專題05直線的交點(diǎn)、距離公式與對稱、最值問題【知識梳理】1、直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．2、兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)，間的距離公式為．3、點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．4、兩平行線間的距離直線與直線的距離為．5、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為6、點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．7、直線關(guān)于點(diǎn)對稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．8、直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程9、常見的一些特殊的對稱點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．【專題過關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：兩直線的交點(diǎn)問題考點(diǎn)2：兩點(diǎn)的距離考點(diǎn)3：點(diǎn)到直線的距離考點(diǎn)4：兩平行直線的距離考點(diǎn)5：點(diǎn)線對稱考點(diǎn)6：線點(diǎn)對稱考點(diǎn)7：線線對稱考點(diǎn)8：兩線段和與差的最值問題【典型例題】考點(diǎn)1：兩直線的交點(diǎn)問題1．）若三條直線和交于一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】聯(lián)立得.把代入得.故選：C2．已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≠ B．a(chǎn)≠C．a(chǎn)≠且a≠ D．a(chǎn)≠且a≠1【答案】C【解析】已知三條直線能構(gòu)成三角形，首先不平行，若，則三條直線圍成三角形，若，則，，解得，時，由，得，代入得，或，因此綜上：且．故選：C．3．已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為，故選：B4．（多選題）已知a為實(shí)數(shù)，若三條直線和不能圍成三角形，則a的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】ACD【解析】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時，由，解得，所以交點(diǎn)為，所以，得，當(dāng)直線與平行時，，得，當(dāng)直線與平行時，，得，所以當(dāng)，或，或時，三條直線不能圍成三角形，故選：ACD5．經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且平行于直線的直線的一般式方程為______．【答案】【解析】由解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行于直線可得斜率為1，故方程為，化為一般方程為.故答案為：.6．關(guān)于x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則a與b的積是_____.【答案】-35【解析】因?yàn)閤?y的二元一次方程組有無窮多組解，所以直線與直線重合，所以，解得，所以，故答案為：-357．已知直線l1：與l2：相交于點(diǎn)，則__．【答案】﹣1【解析】把分別代入直線l1和直線l2的方程，得，所以，所以．故答案為：-1．8．過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8-2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.9．已知直線l：.(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l被兩平行直線：與：所截得的線段AB的中點(diǎn)恰好在直線上，求的值.【解析】(1)由已知：，即，令，解得：x=1，y=4，∴直線l恒過定點(diǎn)(1,4).(2)設(shè)直線，分別與直線交于C，D兩點(diǎn)，由，解得C，由，解得D，∴CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2,－2)，不妨設(shè)A在直線上，B在直線上，則△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)為AB的中點(diǎn)，將M代入直線l的方程得：，解得·10．已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為_________.【答案】【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為.故答案為：考點(diǎn)2：兩點(diǎn)的距離11．已知直線：與直線：的交點(diǎn)為，則點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立方程，解得，所以，所以故選：D12．已知，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，故選：C.13．已知三角形的三個頂點(diǎn)，則過A點(diǎn)的中線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)過A點(diǎn)中線長即為線段AD.D為BC中點(diǎn)：，即D（4，2）∴故選：B.14．已知三頂點(diǎn)為、、，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，，，∴，即，∴是直角三角形.故選：B.15．已知點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)等于（

