2/17專題3.2排列與排列數(shù)

教學目標1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列（數(shù)學抽象）。2.會用排列數(shù)公式進行求值或證明。教學重難點1.重點（1）排列數(shù)的概念；（2）排列數(shù)方程與排列數(shù)不等式；（3）全排列問題。2.難點（1）有限制的排列問題；（2）相鄰與不相鄰的排列問題。知識點01排列的概念從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同知識點02排列的定義從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從SKIPIF1<0個元素中取出SKIPIF1<0元素的排列數(shù)，用符號SKIPIF1<0表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從SKIPIF1<0個不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號SKIPIF1<0只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列知識點03排列數(shù)公式及其推導由SKIPIF1<0的意義：假定有排好順序的2個空位，從SKIPIF1<0個元素SKIPIF1<0中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)SKIPIF1<0．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有SKIPIF1<0種填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3個空位來考慮，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0個空位來考慮SKIPIF1<0，排列數(shù)公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是SKIPIF1<0，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0個因數(shù)；（2）全排列：當SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：SKIPIF1<0（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=1.1組合的概念：一般地，從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0個元素并成一組，叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的一個組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同知識點04排列的一些常用結(jié)論1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論．

題型01排列的概念及簡單計算【典例1】．（24-25高二上·山東東營·階段練習）（

）A． B．3 C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算即可求解.【詳解】.故選：B【變式1】．（24-25高二下·山西·期末）（用數(shù)字作答）.【答案】24【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)以及計算公式即可求解.【詳解】，故答案為：24【變式2】．（24-25高二下·吉林·期中）計算.【答案】【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算【分析】應用排列數(shù)公式求值即可.【詳解】.故答案為：【變式3】．（多選題）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)階乘和排列數(shù)的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可．【詳解】對于A，，顯然，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：BCD.題型02排列數(shù)方程與不等式【典例2】．（24-25高二下·吉林·期末）若，則.【答案】3【難度】0.65【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】應用排列公式解排列數(shù)方程即可.【詳解】由題設(shè)，且，，則，所以，則，所以，可得（非整數(shù)解舍）.故答案為：3【變式1】．（24-25高三·上?！ふn堂例題）若，則.【答案】6【難度】0.85【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】由可得，所以，故答案為：6【變式2】．不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)和計算公式化簡求其解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，又，，所以，所以不等式的解集為，故選：D.【變式3】．（24-25高二下·福建莆田·階段練習）不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】利用排列數(shù)公式展開化簡，得，再結(jié)合即可.【詳解】則，得，得，又因為，則.故選：C.題型03全排列問題【典例3】．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7這4個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【難度】0.94【知識點】全排列問題【分析】根據(jù)全排列規(guī)則，計算結(jié)果即可.【詳解】可知4個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是，故選：B.【變式1】．（2025·江蘇南通·模擬預測）一個數(shù)陣有行4列，第一行中的4個數(shù)互不相同，其余行都由這4個數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，那么的值最大可?。?/p>

