專題06幾何圖形初步章末54道壓軸題型專訓(xùn)（9大題型）題型一動角計算問題題型二余角、補角的動角計算題型三三角板中角度計算綜合題型四角的新定義計算題型五線段動點中的定值問題題型六線段尺規(guī)作圖問題題型七探究線段之間的數(shù)量關(guān)系題型八雙平角模型問題題型九最短路徑問題【經(jīng)典例題一動角計算問題】1．（24-25七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，射線，在的內(nèi)部．(1)圖中共有______個角，（注：圖中所有角均指小于的角）(2)若，，求（1）中所有角的度數(shù)之和．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】(1)6(2)【分析】本題考查角的定義，角的和差．（1）根據(jù)角的定義表示出各角即可解答；（2）根據(jù)角的和差即可計算．【詳解】（1）圖中的角有：，，，，，共6個．故答案為：6（2）∵，，∴．2．（24-25七年級下·廣東河源·期中）如圖，為直線上一點，，平分，．

(1)請你數(shù)一數(shù)，圖中有個小于平角的角．(2)求出的度數(shù)．(3)通過計算說明是否平分．(4)若將擴大成鈍角，其他條件不變，是否仍平分？由此，你得到了什么結(jié)論？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)證明見解析(4)仍平分，結(jié)論：平分，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角的定義即可解決；（2）根據(jù)，首先利用角平分線的定義和鄰補角的定義求得和即可；（3）根據(jù)和分別求得與的度數(shù)即可說明；（4）根據(jù)平分，，得出，，根據(jù)等角的余角相等得到，由角平分線的定義可得平分．【詳解】（1）解：圖中小于平角的角有：，，，，，，，，，共有9個．（2）解：，平分，，，；即的度數(shù)是；（3）解：，，．又，，即平分；（4）解：平分，理由如下：如圖：，，，平分，，，即平分．【點睛】本題主要考查了角的度數(shù)的計算，正確理解角平分線的定義，以及鄰補角的定義是解題的關(guān)鍵．3．（24-25七年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，要用一張長方形的紙片折成一個紙袋，兩條折痕的夾角為（即），將折過來的重疊部分抹上膠水，就可以做成一個紙袋．(1)求與的度數(shù)之和．(2)求粘膠水部分所構(gòu)成的這個角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度計算，理解題意，弄清各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）由求解即可；（2）根據(jù)題意可知，，，結(jié)合（1）可得，然后由求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，∴，即與的度數(shù)之和為；（2）根據(jù)題意可知，，，結(jié)合（1），可得，又∵，∴．4．（24-25七年級上·甘肅慶陽·期末）如圖1，和都是的角．圖1

圖2(1)若，求的度數(shù)．(2)請寫出圖1中相等的角（除）．(3)根據(jù)上述經(jīng)驗，在圖2中，利用三角板的特殊角畫一個與相等的角（請指明你所使用的三角板的特殊角的度數(shù)和畫出的與相等的角）．【答案】(1)(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】本題考查的是角的四則運算，角的和差運算，掌握角的和差運算是解本題的關(guān)鍵；（1）先求解，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）由，可得答案；（3）利用或構(gòu)建角的和差關(guān)系圖形即可畫出圖形．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴．（2）∵，∴，∴．（3）如圖1，利用直角可得，所以；如圖2，利用60°角可得，所以．5．（24-25七年級上·河南許昌·期末）線段的計算和角的計算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學(xué)習(xí)片段，請完成探索過程：(1)課上，老師提出問題：如圖①，點O是線段上一點，C、D分別是線段、的中點，當(dāng)時，求線段的長度．下面是小澤根據(jù)老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：未知線段

已知線段……因為C，D分別是線段、的中點，所以，________，________，因為，所以________，

線段中點的定義線段的和、差等式的性質(zhì)(2)小澤舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計算也可以用相似的方法進行轉(zhuǎn)化如圖②，已知，是角內(nèi)部的一條射線，，分別是，的平分線．求的度數(shù)．請同學(xué)們嘗試解決該問題．

(3)同組的小麗同學(xué)很善于思考，她提出新的問題：如果（2）中其他條件不變，將射線繞點O旋轉(zhuǎn)到的外部，則的度數(shù)是________．【答案】(1)，，(2)(3)或者【分析】（1）根據(jù)題干給出的思路作答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)進行計算即可得解；（3）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后分三種情況作出圖形，列式計算即可得解．【詳解】（1）∵C，D分別是線段、的中點，∴，，，∵，∴，故答案為：，，；（2）∵，分別是，的平分線，∴，，∴，∵，∴；（3）∵，分別是，的平分線，，∴，，分三種情況：第一種情況：如圖，

；第二種情況，如圖，

同理可得：；第三種情況，如圖，

，綜上：的度數(shù)是或者．【點睛】本題考查了角的計算，主要利用了角平分線的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，同時要注意分情況討論．6．（24-25七年級下·四川成都·期中）我們學(xué)習(xí)過角的定義，有公共頂點的兩條射線組成的圖形叫做角．如圖所示，我們把區(qū)域I（不包括射線OA和射線）叫做角的內(nèi)部．對于一個角（且），定義它的“內(nèi)補角”滿足以下兩個條件：①大小是；②與這個角有一條公共邊且與這個角的內(nèi)部有公共部分．定義它的“內(nèi)余角”滿足以下兩個條件：①大小是：②與這個角有一條公共邊且與這個角的內(nèi)部有公共部分．(1)如圖①，已知，利用直尺和量角器，通過計算和測量，作出的所有的內(nèi)補角；(2)設(shè)，射線OM平分的內(nèi)補角，射線ON平分的內(nèi)余角，①當(dāng)時，如圖②，計算的大小為______；（直接寫答案）②當(dāng)時，大小為______，（用含的代數(shù)式表示，直接寫答案）【答案】(1)見解析(2)①45°；②α-45°或135°-α．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）①分兩種情形，分別畫出圖形求解即可得；②與①類似，分兩種情形，分別畫出圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖①中，∠BOE，∠AOF即為所求；；

