專題05有理數(shù)的運(yùn)算章末53道壓軸題型專訓(xùn)（6大題型）題型一有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算題型二有理數(shù)的規(guī)律計(jì)算問題題型三有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型四有理數(shù)的新定義計(jì)算題型五含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算題型六新考向—材料閱讀型問題【經(jīng)典例題一有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算】1．（24-25七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)；(2)．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）計(jì)算：（每題要寫出必要的解題步驟）(1)（用簡(jiǎn)便方法）．(2)（用乘法分配律）3．（2025七年級(jí)上·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）簡(jiǎn)便計(jì)算．(1)(2)(3)(4)4．（24-25七年級(jí)上·四川德陽·階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)(2)(3)5．（24-25七年級(jí)上·海南三亞·開學(xué)考試）計(jì)算下列各題，能用簡(jiǎn)便方法的要用簡(jiǎn)便方法計(jì)算．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．6．（24-25七年級(jí)上·全國·階段練習(xí)）計(jì)算：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算．解：①②．（i）例題的求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（ii）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．7．（2025七年級(jí)上·全國·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)你參考黑板中老師的講解，用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算：利用運(yùn)算律有時(shí)能進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．例1：；例2：．(1)；(2)．8．（24-25七年級(jí)上·貴州貴陽·期中）請(qǐng)你參考黑板中老師的講解（如圖），用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算：利用運(yùn)算律有時(shí)能進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．例1：．例2：．(1)；(2)．9．（24-25七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：”，小強(qiáng)和小華兩位同學(xué)經(jīng)過仔細(xì)思考，用不同的方法做了解答：小強(qiáng)的解法：原式；小華的解法：原式的倒數(shù)，故原式；通過對(duì)比，發(fā)現(xiàn)小華的解法更簡(jiǎn)便、新穎，請(qǐng)你先完成以上填空，再用小華的解法計(jì)算下面的問題：．【經(jīng)典例題二有理數(shù)的規(guī)律計(jì)算問題】10．（24-25七年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中）觀察下列各式，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答問題：①，②，③，…(1)請(qǐng)你按上述規(guī)律寫出第4個(gè)等式：_______________；(2)猜想并寫出第個(gè)等式：_______________；(3)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算的值．11．（24-25七年級(jí)上·安徽亳州·期中）觀察下列等式．第一個(gè)等式：；第二個(gè)等式：；第三等式：；第四個(gè)等式：；……；按上述規(guī)律，回答下列問題：(1)請(qǐng)寫出第五個(gè)等式：________；(2)簡(jiǎn)便計(jì)算：．12．（24-25七年級(jí)上·廣東河源·階段練習(xí)）觀察算式：；；；；…(1)按照這個(gè)規(guī)律可得：__________；(2)請(qǐng)你用以上規(guī)律計(jì)算：；(3)解方程：．13．（24-25七年級(jí)上·山西長治·期末）（1）計(jì)算：（2）觀察下列等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．①，②，③，……I：第4個(gè)等式為_________．II：請(qǐng)用含有（且為整數(shù)）的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律_______．14．（24-25七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）在有些情況下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉，例如：|6+7|=6+7；|6﹣7|=7﹣6；|7﹣6|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7.(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式；①|(zhì)7﹣21|=___________；②|﹣|=___________；(2)用合理的方法計(jì)算：|﹣|+|﹣|﹣|﹣|；(3)用簡(jiǎn)單的方法計(jì)算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|.15．（2025·安徽滁州·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：①②③④……(1)請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：________=________；(2)用含的等式表示上面的規(guī)律：_________；(3)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：計(jì)算．16．