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【難度】0.65【知識點】全排列問題【分析】根據(jù)排列的意義結(jié)合排列數(shù)的計算，即可得答案.【詳解】由于4個數(shù)互不相同，故將這4個數(shù)全排列共有種排序方法，而一個數(shù)陣有m行4列，要使任意兩行的順序都不相同，故m的值最大為24，故選：C.【變式2】．（24-25高二下·河南·階段練習）現(xiàn)將一個7、兩個3、三個5排成一排，不同的排列方法有種.【答案】60【難度】0.94【知識點】全排列問題【分析】根據(jù)全排列公式計算即可求解.【詳解】由題意知，一個7，兩個3，三個5共6個數(shù)字全排列，共種方法，又因為6個數(shù)字中有兩個3和三個5是重復的，所以共有種方法.故答案為：60.【變式3】．（24-25高二下·浙江紹興·期中）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑假開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有種排法.【答案】504【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、全排列問題【詳解】依題意，六門課程的全排列為，其中“禮”排在第一周有種，“數(shù)”排在最后一周有種，“禮”排在第一周且“數(shù)”排在最后一周有種，所以符合要求的排法種數(shù)為.故答案為：504題型04元素（位置）有限制的排列問題【典例4】．（25-26高二上·全國·單元測試）學校舉行德育知識競賽，甲、乙、丙、丁、戊5位同學晉級到了決賽環(huán)節(jié)，通過筆試決出了第1名到第5名．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對他們說：“決賽5人的成績各不相同，但你們倆的名次是相鄰的”，丙、丁兩名參賽者也去詢問成績，回答者對丙說：“很遺憾，你和丁都未拿到冠軍”，又對丁說：“你當然不會是最差的"．從這個回答分析，5人的名次排列情況共有種．【答案】16【難度】0.65【知識點】分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、相鄰問題的排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】分冠軍為甲、乙兩人中的一人；冠軍為戊，丁為第二名；冠軍為戊，丁為第三名；冠軍為戊，丁為第四名．共四種情況，結(jié)合相鄰問題及特殊元素法分別求解即可．【詳解】由題意可知，冠軍不會是丙、丁且丁不是第5名，當冠軍為甲、乙兩人中的一人時，由于甲、乙兩人名次相鄰，所以第二名一定是兩人中的另一人，丁就只能是第三或第四名，丙和戊兩個人名次就只能是剩余兩個名次全排列，此時共有種情況；當冠軍為戊，丁為第二名時，將甲、乙捆綁在一起，內(nèi)部排列共種，此時丙只能是第三或第五名，故共有種情況；當冠軍為戊，丁為第三名時，由于甲、乙兩人名次相鄰，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲、乙，所以此時共有種情況；當冠軍為戊，丁為第四名時，由于甲、乙兩人名次相鄰，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲、乙，所以此時共有種情況．所以共有種情況．故答案為：16.【變式1】．（2025高二·全國·專題練習）9人排成3行，每行3人，其中甲、乙、丙3人要排在同一行，有種不同的排法.（用數(shù)字作答）【答案】12960【難度】0.85【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】先對甲、乙、丙3人特殊考慮，然后對剩余6人全排列即可.【詳解】從3行中任取1行給甲、乙、丙三人，有種方法；余下的6人排6個位置，有種方法.因此符合條件的排法有種.故答案為：12960【變式2】．（2025·遼寧大連·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名學生依次參加接力跑的接力比賽，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【難度】0.94【知識點】分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得解.【詳解】分甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，①當甲站在第二位時，余下三人可以全排列，此時共有種情況；②當甲不站在第二位時，甲有個位置可選，此時乙也有種情況可選，余下兩人可以全排列，則此時共有種情況；綜上所述，一共有種情況，故選：B.【變式3】．（25-26高二上·全國·單元測試）在一次大型運動會的火炬?zhèn)鬟f中．某路段的傳遞活動由共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能從中產(chǎn)生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且兩名火炬手不能共同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數(shù)為（

）A．60 B．54 C．120 D．114【答案】D【難度】0.94【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】以第一棒完成人分類計數(shù)，當A完成第一棒時，最后一棒沒有限制條件，從剩下5人中選2人，再排中間三棒即可；當B完成第一棒時，最后一棒不能是A，C完成，故最后一棒完成方案有種，再排中間三棒即可．【詳解】當完成第一棒時，有種不同的傳遞方案；當完成第一棒時，有種不同的傳遞方案．故共有種不同的傳遞方案．故選：D.題型05相鄰問題的排列問題【典例5】．（24-25高一下·廣東廣州·期中）在華南師大附中社團開放日的展示活動中，辯論社，國學社，攝影社，魔方社，天文社5個社團的攤位排成一列，其中辯論社與國學社必須相鄰，那么不同的排法有（