（2）①如圖②中，當(dāng)∠BOD=135°，OM平分∠BOD，ON平分∠AOB，∠MON=，如圖③中，當(dāng)∠AOD=135°，OM平分∠AOD，ON平分∠AOB，∠MON=，故答案為：；②當(dāng)時，與①方法相同，∠MON的大小為或，故答案為：或．【點睛】題目主要考查作圖-復(fù)雜作圖，理解題目中的新定義是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二余角、補角的動角計算】7．（24-25七年級上·江蘇·期末）如圖，直線、相交于點，平分，，垂足為點．(1)圖中與互補的角是_________；(2)與相等嗎？請說明理由；(3)若，求和的度數(shù)．【答案】(1)，，(2)，見解析(3)的度數(shù)為，的度數(shù)為【分析】本題考查了垂線，余角和補角，角平分線的定義，對頂角、鄰補角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義可得，然后利用平角定義可得，，，從而利用等量代換可得，，即可解答；（2）根據(jù)垂直定義可得，從而利用平角定義可得，然后利用等角的補角相等可得，即可解答；（3）先利用平角定義可得，然后利用（2）的結(jié)論可得，從而利用角的和差關(guān)系可得，即可解答．【詳解】（1）解：平分，，，，，，，圖中與互補的角是，，，故答案為：，，；（2），理由：，，，，，；（3），，，，，的度數(shù)為，的度數(shù)為．8．（24-25七年級上·浙江臺州·期末）已知點在直線上，在直線的上方作兩條射線、．(1)如圖1，當(dāng)時，寫出圖中互余的兩個角______與______；(2)已知是的角平分線，是的角平分線，，①如圖2，當(dāng)時，計算的度數(shù)；②畫圖探究和之間的數(shù)量關(guān)系（可直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題考查了余角和補角、角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義進行解答．（1）根據(jù)互余的定義，結(jié)合已知以及平角來找出互余的角；（2）①先根據(jù)已知條件求出的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，最后通過，即可求解；②設(shè)，用含的式子表示出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵點在直線上，∴，又∵，∴，∴互余的兩個角為與；故答案為：，；（2）解：①∵，，∴，∵是的角平分線，是的角平分線，∴，，∴；②如圖：設(shè)，則，∵是的角平分線，是的角平分線，∴，∵，∴．9．（24-25七年級上·全國·期末）如圖1，已知，點為直線上一點，在直線的上方，．一直角三角板的直角頂點放在點處，三角板一邊在射線上，另一邊在直線的下方．(1)在圖1的時刻，的度數(shù)為________，的度數(shù)為________；(2)如圖2，當(dāng)三角板繞點旋轉(zhuǎn)至一邊恰好平分時，求的度數(shù)；(3)在三角板繞點旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)120，150(2)30(3)或【分析】本題考查角平分線的定義，鄰補角互補，角的和差．（1）根據(jù)鄰補角互補求出，，再由角的和差即可求出；（2）根據(jù)角平分線求出，再由角的和差即可求解；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊在的內(nèi)部時，②當(dāng)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊不在的內(nèi)部時，根據(jù)角的和差分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴；故答案為：120，150；（2）解：∵，平分，∴，∵，∴；（3）解：分兩種情況：當(dāng)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊在的內(nèi)部時，如圖，設(shè)的延長線為，則，∵，∴，∵，∴；當(dāng)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊不在的內(nèi)部時，如圖：∵，，∴；綜上所述，與的關(guān)系為：或．故答案為：或．10．（24-25七年級下·福建三明·期中）在中，，是的高線，是的角平分線，(1)如圖1，若，，則的度數(shù)為______；(2)如圖2，若點是延長線上一點，于，，，請求出的度數(shù)．（用含，的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，高線的定義，余角的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)．（1）利用三角形內(nèi)角和求出，利用角平分線和高線的定義得出和的度數(shù)，進而利用角的和差即可求解；（2）根據(jù)垂直和高線得出兩個直角三角形，利用對頂角相等和余角的性質(zhì)即可得出，再利用（1）的解題思路即可表示出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，，，∵是的角平分線，，∵是的高線，，，，故答案為：；（2）解：∵是的高線，于，，又，，∵，，，∵是的角平分線，，∵是的高線，，，．11．（24-25七年級下·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知在中，，且，作，使得．(1)如圖①，若與互余，則____________（用含的式子表示）；(2)如圖②，若與互補，過點作于點，過點作于點，試說明：；(3)若與相等，則與的面積滿足什么關(guān)系？若與互補，則上述關(guān)系還成立嗎？直接寫出結(jié)論．【答案】(1)(2)見解析(3)若與相等，則與的面積相等．若與互補，則與的面積相等【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，互余，互補的概念，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造全等三角形．（1）由等腰三角形的性質(zhì)，兩角互余的概念，即可求解；（2）作于，由兩角互補的概念，可以證明，即可解決問題；（3）若與相等，則與的面積相等．作于，于，證明，得到，根據(jù)等底等高得出兩三角形面積相等；若與互補，則與的面積相等，成立．作于，交延長線于，證明，得到，根據(jù)等底等高得出兩三角形面積相等．【詳解】（1）解：，，與互余，，，故答案為：；（2）證明：作于，，，，，，，，，，與互補，，，，，，；（3）解：若與相等，則與的面積相等．理由如下：如圖1，作于，于，則，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；若與互補，則與的面積相等，成立．理由如下：如圖2，作于，交延長線于，則，∵，，∴，∵，∴，∴∵，，∴，∴．12．（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）已知，將一副三角板的直角頂點按如圖所式疊放在一起．(1)填寫下列表格：的大小的大小(2)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，，；(2)，理由見解析【分析】本題考查了余角定義，幾何圖形中角的計算，認(rèn)識圖形，正確進行角的計算是解題的關(guān)鍵．（1）由的度數(shù)，得到的度數(shù)，從而得到結(jié)果，填寫表格；（2）由（1）中表格中兩角的數(shù)量關(guān)系，仿照（1）求角度的過程，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：①∵，，；②，，；③，，；的大小的大小故答案為：，，；（2）解：，理由如下：設(shè)，，，．【經(jīng)典例題三三角板中角度計算綜合】13．（24-25七年級下·湖南郴州·期中）如圖1，為直線上一點，過點作射線，使，現(xiàn)將一個三角板的直角頂點放在點處，一邊與射線重合，如圖2．(1)__________；(2)如圖3，將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)是的平分線時；求的度數(shù)；(3)將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度，是否有某個時刻滿足？如果有，求的度數(shù)，說明理由．【答案】(1)(2)(3)有，的度數(shù)或，見解析【分析】本題考查了三角板中的角度計算，角平分線的有關(guān)計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用等知識．