）A．1 B．3C．1或3 D．或3【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，解得或，故選：C16．當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時，直線到直線的距離的最大值是______.【答案】【解析】由可得過定點(diǎn)，由可得過定點(diǎn).又兩直線斜率相等，可知兩直線平行且垂直于時，距離最大，最大值即為兩點(diǎn)間的距離.故答案為：.考點(diǎn)3：點(diǎn)到直線的距離17．直線與的交點(diǎn)到直線的距離______．【答案】【解析】由，解得，即直線與的交點(diǎn)為點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：18．對任意的實(shí)數(shù)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，直線，即，所以，解得，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)垂直直線時，取得最大值，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最小值，∴的取值范圍.故答案為：．19．已知的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，試求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)的面積．【解析】（1）因?yàn)?，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點(diǎn)，故方程為，化簡得．（2），直線方程為，整理得，則到的距離為，則的面積為.20．已知直線l垂直于直線，點(diǎn)到直線l的距離為1，求直線l的方程．【解析】因?yàn)橹本€l垂直于直線，可設(shè)直線l為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線l的距離為1，所以，解得或，故所求直線方程為或.21．已知點(diǎn)，到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)的值為_______【答案】或【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，到直線的距離相等，所以，解得或，故答案為：或22．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為________．【答案】0或【解析】由題意可得，即，解得或故答案為：0或23．過點(diǎn)引直線，使，到它的距離相等，則該直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，，到它的距離分別為1，3，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，由，到它的距離相等得，解得或，即直線方程為或.故選：C.考點(diǎn)4：兩平行直線的距離24．若直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】B【解析】由直線與直線平行，可得，解之得則直線與直線間的距離為故選：B25．直線與直線之間的距離為_________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線平行,而直線可化為，故直線與直線之間的距離為，故答案為：26．直線與間的距離為3，則_______.【答案】或【解析】由題，可知，所以兩平行線間距離為，解得或，故答案為：或考點(diǎn)5：點(diǎn)線對稱27．已知點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】由題可知該直線是線段PQ的垂直平分線，設(shè)，則解得故答案為：(3，0).28．已知的頂點(diǎn)邊上的高所在直線平行于直線，角B的平分線所在直線方程為，則邊所在直線方程___________.【答案】.【解析】由題意，AB邊上的高所在直線的斜率為，則AB的斜率，所以，與直線聯(lián)立解得，即.設(shè)，則線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即.所以，所以邊所在直線方程為：.故答案為：.29．求關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)___________.【答案】【解析】設(shè)對稱點(diǎn)為，則，解得，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．30．光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為________．【答案】【解析】由得即直線與直線交點(diǎn)為在直線上取點(diǎn)設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為則即則反射光線所在直線的方程為故答案為：31．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以故選：B32．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)對稱點(diǎn)為，由題意可得，解得，即對稱點(diǎn)為，故選：B.33．若入射光線所在直線的方程為，經(jīng)直線反射，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對直線，令，解得，設(shè)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，對直線，令，解得，設(shè)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，，直線：，即。故選：C考點(diǎn)6：線點(diǎn)對稱34．已知直線l：.（1）求點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線l關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題意可得，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）在直線：上任意取出兩個點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得這兩個點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)分別為、，由題意可得、是所求直線上的兩個點(diǎn)，由兩點(diǎn)式求得所求直線的方程為，即．35．已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且________，若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，求直線的方程．試從以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計(jì)分．①與直線垂直；②在軸上的截距為．【解析】因?yàn)榉匠探M的解為，所以兩條直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為．若選①，可設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)代入方程可得，即l：．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），所以直線m的方程為．若選②，可得直線l的斜率，所以直線l的方程為．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線m的方程為，即．36．已知直線，點(diǎn)．求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線，解得，所以，（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立直線與直線，，解得，所以；在直線上取一點(diǎn)，如，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)必在直線上，設(shè)對稱點(diǎn)，則，解得，所以，經(jīng)過點(diǎn)，所以所以直線的方程為整理得．（3）設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)為，在直線上，代入直線方程得：，所以直線的方程為：．37．點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，關(guān)于對稱的點(diǎn)必在上，若該點(diǎn)為，∴，解得，即一定在直線上.故選：C38．與直線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)所求對稱直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)在已知的直線上，則，即.故選：D.39．直線y＝4x﹣5關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱的直線方程是（

）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9【答案】C【解析】設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以，，將其代入直線中，得到，化簡得，故選：C．考點(diǎn)7：線線對稱40．已知直線與直線關(guān)于軸對稱，則直線的一般方程為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，在直線上取和兩點(diǎn)，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，因此直線的斜率，故直線的方程為，即.故答案為：.41．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為________.【答案】【解析】在所求直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上，，即，故答案為：.42．直線2y－x＋1＝0關(guān)于y－x＝0對稱的直線方程是（

）A．y－2x－1＝0 B．y＋2x－1＝0 C．.y＋2x＋1＝0 D．2y＋x＋1＝0【答案】A【解析】在直線2y－x＋1＝0上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于y－x＝0的對稱點(diǎn)為，則，解得，代入直線2y－x＋1＝0，得y－2x－1＝0，故選：A43．直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線上的點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，直線上的點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，故直線關(guān)于直線對稱的直線方程，即直線的方程，為，即，故選：．44．與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)M(x,y)是所求直線上的任意一點(diǎn)，則其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為在直線上，所以即.與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為.故選：B45．（多選題）下列說法正確的是（

）A．截距相等的直線都可以用方程表示B．方程能表示平行軸的直線C．過點(diǎn)引直線，使點(diǎn)，到它的距離相等，則這條直線的方程為D．直線關(guān)于直線的對稱的直線方程為【答案】BD【解析】對于A選項(xiàng)，過原點(diǎn)的直線不能用表示，故錯誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，方程表示平行軸的直線，故正確；對于C選項(xiàng)，根據(jù)題意，所求直線有兩條，一條為經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線，此時斜率為，方程為，另一條為過點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線，中點(diǎn)為，直線方程為，故錯誤；對于D選項(xiàng)，直線上的點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，故對稱的直線方程為，故正確.故選：BD考點(diǎn)8：兩線段和與差的最值問題46．已知點(diǎn)M，N分別在直線：與直線：，且，點(diǎn)，，則|的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則直線的方程為，由，所以，設(shè)，則表示直線上的點(diǎn)與連線的距離之和，所以的最小值為.故選：C47．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】，則可看作軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，即，則可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，即.故選：B.48．已知點(diǎn)，，直線，在直線l上找一點(diǎn)P使得最小，則這個最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴最?。蔬x：B49．已知，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，，直線方程為，令得，所以直線與軸交點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)是與軸交點(diǎn)時等號成立．故選：A．50．直線分別交軸和于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】依題意可知，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，即求的最大值，，當(dāng)三點(diǎn)共線，即與原點(diǎn)重合時，取得最大值為，也即的最大值是.故選：A51．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】可看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，點(diǎn)在直線的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為在圖象上找一點(diǎn)，使得它到直線的距離的平方最小.注意到反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，直線也關(guān)于對稱，觀察圖象知點(diǎn)P到直線的距離最短，，最短距離為，所以的最小值為.故選：C52．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】5【解析】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和.如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，即最小所以的最小值為.故答案為：5.53．若