專題05有理數(shù)的運算章末53道壓軸題型專訓（6大題型）題型一有理數(shù)的簡便運算題型二有理數(shù)的規(guī)律計算問題題型三有理數(shù)四則混合運算的實際應用題型四有理數(shù)的新定義計算題型五含乘方的有理數(shù)混合運算題型六新考向—材料閱讀型問題【經(jīng)典例題一有理數(shù)的簡便運算】1．（24-25七年級上·全國·單元測試）簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，注意使用結(jié)合律即可．（1）運用結(jié)合律即可進行簡便運算；（2）運用結(jié)合律即可進行簡便運算；【詳解】（1）解：原式（2）解：原式2．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）計算：（每題要寫出必要的解題步驟）(1)（用簡便方法）．(2)（用乘法分配律）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法分配律：（1）先把原式變形為，再利用有理數(shù)乘法分配律進行求解即可；（2）直接利用有理數(shù)乘法分配律進行求解即可．【詳解】（1）解：（2）解：．3．（2025七年級上·四川成都·模擬預測）簡便計算．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)5；(2)50；(3)；(4)．【分析】本題考查了分數(shù)的簡便運算．（1）（2）逆用乘法分配律，簡便計算即可求解；（3）把寫成，寫成，，利用裂項相消法求解即可；（4）把寫成，，利用裂項相消法求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．（24-25七年級上·四川德陽·階段練習）簡便計算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查有理數(shù)的運算，有理數(shù)的乘法運算律：（1）利用乘法分配律進行簡算即可；（2）逆用乘法分配律進行簡算即可；（3）帶分數(shù)化為假分數(shù)，利用乘法法則和乘法分配律進行簡算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式．5．（24-25七年級上·海南三亞·開學考試）計算下列各題，能用簡便方法的要用簡便方法計算．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題考查有理數(shù)的簡便運算，涉及有理數(shù)加減乘除相關(guān)運算，分配律、結(jié)合律及其相應逆運算，熟記相關(guān)運算法則及運算律是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．6．（24-25七年級上·全國·階段練習）計算：用簡便方法計算．解：①②．（i）例題的求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（ii）用簡便方法計算：．【答案】（i）平方差公式；（ii）【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算以及平方差公式，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（i）根據(jù)公式變形可知其滿足平方差公式；（ii）將變形成符合平方差公式的形式求解即可．【詳解】解：（i）由可知其符合平方差公式，故答案為：平方差公式；（ii）．7．（2025七年級上·全國·模擬預測）請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：利用運算律有時能進行簡便計算．例1：；例2：．(1)；(2)．【答案】(1)(2)99900【分析】本題考查有理數(shù)乘法分配律．（1）將999寫作，然后使用乘法分配律進行計算使得計算簡便；（2）使用乘法分配律使得計算簡便．【詳解】（1）解：；（2）解：．8．（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）請你參考黑板中老師的講解（如圖），用運算律簡便計算：利用運算律有時能進行簡便計算．例1：．例2：．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，熟練掌握分配律，準確計算是解題的關(guān)鍵．（1）將變?yōu)椋缓筮\用分配律進行計算；（2）運用分配律，提取公因數(shù)999，即可進行簡便計算?！驹斀狻浚?）解：原式．（2）解：原式．9．（24-25七年級上·河南南陽·階段練習）數(shù)學老師布置了一道思考題“計算：”，小強和小華兩位同學經(jīng)過仔細思考，用不同的方法做了解答：小強的解法：原式；小華的解法：原式的倒數(shù)，故原式；通過對比，發(fā)現(xiàn)小華的解法更簡便、新穎，請你先完成以上填空，再用小華的解法計算下面的問題：．【答案】；，，；【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，倒數(shù)，有理數(shù)的四則混合運算等知識點，明確題意，仿照例題解答是解題的關(guān)鍵．先求出原式的倒數(shù)，再求原式即可．【詳解】解：小強的解法：原式，故答案為：；小華的解法：原式的倒數(shù)，故原式，故答案為：，，；對于下面的問題：，原式的倒數(shù)，故原式．【經(jīng)典例題二有理數(shù)的規(guī)律計算問題】10．（24-25七年級上·廣東韶關(guān)·期中）觀察下列各式，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答問題：①，②，③，…(1)請你按上述規(guī)律寫出第4個等式：_______________；(2)猜想并寫出第個等式：_______________；(3)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算的值．【答案】(1)(2)(3)4250【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)所給式子找出規(guī)律解答即可．