龍東十校聯(lián)盟高三學(xué)年度月考

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|log?x<1},B={-1,0,1,2},則A∩B=

A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1}

2.已知a是實數(shù)，1+i是關(guān)于x的方程ax2-2x+2=0的一個根，則a=

A.-2B.-1C.1D.2

3.

(keZ)”是“函數(shù)的圖象關(guān)于點(x?,0)對稱”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知直線l:2x+y+3=0,l?:4x+2y+1=0,則l和l?之間的距離為

A.D.√5

5.為了得到函數(shù)y=3的圖象，只需把函數(shù)y=9*的圖象上所有點，保持縱坐標(biāo)不

變，再將

A.橫坐標(biāo)變成原來的倍B.橫坐標(biāo)變成原來的倍

C.橫坐標(biāo)變成原來的2倍D.橫坐標(biāo)變成原來的3倍

6.已知函數(shù)y=f(x+1)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥1時，.則不等式

f(2x+1)>f(x)的解集為

A.C.(-1,+0)D.(-∞,-1)

7.已知△ABC中，AB=3,BC=2AC,則△ABC面積的最大值為

A.12B.9C.6D.3

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8.已知正方體ABCD-A?B?C?D?,點M,N,P分別在棱AB,CC?,A?D?上，且

AM=3MB,CN=NC?,A?P=3PD?,過M,N,P三點的平面與棱AA?相交于

點Q,若AA?=λAQ,則λ=

A.2B.3C.4D.6

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知正三棱柱ABC-A?B?C?中，D,E分別為棱B?C?,AB的中點，則

A.CE//平面A?B?C?B.DE//BC?

C.DE//平面ACC?A?D.C?E⊥AB

10.過直線l:x-y+4=0上的動點P,作圓0:x2+y2=2的兩條切線，切點分別為

A,B,則

A.直線AB恒過點B.線段AB的中點M在一個定圓上運動

C.|AB|的取值范圍是[√6,2√2]D.四邊形PAOB面積的最小值2√3

11.已知△ABC,cos(A-B)sinC=cos(A-B)+cosC,且△ABC周長等于4+4√2,

面積等于4,則

A.sin2A+sin2B-4sinAsinB=0B.sinA<cosB

C.AB=4D.BC=4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量a=(-3,1),b=(1,x).若(a+b)La,則x=

13.已知等比數(shù)列{an},a?=2,a?=-16,則數(shù)列{|a,|}的前6項和等于

14.曲線y=x2-31nx上的點到直線x+y=0距離的最小值為

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四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB,且△ACD面積是△BCD面積

的2倍.

(1)求的值；

(2)若BD=1,CD=√2,求AD和BC的長.

16.(本小題滿分15分)

已知數(shù)列{a,}的前n項和為S,且

(1)求證：數(shù)列{a,}為等差數(shù)列；

(2)若a??+a?+a?8=S?=81.

①求{a,}的通項公式；

②若am,am+3,a,成等比數(shù)列，求m的值.

17.(本小題滿分15分)

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD為正三角形，平面PAD⊥

平面ABCD,PB⊥AD,E為AD中點.

(1)求證：AD⊥BE;

(2)求平面BPC和平面DPC夾角的余弦值.

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18.(本小題滿分17分)

已知橢圓C:(a>b>0)的焦距是2√2,點在C上.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若直線l交橢圓于P,Q兩點，且坐標(biāo)原點O是△APQ的重心，求△APQ外接

圓的面積.

19.(本小題滿分17分)

已知實數(shù)a≠0,函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a=1,函數(shù)g(x)=(x+1)f(x),設(shè)x?>x?>0,

求證：

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龍東十校聯(lián)盟高三學(xué)年度月考

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、單項選擇題：

題號12345678

答案ACABCBDA

1.【解析】因為A={x|0<x<2},所以A∩B={1}.故選A.

2.【解析】.故選C.

3.【解析】令

(k∈Z),解得(k∈Z).故選A.

4.【解析】因為1:4x+2y+6=0和l?:4x+2y+1=0平行，由兩條平行線間距離

公式得故選B.

5.【解析】因為y=9*=32×,所以將y=32*圖象上所有點，保持縱坐標(biāo)不變，橫

坐標(biāo)變成原來的2倍，即可得到y(tǒng)=3*的圖象.故選C.

