第四章三角函數(shù)、解三角形4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1象限角與終邊相同的角考點(diǎn)2弧度制及其應(yīng)用0102考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義03課時(shí)作業(yè)第三部分1．了解任意角的概念和弧度制的概念.2．能進(jìn)行弧度與角度的互化.3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．角的概念(1)正角、負(fù)角、零角：我們規(guī)定，一條射線繞其端點(diǎn)按______方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按______方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)____．任意角包括________________．(2)象限角：我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角．使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，________在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．如果角的終邊在______上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限(常稱為軸線角).(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝________________________．教材回扣逆時(shí)針順時(shí)針零角正角、負(fù)角和零角角的終邊坐標(biāo)軸{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．弧度制(1)定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做______的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度．一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)____，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)____，零角的弧度數(shù)是__．(2)角度和弧度的換算180°＝__rad；1弧度正數(shù)負(fù)數(shù)0π|α|·ryx(2)三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)教材拓展3．象限角4．軸線角1．判斷(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若α為銳角，則2α為鈍角．(

)(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．(

)(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．(

)(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.(

)基礎(chǔ)檢測(cè)××√√3．(人教A版必修第一冊(cè)P176T10改編)已知某扇形的周長(zhǎng)為10，圓心角為2，則該扇形的半徑為_(kāi)_，該扇形的面積為_(kāi)_．1互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1象限角與終邊相同的角CD(2)(多選)下列說(shuō)法中正確的是(

)AB規(guī)律總結(jié)1．利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來(lái)求得所需的角．B(2)如圖，已知角θ的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)，角α的終邊和θ相同，則角α的集合為(

)C考點(diǎn)2弧度制及其應(yīng)用【例2】已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r.(1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧長(zhǎng)．(2)若扇形的周長(zhǎng)為16，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？并求出最大面積．規(guī)律總結(jié)應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．D(2)(2024·山東濰坊三模)如圖，半徑為1的圓M與x軸相切于原點(diǎn)O，切點(diǎn)處有一個(gè)標(biāo)志，該圓沿x軸向右滾動(dòng)，當(dāng)圓M滾動(dòng)到與出發(fā)位置時(shí)的圓相外切時(shí)(記此時(shí)圓心為N)，標(biāo)志位于點(diǎn)A處，圓N與x軸相切于點(diǎn)B，則陰影部分的面積是(

)A．2 B．1B考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義命題角度1三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例3】

(1)(2024·浙江金華三模)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．若P(－1，2)為角α終邊上的一點(diǎn)，則cosα＝____.命題角度2三角函數(shù)值符號(hào)的判斷【例4】

(1)已知點(diǎn)M(cosα，tanα)在第二象限，則角α的終邊在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M(cosα，tanα)在第二象限，所以cosα<0，tanα>0，所以α的終邊在第三象限．故選C.C(2)已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3a－9，log2a－2)，若cosθ>0，且sinθ<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(1，3) B．(2，4)C．(3，4) D．(4，6)B規(guī)律總結(jié)1．三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值．(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過(guò)三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值．2．要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào)．如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解．A(2)若sinα<0且cosα>0，則α的終邊所在象限為(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：α的終邊過(guò)點(diǎn)(cosα，sinα)，又sinα<0且cosα>0，則α的終邊所在象限為第四象限．故選D.D課時(shí)作業(yè)25第分部三1．(5分)下列各角中，與79°終邊相同的是(

)A．349° B．379°C．679° D．799°解析：349°＝360°－11°，故A錯(cuò)誤；379°＝360°＋19°，故B錯(cuò)誤；679°＝360°×2－41°，故C錯(cuò)誤；799°＝2×360°＋79°，故D正確．故選D.D2．(5分)下列命題為真命題的是(

)A．小于90°的角都是銳角B．鈍角一定是第二象限角C．第二象限角大于第一象限角D．若cosθ<0，則θ是第二或第三象限角BA4．(5分)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知角α的始邊是x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－1，－2)，則sinα＝(

)DC6．(5分)已知扇形的圓心角為2rad，所對(duì)的弦長(zhǎng)為4，則扇形的面積為(

)A．2sin1 B．4sin21D7．(6分)(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A．2rad的角是一個(gè)銳角B．24°與2024°的終邊相同C．將時(shí)鐘撥快30分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是－180°CD8．(6分)(多選)某市政府欲在一個(gè)扇形區(qū)域OAB建造市民公園，已知該扇形區(qū)域的面積為160000平方米，圓心角為2，則(

)A．該扇形的半徑為400米B．該扇形的半徑為800米C．該扇形的周長(zhǎng)為1600米D．該扇形的弧長(zhǎng)為800米ACD9．(5分)在直角坐標(biāo)系中，已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(1，－2)，角β的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則cosβ＝____．(2)求sinα，cosα，tanα的值．12．(17分)如圖，這是一個(gè)扇形環(huán)面(由扇形OCD挖去扇形OAB后構(gòu)成)展臺(tái)，AD＝4米．(2)若該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)為14米，布置該展臺(tái)的平均費(fèi)用為500元/平方米，求布置該扇形環(huán)面展臺(tái)的總費(fèi)用．解：設(shè)∠COD＝θ，OA＝r米，則弧AB的長(zhǎng)l1＝θr米，弧CD的長(zhǎng)l2＝θ(r＋4)＝(θr＋4θ)米，因?yàn)樵撋刃苇h(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)為14米，所以l1＋l2＋4×2＝14，即θr＋θr＋4θ＋8＝14，整理得