（1）根據(jù)所給3個算式探究規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)規(guī)律總結(jié)即可；（3）利用規(guī)律求解即可．【詳解】（1）∵①，②，③，…，∴④．故答案為：；（2）由（1）可知第個等式：．故答案為：；（3）原式．11．（24-25七年級上·安徽亳州·期中）觀察下列等式．第一個等式：；第二個等式：；第三等式：；第四個等式：；……；按上述規(guī)律，回答下列問題：(1)請寫出第五個等式：________；(2)簡便計算：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，以及規(guī)律型—數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是探索出式子的一般規(guī)律，第n個式子為：；（1）根據(jù)題意，找出規(guī)律，即可，（2）根據(jù)所找出的規(guī)律，進行化簡求值即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：原式．12．（24-25七年級上·廣東河源·階段練習）觀察算式：；；；；…(1)按照這個規(guī)律可得：__________；(2)請你用以上規(guī)律計算：；(3)解方程：．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）按照題目中得出的規(guī)律得出結(jié)果即可；（2）按照題目中得出的規(guī)律進行計算即可；（3）將方程變形為，根據(jù)解析（2）中的結(jié)果原方程可變?yōu)?，求出x的值即可．【詳解】（1）解：∵；；；；…∴；故答案為：．（2）解：；（3）解：，．【點睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得出一般規(guī)律．13．（24-25七年級上·山西長治·期末）（1）計算：（2）觀察下列等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．①，②，③，……I：第4個等式為_________．II：請用含有（且為整數(shù)）的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律_______．【答案】（1）；（2）I：；II：（且為整數(shù)）．【分析】（1）先計算括號內(nèi)的運算，同步計算乘方運算，最后計算減法運算，從而可得答案；（2）I：先根據(jù)①②③三個等式，抓住等式中的不變的量，尋找變化的量與序號及前后對應位置上的數(shù)之間的聯(lián)系，確定第個等式即可；II：根據(jù)I中的發(fā)現(xiàn)，用含的代數(shù)式表示其中規(guī)律，從而可得答案．【詳解】解：（1）（2）I：探究規(guī)律：①，②，③，④，……所以第4個等式為．故答案為：．II：總結(jié)規(guī)律：第個等式為：（且為整數(shù)），故答案為：（且為整數(shù)）．【點睛】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運算，運算的規(guī)律探究，掌握有理數(shù)的運算法則與運算順序，規(guī)律的探究的方法是解題的關(guān)鍵．14．（24-25七年級上·浙江臺州·階段練習）在有些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉，例如：|6+7|=6+7；|6﹣7|=7﹣6；|7﹣6|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7.(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式；①|(zhì)7﹣21|=___________；②|﹣|=___________；(2)用合理的方法計算：|﹣|+|﹣|﹣|﹣|；(3)用簡單的方法計算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|.【答案】(1)①21﹣7，②(2)(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡；（2）先把式子寫成去掉絕對值符號的形式，再進行計算；（3）先把式子寫成去掉絕對值符號的形式，再進行計算．【詳解】（1）解：①|(zhì)7﹣21|＝21﹣7，②，故答案為：21﹣7，；（2）解：原式；（3）解：原式=．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的加減，正確求絕對值是解題的關(guān)鍵．15．（2025·安徽滁州·模擬預測）觀察下列等式：①②③④……(1)請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：________=________；(2)用含的等式表示上面的規(guī)律：_________；(3)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：計算．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式的一般規(guī)律，并能靈活應用規(guī)律進行計算是解題的關(guān)鍵．（1）通過觀察所給的等式，直接寫出即可；（2）通過觀察所給的等式，總結(jié)出一般規(guī)律即可；（3）將每個小括號進行通分為，再根據(jù)（2）的規(guī)律，將所求的式子變形為，再求解即可．【詳解】（1）解：，故答案為：49，．（2）解：∵①，②，③，④，……∴，故答案為：．（3）解：原式，故答案為：．16．（24-25七年級上·安徽·單元測試）探究規(guī)律：(1)計算：①②③④(2)根據(jù)上面結(jié)果猜想：①②③【答案】(1)①1；②1；③1；④1；(2)①1；②1；③64【分析】本題考查冪的運算，根據(jù)規(guī)律進行猜想，并對比分析將式子變形計算是解題關(guān)鍵．（1）①簡單計算即可得到結(jié)果；②，代入計算即可；③，代入計算即可；④，代入計算即可．（2）①根據(jù)（1）中，四個式子的計算結(jié)果，進行猜想即可；②根據(jù)（1）中，四個式子的計算結(jié)果，進行猜想即可；③對比規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，需要將式子變形為：，計算即可．