(diào)遞增，，則；當(dāng)時(shí)，，也滿足，即關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以在成立，則；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，恒成立.④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，，,，使得，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以時(shí)不恒成立.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.利用以下函數(shù)同構(gòu)問題進(jìn)行構(gòu)造1、積型對(duì)數(shù)化:令，得指數(shù)化:令，得不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)變形：令，得2、商型對(duì)數(shù)化:令，得指數(shù)化:令，得不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)變形：令，得3、和差型對(duì)數(shù)化:令，得指數(shù)化:令，得比如令，得．然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解。1.（25-26高三上·四川綿陽(yáng)·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)，是否存在，使得曲線在點(diǎn)處的切線與至少有2個(gè)交點(diǎn)？若存在，探究滿足條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在唯一實(shí)數(shù).【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）等價(jià)變形給定不等式，構(gòu)造函數(shù)，借助奇函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)，恒成立的值范圍.（3）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不等式（*）恒成立，令，則，函數(shù)為奇函數(shù)，顯然，則由（*）可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，求導(dǎo)得，，當(dāng)，即時(shí)，令，求導(dǎo)得則，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此符合題意；當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)圖象連續(xù)不斷，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，可得，由奇函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，故的取值范圍為.（3）令函數(shù)，其定義域?yàn)?，求?dǎo)得，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，整理得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，函數(shù)所有的極大值為，當(dāng)時(shí)，極大值等于0，即；當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，極大值全部小于0，即在無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，極大值全部大于0，函數(shù)所有的極小值為，當(dāng)時(shí)，極小值，函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，因此在區(qū)間上的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與至少有2個(gè)交點(diǎn).2．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；(3)證明：方程在上有唯一實(shí)數(shù)解.【答案】(1)(2)e(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）由已知可得，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，討論參數(shù)a的范圍，分類求解即可；（3）設(shè)，連續(xù)構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所?，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增.故所求單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，故由?設(shè)，則.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增.從而，解得，此時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞增，則需，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，變形可得.此時(shí)，.設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).綜合可知的最大值為e.③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.從而，解得.此時(shí).綜上，的最大值為e.（3）證明：設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，而的導(dǎo)數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以存在唯一，使?當(dāng)時(shí)、，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?,.所以存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以存在唯一，使?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，，所以存在唯一，使得，即方程在上有唯一?shí)數(shù)解.題型十三：極值點(diǎn)偏移問題（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：【答案】(1)答案見解析；(2)①；②證明見解析.【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）①由（1）的結(jié)論，結(jié)合極大值、最小值及零點(diǎn)存在性定理求出范圍；②根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并利用極值點(diǎn)偏移推理得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，得，則，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；而，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.②由①知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，不妨令，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時(shí)，，于是，因此，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明:.【答案】(1)(2)證明見解析.【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)【分析】（1）由已知可得有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求解；（2）由，，得，令，用表示，代入，構(gòu)造函數(shù)證明.【詳解】（1）由已知可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)根，所以函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖所示，