（24-25七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）探究規(guī)律：(1)計(jì)算：①②③④(2)根據(jù)上面結(jié)果猜想：①②③17．（24-25七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在有些情況下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉．例如：；．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：①______；②______．(2)用合理的方法計(jì)算：．(3)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．18．（24-25七年級(jí)上·重慶·期中）閱讀材料，根據(jù)材料回答：例如1：．例如2：．(1)仿照上面材料的計(jì)算方法計(jì)算：；(2)由上面的計(jì)算可總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：（用字母表示）______；(3)用（2）的規(guī)律計(jì)算：．【經(jīng)典例題三有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】19．（24-25七年級(jí)上·全國·期中）看圖列式計(jì)算．

20．（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）國慶節(jié)期間，某同學(xué)到市百貨中心商場(chǎng)購物，發(fā)現(xiàn)商場(chǎng)正在搞購物促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：購物每滿100元，返購物券50元，此購物券在本商場(chǎng)通用，且用購物券購買商品不再返券，該同學(xué)只購買了單價(jià)分別為60元、80元和120元的背包、球拍、球鞋，在使用購物券參與購買的情況下，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一下購物方案，計(jì)算出他的最少花費(fèi)為多少元？21．（24-25七年級(jí)上·廣東珠?！ら_學(xué)考試）珠海市咪表停車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：收費(fèi)項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)30分鐘以內(nèi)2元超過30分鐘部分（不足30分鐘按30分鐘計(jì)算）3元/30分鐘21：00至次日8：30時(shí)段5元/次李叔叔某日19：00把車停在咪表車位，次日8：30開車離開，他應(yīng)付多少元停車費(fèi)？22．（24-25七年級(jí)上·湖南永州·期中）小明家買了一輛轎車，他連續(xù)5天記錄了他家轎車每天行駛的路程，以為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足部分分別用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示，得到的數(shù)據(jù)分別如下（單位：）：，，，+5，．(1)請(qǐng)你計(jì)算這五天小明家轎車行駛的總路程；(2)若已知該轎車每行駛耗用汽油，則這5天共耗油多少？23．（24-25七年級(jí)上·山西大同·期中）閱讀理解在求的值時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的2倍，于是他設(shè)：①然后在①式的兩邊都乘以2，得：②；②－①得，，即．(1)求的值；(2)求（且）的值．24．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算：．李明同學(xué)的計(jì)算過程如下：原式張巖同學(xué)的計(jì)算過程如下：原式趙爽同學(xué)的計(jì)算過程如下：原式的倒數(shù)為：＝＝．故原式上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的，利用正確方法計(jì)算：．25．（24-25七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）七年級(jí)某班開展“我愛我校”志愿者校園廢紙清理活動(dòng)，全班分成六個(gè)小組清理廢紙，每組清理，紙重量均以為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為“”，不足的記為“”，六個(gè)小組的清理廢紙情況如表所示統(tǒng)計(jì)員王強(qiáng)不小心將一個(gè)數(shù)據(jù)弄臟看不清了，但他記得第三組清理廢紙最少，且清理廢紙最多最少的小組的重量差為．組別一二三四五六超過（不足）（）(1)填空：第二小組看不清的數(shù)據(jù)應(yīng)是______；(2)若本次活動(dòng)清理廢紙重量排名前三的小組可獲得榮譽(yù)稱號(hào)，請(qǐng)計(jì)算獲得榮譽(yù)稱號(hào)的小組清理紙的總重量；(3)若六個(gè)小組將本次活動(dòng)清理的廢紙以元/千克集中賣出，求清理的廢紙賣出的總收入．26．（24-25七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）某市已經(jīng)全面實(shí)行了居民新型合作醫(yī)療保險(xiǎn)制度，享受醫(yī)保的居民可在規(guī)定的醫(yī)院就醫(yī)，并按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷部分醫(yī)療費(fèi)用（題目中涉及的醫(yī)療費(fèi)均指允許報(bào)銷的醫(yī)療費(fèi)），下表是某醫(yī)院醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷的標(biāo)準(zhǔn)：醫(yī)療費(fèi)用范圍門診住院不超過300元的部分超過300元的部分不超過500元的部分超過500元且不超過10000元的部分超過10000元的部分報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)不報(bào)銷不報(bào)銷(1)某人今年第一次在規(guī)定的醫(yī)院門診看病報(bào)銷醫(yī)療費(fèi)180元，則他在這次門診看病的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為______元；(2)設(shè)某居民在規(guī)定的醫(yī)院一次住院的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)用為x元，那么按照標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額為______元（用含x的式子表示，寫化簡(jiǎn)后的結(jié)果）；(3)若家住幸福社區(qū)的王爺爺在規(guī)定的醫(yī)院一次住院中個(gè)人自付了住院醫(yī)療費(fèi)4000元（自付醫(yī)療費(fèi)實(shí)際醫(yī)療費(fèi)-按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額），則他在這一次住院中的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)用為多少元？