【詳解】（1）解：（1）計算：①②；③；④；（2）①；②；③===．17．（24-25七年級上·江蘇揚州·階段練習）在有些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉．例如：；．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式：①______；②______．(2)用合理的方法計算：．(3)用簡便方法計算：．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，絕對值的意義，本題是閱讀型題目，理解題干中的方法并熟練應用是解題的關(guān)鍵．（1）利用題干中的方法解答即可；（2）利用（1）中的方法去掉絕對值符號后化簡運算即可；（3）利用（1）中的方法去掉絕對值符號后化簡運算即可．【詳解】（1）解：①；②；故答案為：①；②；（2）解：原式；（3）解：原式．18．（24-25七年級上·重慶·期中）閱讀材料，根據(jù)材料回答：例如1：．例如2：．(1)仿照上面材料的計算方法計算：；(2)由上面的計算可總結(jié)出一個規(guī)律：（用字母表示）______；(3)用（2）的規(guī)律計算：．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給材料中的方法進行計算即可；（2）根據(jù)題意找到規(guī)律即可；（3）根據(jù)得到的規(guī)律將原式變形，然后計算即可．【詳解】（1）；（2）根據(jù)題意可得：；（3）．【點睛】此題考查有理數(shù)的乘方，解題關(guān)鍵是靈活運用材料中得出的規(guī)律．【經(jīng)典例題三有理數(shù)四則混合運算的實際應用】19．（24-25七年級上·全國·期中）看圖列式計算．

【答案】240萬噸【分析】增產(chǎn)后與增產(chǎn)前之比為，由此可解．【詳解】解：（萬噸）答：增產(chǎn)前為240萬噸．【點睛】本題考查有理數(shù)混合運算的實際應用，列出算式并正確計算是解題的關(guān)鍵．20．（24-25七年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）國慶節(jié)期間，某同學到市百貨中心商場購物，發(fā)現(xiàn)商場正在搞購物促銷活動，活動規(guī)則如下：購物每滿100元，返購物券50元，此購物券在本商場通用，且用購物券購買商品不再返券，該同學只購買了單價分別為60元、80元和120元的背包、球拍、球鞋，在使用購物券參與購買的情況下，請你幫他設(shè)計一下購物方案，計算出他的最少花費為多少元？【答案】先付120元，80元，得到100元的優(yōu)惠券，再去付60元的書包花費最少，且最少花費為200元【分析】分情況討論：先付60元，80元，得到50元優(yōu)惠券，再去買120元的運動鞋；先付60元，120元，得到50元的優(yōu)惠券，再去買80元的T恤；先付120元，得到50元的優(yōu)惠券，再去付60元，80元的書包和T恤；先付120元，80元，得到100元的優(yōu)惠券，再去付60元的書包；分別列出算式，算出花費，進行比較即可．【詳解】解：①先付60元，80元，得到50元優(yōu)惠券，再去買120元的運動鞋；實際花費為：（元）；②先付60元，120元，得到50元的優(yōu)惠券，再去買80元的T恤；實際花費為：（元）；③先付120元，得到50元的優(yōu)惠券，再去付60元，80元的書包和T恤；實際花費為：（元）；④先付120元，80元，得到100元的優(yōu)惠券，再去付60元的書包；實際花費為：（元）；綜上可得：他的實際花費為210元或200元，∴先付120元，80元，得到100元的優(yōu)惠券，再去付60元的書包花費最少，且最少花費為200元．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的實際應用，解題的關(guān)鍵是分類討論，分別求出各種情況下的花費．21．（24-25七年級上·廣東珠?！ら_學考試）珠海市咪表停車收費標準如下表：收費項目收費標準30分鐘以內(nèi)2元超過30分鐘部分（不足30分鐘按30分鐘計算）3元/30分鐘21：00至次日8：30時段5元/次李叔叔某日19：00把車停在咪表車位，次日8：30開車離開，他應付多少元停車費？【答案】他應付16元停車費．【分析】根據(jù)表格中的計費方法列式求解即可．【詳解】根據(jù)題意可得，（元）．∴他應付16元停車費．【點睛】此題考查了有理數(shù)的四則運算的實際應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出算式．22．（24-25七年級上·湖南永州·期中）小明家買了一輛轎車，他連續(xù)5天記錄了他家轎車每天行駛的路程，以為標準，超過或不足部分分別用正數(shù)、負數(shù)表示，得到的數(shù)據(jù)分別如下（單位：）：，，，+5，．(1)請你計算這五天小明家轎車行駛的總路程；(2)若已知該轎車每行駛耗用汽油，則這5天共耗油多少？【答案】(1)這五天小明家轎車總路程為；(2)這五天共耗油．【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應用．（1）把得到的數(shù)據(jù)加起來再加上10×5，即可求解；（2）用這五天小明家轎車行駛的總路程乘以7再除以100，即可求解．【詳解】（1）解：．答：這五天小明家轎車總路程為；（2）解：．答：這五天共耗油．23．（24-25七年級上·山西大同·期中）閱讀理解在求的值時，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的2倍，于是他設(shè)：①然后在①式的兩邊都乘以2，得：②；②－①得，，即．(1)求的值；(2)求（且）的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出數(shù)字的變化規(guī)律得出正確的倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中的探究過程用即可求解；（2）同理利用整理即可得解．