所以若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）可知，，所以①，②，①-②得，令，則，所以，，所以，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即，得又，所以，即，得證.2.．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求解.（2）利用零點(diǎn)的意義建立方程組并消去參數(shù)，再換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理得證.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，由，得，今，求?dǎo)得，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，不妨設(shè)，且，兩式相減得，兩式相加得，欲證，只證，即證，即證，設(shè)，不等式等價(jià)于，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即不等式成立，所以.3．（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：【答案】(1)答案見解析；(2)①；②證明見解析.【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）①由（1）的結(jié)論，結(jié)合極大值、最小值及零點(diǎn)存在性定理求出范圍；②根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并利用極值點(diǎn)偏移推理得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，得，則，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；而，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.②由①知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，不妨令，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時(shí)，，于是，因此，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.題型十四：隱零點(diǎn)問題1．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若的極小值小于，求m的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)極值求參數(shù)、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、求已知函數(shù)的極值【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可得到切線方程；（2）函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)參數(shù)的取值分類討論，得到時(shí)，極小值，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)推得，即可求得不等式的解集；（3）由得，令，則，令，求導(dǎo)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，推得，使得，求出的最小值為，由可得，，故得的最小值，由即可判斷函數(shù)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，易得，在上單調(diào)遞減，則無(wú)極小值，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由，得，即在上單調(diào)遞增；由，得時(shí)，即在上單調(diào)遞減，所以的極小值為：，因?yàn)榈臉O小值小于，所以，即．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以由可?（3）．令，得，令，則與有相同的零點(diǎn)，且．令，則，因?yàn)?，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為．由，得，即，令，，則，則在單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，則，所以，從而，，所以的最小值．當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于0或時(shí)，趨近于，又因，所以，所以有2個(gè)零點(diǎn)，故有2個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求單調(diào)性及最值，需要引入隱零點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)隱零點(diǎn)不好代入消元求值，需要再同構(gòu)函數(shù)，則可得隱零點(diǎn)滿足，，從而再代入隱零點(diǎn)即可求出的最小值，再結(jié)合兩邊的極限值，從而問題得證．1、隱零點(diǎn)的處理思路第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.2、隱零點(diǎn)的同構(gòu)實(shí)際上,很多隱零點(diǎn)問題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng),而這類問題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個(gè)問題,它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問題中的應(yīng)用的原理分析所以在解決形如,這些常見的代換都是隱零點(diǎn)中常見的操作（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求在上的最值．(2)若且，關(guān)于的方程在上僅有一個(gè)實(shí)根．（?。┳C明：；（ⅱ）求的最大值．【答案】(1)最小值為，最大值為(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后與端點(diǎn)值進(jìn)行比較即可求得最值；（2）（ⅰ）令，并用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性找到隱零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間單調(diào)性即可確定根的唯一性，即可證明.（ⅱ）先求得，然后，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求解最大值.【詳解】（1）若，則，所以，令，可得或，令，可得或，令，可得，故在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增.所以.在處取得最大值，在處取得最小值，又，所以在上的最小值為，最大值為；（2）（?。┝?，則，令，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是在上的極小值，也是最小值，又因?yàn)?，要使在上僅有一個(gè)實(shí)根，必需，所以；（ⅱ）由（?。┲?，將代入，得，所以，所以，令，則，令，可得，令，可得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.即在處取得最大值.故的最大值為.題型十五：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根（25-26高三上·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值；(2)若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，借助圖象求出值.（2）等價(jià)變形恒成立的不等式，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分類探討求出的的范圍.【詳解】（1）由，得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出的大致圖象如圖：

又，且有唯一的實(shí)數(shù)根，所以.（2）依題意，不等式在時(shí)恒成立，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)，即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，不滿足條件，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.分離參數(shù)構(gòu)造出相關(guān)的方程通過討論函數(shù)單調(diào)性判斷參數(shù)的取值范圍1．（24-25高二下·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)，滿足.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.(3)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）求導(dǎo)后根據(jù)求解即可；（2）求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到極值即可.（3）由（2）可得的最小值及取值情況，依題意與無(wú)交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，解得；?）由（1）定義域?yàn)?，且為增函?shù).令可得，故當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增.故在處有極小值，無(wú)極大值.綜上可得單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.（3）由（2）可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處有極小值，即，且當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠虩o(wú)實(shí)數(shù)根，所以與無(wú)交點(diǎn)，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.1．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù).(2).【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)性，得到答案；（2）由（1）得出的最小值，得出，設(shè)，求導(dǎo)，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）.，，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，.令，解得：.由，解得：；由，解得：.時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù).（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，，∴，∴（*）.令，則，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴不等式（*）的解集為，即的取值范圍是.2．（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的極小值為．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、函數(shù)極值點(diǎn)的辨析、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)的極小值為，求得a，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由（1）知：得到在上遞增，再將存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，令，求得其最大值即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，顯然，因?yàn)楹瘮?shù)的極小值為，所以，解得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極小值為，滿足要求，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，因?yàn)榇嬖?，使得成立，即，所以存在，使得成立，所以存在，使得成立，即成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.3．（2025·北京海淀·三模）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；(2)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；(3)若不等式的解集非空，求a取值范圍．【答案】(1)極大值點(diǎn)，極大值，無(wú)極小值點(diǎn)和極小值；(2)(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、求已知函數(shù)的極值點(diǎn)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、求已知函數(shù)的極值【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得出單調(diào)性，進(jìn)而求出極值和極值點(diǎn)情況；（2）求出，根據(jù)的值域確定出的正負(fù)性，進(jìn)而得出單調(diào)性即可求最值；（3）將問題轉(zhuǎn)化為使得成立，求的最小值即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，由得；得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值點(diǎn)為，極大值為，無(wú)極小值點(diǎn)和極小值；（2）因，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，因，則，，則存在使得，故時(shí)，；時(shí)，；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，則，故函數(shù)在上的最小值為.（3）由題意可知，使得成立，即使得成立，又，則，即，故a的取值范圍為.4．（2025·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）令，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，確定每種情況下函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，化簡(jiǎn)可得：.（2）令，函數(shù)的定義域?yàn)?，．①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)任意的恒成立，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根、，且滿足，，不妨設(shè)，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．因?yàn)?，所以為的一個(gè)零點(diǎn)．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．所以函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，綜上，的取值范圍為．5．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）求導(dǎo)得，利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可證明；（2）求導(dǎo)得，設(shè)，再對(duì)分和討論即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，顯然在上單調(diào)遞增．且．故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且在上，，在上，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn).（2）設(shè)，則，記，當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；（iii）當(dāng)時(shí)，，，故存在，使得，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由于，則，若要滿足題設(shè)，只需，解得,又因?yàn)?，所以取值范圍?綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2025·廣東茂名·二模）已知為常數(shù)，且．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有且僅有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求的值．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）直接代入求導(dǎo)即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)得到其單單調(diào)性，再跟三次函數(shù)特點(diǎn)得到，解出方程即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，?dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以有2個(gè)零點(diǎn)，又由（1）可知，，因?yàn)?，則當(dāng)，，當(dāng)，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，解得或或或，又，所以.7．（24-25高二下·貴州六盤水·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點(diǎn)”．(1)若函數(shù)和為“契合函數(shù)”，求的取值范圍．(2)已知函數(shù)和為“契合函數(shù)”且有兩個(gè)“契合點(diǎn)”．①求的取值范圍；②若，證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、導(dǎo)數(shù)新定義、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)，求導(dǎo)后可得單調(diào)性，進(jìn)而確定圖象，結(jié)合圖象可求得結(jié)果；（2）①令，采用同構(gòu)法可得，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求得圖象，結(jié)合單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可求得的范圍；②根據(jù)與的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，采用比值代換的方式，令，將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：與的公共定義域?yàn)?，令，即，，令，若與為“契合函數(shù)”，則與有交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；大致圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有交點(diǎn)，即當(dāng)與為“契合函數(shù)”時(shí)，的取值范圍為.（2）①由題意知：與的公共定義域?yàn)椋?，則，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；大致圖象如下圖所示：