）A．60種 B．48種 C．36種 D．24種【答案】B【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、相鄰問題的排列問題【分析】將辯論社與國學社捆綁，看成一個社團，與其他3個社團排成1列，再考慮辯論社與國學社的順序，據(jù)此可得不同排法.【詳解】將辯論社與國學社捆綁，看成一個社團，與其他3個社團排成1列，有種排法.又辯論社與國學社的先后順序有2種情況，則滿足題意的排法有種.故選：B【變式1】．（24-25高二下·重慶·期中）2025年春節(jié)檔電影《哪吒之魔童鬧?！烦蔀橹袊笆菲狈孔罡叩碾娪埃嘲嗉?、乙、丙、丁、戊這5位同學相約一起去電影院觀看，要求5人坐在同一排相鄰的5個位置，甲、乙、丙這三人相鄰，且丙不與丁相鄰，則不同的座位排列方法有（

）種.A．32 B．28 C．24 D．20【答案】B【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】根據(jù)給定條件，利用相鄰問題捆綁法，結(jié)合排除法列式計算.【詳解】將甲乙丙三人視為整體與丁戊排列，有種，當甲乙丙相鄰，丙不在甲乙的中間，丙丁相鄰時，甲乙丙丁視為一個整體與戊排列，有種，所以不同的座位排列方法的種數(shù)是.故選：B【變式2】．（24-25高二下·安徽蚌埠·階段練習）某天文興趣小組開展了月球知識宣傳活動，活動結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】2880【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、排列數(shù)的計算【分析】相鄰問題排列，先將4名女生排在一起，作為一個整體再與剩下男生全排列可得.【詳解】先將4名女生排在一起，有種方法，再將4名女生作為一個整體和4名男生排列，有種方法，故4名女生相鄰的站法種數(shù)為．故答案為：2880.【變式3】．（24-25高二下·湖南衡陽·期中）中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“驚蟄”“清明”“立夏”“芒種”“小暑”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有種（要求：用數(shù)字填空，用式子填空不給分）【答案】【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】由相鄰問題捆綁法求解排列問題即可.【詳解】由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到，當“立春”和“驚蟄”、“驚蟄”和“清明”均相鄰時，只有2種排法，即“驚蟄”在中間，“立春”“清明”分布兩側(cè)，此時再用捆綁法，將三者捆在一起即，所以最終滿足題意的排法為.故答案為：題型06不相鄰問題的排列問題【典例6】．（24-25高二下·北京·期中）現(xiàn)有高中數(shù)學人教A版必修第一冊、必修第二冊、選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊教材各1本．若把這5本教材從左到右放置書架的某一層內(nèi)（該層無其他書籍），如果必修第一冊與必修第二冊相鄰，則不同的放法共有種；如果必修第一冊與必修第二冊相鄰且必修第一冊與選擇性必修第三冊不相鄰，則不同的放法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】4836【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】利用捆綁法計算第一問，利用間接法計算第二問.【詳解】若必修一與必修二相鄰，則這兩本書看成一個元素，則不同的方法有種方法；若必修一與必修二和必修三都相鄰，則這三本書看成一個元素，必修一在中間，則有種方法，根據(jù)間接法，滿足條件的方法種數(shù)為種方法.故答案為：48；36【變式1】．（24-25高二下·天津濱海新·期中）中國古代儒家提出的“六藝”指：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動，周六這天準備連排六節(jié)課，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮”與“樂”不能相鄰，“射”和“御”要相鄰，則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有種.【答案】144【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】本題需要分步處理排列條件，首先將“射”與“御”捆綁為一個整體，然后結(jié)合插空法求解可得.【詳解】由題意知：“樂”與“書”不能相鄰，“射”與“御”要相鄰，可將“射”與“御”進行捆綁看成一個整體，共有種.然后與“禮”、“數(shù)”進行排序，共有種.最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種.由于是分步進行，所以共有種.故答案為：144.【變式2】．（24-25高二下·貴州貴陽·期中）《哪吒之魔童鬧?！菲狈恳宦凤j升，現(xiàn)暫列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要為哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹這6位角色制作宣傳海報，要求哪吒和敖丙不能相鄰出現(xiàn)在海報上，那么一共有（