【詳解】（1）設(shè)①，②，②－①得：，即（2）設(shè)①，則②，②－①得：，即，∵，24．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）閱讀下列材料：計算：．李明同學的計算過程如下：原式張巖同學的計算過程如下：原式趙爽同學的計算過程如下：原式的倒數(shù)為：＝＝．故原式上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，你認為同學的解法是錯誤的，利用正確方法計算：．【答案】李明，35【分析】根據(jù)有理數(shù)混合運算法則計算判斷及解答．【詳解】解：李明同學的解法是錯誤的；原式．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，乘法運算律，正確掌握有理數(shù)混合運算法則是解題的關(guān)鍵．25．（24-25七年級上·新疆烏魯木齊·期中）七年級某班開展“我愛我校”志愿者校園廢紙清理活動，全班分成六個小組清理廢紙，每組清理，紙重量均以為標準，超過的記為“”，不足的記為“”，六個小組的清理廢紙情況如表所示統(tǒng)計員王強不小心將一個數(shù)據(jù)弄臟看不清了，但他記得第三組清理廢紙最少，且清理廢紙最多最少的小組的重量差為．組別一二三四五六超過（不足）（）(1)填空：第二小組看不清的數(shù)據(jù)應是______；(2)若本次活動清理廢紙重量排名前三的小組可獲得榮譽稱號，請計算獲得榮譽稱號的小組清理紙的總重量；(3)若六個小組將本次活動清理的廢紙以元/千克集中賣出，求清理的廢紙賣出的總收入．【答案】(1)(2)清理紙的總重量為(3)清理的廢紙賣出的總收入為元【分析】本題主要考查正負數(shù)的實際運用，有理數(shù)的加減混合運算，掌握正負數(shù)的意義，有理數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)第三組清理廢紙最少，清理廢紙最多最少的小組的重量差為，由此即可求解；（2）根據(jù)超過的記為“”可判定清理廢紙多少的小組，再運用有理的混合運算即可求解；（3）運用有理數(shù)的混合運算可求出總重量，由此即可求出總收入．【詳解】（1）解：以為標準，超過的記為“”，不足的記為“”，第三組清理廢紙最少，為，∴，∴第二小組看不清的數(shù)據(jù)應是，故答案為：．（2）解：根據(jù)題意可得，前三名的是：第二組，第六組，第三組，∴∴清理紙的總重量為．（3）解：根據(jù)題意列式得，，∴（元），∴清理的廢紙賣出的總收入為元．26．（24-25七年級上·山東德州·階段練習）某市已經(jīng)全面實行了居民新型合作醫(yī)療保險制度，享受醫(yī)保的居民可在規(guī)定的醫(yī)院就醫(yī)，并按規(guī)定標準報銷部分醫(yī)療費用（題目中涉及的醫(yī)療費均指允許報銷的醫(yī)療費），下表是某醫(yī)院醫(yī)療費用報銷的標準：醫(yī)療費用范圍門診住院不超過300元的部分超過300元的部分不超過500元的部分超過500元且不超過10000元的部分超過10000元的部分報銷比例標準不報銷不報銷(1)某人今年第一次在規(guī)定的醫(yī)院門診看病報銷醫(yī)療費180元，則他在這次門診看病的實際醫(yī)療費為______元；(2)設(shè)某居民在規(guī)定的醫(yī)院一次住院的實際醫(yī)療費用為x元，那么按照標準報銷的金額為______元（用含x的式子表示，寫化簡后的結(jié)果）；(3)若家住幸福社區(qū)的王爺爺在規(guī)定的醫(yī)院一次住院中個人自付了住院醫(yī)療費4000元（自付醫(yī)療費實際醫(yī)療費-按標準報銷的金額），則他在這一次住院中的實際醫(yī)療費用為多少元？【答案】(1)900(2)(3)王爺爺這次實際醫(yī)療費用共26000元【分析】本題考查了列代數(shù)式及一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是要弄懂題意，能根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出代數(shù)式或方程，再求解．（1）根據(jù)門診報銷規(guī)則，因有報銷費用可知醫(yī)療費超300元，設(shè)實際醫(yī)療費為，利用“超過300元部分的等于報銷的180元”列方程求解．（2）依據(jù)住院分段報銷標準，分別算出“超500元且≤10000元部分”“超10000元部分”的報銷金額，相加后化簡得到含的報銷金額表達式．（3）分、、三種情況，結(jié)合“自付費用實際費用報銷金額”列方程，得出實際醫(yī)療費用．【詳解】（1）解：∵看病報銷醫(yī)療費180元，∴門診醫(yī)療費超過300元，設(shè)實際醫(yī)療費為元，超過300元部分的費用是元，根據(jù)題意得解得：∴實際醫(yī)療費為900元，故答案為：900；（2）解：住院報銷分階段：不超過500元不報銷；超過500元且不超過10000元的部分，報銷；超過10000元的部分，報銷．∴超過500元且不超過10000元部分可報銷：（元）超過10000元部分為元，可報銷元．則總的報銷金額為（元）；故答案為：；（3）設(shè)實際醫(yī)療費用為元，分情況討論：當時，自付費用為，不可能是4000，當時，自付費用為．令，，，，此情況不成立．當時，自付費用為．令，，．所以實際醫(yī)療費用是26000元．【經(jīng)典例題四有理數(shù)的新定義計算】27．（24-25七年級上·陜西咸陽·期中）定義一種新運算“”，對于任何有理數(shù)a、b有，例如．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，正確理解新定義法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知新運算法則計算即可；（2）根據(jù)已知新運算法則先計算的值，再計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．28．（24-25七年級上·江蘇無錫·階段練習）定義一種新運算：．如，仿照例題計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新運算的定義，結(jié)合有理數(shù)運算法則計算即可．