《計(jì)算方法》習(xí)題答案

第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差

1.什么是計(jì)算方法？（狹義解釋）

答：計(jì)算方法就是將所求的的數(shù)學(xué)問題簡化為一系列的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)

算機(jī)上編程上機(jī)，求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。

2.一個(gè)實(shí)際問題利用計(jì)算機(jī)解決所采取的五個(gè)步驟是什么？

答：一個(gè)實(shí)際問題當(dāng)利用計(jì)算機(jī)來解決時(shí)，應(yīng)采取以卜.五個(gè)步驟：

實(shí)際問題一建立數(shù)學(xué)模型一構(gòu)造數(shù)值算法一編程上機(jī)一獲得近似結(jié)果

4.利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式2*）=工-/+/-4在；1=_3處的值，并編程獲得解。

解：P(x)=x5+0-x4-x3+0-A:2+x-4,從而

10-101-4

-3-39-2472-219

1-3S-2473-223

所以，多項(xiàng)式P(x)=x-/一4在％=-3處的值P(-3)=-223。

5.敘述誤差的種類及來源。

答：誤差的種類及來源有如下四個(gè)方面：

（1）模型誤差：數(shù)學(xué)模型是對實(shí)際問題進(jìn)行抽象，忽略一些次要因素簡化得到的，

它是原始問題的近似，即使數(shù)學(xué)模型能求出準(zhǔn)確解?，也與實(shí)際問題的真解不同，我們把數(shù)學(xué)

模型與實(shí)際問題之間存在的誤差稱為模型誤差。

（2）觀測誤差：在建模和具體運(yùn)算過程中所用的一些原始數(shù)據(jù)往往都是通過觀測、

實(shí)驗(yàn)得來的，由于儀器的精密性，實(shí)驗(yàn)手段的局限性，周圍環(huán)境的變化以及人們的工作態(tài)度

和能力等因素，而使數(shù)據(jù)必然帶有誤差，這種誤差稱為觀測誤差。

（3）截?cái)嗾`差：理論上的精確值往往要求用無限次的運(yùn)算才能得到，而實(shí)際運(yùn)算時(shí)

只能用有限次運(yùn)算的結(jié)果來近似，這樣引起的誤差稱為截?cái)嗾`差（或方法誤差）。

（4）舍入誤差：在數(shù)值計(jì)算過程中還會用到一些無窮小數(shù)，而計(jì)算機(jī)受機(jī)器字長的

限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是一定的有限數(shù)位，需要把數(shù)據(jù)按四舍五入成一定位數(shù)的近似

的有理數(shù)來代替。這樣引起的誤差稱為舍入誤差。

6.掌握絕對誤差（限）和相對誤差（限）的定義公式。

答：設(shè)/是某個(gè)量的精確值，％是其近似值，則稱差e二1—x為近似值x的絕對誤差

（簡稱誤差）。若存在一個(gè)正數(shù)￡使|e|=|X-x|<2T,稱這個(gè)數(shù)￡為近似值X的絕對誤

差限（簡稱誤差限或精度）。

*

把絕對誤差e與精確值/之比/===上?稱為近似值x的相對誤差，稱

xx

為近似值X的相對誤差限卜/W",由于真值一是未知的，所以常常用

X-X

=-來表示相對誤差，于是相對?誤差可以從絕對誤差求出。

X

7.近似值的規(guī)格化表示形式如何？

答：一般地，對于一個(gè)精確值M,其近似值X的規(guī)格化形式為X=±0//2X10'",

其中演工0,”{0,1,2,…9}(i=l,2,…P),〃為正整數(shù)，〃，為整數(shù)。

8.有效數(shù)字的概念是什么？掌握有效數(shù)字與誤差的關(guān)系。

答：若近似值x的(絕對)誤差限是它的某一位的半個(gè)單位，也就是說該近似值準(zhǔn)確到

這一位，且從該位起直到前面第一個(gè)非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。

若近似值工的(絕對)誤差限為忖二,一［《；'104"，則稱x為具有〃位有效

數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到10"'-"位，其中的每一位數(shù)字七,々，…與都是X的有效數(shù)字。