（1）根據(jù)三角板中，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)角平分線的定義即可得到，計算得到結(jié)果；（3）分類討論，當(dāng)時，或當(dāng)時，得到旋轉(zhuǎn)的角度，再結(jié)合角的和差關(guān)系進行計算，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度，，∵，是的平分線，∴，∴，∴，即．（3）解：有某個時刻滿足，理由如下：依題意，旋轉(zhuǎn)的角度，當(dāng)時，點在的右側(cè)，當(dāng)時，點在的左側(cè)，∴或，∵，∴，或解得或，∴的度數(shù)或．14．（24-25七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，點O為直線上一點，過點O作射線OC，使，將一個含角的直角三角尺的一個頂點放在點O處，斜邊與直線重合，另外兩條直角邊都在直線的下方．(1)將圖1中的三角尺繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，此時；在圖2中，是否平分？請說明理由；(2)緊接著將圖2中的三角板繞點O逆時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得在的內(nèi)部，請?zhí)骄浚号c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)將圖1中的三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線恰好平分銳角，則t的值為（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)，平分，見解析(2)相等，見解析(3)4.5秒或40.5秒．【分析】（1）根據(jù)和含角的直角三角尺的特點，算出，得到，即可解題；（2）根據(jù)題意算出，，利用，，即可解題；（3）根據(jù)直線恰好平分銳角，且，可分為當(dāng)在直線的下方，且，以及當(dāng)在直線的上方，且，再根據(jù)三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立關(guān)于t的等式即可求解．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的運算，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【詳解】（1）解：如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，故答案為：；平分．理由如下：，，而，，則平分．（2）解：．理由如下：如圖3，，，，，．（3）解：直線恰好平分銳角，且，或，即，①當(dāng)在直線的下方，有（秒），②當(dāng)在直線的上方，（秒）．故答案為：4.5秒或40.5秒．15．（24-25七年級上·福建廈門·期末）【實踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)（1）如圖1，將兩塊三角尺的直角頂點C疊放在一起，．①若，則________；若，則________；②猜想與的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，若是將兩個同樣的含銳角的直角三角尺疊放在一起，其中銳角的頂點A重合在一起，．①探究與的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若一開始就將與完全重合（與重合），保持不動，將繞點A以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為．在旋轉(zhuǎn)的過程中，為何值時．【答案】（1）①；；②，理由見解析；（2）①，理由見解析；②為3秒或21秒【分析】本題考查了三角板中角度的計算、垂直的定義，仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)圖形得出各角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；②根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；②由得到，再分在的上方和下方兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）①若，則，∴；若，則，∴；故答案為：；；②，理由如下：∵，∴，∴，即．（2）①，理由如下：∵，∴，∴，即；②∵，∴，當(dāng)在上方時，旋轉(zhuǎn)角度為，∴（秒）；當(dāng)在下方時，旋轉(zhuǎn)角度為，∴（秒）；∴綜上所述，為3秒或21秒時．16．（24-25七年級上·山東濟南·階段練習(xí)）如圖，點O為直線上一點，過點O作射線，使．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊在射線上，另一直角邊在直線的下方，(1)將圖①中三角板繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②，使邊在內(nèi)部，且恰好平分，求大?。?2)將圖①中的三角板繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖③．①如果恰好是的角平分線，則的度數(shù)為______；②如果始終在的內(nèi)部，的度數(shù)不會變化，請猜測出的度數(shù)并說明理由．【答案】(1)(2)①；②，理由見解析【分析】本題主要考查了角的和差運算的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握其性質(zhì)，結(jié)合圖形，用所求的角表示未知的角是解決此題的關(guān)鍵．（1）平分，可求得，再由互余關(guān)系即可求得結(jié)果；（2）①首先求出，然后由角平分線得到，進而利用角的和差求解即可；②由且，即可得出兩角的關(guān)系；【詳解】（1）解：∵平分，，，；（2）解：①∵∴∵恰好是的角平分線∴∴∴；②，理由如下，∵，∴，，，，，即與的數(shù)量關(guān)系為：．17．（24-25七年級下·湖北恩施·期中）如圖1，將一副直角三角板按如圖1方式擺放，其中A，C，E三點在同一條直線上，，．(1)觀察猜想將圖1中的三角尺沿的方向平移至圖2的位置，使得點B在上．則________．(2)操作探究將圖1中的三角尺繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊在的內(nèi)部，如圖3，且恰好平分，與相交于點R，求的度數(shù)；(3)深化拓展將圖1中的三角尺繞點C按沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊旋轉(zhuǎn)_________時，邊恰好與邊平行（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)105(2)(3)或【分析】本題考查平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角板間的角度計算，平角的定義，角平分線的定義，正確識圖是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，利用平行線的性質(zhì)結(jié)合三角板特征可推出，由即可求解；（2）由角平分線的定義可得，易證，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求解；（3）分在內(nèi)部和在外部，兩種情況利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，由平移的性質(zhì)得，∴，∴；（2）解：由題意得，∵恰好平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，當(dāng)在內(nèi)部時，過點B作，設(shè)交于點N，點O為點A的起始位置，∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)角度為；如圖，當(dāng)在外部時，過點B作，設(shè)點O為點A的起始位置，交于點N，同理得∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)角度為；綜上，當(dāng)邊旋轉(zhuǎn)或時，邊恰好與邊平行．18．