（2）根據(jù)新運算的定義，結(jié)合有理數(shù)運算法則計算即可．【詳解】（1）原式．（2）．．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的運算，牢記有理數(shù)加減和乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵．29．（24-25七年級上·湖北恩施·期中）我們定義一種新運算：．如，有理數(shù)的運算法則適用于新運算．按照上述定義計算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算；（1）根據(jù)題干信息列式計算即可；（2）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運算法則進行計算即可．本題主要考查了有理數(shù)混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的”．【詳解】（1）解：；（2）解：．30．（24-25七年級上·山西忻州·階段練習）已知x、y均為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算“※”，滿足．例如．(1)求的值；(2)計算和的值，并根據(jù)計算結(jié)果判斷這種新定義是否滿足交換律．【答案】(1)(2)，，滿足交換律【分析】（1）利用新運算的規(guī)定先算括號內(nèi)的再算括號外；（2）利用新運算的規(guī)定分別計算兩個算式，比較結(jié)果即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：原式※4※4※4；（2）這種新定義滿足交換律，理由：※，5※，※※2，這種新定義滿足交換律．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，本題是新定義型，利用新運算的規(guī)定并熟練應用是解題的關(guān)鍵．31．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）定義新運算“⊙”：對于有理數(shù)a，b，都有．例如：．(1)計算的結(jié)果是．(2)有理數(shù)m，n滿足，求的值．【答案】(1)9(2)【分析】本題考查了絕對值的非負性，有理數(shù)的混合運算，正確理解題目所給新定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給的新定義的運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)平方和絕對值的非負性，得出m和n的值，再根據(jù)題目所給的新定義的運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；故答案為：9；（2）解：∵，∴，解得：，∴．32．（24-25七年級上·福建廈門·期末）對于有理數(shù)a、b，定義一種新運算“※”，規(guī)定．(1)計算的值．(2)當a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示時，化簡．(3)當時，是否一定有或者？若是，則說明理由；若不是，請舉例說明．【答案】(1)(2)(3)不一定有或者，理由見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、絕對值的意義、數(shù)軸，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干的運算法則計算即可得解；（2）由數(shù)軸可得：，，從而得出，，再根據(jù)運算法則結(jié)合絕對值的意義求解即可；（3）舉出反例即可得解．【詳解】（1）解：，；（2）解：由數(shù)軸可得：，，∴，，∴；（3）解：不一定有或者，理由如下：若，，，則，，∴，但此時或．33．（24-25七年級上·浙江杭州·期末）規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)x，y的一種新運算：．例如：若，則．請根據(jù)這種新運算解決以下問題：(1)若，求的值．(2)若，求的值．(3)若，化簡：．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】(1)4，8(2)(3)【分析】本題考查列代數(shù)式、有理數(shù)的混合運算，根據(jù)新運算的定義進行有關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．（1）分別根據(jù)新運算的定義計算即可．（2）分別根據(jù)新運算的定義計算即可．（3）分別根據(jù)新運算的定義計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：．34．（24-25七年級上·湖南長沙·期中）定義新運算：，（右邊的運算為平常的加、減、乘、除）．例如:，．若，則稱有理數(shù)為“隔一數(shù)對”．例如:，，，所以2，3就是一對“隔一數(shù)對”．（1）下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是（請?zhí)钚蛱枺伲?/p>

②；

③．（2）計算：（3）已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”．計算：．【答案】（1）①③；（2）；（3）【分析】（1）按照題干定義進行計算，判斷是否滿足條件即可；（2）直接根據(jù)題目定義分別計算各項，然后再合并求解即可；（3）根據(jù)定義進行變形和拆項，然后根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：（1）①；∵，，∴，則①是“隔一數(shù)對”；②；∵，，∴，則②不是“隔一數(shù)對”；③；∵，，∴，則③是“隔一數(shù)對”；故答案為：①③；（2）根據(jù)定義，原式；（3）根據(jù)定義，原式．【點睛】本題考查有理數(shù)的定義新運算，仔細審題，理解題干中的新定義，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題關(guān)鍵．35．（24-25七年級上·山東淄博·期末）定義新運算：，（右邊的運算為平常的加、減、乘、除）．