第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)與不等式1.5一元二次方程、不等式與二次函數(shù)數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1一元二次不等式的解法考點(diǎn)2三個(gè)“二次”之間的關(guān)系0102考點(diǎn)3一元二次不等式的恒成立問(wèn)題03課時(shí)作業(yè)第三部分1．會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)．2．借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系．3．能借助二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．教材回扣2．三個(gè)“二次”之間的關(guān)系{x|x<x1，或x>x2}{x|x1<x<x2}??當(dāng)Δ<0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別．1．一元二次不等式恒成立問(wèn)題(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立?a>0且Δ<0.(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立?a<0且Δ<0.(3)若a可以為0，則需要分類討論，一般優(yōu)先考慮a＝0的情形．2．對(duì)于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時(shí)不要忘記a＝0時(shí)的情形．教材拓展1．判斷（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(

)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集為R.(

)基礎(chǔ)檢測(cè)×√××2．（人教A版必修第一冊(cè)P53T1(5)改編）不等式－2x2＋x≤－3的解集為

．3．（人教A版必修第一冊(cè)P55T5改編）已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，則A∪B＝

．解析：已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，則A∪B＝R.R（－3，0]互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1一元二次不等式的解法命題角度1不含參一元二次不等式的解法【例1】（多選）下列選項(xiàng)中，正確的是(

)A．不等式x2＋x－2>0的解集為{x|x<－2或x>1}ABD命題角度2含參一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【解】原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.規(guī)律總結(jié)對(duì)含參的一元二次不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見(jiàn)的分類有(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、為負(fù)及為零進(jìn)行分類．(2)根據(jù)判別式Δ與0的大小關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根之間的大小關(guān)系進(jìn)行討論．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】解關(guān)于x的不等式：(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.解：不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化為(ax＋1)(x－2)≥0，當(dāng)a＝0時(shí)，x－2≥0，不等式的解集為[2，＋∞）；考點(diǎn)2三個(gè)“二次”之間的關(guān)系【例3】（多選）若存在m，n(m<n－1)，使得0≤x2＋ax＋b≤c－x的解集為{x|m≤x≤m＋1或x＝n}，則下列結(jié)論正確的是(

)A．x2＋ax＋b≥0的解集為{x|x≤m＋1或x≥n}B．x2＋ax＋b≤c－x的解集為{x|m＋1≤x≤n}C．c＝－nD．a(chǎn)2＋2a>4b－4cAD規(guī)律總結(jié)1．一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值．2．給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入法或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（多選）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(－∞，1)∪(5，＋∞)，則(

)A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)＋b＋c>0CD考點(diǎn)3一元二次不等式的恒成立問(wèn)題命題角度1在實(shí)數(shù)集R上的恒成立問(wèn)題【例4】若命題p：“?x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命題，則k的取值范圍是(

)A．(1，7) B．[1，7）C．(－7，1) D．（－7，1]B命題角度2在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題【例5】

（2025·八省聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|－2a2，若當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，1] B．[－2，1]C．[－1，2] D．[－1，＋∞)B【解析】①若a>2，當(dāng)2<x<a時(shí)，f(x)＝x|x－a|－2a2＝－x2＋ax－2a2，此時(shí)Δ＝a2－4×(－1)×(－2a2)＝－7a2<0，又－1<0，所以f(x)<0，不滿足當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，故a>2不符合題意；②若0<a≤2，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，由于當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，故2a≤2，解得0<a≤1；③若a＝0，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝x2>0恒成立，符合題意；④若a<0，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.綜上，a的取值范圍為[－2，1].故選B.命題角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題【例6】若不等式x2＋px>4x＋p－3，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是(

)A．[－1，3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D規(guī)律總結(jié)恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)對(duì)于一元二次不等式在R上恒成立問(wèn)題，可用判別式Δ進(jìn)行解決；對(duì)于一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題，不能用判別式Δ進(jìn)行解決，一般用分離參數(shù)求最值或分類討論的方法．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】已知關(guān)于x的不等式2x－1＞m(x2－1).(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式對(duì)任意x∈R恒成立？并說(shuō)明理由；解：不存在．理由：原不等式等價(jià)于mx2－2x＋(1－m)＜0，當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式化為－2x＋1＜0，不恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，若不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)m，使不等式對(duì)任意x∈R恒成立．(2)若不等式對(duì)任意x∈(1，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若不等式對(duì)任意m∈[－2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．課時(shí)作業(yè)5第分部三1．（5分）不等式x(x＋2)<x(3－x)＋1的解集為(

)AA．{x|x<1，x≠－2}B．{x|x>1}C．{x|－2<x<1}D．{x|x<－2或x>1}C3．（5分）不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，則b－a的值是(

)A．－3 B．3C．－5 D．5解析：因?yàn)椴坏仁絘x2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以a<0，x＝1和x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的根，所以D4．（5分）已知mx2＋mx＋1≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是(

)A．0<m≤4 B．0≤m≤1C．m≥4 D．0≤m≤4D5．（5分）若對(duì)任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，則m的取值范圍是(

)A．(－2，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．（－∞，2]C6．（5分）已知對(duì)任意m∈[1，3]，mx2－mx－1<－m＋5恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)D7．（6分）（多選）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－∞，－2)∪(3，＋∞)，則下列選項(xiàng)中正確的是(

)A．a(chǎn)>0B．不等式bx＋c>0的解集為{x|x<－6}C．a(chǎn)＋b＋c>0ABD8．（6分）（多選）已知a∈R，關(guān)于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(

)ACD9．（5分）滿足2<x2－2x＋3<3的x的取值范圍為

．(0，1)∪(1，2)10．（5分）命題q：?x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0.若q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．解析：因?yàn)?x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0為真命題，則a<x2＋2x＋2在x∈（－∞，－2]上恒成立，令g(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，x∈（－∞，－2]，則g(x)min＝g(－2)＝2，所以a<g(x)min＝2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2).(－∞，2)11．（16分）已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)<0在x∈（－1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．12．（17分）已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若不等式f(x)>x2＋ax－1－a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a∈R，解不等式f(x)>1.D13．（5分）對(duì)任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