令，則，由得：，在上單調(diào)遞增，又與為“契合函數(shù)”，與至少有一個(gè)交點(diǎn)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.②由①得：與的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，且，，即，，，令，則由知：，，，整理可得：，，，令，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，所證不等式包含雙變量，解決此類問題的關(guān)鍵是能夠通過換元的方式將所證不等式轉(zhuǎn)化為單變量的形式，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值的求解問題.8．（2025·天津南開·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，證明：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及不等式恒成立確定參數(shù)范圍；（3）由有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解得，構(gòu)造并研究其函數(shù)值符號(hào)得，由有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造，并利用導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)可得，令，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造設(shè)，導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)得，進(jìn)而得到，即可證.【詳解】（1），則切線的斜率為，又，所以處的切線方程為，即．（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．若在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為．（3）由，得，若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，兩式相減得，所以．不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以．所以，即，所以①．由，得有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，由，，所以．令，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．由（2）知，則有．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．不妨設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，

則，所以②．綜上，．9．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的值．【答案】【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】已知切線（斜率）求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究左側(cè)的單調(diào)性，求解即可.【詳解】由題意，得的定義域?yàn)椋?，則，即，所以，即，令，則，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，而時(shí)，，所以，即，故．10．（24-25高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值；(3)若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)最大值為最小值為(3)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)【分析】(1)由函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為可得，再進(jìn)行求導(dǎo)，令解方程可得.（2）令導(dǎo)函數(shù)求解分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再比較極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小可得最值.（3）方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為圖像和有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)的單調(diào)性和變化情況，可求得.【詳解】（1）,因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為所以有所以解得（2）由(1)可得當(dāng)或

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛?jì)算可得，所以在的最大值為，最小值為（3）由（2）可知，的極大值為，極小值為當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根.11．（2025·湖北·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，討論方程的根的個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）應(yīng)用分類討論及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)已知有，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性和最值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，則，因，由，解得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的無(wú)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）由題設(shè)，令，則，即在上單調(diào)遞增，故上式中滿足，則有，可得，令，則，由解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，故.結(jié)合圖象，可知，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)實(shí)根；當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根.12．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且在處取得極值．(1)求m的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．