例如∶，．若，則稱有理數(shù)a，b為“隔一數(shù)對”．例如∶，，即，所以2，3就是一對“隔一數(shù)對”．請同學們解答下列問題：(1)，1是“隔一數(shù)對”嗎？請說明理由；(2)已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”，計算：．【答案】(1)不是“隔一數(shù)對”(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、數(shù)字的變化規(guī)律等知識點，理解“隔一數(shù)對”的定義并掌握有理數(shù)混合運算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“隔一數(shù)對”的新定義進行計算判斷即可；（2）先根據(jù)新定義計算再根據(jù)有理數(shù)加減運算即可．【詳解】（1）解：由題意可得∶，，∴，∴不是“隔一數(shù)對”．（2）解：由題意可得∶．【經(jīng)典例題五含乘方的有理數(shù)混合運算】36．（24-25七年級上·四川瀘州·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用乘法分配律計算即可；（2）先計算括號和絕對值，再按先乘方、再乘除、后加減的運算順序計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．37．（2025七年級上·全國·模擬預測）計算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）有理數(shù)的混合運算，先乘法，絕對值，再算乘法，最后加減.（2）先算括號內(nèi)的運算，再算除法.（3）先觀察規(guī)律：每4項為一組，一共組，每組和為，最后再加剩余項.【詳解】（1）解：原式.（2）解：原式（3）原式38．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．（1）先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減；（2）先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減；（3）先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減；（4）先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．39．（24-25七年級上·廣東東莞·階段練習）計算，能用簡便方法用簡便方法計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．（1）先化簡，再計算加減，即可解答；（2）先把小數(shù)化為分數(shù)，再算同分母分數(shù)，最后相加即可求解；（3）先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有絕對值，要先做絕對值內(nèi)的運算；（4）先算乘方，再算乘除，再利用乘法分配律進行計算即可．【詳解】（1）解：．（2）．（3）．（4）．40．（2025七年級上·全國·模擬預測）計算：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，簡化運算過程．（1）先算乘法，再去括號，再算同分母分數(shù)，再計算加減法；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算；（3）根據(jù)乘法分配律簡便計算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．41．（24-25七年級上·河北邢臺·期末）規(guī)定三角形框“”表示，方框“”表示“”．例如：算式．已知：算式，其中方框中缺少了一個數(shù)字，用“”表示．(1)若表示3．①求已知中的算式的值；②直接寫出的值．(2)如果已知中的算式的值為，直接寫出表示的數(shù)．【答案】(1)①②(2)2【分析】此題考查了有理數(shù)混合運算的應用，根據(jù)題意正確列式計算即可．（1）①根據(jù)題意列式計算即可；②因為①中算式與②中算式的被除數(shù)與除數(shù)交換了位置，根據(jù)除法的意義即可得到答案；（2）根據(jù)除法的意義得到除數(shù)，根據(jù)題中規(guī)定的運算列式即可得到答案．【詳解】（1）解：①原式．．②因為①中算式與②中算式的被除數(shù)與除數(shù)交換了位置，所以它們的結(jié)果互為倒數(shù)．由①中算式的值為，可得②中算式的值為．（2）因為被除數(shù)，商．所以除數(shù)；所以，所以，所以．42．（24-25七年級上·湖北十堰·期末）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9已知求的值．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，牢記法則是解題關(guān)鍵，（1）根據(jù)連續(xù)兩個數(shù)的差相同，由此進行簡便計算；（2）把原式化為，再進行簡便計算即可；（3）將百分數(shù)、小數(shù)化為分數(shù)，利用乘法分配律進行簡便計算即可；（4）利用積不變的規(guī)律進行變形，再利用乘法分配律進行簡便計算即可；（5）利用乘法分配律計算即可；（6）第一個括號里提出3，由此簡便計算即可；（7）把帶分數(shù)拆分為整數(shù)和分數(shù)的和，利用乘法分配律計算即可；（8）利用平方差公式簡便計算即可；（9）把原式化為，再整體代入即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9），．43．（24-25七年級上·福建漳州·階段練習）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“”運算：；；；；；．(1)歸納運算的法則：兩數(shù)，進行運算時，_______________，特別地，0和任何數(shù)進行運算，或任何數(shù)和0進行運算，____________．