（24-25七年級上·廣東陽江·期末）如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究．(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點疊放在一起，若恰好平分，請你猜想此時是否平分，并簡述理由；(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點疊放在一起，若始終在的內(nèi)部，請猜想與是否相等，并簡述理由；(3)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點疊放在一起，若始終在的內(nèi)部，設(shè)，試用含的式子表示的度數(shù)，并說明當(dāng)?shù)闹抵饾u增大時，的度數(shù)會發(fā)生怎樣的變化；(4)如圖③，將兩個同樣的含角的直角三角板中銳角的頂點疊放在一起，請你猜想與有何關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)平分，見解析(2)，見解析(3)，當(dāng)?shù)闹抵饾u增大時，的度數(shù)逐漸減小(4)或，見解析【分析】本題考查了三角板中的角度計算，角平分線的定義，等角的余角相等，熟練掌握圖形中角的運算是解題的關(guān)鍵．（1）由，平分得，進而得，據(jù)此可得出結(jié)論；（2）由得，，然后根據(jù)同角的余角相等可得出結(jié)論；（3）由得，據(jù)此可得，進而可得當(dāng)?shù)闹抵饾u增大時，的度數(shù)的變化情況；（4）①當(dāng)在的內(nèi)部時，由得，據(jù)此可得與的關(guān)系；②當(dāng)在的外部時，由可得出與的關(guān)系．【詳解】（1）解：平分，理由如下：依題意得：，∵平分，∴，∴，∴，∴平分．（2）解：，理由如下：依題意得：，∴，，∴．（3）解：依題意得：，∵，∴，∴，即：，∴當(dāng)?shù)闹抵饾u增大時，的度數(shù)逐漸減?。?）解：或，理由如下：依題意得：，①當(dāng)在的內(nèi)部時，如圖：，∴；②當(dāng)在的外部時，如圖：．【經(jīng)典例題四角的新定義計算】19．（24-25七年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）新定義：若的度數(shù)是的度數(shù)的倍，則叫做的倍角．(1)如圖1，若，請直接寫出圖中所有的2倍角；(2)如圖2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度數(shù)．【答案】(1)和(2)【分析】本題主要考查了角的和差運算，理解“倍角”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給的圖和題意分析即可解答；（2）由題意可得，由可得、進而得到，易得，進而求得的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴圖中所有的2倍角有和．（2）解：由題意可得：．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．20．（24-25七年級下·山東濟寧·期中）新定義：若的度數(shù)是的度數(shù)的n倍，則叫做的n倍角．(1)若，請直接寫出的4倍角的度數(shù)；(2)如圖1所示，若，請直接寫出圖中所有的2倍角；(3)如圖2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】此題主要考查了角的計算，度分秒的換算．（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）根據(jù)題意得出即可；（3）設(shè)，則，得到；根據(jù)，求得，于是結(jié)論可得．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴；∴圖中的所有2倍角有：；（3）∵是的3倍角，是的4倍角，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴．21．（24-25七年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）【新定義】已知射線在的內(nèi)部，若，和三個角中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“量尺金線”．(1)如圖1，若中是的“量尺金線”，且，則與的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，若平分，試說明射線是的“量尺金線”；(3)如圖3，．若射線是的“量尺金線”，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)詳見解析(3)【分析】此題考查了幾何圖形中角度計算和角平分線的相關(guān)計算等知識．（1）根據(jù)“量尺金線”定義即可得到答案；（2）由角平分線的定義可以證明；（3）分、、三種情況分別畫出圖形進行解答即可．【詳解】（1）解：∵中是的“量尺金線”，且，∴，∴，故答案為：（2）∵平分，∴∴射線是的“量尺金線”；（3）當(dāng)時，∵，∴，∴；當(dāng)時，∵，∴；當(dāng)時，∵，∴；綜上可知，的度數(shù)為．22．（24-25七年級上·湖南長沙·期末）新定義：如圖1，已知射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角的度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“立信線”．(1)一個角的平分線_______這個角的“立信線”；（填“是”或“不是”）(2)如圖2，若，射線繞點O從位置開始．以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與首次成時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．求當(dāng)t為何值時，射線是的“立信線”；(3)如圖3，射線為的“立信線”，且．射線分別為、的平分線，請猜想、、會有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；【答案】(1)是(2)2秒，3秒或4秒(3)，理由見解析【分析】本題考查了新定義，角平分線的定義，角的和差等知識，理解新定義、分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）由“立信線”含義即可作出判斷；（2）分三種情況：；；；利用倍角關(guān)系及和的關(guān)系即可求解；（3）由射線分別為、的平分線，得，；由即可得出、、間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：由于角平分線把一個角分成相等的兩部分，這兩個角是原角的一半，根據(jù)“立信線”的含義知，一個角的平分線是這個角的“立信線”；故答案為：是；（2）解：分三種情況：當(dāng)時，則，∴（秒）；當(dāng)時，是的平分線，則，∴（秒）；當(dāng)時，則，∴（秒）；綜上，當(dāng)t的值為2秒、3秒或4秒時，射線是的“立信線”；（3）解：，理由如下：∵射線分別為、的平分線，∴，；∵；∴、、間的數(shù)量關(guān)系為．23．（24-25七年級下·四川遂寧·期中）新定義：若兩個角的和為，我們則稱這兩個角互為“百度角”；例如，，則與互為“百度角”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）【閱讀理解】（1）如圖1，如果，與互為“百度角”，則．【初步應(yīng)用】（2）射線平分角，為內(nèi)部的一條射線，且滿足，若與互為“百度角”，求的值；【解決問題】（3）如圖2，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動的時間為t秒．當(dāng)為何值時由三條射線形成的角中有兩個角互為“百度角”？【答案】（1）；（2）為或；（3）當(dāng)運動時間t為2秒或4秒或10秒或秒時，由三條射線形成的角中有兩個角互為“百度角”【分析】本題考查新定義的角度關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，找到新定義的角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義，找到角度關(guān)系，求解即可；（2）分情況討論與的位置關(guān)系，畫出圖象，求解即可．（3）分情況討論與的位置關(guān)系，畫出圖象，根據(jù)新定義列出各個角度關(guān)于時間t的一元一次方程求解即可．【詳解】解：（1）∵與互為“百度角”，∴，，，；（2）如圖，當(dāng)在上方時，