【經(jīng)典例題四有理數(shù)的新定義計(jì)算】27．（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽·期中）定義一種新運(yùn)算“”，對(duì)于任何有理數(shù)a、b有，例如．(1)求的值；(2)求的值．28．（24-25七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：．如，仿照例題計(jì)算：(1)；(2)．29．（24-25七年級(jí)上·湖北恩施·期中）我們定義一種新運(yùn)算：．如，有理數(shù)的運(yùn)算法則適用于新運(yùn)算．按照上述定義計(jì)算下列各式：(1)；(2)．30．（24-25七年級(jí)上·山西忻州·階段練習(xí)）已知x、y均為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，滿足．例如．(1)求的值；(2)計(jì)算和的值，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷這種新定義是否滿足交換律．31．（24-25七年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）定義新運(yùn)算“⊙”：對(duì)于有理數(shù)a，b，都有．例如：．(1)計(jì)算的結(jié)果是．(2)有理數(shù)m，n滿足，求的值．32．（24-25七年級(jí)上·福建廈門·期末）對(duì)于有理數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“※”，規(guī)定．(1)計(jì)算的值．(2)當(dāng)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示時(shí)，化簡(jiǎn)．(3)當(dāng)時(shí)，是否一定有或者？若是，則說明理由；若不是，請(qǐng)舉例說明．33．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期末）規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)x，y的一種新運(yùn)算：．例如：若，則．請(qǐng)根據(jù)這種新運(yùn)算解決以下問題：(1)若，求的值．(2)若，求的值．(3)若，化簡(jiǎn)：．（用含a的代數(shù)式表示）34．（24-25七年級(jí)上·湖南長沙·期中）定義新運(yùn)算：，（右邊的運(yùn)算為平常的加、減、乘、除）．例如:，．若，則稱有理數(shù)為“隔一數(shù)對(duì)”．例如:，，，所以2，3就是一對(duì)“隔一數(shù)對(duì)”．（1）下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對(duì)”的是（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）①；

②；

③．（2）計(jì)算：（3）已知兩個(gè)連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對(duì)”．計(jì)算：．35．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·期末）定義新運(yùn)算：，（右邊的運(yùn)算為平常的加、減、乘、除）．例如∶，．若，則稱有理數(shù)a，b為“隔一數(shù)對(duì)”．例如∶，，即，所以2，3就是一對(duì)“隔一數(shù)對(duì)”．請(qǐng)同學(xué)們解答下列問題：(1)，1是“隔一數(shù)對(duì)”嗎？請(qǐng)說明理由；(2)已知兩個(gè)連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對(duì)”，計(jì)算：．【經(jīng)典例題五含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算】36．（24-25七年級(jí)上·四川瀘州·期末）計(jì)算：(1)；(2)．37．（2025七年級(jí)上·全國·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)．(2)．(3)．38．（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．39．（24-25七年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）計(jì)算，能用簡(jiǎn)便方法用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．40．（2025七年級(jí)上·全國·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)(2)(3)41．（24-25七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期末）規(guī)定三角形框“”表示，方框“”表示“”．例如：算式．已知：算式，其中方框中缺少了一個(gè)數(shù)字，用“”表示．(1)若表示3．①求已知中的算式的值；②直接寫出的值．(2)如果已知中的算式的值為，直接寫出表示的數(shù)．42．（24-25七年級(jí)上·湖北十堰·期末）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9已知求的值．43．（24-25七年級(jí)上·福建漳州·階段練習(xí)）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“”運(yùn)算：；；；；；．(1)歸納運(yùn)算的法則：兩數(shù)，進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，_______________，特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行運(yùn)算，____________．（文字語言或符號(hào)語言均可）(2)計(jì)算：(3)是否存在有理數(shù)，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，說明理由；44．