（文字語言或符號語言均可）(2)計算：(3)是否存在有理數(shù)，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，說明理由；【答案】(1)同號得正，異號得負，并把兩數(shù)平方相加；結(jié)果是這個數(shù)的平方．(2)(3)存在，，．【分析】本題主要考查了定義新運算、平方數(shù)的非負性以及分類討論的思想．熟練掌握根據(jù)所給示例歸納新運算規(guī)則，以及根據(jù)新規(guī)則進行計算和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）通過觀察所給運算的多個例子，分析和進行“”運算時與、各自平方的關(guān)系，以及參與運算的特殊情況，從而歸納出運算規(guī)則．（2）根據(jù)（1）中歸納出的“*”運算規(guī)則，將和代入規(guī)則進行計算．（3）先根據(jù)（1）中規(guī)則將轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的等式，再分情況討論和的值．【詳解】（1）解：通過觀察所給運算式：；；；．可以發(fā)現(xiàn)兩數(shù)，進行“”運算時，當，同號時結(jié)果為正，異號時結(jié)果為負，且結(jié)果都是，平方和的絕對值形式，所以歸納出兩數(shù)，進行“”運算時，同號得正，異號得負，并把兩數(shù)平方相加；由；；，可知和任何數(shù)進行“”運算，或任何數(shù)和進行“”運算，結(jié)果是這個數(shù)的平方．故答案依次為：同號得正，異號得負，并把兩數(shù)平方相加；結(jié)果是這個數(shù)的平方．（2）解：．（3）解：∵，，∴且，∴，．44．（24-25七年級上·廣東深圳·階段練習）綜合與探究：【概念學習】現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把寫作，讀作“2的圈3次方”，寫作，讀作“的圈4次方”，一般地把（）寫作，讀作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接寫出計算結(jié)果：；．【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，那么有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？除方→→乘方冪的形式（2）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成乘方冪的形式：，（3）算一算：．（`4）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請推導出“除方”的運算公式（n為正整數(shù)，，），要求寫出推導過程將結(jié)果寫成乘方冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示）【答案】（1），；（2），；（3）；（4）【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)相關(guān)運算法則，能根據(jù)新定義列出算式．（1）由新定義列出算式計算即可；（2）根據(jù)新定義列出算式，化為乘方形式即可；（3）根據(jù)新定義列出算式，化為乘方形式即可；（4）根據(jù)新定義計算即可．【詳解】解：（1），；故答案為：，；（2），；故答案為：，；（3）；（4）【經(jīng)典例題六新考向—材料閱讀型問題】45．（2025七年級上·全國·模擬預測）學習情境?過程糾錯下面是小胡同學做過的一道題，請先閱讀解題過程，然后回答所提出的問題．計算：．解：原式…………第①步…………………第②步(1)上述解題過程中，從第___________步開始出錯（填“①”或“②”）；(2)寫出本題的正確解答過程．【答案】(1)①(2)見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則及運算順序．（1）檢查解題過程發(fā)現(xiàn)第①步有誤，（2）根據(jù)從左到右的順序?qū)懗稣_的解法即可．【詳解】（1）解：第①步出錯，運算的順序有誤；故答案是：①；（2）解：．46．（24-25七年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）閱讀材料，回答下列問題．通過計算容易發(fā)現(xiàn)：①；②；③．(1)觀察上面的三個算式，直接寫出算式：_________．(2)運用你觀察到的規(guī)律，計算的值．(3)探究上述的運算規(guī)律，試計算的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了裂項法在有理數(shù)的混合運算中的應用，明確裂項法的形式是解題的關(guān)鍵．（1）觀察①②③三個算式，可知分母中兩個乘數(shù)的差為1，分子的差也為1，直接寫出一個類似的算式即可；（2）根據(jù)上述規(guī)律得原式，計算即可得出答案；（3）所給算式分母中兩個乘數(shù)的差為2，但分子的差為1，故前面乘以，則可以用裂項法進行計算．【詳解】（1）解：；；；；（2）解：；（3）解：．47．（2025七年級上·全國·模擬預測）先閱讀解答過程，再回答問題：計算：．解：．上面的方法叫作拆項法．依照拆項法計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，讀懂題意，理解拆項法是解決問題的關(guān)鍵．按照拆項法先將帶分數(shù)拆成整數(shù)部分與分數(shù)部分，然后分別把整數(shù)部分、分數(shù)部分相加，最后由異分母分數(shù)加法運算求解即可得到答案，【詳解】解：．48．（24-25七年級上·廣東梅州·階段練習）閱讀下列解題過程：計算：的值．解：設(shè)，（1）則（2）（2）（1），得，通過閱讀，你一定學會了一種解決問題的方法，請用你學到的方法計算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．（1）仿照題干解題過程，設(shè)，則，兩式相減求解即可；（2）仿照題干解題過程，設(shè)，，則，兩式相減求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)，則，兩式相減得：，則；（2）解：設(shè)，則，兩式相減得：，則．