∵平分角，∴，根據(jù)題意得，，同理，當(dāng)在下方時，

∵平分角，∴，根據(jù)題意得，，綜上所述，為或；（3）①如圖

根據(jù)題意得，運動的時間為t秒時，，，，當(dāng)和互為“百度角”時，，秒；當(dāng)和互為“百度角”時，，秒．②如圖

根據(jù)題意得，運動的時間為t秒時，，，，當(dāng)和互為“百度角”時，，秒．當(dāng)和互為“百度角”時，，秒．綜上所述，三條射線形成的角互為“百度角”時，t為2秒或4秒或10秒或秒．24．（24-25七年級上·遼寧盤錦·期末）新定義：如果的內(nèi)部有一條射線將分成的兩個角，其中一個角是另一個角的n倍，那么我們稱射線為的n倍分線，例如，如圖1，，則為的4倍分線．

(1)應(yīng)用：若，為的二倍分線，且，則．(2)如圖2，點A，O，B在同一條直線上，為直線上方的一條射線①若，分別為和的三倍分線（，），已知，則．②在①的條件下，若，的度數(shù)是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)40(2)①135；②不變，理由見解析【分析】本題考查了新定義，幾何圖形中角度的計算，正確理解新定義的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得：，，進而得出答案；（2）①由題意可得：，，根據(jù)，得出，，再求解即可；②不變，根據(jù)題意得出，，再代入即可得出答案；【詳解】（1），為的二倍分線，且，，，，，故答案為：40；（2）①，分別為和的三倍分線（，），，，，，，，，，，故答案為：135；②不變，，分別為和的三倍分線，，，，，．【經(jīng)典例題五線段動點中的定值問題】25．（24-25七年級上·福建龍巖·期末）如圖，，把一塊含角（）三角板與擺在同一平面內(nèi)，且角的頂點與頂點重疊，平分，平分．（本題中的角均大于且小于的角）(1)如圖1，當(dāng)，重合，且三角板的另一邊在的外部時，求的度數(shù)；(2)如圖2，把三角板擺放不同位置時，令．在備用圖上畫圖并完成探究：①探究的大小是否改變，若有改變，請用含的式子表示；若沒有改變，請求出定值．并采用圖2說明理由；②在三角板擺放的不同位置中，是否存在使得，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①的大小不變，；②存在使得，或【分析】本題主要考查了角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進行分類討論．（1）根據(jù)角平分線的定義進行計算即可；（2）①根據(jù)圖2，利用角平分線的定義進行計算即可；②分二種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)，，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：平分，平分，，，，，．（2）解：①的大小不變，為，理由如下：平分，平分，，，，，又∵，，，∴為定值；②存在使得，理由如下：平分，平分，∴設(shè)，，情況1，如圖：當(dāng)時，，∴，①，，，∴②，由①②得：，；情況2，如圖：當(dāng)時，，，，①，，，，②，由①②得，，綜上所述，或．26．（24-25七年級上·江西撫州·期末）如圖（1），點為直線上一點，過點作射線，使．將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．(1)將圖（1）中的三角板繞點按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)秒，此時恰好第一次平分鈍角，則的值為多少？(2)將圖（1）中的三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2），使一邊在的內(nèi)部，直線恰好平分，問：直線是否平分？請說明理由．(3)將圖（1）中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（3），使在的內(nèi)部，請?zhí)骄浚孩倥c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②的值是否為定值，如果是，請求出這個定值是多少？如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線平分，理由見解析(3)①，理由見解析；②【分析】本題主要考查的是角的計算、角平分線的定義的運用；（1）根據(jù)角平分線的定義得出，結(jié)合題意，即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，進而根據(jù)，求得，即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)，，分別求得，，再根據(jù)進行計算，即可得出與的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)圖形可得，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）平分，，又，，（2）直線平分，理由如下：設(shè)的延長線為，如圖2，∵平分，∴，又∵，∴，∵，∴，即直線平分；（3）①結(jié)論：．理由：如圖3中，，，，，，與的數(shù)量關(guān)系為：．②27．（24-25七年級下·遼寧鞍山·期中）在一次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小明和他的同伴們將一個直角三角尺按如圖所示方式放置，發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘．(1)如圖①，三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側(cè)．若，求度數(shù)．(2)繞點P旋轉(zhuǎn)三角尺，使點A，B在直線的同側(cè)，如圖②，若平分，平分，他們發(fā)現(xiàn)的度數(shù)為定值，請你求出這個定值．(3)繞點P旋轉(zhuǎn)三角尺，使點A，B在直線的異側(cè)，平分，平分，設(shè)，如圖③，探究的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義．（1）根據(jù)即可求解；（2）由可得到，根據(jù)角平分線的定義，可得，進而根據(jù)角的和差即可求解；（3）由，求得，，根據(jù)角平分線的定義可得，，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：，；（2）解：∵，∴，平分，平分，，，；（3）解：∵，，∴，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，．28．（24-25七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，，角的頂點互相重合，將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)射線，重合時，______，(2)在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線，則的度數(shù)為______；(3)在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線始終在的內(nèi)部．①普于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值為定值，請你求出這個定值；②作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值，若變化，請求出變化的范圍．【答案】(1)(2)或或(3)①；②度數(shù)不發(fā)生變化，為定值，理由見解析【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）直接根據(jù)角之間的關(guān)系進行求解即可；（2）分當(dāng)是的角平分線時，當(dāng)是的角平分線時，當(dāng)是的角平分線時，三種情況討論求解即可；（3）①，則；②先由角平分線的定義得到，再由即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴當(dāng)射線，重合時，，故答案為：；（2）解：如圖2-1所示，當(dāng)是的角平分線時，則；如圖2-2所示，當(dāng)是的角平分線時，則；如圖2-3所示，當(dāng)是的角平分線時，則；綜上所述，的度數(shù)為或或；（3）解：①如圖所示，∵，，∴，∴；②度數(shù)不發(fā)生變化，為定值，理由如下：∵，，∴，∵，分別是和的平分線，∴，∴．29．（24-25七年級上·湖北武漢·期末）已知．(1)如圖1，在的內(nèi)部，且，則______；(2)如圖2，在的內(nèi)部，是四等分線，且，求的值；(3)如圖3，，射線繞著點從開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運動的時間為是四等分線，且，當(dāng)在某個范圍內(nèi)時，會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)的范圍（本題中的角均大于且不超過）．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時，是定值，；當(dāng)時，是定值，【分析】本題考查了角的和差倍分計算，構(gòu)造一元一次方程計算是解題的關(guān)鍵．(1)根據(jù)，設(shè)，則．根據(jù)列出方程求解即可．(2)根據(jù)是四等分線，設(shè)，則．根據(jù)題意列出方程求解即可．(3)根據(jù)題意，，則，根據(jù)是四等分線．根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】（1）∵，設(shè)，則．∵，，∴，解得，故，故答案為：．（2）∵是四等分線，設(shè)，則，∴．（3）根據(jù)題意，，則，∵是四等分線，∴∴∴．故當(dāng)時，是定值，；當(dāng)時，根據(jù)題意，，則，∵是四等分線，∴∴∴．故是定值，當(dāng)時，是定值，；當(dāng)時，是定值，．30．（24-25七年級上·甘肅張掖·期末）如圖1，先畫出直線，然后將一副三角板拼接在一起，其中角（）的頂點與角（）的頂點重合，且邊，都在直線上．(1)度；(2)如圖2，固定三角板不動，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，當(dāng)邊第一次落在射線上時停止．①當(dāng)平分時，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)運動到內(nèi)部時，是定值，求這個定值；③選擇下列兩個問題中的一個求解，若兩個都求解，按Ⅰ給分．