）種不同的排版方式．A．120 B．240 C．480 D．720【答案】C【難度】0.85【知識點】不相鄰排列問題【分析】不相鄰問題用插空法，先將其余位角色全排列，再將哪吒和敖丙插空.【詳解】首先將李靖、殷夫人、太乙真人、申公豹這位角色全排列，有種排法，再將哪吒和敖丙插入到所形成的個空中的個空，有種排法，按照分步乘法計數(shù)原理可知一共有種不同的排版方式．故選：C【變式3】．（24-25高二·全國·課堂例題）某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”六塊知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“雨水”與“谷雨”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（

）（

）A．24 B．48 C．144 D．240【答案】C【難度】0.85【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁，與“驚蟄”“清明”一起排列，再將“雨水”與“谷雨”兩塊展板插入個空隙中，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得.【詳解】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁，與“驚蟄”“清明”一起排列，共有種，再將“雨水”與“谷雨”兩塊展板插入個空隙中，有種，按照分步乘法計數(shù)原理可知，不同的放置方式有種.故選：C.題型07數(shù)字的排列問題【典例7】．從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點】其他排列模型、計算古典概型問題的概率【分析】利用排列組合知識求出對應的方法種數(shù)，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時，有種；數(shù)字為1，3，5時，有種；數(shù)字為2，3，4時，有種；數(shù)字為3，4，5時，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D【變式1】．用數(shù)字、、、、、組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)字為（

）A．2300 B．2301 C．2302 D．2303【答案】B【難度】0.85【知識點】其他排列模型、數(shù)字排列問題【分析】依次計算首位為、前兩位為、前兩位為的有多少個數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為的有個，前兩位為的有個，前兩位為的有個，因而第個數(shù)字是前兩位為的最小數(shù)，即為，故選：B【變式2】．從1、2、3、4中任取兩個不同數(shù)字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組成不同點的個數(shù)為．【答案】12【難度】0.94【知識點】其他排列模型【分析】利用排列知識進行求解.【詳解】本題相當于從4個元素中取2個元素的排列，即．故答案為：12【變式3】．從集合中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到個不同的對數(shù)值．【答案】53【難度】0.65【知識點】其他排列模型【分析】分取的兩個數(shù)中有一個是1、取的兩個數(shù)不含有1兩種情況討論，注意排除對數(shù)值相等的情況.【詳解】①當取的兩個數(shù)中有一個是1時，則1只能作真數(shù)，此時，或3或4或5或6或7或8或9；②所取的兩個數(shù)不含有1時，即從2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個，分別作為底數(shù)與真數(shù)，有個對數(shù)，但是其中，，，．綜上可知：共可以得到（個）不同的對數(shù)值．故答案為：53

一、選擇題1．（25-26高二上·全國·單元測試）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式進行判斷.【詳解】中總共有個數(shù)連乘，故．故選：A2．（24-25高二下·河北衡水·期中）（多選題）滿足不等式的的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】AB【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算【分析】利用排列數(shù)計算即可得到結(jié)果.【詳解】由已知得：，又因為，且,所以，故選：AB.3．不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)題意，利用排列數(shù)公式和排列數(shù)的性質(zhì)，列出方程求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，整理得，解得，又因為，解得，綜上可得，又由所以.故選：D.4．（24-25高二下·江蘇連云港·階段練習）某學校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動，高一、高二、高三年級分別有2名、3名、3名同學獲一等獎，若將上述獲一等獎的8名同學排成一排合影，要求同年級同學排在一起，則不同的排法共有（