（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）綜合與探究：【概念學(xué)習(xí)】現(xiàn)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把寫作，讀作“2的圈3次方”，寫作，讀作“的圈4次方”，一般地把（）寫作，讀作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：；．【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？除方→→乘方冪的形式（2）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運(yùn)算直接寫成乘方冪的形式：，（3）算一算：．（`4）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運(yùn)算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請(qǐng)推導(dǎo)出“除方”的運(yùn)算公式（n為正整數(shù)，，），要求寫出推導(dǎo)過程將結(jié)果寫成乘方冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示）【經(jīng)典例題六新考向—材料閱讀型問題】45．（2025七年級(jí)上·全國·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)情境?過程糾錯(cuò)下面是小胡同學(xué)做過的一道題，請(qǐng)先閱讀解題過程，然后回答所提出的問題．計(jì)算：．解：原式…………第①步…………………第②步(1)上述解題過程中，從第___________步開始出錯(cuò)（填“①”或“②”）；(2)寫出本題的正確解答過程．46．（24-25七年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題．通過計(jì)算容易發(fā)現(xiàn)：①；②；③．(1)觀察上面的三個(gè)算式，直接寫出算式：_________．(2)運(yùn)用你觀察到的規(guī)律，計(jì)算的值．(3)探究上述的運(yùn)算規(guī)律，試計(jì)算的值．47．（2025七年級(jí)上·全國·模擬預(yù)測(cè)）先閱讀解答過程，再回答問題：計(jì)算：．解：．上面的方法叫作拆項(xiàng)法．依照拆項(xiàng)法計(jì)算：．48．（24-25七年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）閱讀下列解題過程：計(jì)算：的值．解：設(shè)，（1）則（2）（2）（1），得，通過閱讀，你一定學(xué)會(huì)了一種解決問題的方法，請(qǐng)用你學(xué)到的方法計(jì)算：(1)(2)．49．（24-25七年級(jí)上·云南昆明·期中）讀一讀：式子“”表示1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡(jiǎn)便起見，我們可以將“”表示為，這里“”是求和符號(hào)．例如：，即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為；又如可表示為．通過對(duì)上以材料的閱讀，請(qǐng)解答下列問題．(1)（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號(hào)可表示為______；(2)計(jì)算：50．（24-25七年級(jí)上·山西臨汾·期末）閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)兩點(diǎn)之間的距離表示為．如圖，從數(shù)軸上看，若點(diǎn)表示的數(shù)分別是1，4則或．

【歸納】若點(diǎn)表示的數(shù)分別是，則或．任務(wù)：(1)若點(diǎn)表示的數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)為，且，則______或______．(2)試用數(shù)軸探究，當(dāng)時(shí)，的值為______．(3)利用數(shù)軸求出的最小值，并寫出此時(shí)可取哪些整數(shù)值？51．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期中）閱讀下面材料：圓圓在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到一個(gè)定義：對(duì)于排好順序的三個(gè)數(shù)，，稱為數(shù)列，，．計(jì)算，，的值，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列，，的價(jià)值．例如，對(duì)于數(shù)列，，，因?yàn)椋?，，所以?shù)列，，的價(jià)值為．圓圓進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：改變數(shù)列，，三個(gè)數(shù)的順序，可得若干個(gè)數(shù)列，這些數(shù)列都可以按照上述方法計(jì)算其相應(yīng)的價(jià)值．如數(shù)列，，的價(jià)值為；數(shù)列，，的價(jià)值為；經(jīng)過研究，圓圓發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“，，”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，價(jià)值的最小值為．根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)求數(shù)列，，的價(jià)值；(2)填空：將“，，”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為，取得價(jià)值最小值的數(shù)列為（寫出所有答案）．(3)已知，將“，，”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得若干個(gè)數(shù)列，若這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為，求的值．52．（24-25七年級(jí)上·全國·期中）綜合與實(shí)踐閱讀材料進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞洈?shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)．約定逢十進(jìn)一就是十進(jìn)制，逢二進(jìn)一就是二進(jìn)制．也就是說，“逢幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾．為了區(qū)分不