Ⅰ：在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；Ⅱ：當(dāng)時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②；③Ⅰ：或；Ⅱ：或【分析】本題考查了三角板中的角度計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義以及平角的定義進行計算即可；（2）①根據(jù)圖形中角的和差關(guān)系進行計算即可；②根據(jù)圖形中角的和差關(guān)系進行計算即可；③Ⅰ：分兩種情況，當(dāng)在內(nèi)部時，當(dāng)在內(nèi)部時，利用角的和差求解；Ⅱ：根據(jù)Ⅰ的結(jié)論由列方程，解方程即可．【詳解】（1）解：（1）如圖1，，故答案為：；（2）解：①當(dāng)平分時，∴，∴∠，即旋轉(zhuǎn)角；②如圖3，是定值，，理由如下：③Ⅰ：如圖2，當(dāng)在內(nèi)部或與重合時，即，由題意得，，，∴；如圖3，當(dāng)在內(nèi)部與重合時，即，∴Ⅱ：如圖2，當(dāng)時，即，解得．如圖3，當(dāng)時，即當(dāng)時，解得．【經(jīng)典例題六線段尺規(guī)作圖問題】31．（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）按下列要求畫出圖形．(1)點在直線外．(2)線段，相交于點，連接．(3)如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析【分析】（1）根據(jù)點與直線的位置關(guān)系畫圖即可；（2）根據(jù)線段的含義與交點的含義畫線段，相交于點，再連接即可；（3）作射線，在射線上依次截取，再在線段上截取，則線段即為所求；【詳解】（1）解：如圖，點在直線外；；（2）解：線段，相交于點，連接，如圖所示，；（3）解：如圖，線段即為所求；32．（24-25七年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知點A，B，C．(1)請用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡）：①畫直線，射線；②連接，在線段的延長線上作線段，使；(2)用適當(dāng)?shù)恼Z句表述點與直線的位置關(guān)系：_________；(3)連接，則_______（填“>”“<”“=”），成立的理由是_________．【答案】(1)①作圖見詳解；②作圖見詳解(2)點在直線外（直線不經(jīng)過點；(3)；兩點之間，線段最短．【分析】本題主要考查點與直線的位置關(guān)系，基本作圖以及線段的和差關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出圖．（1）①根據(jù)射線、直線的定義畫圖即可；②根據(jù)作線段等于已知線段作法作圖即可；（2）根據(jù)點與直線的位置關(guān)系可得答案；（3）根據(jù)兩點之間線段最短可得答案．【詳解】（1）①如圖所示：直線，射線即為所求；②如圖所示；線段；（2）解：由圖可知，點在直線外（直線不經(jīng)過點，故答案為：點在直線外（直線不經(jīng)過點；（3）解：連接，則，理由是：兩邊之和大于第三邊；故答案為：，兩邊之和大于第三邊．33．（24-25七年級下·重慶開州·期中）如圖，已知．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在線段的延長線上截取，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)____（填“＞”、“＜”或“＝”），依據(jù)是______________；(3)若點E是射線上一點，且，求的長；【答案】(1)見解析；(2)>，兩點之間線段最短；(3)；【分析】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了兩點間的距離．（1）根據(jù)幾何語言畫出幾何圖形；（2）根據(jù)兩點之間線段最短進行判斷；（3）先計算出，然后計算即可．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：根據(jù)兩點之間線段最短得；故答案為：＞，兩點之間線段最短；（3）解：∵，∴，∵，∴．34．（24-25七年級上·江蘇無錫·期末）“深海一號”是由中國人自己設(shè)計、研發(fā)、建造的首個超深水油氣生產(chǎn)作業(yè)平臺．假設(shè)該平臺位于圖1中的C處，在A、B兩地分別有甲、乙兩艘運輸船定期向平臺運送物資．(1)甲船航行速度為a海里/小時，乙船航行速度為b海里/小時，按照圖1中的比例，可得a、b的大小如圖2所示，若甲、乙兩船同時出發(fā)，你能用尺規(guī)作圖說明哪艘船先到達C處嗎？并說明理由．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知長為90海里，長為120海里，甲船從A處出發(fā)前往C處，速度為15海里/小時；乙船從B處出發(fā)前往C處，速度為20海里/小時、乙船航行1小時后，為了能和甲船同時到達C處，只能提速行駛，求乙船提速后的航行速度．【答案】(1)乙船先到達C處，理由見解析．(2)乙船提速后的航行速度為25海里/小時．【分析】本題考查了作圖——作線段，有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，理解題意正確列式是解題關(guān)鍵．（1）分別在、上截取線段、，即可得到答案；（2）由題意可知，乙船航行1小時后，甲船與C處的距離為海里，乙船與C處的距離為海里，進而得到甲船到達C處還需小時，再根據(jù)乙船4小時需行駛100海里，即可得到答案．【詳解】（1）解：觀察圖形可知，甲船到達C處的時間是大于2小時，小于3小時；乙船到達C處的時間是大于1小時，小于2小時，即乙船先到達C處；（2）解：由題意可知，乙船航行1小時后，甲船與C處的距離為（海里），乙船與C處的距離為（海里），則甲船到達C處還需（小時），因為兩船同時到達C處，所以乙船4小時需行駛100海里，即海里/小時，答：乙船提速后的航行速度為25海里/小時．35．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）（中考新趨勢·尺規(guī)作圖）如圖1，已知線段．(1)請用尺規(guī)按下列要求作圖：（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）①延長線段到，使；②反向延長線段到，使；(2)在（1）的條件下，如果，，且點為的中點，求線段的長度；(3)如圖2，兩村分別在公路兩側(cè)，現(xiàn)在公路旁建一汽車站，使兩村到車站距離之和最短，那么車站應(yīng)建在什么地方？【答案】(1)①見解析，②見解析(2)(3)見解析【分析】解：本題主要考查了直線，線段，利用線段中點的性質(zhì)，線段的和差，基本的尺規(guī)作圖，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②根據(jù)題意畫出圖形即可．（2）根據(jù)線段的畫出和線段的中點的定義即可得到結(jié)論．（3）根據(jù)兩點之間線段最短，連接即可得到車站的位置．【詳解】（1）解：①以點為圓心，的長度為半徑畫弧，與點右側(cè)延長線相交于，∴如圖所示，線段即為所求：②以點為圓心，的長度為半徑畫弧，與點左側(cè)延長線相交于，如圖所示，線段即為所求：（2）解：∵，∴，∵點為的中點，∴，如圖所示，，∴．（3）解：∵兩點之間線段最短，∴當(dāng)兩村到車站距離之和最短時，即連接與直線的交點就是車站的位置．36．（24-25七年級上·重慶豐都·期末）學(xué)習(xí)了“直線、射線、線段”的相關(guān)知識后，數(shù)學(xué)興趣小組進行了拓展性研究．(1)如果把圖1中三角形（其中）的A、B兩個頂點看成定點，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)．他們的理由是．(2)數(shù)學(xué)小組在（1）的基礎(chǔ)上提出了新的問題：與存在怎樣的大小關(guān)系呢？研究思路：作射線，在射線上取一點M，使得；再將三角形的邊轉(zhuǎn)移到射線上，使得點A與點O重合，再比較與的大小．請根據(jù)此研究思路用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中完成作圖．(3)通過作圖發(fā)現(xiàn)點B落在（填入“點O與點M之間”、“點M上”或“線段的延長線上”），因此在圖1的三角形中，．（填入“>”、“<”或“=”）【答案】(1)兩點之間，線段最短(2)見解析(3)<【分析】本題考查兩點之間，線段最短，尺規(guī)基本作圖作-作一線段等于已知線段，線段大小比較．熟練掌握尺規(guī)基本作圖作-作一線段等于已知線段是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩點之間，線段最短解答即可；（2）根據(jù)作一線段等于已知線段，作出圖即可；（3）根據(jù)作的圖書，直接得出答案即可．【詳解】（1）解：∵三角形（其中）的A、B兩個頂點看成定點，根據(jù)兩點之間，線段最短，∴故答案為：兩點之間，線段最短．（2）解：如圖，（3）解：通過作圖發(fā)現(xiàn)點B落在線段的延長線上，∴故答案為：．【經(jīng)典例題七探究線段之間的數(shù)量關(guān)系】37．（24-25七年級上·陜西安康·期末）如圖，已知線段，點E是的中點，點F是的中點．(1)若，求線段的長；(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出線段的長度；若變化，請說明理由．【答案】(1)9厘米(2)不變，9厘米【分析】（1）由可求解的長，結(jié)合中點的定義可求解的長；（2）由中點的定義可得，根據(jù)可求解EF的長為定值，即可求解．此題考查線段的相關(guān)計算、中點的相關(guān)計算，弄清楚各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵點E是的中點，點F是的中點．∴，∴；（2）線段的長度不發(fā)生變化．∵點E是的中點，點F是的中點，∴∴．38．（24-25七年級上·江蘇無錫·期末）已知A，B，C，D四點在同一直線上，點D在線段上．(1)如圖，若線段，點C是線段的中點，，求線段的長度；(2)若線段，點C是線段上一點，且滿足，，求線段的長度（用含a的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查線段和差倍分的計算，掌握線段中點、三等分點的概念是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段中點的定義得到，于是得到；（2）根據(jù)，，得到，，求得，，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：線段，點是線段的中點，，，；（2）點在線段上，，，，，，，，，．39．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，點為線段的中點．