設(shè)精確值/的近似值x的規(guī)格化形式為X=±0.x,x2…巧,X10'〃，若x具有〃位有

效數(shù)字，則其相對誤差限為；反之，若X的相對誤差限為

<一!一Xio?，則工至少有〃位有效數(shù)字。

2區(qū)+1)

9.下列各數(shù)都是對真值進(jìn)行四舍五入后獲得的近似值，試分別寫出它們的絕對誤差限，相

對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。

5

(1)x,=0.024(2)x2=0.4135(3)=57.50(4)x4=60000(5)x5=8xl0；

解：(1)|e|=|x；-3|w0.0(X)5；土二=￡W0.0021；有三位有效數(shù)字。

(2)|e|=|<-x2|<0.00005；同=土二土=-<0.0()0121；有四位有效數(shù)字。

(3)|e|=|x3+-x3|<0.005；\er\=^^\=-<0.000087；有四位有效數(shù)字。

(4)|e|=|x4*-x4|<0.5；\er\-=-<0.0000084：有五位有效數(shù)字。

(5)|e\=\x5*-x5|<0.5；<0.000000625：有六位有效數(shù)字。

10.為了使的相對誤差40.1%,問至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字?

解:由M的首位數(shù)是4.設(shè)近似數(shù)/有〃位有效數(shù)字，由定理4.1可知，相對誤差

e（x）<—!—xlO1'"<0.001,解得3.097,即取4位有效數(shù)字，近似數(shù)的相對誤差

r2x4

不超過0.1%。

11.已知y=P(x)=F+x—ii5Q/=」,x=33,計(jì)算"二p(——)及丁二2(33),

33

并求x和)，的相對誤差。

包*,100、100，100,一”…y

解：y=〃(一^-)=(^-)~+(-^-)—115()、-5.555551?

)，=2(33)=(33『+。3)-1150=-28

,(刈=,_#().333…

|e,.U)|=|—|?0.0101…

|^(y)|=|y*-y卜22.44444-??

|er(y)|=—=0.801587…

y

12.寫出誤差估計(jì)的一般公式(以二元函數(shù)z=/(蒼y)為例)。

解：二元函數(shù)z=/(x,y)的絕對誤差：

'⑶之圣&)依幻+/l(a)《丁)

二元函數(shù)的相對誤差：

e(z)?%e(y)

zdr"3z本z

xdfyof

:與「生3+〉蒼「q(y)

13.用電表測得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過的電流范圍分別為V=220±2l/,

/=10±0.M,求這個(gè)電阻的阻值R,并估算其絕對誤差和相對誤差。

W：|e（V）|<2,|e（/）|<0,1,又尺二+爭=：,等=一齊。所以：

上⑻上而L」）式切十后卜匕Q"（/）<

CVC1

—|（V八,e（V）+—Lv/）??（/）=—x2+—xO.l=0.42

，dl10io。

「（R）=華^1.99x10-2。

14.若x；=I.03±0.01元=0.45±0.01,計(jì)算y=/；的近似值，并估計(jì)e（y）及

其上界。

解：），々（1.03）2+g6°*

k（y）|=卜*一丁|=a；+；/）一（項(xiàng)+；?”）=（工:3）*；+~）+；（。芯--，）

<（x：-再）（x：+工1）+—（eX2-eX2）=2.06x102+'x/x0.01,Je（七,工；）

2

15.已測得某場地長為/=110，〃，寬d的值為d=8（而，已知卬）|=『一/t0.2〃2,

\e（d）\=|Z-r/|<0.1/n,試求面積s=Id的絕對誤差限和相對誤差限。

解：由s=/d,號=昆葛=/，卜<0.2〃?，上（砌=卜’一d<0.1〃?。

可得：,6）|?孰⑷必）十51心0的）嘮鼠⑺祖。+小葉

=110x0.2+80x（）.1=3（）

er（s）=-^3Ax]0-\

s

16.掌握二元函數(shù)的加、減、乘、除和開方運(yùn)算的絕對誤差和相對誤差估計(jì)公式。

解：⑴加、減運(yùn)算:

由于6（x+y）/dr=1d（x+y）/dy=l,5（x-y）idx=\td（x-y）/dy=-1,,所以

x

e(x+y)Be(x)+e(y),er(x+y)nx/(x+y)/G)+>M+y)xer(y),e(x-y)?e(工)-e(y),

%

er(x-y)x/(1-N)xer(x)-yl{x-y)xer(y),從而有|/(x-y)|<|x/(x-y)\er\x)\+

ly/(x—y)l?味(y)l

(2)乘法運(yùn)算:

由于=y,a，))=X，所以e(^)，4x)+此(>),er3)七er(x)+er(y),從而

oxoy

|e(xy)\^j|?|e(x)￥|x|?|e(y)\

(3)除法運(yùn)算：

由于5(—)/dx=—,6(—)dy=--'，所以^(―)?—e(x)-e(y),

y/yy/)‘yyy

er(-)^er(x)-er(y)

y

(4)乘方及開方運(yùn)算：

nx，1

由于=',所以e(x")R幾/i4x),%(x'卜ner(x)

OX

17.求方程--56x+l=0的兩個(gè)根，使它至少具有4位有效數(shù)字(J麗a27.982)。

2

56+J(-56)-4x1x1八

解：%1=——=-------------------428+27.982=55.782

2x1

x,=￡=--------x0.017863

x,55.782

19.求方程V—16工+1=0的較小正根，要求有3位有效數(shù)字。

〃16+J(-16)2-4x1x1

解：x.=——上---------------h8+7.937=15.937

2x1

x=—=--—x0.062747

2x,15.937

所以較小正根為超力0?062747o

20.設(shè)/〃==0,1,2,…J041。

(1)證明：/”=?-〃/,一，〃=。，1，2,…,10、

(2)給出一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的算法，并證明算法的穩(wěn)定性。

nXx

(1)證明：/”=1x"e'dx=「x"de'=?-「nxedx=e-nln.

JOJoJo"T

⑵人」(e_/“)

n

當(dāng)〃無限大時(shí)，越小，所以該算法穩(wěn)定。

21.用遞推算法計(jì)算積分/”=f—Jdx,〃=0J,23,10,并驗(yàn)證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。

Jol+4x

設(shè)%|=|/；_/。|，則

同小-止％。1

㈤可；-/214koi

Ml="；0To卜京同

所以該算法是穩(wěn)定的。

22.設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算、“幻=/2+3/4+16/6的最小計(jì)算量的算法。

解：/（%）=產(chǎn)+3x"+16/=x-xx2-x4-x4+3x12-x12+16x12-x24

23.什么是數(shù)值穩(wěn)定的算法？數(shù)值計(jì)算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是什么？

答：一個(gè)算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差（擾動），而計(jì)算過程中舍入誤差不增長或增長可以

控制，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的。否則，稱此算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。

數(shù)值計(jì)算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是：

（1）選用數(shù)值穩(wěn)定的算法（計(jì)算公式）；

（2）盡量避免兩個(gè)相近數(shù)相減；

（3）盡量避免用絕對值很大的數(shù)作乘數(shù)；

（4）盡量避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)；

（5）防止大數(shù)“吃掉”（或“淹沒”）小數(shù)（即合理安排運(yùn)算順序）；

（6）簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。

第二章非線性方程的數(shù)值解法

1.敘述零點(diǎn)定理的內(nèi)容。

答：設(shè)函數(shù)/(幻在閉區(qū)間團(tuán),加上連續(xù)且/(。)"(加<0,則存在/￡(。力)使

/(/)=0,即/(幻在區(qū)間(。,與內(nèi)存在實(shí)的零點(diǎn)，稱區(qū)間句為方程的有根區(qū)間。

2.方程求根的兩個(gè)步驟是什么？確定方程有根區(qū)間的方法有哪些？

答：第一步確定方程/(?=()的有根區(qū)間。

第二步近似根的精確化。

確定方程有根區(qū)間的方法有兩種：作圖法和逐步搜索法。

3.利用作圖法確定方程f(x)=x3-x-\=0的有根區(qū)間。

由于/(0)=-1<0,/(2)=8-2-1=5>(),于是，在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)根，取步