49．（24-25七年級上·云南昆明·期中）讀一讀：式子“”表示1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可以將“”表示為，這里“”是求和符號．例如：，即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為；又如可表示為．通過對上以材料的閱讀，請解答下列問題．(1)（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號可表示為______；(2)計算：【答案】(1)(2)2525【分析】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是關(guān)鍵．（1）根據(jù)求和符號的含義和表示方法，判斷出（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符合可表示即可．（2）先列出有理數(shù)的混合運算，進而求出的值即可．【詳解】（1）解：（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符合可表示為：；故答案為：；（2）解：．50．（24-25七年級上·山西臨汾·期末）閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面的任務．點在數(shù)軸上分別表示實數(shù)兩點之間的距離表示為．如圖，從數(shù)軸上看，若點表示的數(shù)分別是1，4則或．

【歸納】若點表示的數(shù)分別是，則或．任務：(1)若點表示的數(shù)是最大的負整數(shù)，點表示的數(shù)為，且，則______或______．(2)試用數(shù)軸探究，當時，的值為______．(3)利用數(shù)軸求出的最小值，并寫出此時可取哪些整數(shù)值？【答案】(1)2，(2)1或7(3)可取的整數(shù)值為2，3，4，5【分析】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離、絕對值、有理數(shù)的加減，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想去絕對值符號．（1）先求得點A表示的數(shù)是，再求解b值即可；（2）先得到表示數(shù)軸上，數(shù)m表示的點與4表示的點的距離為3，再分兩種情況：當m表示的點在4的右邊時和點m表示的點在4的左邊時，利用數(shù)軸上兩點的距離求解即可；（3）先得到表示數(shù)軸上，數(shù)x表示的點與數(shù)2、數(shù)5表示的點的距離之和，然后分三種情況：數(shù)x表示的點在2的左邊、在2和5之間、在5的右邊，利用數(shù)軸求解即可．【詳解】（1）解：∵點表示的數(shù)是最大的負整數(shù)，∴點A表示的數(shù)為，∵點表示的數(shù)為，且，∴或，故答案為：2，；（2）解：由題意，表示數(shù)軸上，數(shù)m表示的點與4表示的點的距離為3，當m表示的點在4的右邊時，；點m表示的點在4的左邊時，，綜上，m的值為1或7，故答案為：1或7；（3）解：由題意，表示數(shù)軸上，數(shù)x表示的點與數(shù)2、數(shù)5表示的點的距離之和，當數(shù)x表示的點在2的左邊時，，當數(shù)x表示的點在2和5之間（包括2和5）時，當數(shù)x表示的點在5的右邊，，∴，則當數(shù)x表示的點在2和5之間時，取得最小值3，此時，可取的整數(shù)值為2，3，4，5．51．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）閱讀下面材料：圓圓在研究數(shù)學問題時遇到一個定義：對于排好順序的三個數(shù)，，稱為數(shù)列，，．計算，，的值，將這三個數(shù)的最小值稱為數(shù)列，，的價值．例如，對于數(shù)列，，，因為，，，所以數(shù)列，，的價值為．圓圓進一步研究發(fā)現(xiàn)：改變數(shù)列，，三個數(shù)的順序，可得若干個數(shù)列，這些數(shù)列都可以按照上述方法計算其相應的價值．如數(shù)列，，的價值為；數(shù)列，，的價值為；經(jīng)過研究，圓圓發(fā)現(xiàn)，對于“，，”這三個數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，價值的最小值為．根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)求數(shù)列，，的價值；(2)填空：將“，，”這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列，這些數(shù)列的價值的最小值為，取得價值最小值的數(shù)列為（寫出所有答案）．(3)已知，將“，，”這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得若干個數(shù)列，若這些數(shù)列的價值的最小值為，求的值．【答案】(1)(2)；，，或，，(3)，或【分析】本題考查絕對值，有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的四則混合運算，理解新定義運算法則，會利用絕對值的性質(zhì)計算是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)上述材料給出的方法計算，，，結(jié)果的最小值即為數(shù)列的價值；（2）分類討論，列舉計算即可得解；（3）由題意，數(shù)列不同順序排列后的計算價值時，所有的情況有：，，，，，，，則分情況建立方程，，，，求出滿足條件的的數(shù)值即可．【詳解】（1）解：因為，，，所以數(shù)列，，的價值為；（2）解：①數(shù)列，，的價值為；②當數(shù)列為、、時，，，，所以數(shù)列、、的價值為；③當數(shù)列為，，時，，，，所以數(shù)列，，的價值為；④當數(shù)列為，，時，，，，所以數(shù)列，，的價值為；⑤當數(shù)列為，，時，，，，所以數(shù)列，，的價值為；⑥當數(shù)列為，，時，，，，所以數(shù)列，，的價值為；綜上，這些數(shù)列的價值的最小值