(1)如圖1，若，點為線段的中點，則________；(2)如圖2，若點在線段上，且，求的值；(3)若，點在直線上，且，點為的中點，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)3(2)或(3)或【分析】本題主要考查了線段中點的有關(guān)計算，線段之間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中點的定義，數(shù)形結(jié)合．（1）根據(jù)線段中點定義，數(shù)形結(jié)合，進行計算即可；（2）分兩種情況進行討論：當(dāng)點E在點D的左側(cè)時，當(dāng)點E在點D的右側(cè)時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；（3）分兩種情況進行討論：當(dāng)點E在線段的延長線上時，當(dāng)點E在線段上時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵點為線段的中點，，∴，∵點為線段的中點，∴，∴，故答案為：3．（2）解：∵點為線段的中點，∴，設(shè)，則當(dāng)點E在點D的左側(cè)時，如圖所示：

∴，∴，∴；當(dāng)點E在點D的右側(cè)時，如圖所示：

∴，∴，∴；綜上分析可知，或．（3）解：∵點為線段的中點，，∴，∵F為的中點，，∴，當(dāng)點E在線段的延長線上時，如圖所示：

此時；當(dāng)點E在線段上時，如圖所示：

此時．綜上分析可知，或．40．（24-25七年級上·江西南昌·期末）已知：如圖，點M是線段上一定點，，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）(1)若，當(dāng)點C、D運動了，此時，；（直接填空）(2)當(dāng)點C、D運動了，求的值；(3)若點C、D運動時，總有，則；（直接填空）(4)在（3）的條件下，是直線上一點，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或1【分析】本題考查了線段上的動點問題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）先求出、的長，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出與的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得，然后根據(jù)，代入即可求解；（4）分點N在線段上和點N在線段的延長線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，，，∵，，∴，∴，，故答案為：；．（2）解：當(dāng)點C、D運動了時，，，∵，∴；故答案為：；（3）解：根據(jù)C、D的運動速度知：，∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：；（4）解：①當(dāng)點N在線段上時，如圖1，

∵，又∵∴，∴∴；②當(dāng)點N在線段的延長線上時，如圖2，

∵，又∵，∴，∴；綜上所述：或1．41．（24-25七年級上·河北保定·期末）如圖，已知在線段上．(1)圖中共有______條線段；(2)①若，比較線段的長短：______（填：“>”、“=”或“<”）；②若是的中點，是的中點，求的長度．③若是的中點，是的中點，直接寫出的長度．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)；(2)①；②；③．【分析】（1）根據(jù)線段的定義可知圖中的線段的條數(shù)；（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）①根據(jù)線段的和差倍關(guān)系即可求得線段的長度；②根據(jù)①的方式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵圖中有線段∴共有線段條數(shù)是，故答案為：6；（2）解：①∵∴∴，故答案為：=；②∵是的中點。是的中點∴∵∴∴∴；③∵∴∴∴.【點睛】本題考查線段以及線段中點的定義，線段的和差倍數(shù)關(guān)系等相關(guān)知識點，掌握線段的中點定義是解題的關(guān)鍵．42．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）如圖，點P是線段AB上的一點，點M、N分別是線段AP、PB的中點．（1）如圖1，若點P是線段AB的中點，且MP＝4cm，則線段AB的長cm；（2）如圖2，若點P是線段AB上的任一點，且AB＝12cm，求線段MN的長；（3）小明由（1）（2）猜想到，若點P是直線AB上的任意一點，且AB＝12cm，線段MN的長與（2）中結(jié)果一樣，你同意他的猜想嗎？說明你的理由．【答案】（1）16；（2）MN＝6cm；（3）同意，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義可求解AP的長，進而可求解AB的長；（2）根據(jù)線段中點的定義可求得AB=2MN，即可求解MN的值；（3）可分兩種情況：當(dāng)P點在線段AB延長線上時，當(dāng)P點在線段BA延長線上時，根據(jù)中點的定義求解M，N兩點間的距離．【詳解】解：（1）∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，∵MP=4cm，∴AP=8cm，∵P為AB的中點，∴AB=2AP=16cm，故答案為：16；（2）∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；（3）同意．理由：當(dāng)P點在線段AB延長線上時，∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP-BP=2MP-2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；當(dāng)P點在線段BA延長線上時，∵點M、N分別是線段AP、PB的中點，∴AP=2MP，BP=2PN，∴BP-AP=2PN-2MP=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段的中點，由線段中點的定義求解兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八雙平角模型問題】43．（25-26七年級上·河北石家莊·期中）如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點疊放在一起．(1)_____（填“”、“”或“”）；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線平分時，的度數(shù)為_______（注：不寫過程，直接寫出結(jié)果，只填寫小于平角的結(jié)果）．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析(4)或【分析】（）根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；（）先求出的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；（）分兩種情況分別畫出圖形，再根據(jù)角平分線的定義及角的和差關(guān)系即可求解；本題考查了三角板中的角度運算問題，角平分線的定義，正確識圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，即，故答案為：；（2）解：∵，，∴，∵，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，即；（4）解：當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖①位置時，直線平分，∵，∴，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時，直線平分，∴；綜上，的度數(shù)為或，故答案為：或．44．（24-25七年級上·山西晉中·期末）綜合與探究【初步探究】（1）如圖①，已知線段，C，D為線段上的兩個動點，且，M，N分別是和的中點，求線段的長；【類比探究】（2）如圖②，直角與平角如圖擺放在一起，且和分別是，的角平分線，則的度數(shù)；【知識遷移】（3）當(dāng)，時，如圖③擺放在一起，且和分別是，的平分線，求的度數(shù)（用含，的代數(shù)式表示）．（，）【答案】（1）10；（2）；（3）【分析】本題考查了線段的中點及線段的和與差以及角的平分線及角的和與差，根據(jù)圖形找到線段與角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，求出，根據(jù)中點定義得出，，求出，最后求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)和分別是，的角平分線，得出，求出，最后求出結(jié)果即可；（3）根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）因為，，所以，因為M，N分別是和的中點，所以，，所以．所以．（2）因為，，所以，因為和分別是，的角平分線，所以，所以，所以．（3）因為和分別是，的角平分線，所以，所以．45．（24-25七年級上·遼寧盤錦·期末）如圖1，是平角，，是的平分線，求的度數(shù)．(1)將下面的解答過程補充完整：解：如圖1，因為是平角，所以所以，因為是的平分線，……(2)如圖2，若將原題中改為，添加平分，其余條件不變，那么和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明的度數(shù)是否影響它們的數(shù)量關(guān)系？(3)如圖3，點E、F分別在長方形的邊，上，連接．將對折，點B落在直線上的點處，得折痕；將對折，點A落在直線上的點處，得折痕．當(dāng)時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)補充見解析(2)與互為余角，的度數(shù)不會影響它們的數(shù)量關(guān)系，理由見解析(3)【分析】本題考查了角度的計算，角平分線的應(yīng)用，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵；（1）利用平角定義求相關(guān)角的度數(shù)即可；（2）根據(jù)角平分線定義得出，，整理得到再求得與互為余角．在推導(dǎo)過程中，始終以的形式存在，只要不變，度數(shù)變化就不影響與的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)折疊性質(zhì)，通過這些角的等量關(guān)系，利用平角的性質(zhì)，經(jīng)過一系列角度的轉(zhuǎn)化和計算即可．【詳解】（1）所以所以（2），與互為余角．的度數(shù)不會影響它們的數(shù)量關(guān)系．理由：因為平分，平分，所以，，所以所以，與互為余角（3）由題意得，，，，，．46．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，以點為公共頂點的和，滿足，則稱是的“二倍關(guān)聯(lián)角”．已知（本題所涉及的角均小于平角）．(1)如圖，若，在內(nèi)，且是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，則___________；(2)如圖，若射線同時從射線出發(fā)繞點旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達直線后立即改為順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，速度仍保持不變；射線以秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，射線到達直線時，射線同時停止運動，設(shè)運動時間秒，當(dāng)為何值時，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；(3)如圖，保持大小不變，在直線上方繞點旋轉(zhuǎn)，若是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，設(shè)，請直接用含的代數(shù)式表示的大?。敬鸢浮?1)或；(2)為或；(3)或．【分析】（）根據(jù)“二倍關(guān)聯(lián)角”得到，分兩種情況分析即可得到答案；（）分三種情況分析當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別用含的式子表示出和，再利用“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念列方程求解即可；（）分當(dāng)在內(nèi)部時，當(dāng)在內(nèi)部時，當(dāng)在外部時，利用“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念求解即可；本題考查了新定義——“二倍關(guān)聯(lián)角”，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類討論的思想，找準(zhǔn)角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，∴；當(dāng)在上方時，則；當(dāng)在下方時，則；故答案為：或；（2）解：當(dāng)時，，，∵是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，∴，∴，∴符合題意，當(dāng)時，，，∵是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，∴，∴，∴，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，，∵是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，∴，∴，∴