長h=0.5向右進(jìn)行根的搜索，即計(jì)算/(0.5),/(1.0),/(1.5)的值得到

/(0.5)<0,/(1.0)<0,/(1.5)>0,從而，原方程的有根區(qū)間縮小為(1,1.5)

4.利用逐步搜索法確定方程/(X)=/-3/+4x+3=0的有根區(qū)間。

解：由于/(0)=3>0,/(-1)=一5〈0,于是，方程在(一1,0)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，所以，

從x=-l,取步長力=0.5向右進(jìn)行根的搜索，即計(jì)算/(-0.5)得到/(—0.5)=』>0,從

8

而，原方程的有根區(qū)間縮小為(-1,--)。

2

5.確定方程1+4/-10=0的有根區(qū)間。

解：由于函數(shù)/5)=工3+4/-10的定義域?yàn)?-8,+8),用逐步搜索法：由于

/(0)=-10<0,/(2)=14>0,于是，方程在(0,2)區(qū)至少有一個(gè)實(shí)根，所以，從x=0,

取步長〃=0.5向右進(jìn)行根的搜索，即計(jì)算/(().5),/(1.0),/(1.5)的值得到

/(0.5)<(),/(1)<(),/(1.5)>0,從而原方程的有根區(qū)間縮小為(1,1.5)

6.二分發(fā)的基本思想是什么？

解：二分發(fā)的基本思想是將方程/(幻=0的有根區(qū)間逐步分半，通過判別/(幻在端

點(diǎn)的符號以及零點(diǎn)定理來縮小有根區(qū)間，使在足夠小的區(qū)間內(nèi)使方程/(x)=0有且僅有一

個(gè)根，并滿足給定的精度要求為止。

7.以方程/*)=0的有根區(qū)間為［a.b］為例(/(〃)<0,J\h)>0),簡述二分法的具體作法。

解：第一步：將有根區(qū)間［凡”分半，用區(qū)間的中點(diǎn)皇將［。力］分為兩個(gè)相等

區(qū)間，計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值八絲2)。若/(空2)=(),則/=史女就是方程/(x)=()的

根；否則，若/(g±2)<0,由于/(X)在左半?yún)^(qū)間凡竺2內(nèi)不變號，所以方程的有根

22

區(qū)間變?yōu)?。同理，若/(蟲也)>(),則方程的有根區(qū)間變?yōu)椤ǎz2,從而將

222

新的有根區(qū)間記為［4/］，且區(qū)間［q力』的長度僅為區(qū)間L,”的一半，即々一4二空。

2

第二步：對壓縮了的有根區(qū)間［%,〃』又可施行同樣的方法，即用中點(diǎn)幺要將區(qū)

間［q/』再分為兩半，然后通過根的搜索判定所求的根位于哪半個(gè)區(qū)間，從而又確定一個(gè)

新的有根區(qū)間［外，?］，該區(qū)間的長度是區(qū)間［卬力』的一半。

如此反復(fù)可得出一系列有根區(qū)間且具有關(guān)系［a,8n［4］n…n［4//n…，

其中后一個(gè)區(qū)間長是前一個(gè)區(qū)間長的一半，因此區(qū)間［%力/的長度=字，當(dāng)

k>8時(shí)，區(qū)間［4,的長度必趨于零，即這些區(qū)間最終收縮于一點(diǎn)一,顯然/就是方

程/（幻=0的根。

8.以方程/（幻=0的有根區(qū)間為［a/］,精度要求為￡,試寫出利用二分法求該方程的近

似根所需二分次數(shù)k的計(jì)算公式。

解：若事先給定的精度要求為￡＞（）,則只需4

此時(shí)S就是滿足給定精度要求的近似值，k為二分法的次數(shù)。

9.用二分法求下列方程在給定的有限區(qū)間及精度要求下的近似值及二分次數(shù)&（編程）

(1)f(x)=xex-2[0.5,1]JD=0.0001

解：々=0.852600

(2)/(X)=X3-3X2+4X-3[1,1.5]JD=().()()()()i

解：=1.499992A=15

(3)/(x)=x3+4x2-10『2]0.0005

解：x,=1.364746攵=1()