6.【解析】因為函數(shù)y=f(x+1)是R上的偶函數(shù)，所以y=f(x)圖象關(guān)于直線x=1

對稱.當(dāng)x≥1時，所以y=f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以不等式f(2x+1)>f(x)等價于|(2x+1)-1k|x-1|,解故選B.

7.【解析】以A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(3,0),

設(shè)C(x,y),由已知得√(x-3)2+y2=2√x2+y2,整理得(x+1)2+y2=4,所以點C

到直線AB距離的最大值為2,所以△ABC面積的最大值為3.故選D.

8.【解析】

設(shè)AQ=μAA,則

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因為四點M,N,P,Q共面，所以MP,MN,MQ共面.

設(shè)存在實數(shù)x,y,

所以解得

所以λ=2.故選A.

二、多項選擇題：

題號91011

答案ACDABDAC

9.【解析】因為平面ABC//平面A?B?C?,且CEc平面ABC,所以CE//平面A?B?C?.故

A正確.

因為D∈平面BCC?B?,E?平面BCC?B?,所以DE與BC?是異面直線.故B錯誤.

取A?B?中點F,則平面DEF//平面ACC?A?,所以DE//平面ACC?A?.故C正確.

因為AB⊥CE,AB⊥EF,所以AB⊥面CEFC?,所以AB⊥C?E,即C?E⊥AB.故D

正確.

故選ACD.

10.【解析】設(shè)點P(x?,y?),則兩切點連線的直線方程為x?x+y?y=2,因為

x?-yo+4=0,所以y?=x?+4,所以直線AB的方程為x?x+(x?+4)y=2,即

x?(x+y)+4y-2=0,所以當(dāng)即時，直線AB恒過定點

,故A正確；

由垂徑定理可知OM⊥AB,因為直線AB經(jīng)過定點,所以MO⊥MC,所

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以AB中點M在以O(shè)C為直徑的圓上運動，故B正確；

因為|AB|=2√r2-|0MP=2√2-|0MP,所以|AB|的取

值范圍是[√6,2√2],故C錯誤；

因為四邊形PAOB的面積等于,因為

所以√2√|oP2-2≥2√3,即四邊形PAOB面積的最小

值等于2√3,故D正確，

故選ABD.

11.【解析】由已知得sin(A+B)cos(A-B)=cos(A-B)-cos(A+B)

整理得

所以sin2A+sin2B-4sinAsinB=0.故A正確.

由二倍角公式，sinAcosA+sinBcosB-2sinAsinB=0,

整理可得，sinA(cosA-sinB)+sinB(cosB-sinA)=0,

若則sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立；

若即由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，sinA<cosB,同

理sinB<cosA,

又sinA>0,sinB>0,于是sinA(cosA-sinB)+sinB(cosB-sinA)>0,

與條件不符，則不成立；

若,類似可推導(dǎo)出sinA(cosA-sinB)+sinB(cosB-sinA)<0,則不

成立.

綜上討論可知，即

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所以所以sinA=cosB.故B錯誤.

由面積得ab=8

由周長得a+b+c=a+b+√a2+b2≥2√ab+√2ab=4+4√2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，

所以a=b=2√2,c=4.故C正確，D錯誤.

故選AC.

三、填空題：

題號121314

答案-763√2

12.【解析】因為a+b=(-2,x+1),所以(a+b·a=6+(x+1)=0,解得x=-7.

13.【解析】由已知得a?=-1,q=-2,所以a=-(-2)“-1,|a,|=2”-1,所以{|a,|}

的前6項和等于63.

14.【解析】設(shè)g(x)=f(x)-(-x)=x2+x-31nx,則

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+0∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)=2.

所以f(x)>-x恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，曲線f(x)上的點到直線y=-X距離最小.

所以點(1,1)到直線x+y=0的距離為所求最小值，等于√2.

四、解答題：

15.(本小題滿分13分)

【答案】(1)(2)AD=2,BC=√2.

【解析】(1)因為……2分

因為SACD=2S△BCD,

所以AC=2BC,所以………………4分

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(2)設(shè)C到AB的距離為h,

因為………………6分

因為SAcD=2SBCD,

所以AD=2BD=2.………………8分

,平方得|CAP+4|CB2+4CA·CB=18,

因為AB=CB-CA,平方得|CAP+|CBP-2CA·CB=9,……10分

整理得|CAP+2|CBP=12.………………12分

又因為CA=2CB,

所以BC=√2.………………13分

16.(本小題滿分15分)

【答案】(1)見解析；(2)m=1或m=2或m=5.