符合題意，綜上可知，當(dāng)為或時，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；（3）解：如圖，當(dāng)在內(nèi)部時，，解得，如圖，當(dāng)在內(nèi)部時，，解得，如圖，當(dāng)在外部時，，解得，綜上可知：或．47．（24-25七年級·江蘇泰州·期末）七年級上冊《數(shù)學(xué)實驗手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出，在實驗中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；①設(shè)計用一副三角尺畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出的角平分線，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度．(3)如圖，現(xiàn)有角的三種模板，，，請設(shè)計一種方案，只用給出的一種模板畫出的角．小冬想出了一個方案，利用角模板畫出角，動手操作：如圖，M、O、N三點在一條直線上，將的頂點B與點O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作18次，再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請從或角模板中選一個你認(rèn)為能畫出角的模板，設(shè)計一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用，理由見解析(4)不一定能，理由見解析【分析】（1）①用一副三角尺畫出角的畫圖方案，用含的兩個角拼接即可求解;②根據(jù)用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)可解答；（2）根據(jù)題意設(shè)計一個，一邊與射線重合，另一邊即為角平分線，（3）根據(jù)題目所給的方案，進行設(shè)計即可求解；（4）根據(jù)角度的四則運算進行判斷即可求解．【詳解】（1）解：①用一副三角尺畫出角，如圖所示，②用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)，∴用一副三角尺能不能畫出的角，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用，用的角旋轉(zhuǎn)15次，則，與差，再旋轉(zhuǎn)16次，得到，與周角差，再旋轉(zhuǎn)16次，得到，超過始邊∴繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作47次，可得的角，即：．（4）對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板不一定能畫出的角例如，，此時無論如何旋轉(zhuǎn)，都不能得到的角【點睛】本題考查了三角板中的角度計算，角平分線的定義，角度的計算，理解題意是解題的關(guān)鍵．48．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）如圖1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射線OB在∠COD內(nèi)部，OE，OF分別是∠BOD，∠AOC的平分線．(1)如圖1，若OB是∠COD的平分線，求∠AOF的度數(shù)；(2)如圖1，求∠EOF的度數(shù)；(3)若改變∠COD的位置變化，如圖2，當(dāng)∠COD在直線AB的上方時，如圖3，當(dāng)射線OA在∠COD內(nèi)部時，如圖4，當(dāng)∠COD在直線AB的下方時，∠EOF的度數(shù)發(fā)生變化嗎？若不變，請直接寫出∠EOF的度數(shù)；若不確定，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不變，【分析】（1）已知的度數(shù)和平分可得到的度數(shù)，繼而可求出的度數(shù)，再由平分可求出的度數(shù)．（2）由OE，OF分別是∠BOD，∠AOC的平分線可求得的度數(shù)，（3）【詳解】（1）解：因為OB是∠COD的平分線，，所以，則．又因為OF是∠AOC的平分線．所以．（2）解：因為OE，OF分別是∠BOD，∠AOC的平分線，所以．（3）解：如圖2，；如圖3，；如圖4，．理由如下：．【點睛】本題考查了平角，直角的概念，角的比較與運算，掌握角平分線的知識是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九最短路徑問題】49．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖：平行河岸兩側(cè)各有一村莊，現(xiàn)在河上修建一座垂直于河岸的橋，使得村莊到村莊的路程最短．

【答案】詳見解析【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，因此要想辦法構(gòu)成兩點之間的直線，將點向下平移河的寬度得到，連接與河岸于點，過此點作另一岸的垂線即可得到答案．【詳解】解：如圖，把點向下平