(4)f(x)=x-x-\[1,1.5]JD=0.00005

解：x,=1.324707左=13

10.若應(yīng)用二分法求方程-sin/=0在區(qū)間［0,1］上誤差不超過好的近似值，應(yīng)二分

多少次？

解：其近似根為0.437500,應(yīng)分攵=5次。

11.迭代法的基本思想是什么？

解.：迭代法是?種逐次逼近法，首先給定方程/（為=（）的-個(gè)粗糙的初始近似根飛，

然后用一個(gè)固定公式反復(fù)校正這個(gè)根的近似值使之逐步精確化，直到滿足預(yù)先給定的精度要

求為止。

12.迭代法的具體做法如何？

解：⑴將方程/*）=0改寫成等價(jià)形式x=以幻,在根/的附近任取一個(gè)初始近似根

⑵構(gòu)造近似根序列：將％代入0（X）計(jì)算得到A-,=（p（X［｝）,一般用工X。，再把內(nèi)作

為新的近似根代入(P(x)得到x2=0(?)，重復(fù)上述步驟即可。

13.迭代法的幾何意義是什么？

答：方程x=e(x)的求根問題在幾何上就是確定曲線y=e(x)與直線>=x交點(diǎn)p"的

橫坐標(biāo)x*。設(shè)迭代初值為工()，曲線y=e(x)上以飛為橫坐標(biāo)的點(diǎn)為〃°，e(x<J為p()點(diǎn)的

縱坐標(biāo)，過Po點(diǎn)引平行于X軸的直線，并與直線)，=x相交于外，其橫坐標(biāo)為F=*(%)，

然后過點(diǎn)心引平行線于)軸的直線，并與曲線y=的交點(diǎn)記作外，重復(fù)上述過程可得

點(diǎn)列〃1，〃2,…，〃上，…，他們橫坐標(biāo)依次由迭代公式為t+l=。(匕)，A=01…所確定。如果

點(diǎn)列p「P2,，…,逐步逼近〃*,則迭代過程收斂，否則迭代過程發(fā)散。

14.敘述迭代過程收斂定理的內(nèi)容。

解：假設(shè)迭代函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件

(1)對任意的/G有a<(p(x)<b；

(2)存在正數(shù)L<1,使對任意有使vl。

則(1)對任意初值A(chǔ)0G[a,b]迭代過程占向=8(%)均收斂于方程x=0(幻的根丁,

即limxk二x"(k—>oo)。

(2)誤差事后估計(jì)公式為x"-xk<|xA.+1-xk|o

\—L

15.試構(gòu)造收斂的迭代公式求解下列方程：

/、cosx+sinx/〃…

(I)x=-----------:(2)X=4-2ro

4

.V2sin(x+—)

解：(1)將方程x=c。""n，改寫為x=-----------工，從而得到迭代公式

44

拒sin(x?+—)

x4+]=-------....-k=0,1,2,…。

(2)將方程x=4-2v改寫為x=ln(4-x),從而得到迭代公式

x?+i=ln(4-xk)k=0,1,2,…。

16.判斷迭代法解方程/(x)=x-ln(x+2)=0在［0,2］內(nèi)的根時(shí)所用的迭代過程的收斂性。

解：將方程x-ln(x+2)=0改寫為x=ln(x+2),從而得到迭代公式

xk+i=\n(xk+2),Z=0,l、2,…。則°(x)=ln(x+2)為。代函數(shù)。由砥刈=--—<1,

x+2

由定理3.2可得該迭代法是收斂的。

17.用迭代法計(jì)算$=^6+汽6+布+#6+…的近似道。

19.牛頓法的基本思想是什么？具體做法如何？

解：基本思想：牛頓迭代法實(shí)質(zhì)上是一種線性化的方法，其基本思想是將非線性方程

fM=。逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解的方法。

具體做法：設(shè)已知方程/(x)=0有近似根乙，將f(x)在4作一階泰勒展開，于是方

程/(公=0可近似地表示為/(x,)+f\xk)(x-xk)=0是一個(gè)線性方程,設(shè)f\xk程0,

則九二與一,于是就有牛頓迭代公式工M=4一,攵=0』,2,3。

/(4)f\xk)