【解析】(1)證明：因為2S?=n(a?+a),

當(dāng)n≥2時，2S??1=(n-1)(a+an?1)·

兩式相減得2an=a?+na,-(n-1)a_1,………………2分

所以a?+(n-2)a-(n-1)a?_1=0,

所以a?+(n-1)a+1-na,=0,

兩式相減得(2n-2)a,-(n-1)an_1-(n-1)an+1=0.

所以2a-an-1-an+1=0,………………4分

即a+1-a,=a,-an_對任意n∈N且n≥2都成立.

所以數(shù)列{a,}為等差數(shù)列.………………6分

(2)①由已知可得………………8分

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解得,所以a=2n-1.………………10分

②因為am,am+3,a,成等比數(shù)列，所以a2+3=aan,

所以(2m+5)2=(2m-1)(2n-1).………………12分

………………14分

因為m,n∈N,所以m=1或m=2或m=5.……………15分

17.(本小題滿分15分)

【答案】(1)見解析；(2)0.

【解析】(1)證明：連接PE,在△PAD中，因為E為AD中點，所以PE⊥AD.

又因為PB⊥AD,所以AD⊥平面PBE,………………2分

因為BEc平面PBE,所以AD⊥BE.………………3分

(2)解：因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

PEc平面PAD,PE⊥AD

所以PE⊥平面ABCD,………………5分

所以PE⊥EB.………………6分

以E為原點，EA,EB,EP的方向為x,y,Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AD=2,則P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-2,√3,0),D(-1,0,0).…………7分

BP=(0,-√3,√3),BC=(-2,0,0),

設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y?,z),則

取m=(0,1,1).……………10分

DP=(1,0,√3),DC=(-1,√3,0),

設(shè)平面PCD的法向量n=(x?,y?,z?),

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則取n=(√3,1,-1).………………13分

所以cos<m,n>=0,

所以平面BPC和平面DPC夾角的余弦值為0.………………15分

18.(本小題滿分17分)

【答案】

【解析】(1)方法1:因為2c=2√2,所以c=√2,

因為b2=a2-c2,所以b2=a2-2,將點代入方

得2a?-9a2+4=0,解得a2=4或

因為a>c,所以a>√2,所以a2=4,a=2,………………2分

所以橢圓C的離心率為………………3分

方法2:因為2c=2√2,所以c=√2,所以焦點坐標(biāo)(-√2,0)和(√2,0),

因為點在C上，由橢圓定義可得

即a=2.…2分

所以橢圓C的離心率為………………3分

(2)因為b2=a2-2=2,所以橢圓C的方程………………4分

設(shè)點P(x,y?),Q(x?,y?),PQ的中點為M,

因為0是△APQ的重心，所

所以點M的坐標(biāo)為………………6分

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兩式相減，可

設(shè)直線1的斜率為k,所以得………8分

所以直線1的方程為

將

代

得x2+x-2=0,x?=1,x?=-2,………………10分

將其代入可解得P,Q兩點坐標(biāo)，不妨設(shè)P(-2,0),

方法1:因為AQ⊥x軸，且…………12分

.………………14分

設(shè)△APQ外接圓的半徑為R,

由正弦定理可所以.………16分

所以△APQ外接圓的面積為………………17分

方法2:設(shè)PA的中點為

又因為直線PA的斜率等于

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所以線段PA的垂直平分線方程為

即………………12分

又因為線段AQ的垂直平分線方程為y=0,

由可解得

所以△APQ外接圓圓心坐標(biāo)為………………14分

設(shè)△APQ外接圓的半徑為R,

則………………16分

所以△APQ外接圓的面積為………………17分

方法3:設(shè)△APQ外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

則………………12分

解得………………14分

所以△APQ外接圓的方程

即………………16分

所以△APQ外接圓的面積為………………17分

19.(本小題滿分17分)

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【答案】(1)當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞

減；當(dāng)-1≤a<0時，f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a<-1時，

f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；(2)見解析.

【解析】(1)因為ax>0,x+1≠0,

所以當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞);

當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0).………………