）A．432種 B．420種 C．176種 D．7種【答案】A【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、相鄰問題的排列問題、全排列問題【分析】先對各年級同學作全排，再把三個年級作為三組作全排，應用分步乘法求不同排法數(shù).【詳解】先將各年級同學作全排有種，再把三個年級同學作全排有種，故共有種.故選：A5．（24-25高二下·江西·期末）小華一家4人（小華，姐姐，爸爸，媽媽）計劃去南京自駕游，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個座位．只有爸爸和媽媽會開車，且小華未成年只能坐在后排，則不同的乘坐方式一共有（

）A．18種 B．27種 C．36種 D．54種【答案】C【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】應用分步計數(shù)及排列數(shù)求不同的乘坐方式數(shù).【詳解】爸爸和媽媽選一人在駕駛座有2種，小華在后排3個座位選一個座位有3種，余下人作全排種.所以不同乘坐方式有種.故選：C.6．（24-25高二下·黑龍江雞西·階段練習）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，其中甲、乙必須相鄰，丁不能站在兩端，則不同站法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．120【答案】B【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據(jù)捆綁法、間接法求解即可.【詳解】先甲、乙相鄰，有種不同排法，其中丁站兩端的站法有種，故甲、乙必須相鄰，丁不能站在兩端的站法有種，故選：B7．（24-25高二下·山西·階段練習）一家物流公司計劃在“長三角”地區(qū)部署5G無人配送車，需從上海、南京、杭州、合肥4個城市中各選出2個核心倉儲點作為中轉(zhuǎn)站．所有配送車必須從上海指定的倉儲點出發(fā)，最終返回上海的倉儲點；每輛配送車在另外3個城市中各選1個倉儲點作為中轉(zhuǎn)站，但中轉(zhuǎn)時南京和杭州的倉儲點的順序不能相鄰，則符合條件的倉儲點的排列種數(shù)為（

）A．24 B．16 C．12 D．8【答案】B【難度】0.94【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、不相鄰排列問題【分析】先選出中轉(zhuǎn)站，在對南京和杭州的倉儲點的順序不能相鄰進行排序，即可求解.【詳解】第一步：先從3個城市中各選1個倉儲點作為中轉(zhuǎn)站，有種選法，第二步：南京和杭州的倉儲點的順序不能相鄰，故中間排合肥，南京和杭州的倉儲點在兩段，排列方式有種，所以符合條件的倉儲點的排列種數(shù)為種．故選：B.8．在如圖所示的表格中填寫，，三個數(shù)字，要求每一行、每一列均有這個數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】其他排列模型、分步乘法計數(shù)原理及簡單應用【分析】從第一行開始依次確定每行的填法數(shù)，由分步乘法計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】先填第一行，有種填法；再填第二行，有種填法；最后填第三行，只有種填法；不同的填法種數(shù)為種.故選：C.9．（2025·廣東佛山·模擬預測）某學校的數(shù)學興趣小組為了了解我國古代的數(shù)學成就，先后去圖書館借閱了5本古代數(shù)學名著：《周髀算經(jīng)》?《九章算術(shù)》?《海島算經(jīng)》?《孫子算經(jīng)》和《張丘建算經(jīng)》，該小組每次隨機借閱一本名著，且歸還后再隨機借閱下一本（已借閱的不會重復借閱）．則最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】由古典概率的計算公式求解即可.【詳解】所有可能的借閱順序總數(shù)為：，最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》，所以前兩本的順序可以是《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》或者《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》，有種情況，最后一本已經(jīng)確定是《孫子算經(jīng)》，中間本為《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》，有種情況，設(shè)最先借閱的兩本是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，且最后一本借閱的是《孫子算經(jīng)》為事件，則，故選：D.10．（25-26高三上·山東聊城·開學考試）如圖，四個開關(guān)控制著五盞燈，其中開關(guān)控制著1，2，3號燈，開關(guān)控制著2，3，4號燈，開關(guān)控制著3，4，5號燈，開關(guān)控制著1，4，5號燈.開始時，五盞燈均是亮的，現(xiàn)先后按動這四個開關(guān)中兩個不同的開關(guān)，則其中2號燈亮的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點】排列數(shù)的計算、計算古典概型問題的概率【分析】先由排列數(shù)確定總的基本事件個數(shù)，再分兩類情況按第一個開關(guān)時，2號燈滅，按第二個開關(guān)時，2號燈亮，或按第一個開關(guān)和第二個開關(guān)均與2號燈無關(guān)，討論2號燈亮的情況，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【詳解】先后按動這四個開關(guān)中兩個不同的開關(guān)，有=12種方法.2號燈亮有兩類情形.第一類，按第一個開關(guān)時，2號燈滅，按第二個開關(guān)時，2號燈亮，此時對應的方法有=2種（兩個開關(guān)進行全排列）；第二類，按第一個開關(guān)和第二個開關(guān)均與2號燈無關(guān)，此時對應的方法有=2種（兩個開關(guān)進行全排列）.故所求事件的概率為.故選：B11．（2025高三·全國·專題練習）為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事，展望鄉(xiāng)村振興圖景，演出民眾身邊日常，唱出百姓幸福心聲，某地組織了“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目表演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節(jié)目，若要求歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，則節(jié)目的排列順序種數(shù)為（