20.牛頓法的幾何意義是什么？

解：牛頓迭代法實(shí)質(zhì)上是用過點(diǎn)(Z，/(&))的切線與1軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)8川來逐步逼

近曲線y=/(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)/，所以牛頓法又叫切線法。

22.試證：用牛頓法求方程(x-2)2(x+3)=0在［3］內(nèi)的根/=2是線性收斂的。

證明：由牛頓迭代公式迎用二乙一譽(yù)鼻次=0,1,2,…，可得，

J(S)

?(x)=x-半?二竺上蟲心，顯然，/(2)。()，所以該迭代過程是線性收斂的。

/U)3X+4

23.用牛頓法求方程/一。=(),導(dǎo)出求立方根爪的迭代公式，并討論其收斂性。

解：設(shè)/")=工3一。=0,得牛頓迭代公式為8句=工人—上@=M=0J，…，牛頓

3%

迭代函數(shù)以幻手，*外=

=22?124'(五)所以該迭代公式收斂。

，(P=0<1,

3x3x'

26.正割迭代法的基本思想是什么？具體做法如何？幾何意義是什么？

解：基本思想：用過兩點(diǎn)(匕J(x*)),的直線的斜率這個(gè)差商來代替

牛堆迭代公式中的倒數(shù)廣(&)。

具體做法：對方程/(x)=0經(jīng)過Z次迭代后得到近似根Xj,%,,從而取

尸(Z)J"。.干是牛頓迭代公式變?yōu)?/p>

(8

X,+1=X,一一個(gè)？~~此公式為正割法迭代公式。

幾何意義：正割迭代法是用過兩點(diǎn)A(s，/(s)),的直線與4軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)占用來逐步逼近曲線/(X)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)/,因此正割迭代法又叫割線法。

27.簡述正割迭代法與牛頓迭代法的區(qū)別。

解:牛頓迭代法在計(jì)算時(shí)只需要一個(gè)初值/,在計(jì)算與+1只用到前一步的值Xk,但要

計(jì)算廣(占)；而正割法在計(jì)算時(shí)需要兩個(gè)初值與，匹，在計(jì)算與”時(shí)要用到前兩次的迭代

值陽I，4,但不用計(jì)算導(dǎo)數(shù)。

30.使迭代法加速的方法有哪些？井分別寫出它們的迭代公式。

答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：

艾特肯加速公式：

校正：O=Q(XK)

再校正：又匚；=/僅匚)(K=0,1,2,...)

改進(jìn)：乂m=敲二一號惡

斯蒂芬森方法：

迭代：YK=Q(XK),ZK=Q(YKXK=0,1,2,…)；

加速：XZ=XK-晶親3(K=0J,2,…)

第三章線性方程組的數(shù)值解法

1.線性方程組的數(shù)值解法有哪兩大類？并簡述他們的概念。

答：線性方程組的數(shù)值解法有兩大類：

（I）直接法：直接法就是在沒有舍入誤差的情況下，經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算可求得

方程組精確解的算法。

（2）迭代法：迭代法就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，即

先給定一個(gè)初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更準(zhǔn)確值的方法。

2.高斯消去法的基本思想是什么？

答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原來方程組AX=〃化為與其

同解的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了。

3.高斯主元素消去法是在何種情況下提出來的？

答：用高斯消去法解線性方程組AX=〃的消元過程中，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：第

一是主元素全是0的情形，致使消元過程無法進(jìn)行下去；笫二即使主元素不為0,但其絕對

值很小時(shí)作除數(shù)可能會導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級的嚴(yán)重增長和舍入誤差的傳播，使計(jì)算結(jié)果不可

靠。所以對于一般矩陣來說，最好每一步選取系數(shù)矩陣中絕對值大的元素作為主元素。

4.用高斯順序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程組，并寫出高斯順

序消去法的程序。

2x]+x2+2X3=53X1-x2+4X3=7

(1)-x2+=8(2),—+2.X-,-2匕=—1o

x}-3X2-4X3=-42K-3X2-2X3=0

解：（1）將方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變化，并利用高斯順序消去法得:

2125、212；5、212fXI=1

5-11：80-7-8：-907

(1-3-4；-4j0-7?10113,(002:4)當(dāng)=2

利用完全主元素消去法得:

2124、5-11；8、(5-11:8、51-L8、

5-11412；5078：9087；9

「3-4:-4,1-3-4y23~032&

「51-38、X|二l

087；9一工3=2；

<005；-5；x2=-1

利用列主元素消去法得:

2124、4-11；8、4-11；8、XI=1

5-11：8218；9078；9T<

U?3-4；-4jJ-3-3；4.05:10>￡=2

(2)將方程組的增廣矩隴進(jìn)行初等變化，并利用高斯順序消去法得:

r3-14:7X)=2

-12-254x2=1；

12-3-2

.1.

2

利用完全主元素消去法得:

‘3?14:7](4-13.：7、<4-13：r，43T：

-12-2-22-1M->031:5->031:5

J-3-2「2-322-11e-11」

1

x

,4-13：.7、3-2

->031\5

,004X1=2

利用列主元素消去法得:

‘3-14\1、-14:7^，3-14Q：x]=2

-12-2—>05-2->05-2—4—1

-3-26<012a002V—1

2

5.用矩陣的三角分解法解下列方程組，井掌握三角分解法的編程思路。

--248'5-123-14-

(1)-418-16=8；(2)252=18O

-62-20/3_7315兒20

解:(1)對系數(shù)矩陣A作如下的三角分解:

UI3'

--248_-100-W11，2

-418-16=121100U22U23o

2*32U

-6-20」3110033.

根據(jù)矩陣的乘法可得:

1-W)j=-2=>1=—2,1-w12=4=>?12=4,1-M|3=8=>H13=8；

12i??1,=-4=>/21=2,/2|-M12+1-W22=18=>"22=10，

=

Z2i-z/13+1?“23=76="23-32；/3|?wH=-6=>/31=3,

Zb76

3I,"12+732?〃22-2=L一一1,仆?W,3+%-%3+“33--20="33=-。

00

10LU,則原方程組可表示為

1

41005

10解方程組L），二〃，即208,得

03-11)’37

291

T90

5-248內(nèi)5

=21

y=-2o解方程組U.r=y,即010-32%-2,得X=

95

-1000-76-10

5

38

（2）對系數(shù)矩陣A作如下的三角分解:

12UI3

U

25U2223

310%

根據(jù)矩陣的乘法可得:

1%=I=>WU1,】?2=2=>w12=2,1-?|3=3nwl3=3；

21?|=2=，21=2，41?〃12+1?“22=5n“22=匕

l八+1?〃八=2=>〃八=T；％1=3=>/軸=3,

,31?〃13+?〃23+1?V33=5=>〃33=一24。

10

于是有A=21LU,則原方程組可表示為

3

1002100必14

21001解方程絹L.y=6,即2I0力18得

3-5103-51%20

1423141

)'=-10。解方程組〃=），，即01-4%-10得月2

-7200-24-723

6.用追趕法解下列方程組。

2-100■~2-100--6

-12-10x20-13-10x21

(1)—；(2)n

0-12-I￡00-24-3一4

00-12_兒000-35丸_1

解：(1)由4=￡。得:

~2-100'&000-1A00

-12-I0Yi%000ip20

0-12-10n%0001A

00-1200九0001

13

于是有%=2,%?夕］=一1n0i=-二一1，/為+%=2=12=-,

24

?2'P1=-1=02=一3，九二一1，八,2+%=2=>%=§，九二一1，&0=-1

3

=03=--*/4A+CCA

20

2

3

-14

2

3

從而Ly=/為解得y=oUx=y為

0-1

4

005

16

1002T

2

412

2

003T

3,解得x=

18

3

00145

4

4

0005

5

(2)由4二入。得：

-

'2-100外0001px00

-13-10y2a20001p20

o

0-24-3073%o001A

_00-3500y4aA0001

=一"/=T，/5

于是有=20,=-1=>A?4+%=3n%--

2]6

%0=-]=>△=--，r=-2,%血+%=4=%=工，九=-3,%0=-3

3JJ

01535

=四=_”，九.四+%=5=%=7。

1616

20003

58

-100>/一6~

215

從而Ly=f為16=,解得y=3oUx=y為

0-2—0_2—

58

1

35兒34

00-3

16_.35

142

0~35

2

74

2

0135

5x=

9

0017

34

000

35

7.設(shè)x=(F，/,…,“J6穴"，掌握常用向量范數(shù)的定義式MLMLMbht。

解：怵=岡+同+,-+聞=2聞；

l-i

冏，=max|M=max{M，k2|，…,同}；(又叫最大范數(shù))

ML=卜:+芯+…+/=（口;"；

1=1

m=外心。

扣1

8.已知X=(LT3,O『計(jì)算M胴3MM。

解：聞=同+閭+，?,+聞=￡"1=5；

i=l

kL=max|引=max{?4同,…，同}=3

=W+E+.??+x：=（汽%;戶=vn；

r=l

/=1

9.設(shè)A=(%)g.tR叫掌握常用矩陣范數(shù)的定義式MLML，網(wǎng)2,網(wǎng)尸。

解:Hi=maxEhl；

?=i

hL=max力同;

J=I

|I4=)MAZ)：

網(wǎng)F=(之針。

ij=l

以已知八=；2-:1'計(jì)算他』叫。

解：Mk=max為同=5；

I胤=""47)=，+2對；

同「=(￡若尸=取

打=i

12.解線性方程組的迭代法有哪三種方法?

答：(1)雅可比迭代法(Jacobi)

(2)高斯-賽德爾迭代法(G--S)

(3)超松弛迭代法(SOR)

-

5玉+2X2+X3=-12

13.設(shè)有方程組一Xi+4X2+2X3=20

22一3X2+10x3=3

(1)寫出用Jacobi迭代法解此方程組迭代公式的分量形式和矩陣形式。

(2)Jacobi迭代法是否收斂？為什么？

工]——0.4^2—0.2.Vj2.4

解：該方程組可化為：J2=0.25A:,-0.5X3+5,從而得到Jacobi迭代法的公式：

x3=-0.2x]+0.3X2+0.3

=_0.4xw-0.2x^-2.4

?X￡+D=0.25%尸一0.5*無)+5,其矩陣形式為:X(A+,)=-D-l(U+L)X(k)+D^h,

x”=-0.2建)+0.3力幻+0.3

’500、21、,000)，-12、

其中：D=040>U=002，L=-100,b=20

e010,<000,3-30；Q)

缶21、

(2)用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的。因?yàn)橄禂?shù)矩陣A=?142是嚴(yán)格對角占

12.3a

優(yōu)陣，所以Jacobi迭代法收斂。

2O.r,+2X2+3.=24

14.設(shè)有方程組,$+8%+七=12

2^-3工2+15%=30

(1)寫出用G?S迭代法解此方程組迭代公式的分量形式。

(2)G?S迭代法是否收斂？為什么？

X1=-0.1x2-0.15X3+1.2

解：該方程組可化為：=0.125X,-0.125X3+1.5,從而得到G-S迭代法的公式：

xy=-0.133x)+0.2X2+2

靖+D=-0.1巖)-0.15x，-1.2

.蔣釗二0.125工”|)一0』25石人)+1.5,

球訓(xùn)=-0.133%f旬+0.2球切+2

’2023、

(2)用G-S迭代法解此方程組是收斂的。因?yàn)橄禂?shù)矩陣A=181是嚴(yán)格對角占優(yōu)

J-315,

陣，所以G-S迭代法收斂。

-X)+8x2+0-x3=7

15.設(shè)有方程組＜一m+0.%+9/=8

9x,一々一九3=7

怎樣改變方程的順序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂。

9%]-x2-xy=7[9-1川

解：將方程組變化成，-否+8々+0?匕=7,此時(shí)系數(shù)矩陣4=-180為嚴(yán)

一X1+0?工2+9工3=8