）A．120 B．360 C．180 D．90【答案】A【難度】0.65【知識點】相鄰問題的排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】相鄰節(jié)目捆綁，然后捆綁的節(jié)目與器樂固定順序，其余三個節(jié)目選三個位置排列，再按固定順序插入捆綁的節(jié)目與器樂節(jié)目，再由分步乘法原理計算．【詳解】因為歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，所以先用捆綁法視為同一個元素，共種排列順序；歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，可視作兩個元素順序固定，其余三個元素補全5個空位，共種排列順序，所以滿足題意的排列順序種數(shù)為，故選：A．12．（24-25高二下·四川遂寧·期中）（多選題）下列說法正確的是（

）A．可表示為B．若把英文“hello”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有59種C．若3個男生與2個女生排成一排，男、女生都相間的排列種數(shù)12D．不等式的解集為【答案】ABC【難度】0.65【知識點】不相鄰排列問題、排列數(shù)的計算、排列數(shù)方程和不等式【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，以及相間問題的排列數(shù)的應用問題，即可判斷.【詳解】A.根據(jù)排列數(shù)的定義可知，可表示為，故A正確；B.若把英文“hello”的字母順序?qū)戝e了，可能的錯誤共有種，故B正確；C.若3個男生與2個女生排成一排，男、女生都相間的排列種數(shù)種方法，故C正確；D.不等式，則，即，即，得，且滿足，解得，綜上可知，，故D錯誤.故選：ABC13．（23-24高二下·重慶·階段練習）（多選題）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【難度】0.85【知識點】用排列數(shù)公式證明、排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算可得.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：因為，所以，故D錯誤.故選：BC二、填空題14．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）已知，則.【答案】【難度】0.94【知識點】排列數(shù)的計算【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算可得.【詳解】因為，且，所以.故答案為：15．（2025·上?！と＃┗ゲ幌嗤恼麛?shù)滿足，滿足條件的有序?qū)崝?shù)對有組（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】48【難度】0.4【知識點】全排列問題【分析】設(shè)，由已知得，可得或，從而可求解.【詳解】設(shè)，由，可得，因為是互不相同的正整數(shù)，故是互不相同的整數(shù)，因為乘積為6，可得負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，可得或，則對應的也有兩組，故符合條件數(shù)有2組，故符合條件的的所有有序?qū)崝?shù)對是這兩個組的數(shù)的全排列，即.故答案為：.16．（2025高三·全國·專題練習）三對夫婦去參觀上海世博會，在中國館前拍照留念，六人排成一排，若每名女士的旁邊不能是其他女士的丈夫，則不同的排法有種.【答案】60【難度】0.85【知識點】相鄰問題的排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】分有兩名女士連排、有三名女士連排兩種情況，采用捆綁法可得答案.【詳解】將這六個人依次編號為1，2，…，6，設(shè)奇