楊浦區(qū)2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)模擬質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)學(xué)科2025.12.考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號(hào)，并將核對(duì)后的條形碼貼在指定位置上.2.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.1.不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.2.函數(shù)的最小正周期為______.【答案】【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式即可得解.【詳解】函數(shù)的最小正周期，故答案為：.3.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因，則.故答案為：4.若復(fù)數(shù)滿足：，則_______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可求出答案.【詳解】由得，，則故答案為：.5.(x－2)6的展開式中x2的系數(shù)為_________.【答案】240【解析】【分析】先求得(x－2)6的展開式的通項(xiàng)公式，再令x次數(shù)為2求解.【詳解】(x－2)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝·(－2)r·x6－r，令6－r＝2，求得r＝4，所以(x－2)6的展開式中x2的系數(shù)為·(－2)4＝240.故答案為：240【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理展開式的項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐側(cè)面積為_____．【答案】【解析】【分析】由已知求得母線長，代入圓錐側(cè)面積公式求解．【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長l=,∴圓錐側(cè)面積S=πrl=2π．故答案為2π．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法,側(cè)面積公式S=πrl.7.圓的圓心到直線的距離為______.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即得.【詳解】圓的圓心到直線的距離為.故答案為：.8.已知甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員罰球的命中率分別為、，兩人各投一次，假設(shè)事件“甲命中”與“乙命中”是獨(dú)立的，則至少有一個(gè)人命中的概率為_______.【答案】【解析】【分析】正難則反，先求其對(duì)立事件的概率，即兩人都未命中的概率即可.【詳解】記事件“甲和乙至少一人命中”，則其對(duì)立事件為“甲和乙兩人都未命中”，由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式得，所以.故答案為：.9.等差數(shù)列的公差不為，前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，則，所以，整理得到，所以，故答案為：.10.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)為奇函數(shù)，得，再根據(jù)解析式及偶函數(shù)性質(zhì)可得所求函數(shù)值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以，得.又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，.因?yàn)?，所?故答案為：.11.某數(shù)學(xué)建模活動(dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測距問題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中，均與水平面垂直，在已測得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，，且，用測角儀測得，的情況下，四名同學(xué)用測角儀各自測得下面一個(gè)角：①；②；③；④，其中一定能唯一確定之間的距離有________.（寫出所有正確的序號(hào)）【答案】②③④【解析】【分析】結(jié)合題目給出條件以及直角三角形的邊角關(guān)系，可知均已確定，對(duì)于①②③，可先根據(jù)余弦定理判斷是否確定，再根據(jù)勾股定理判斷是否確定；對(duì)于④，可直接根據(jù)余弦定理進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)，在中，，同理可得，由于均為已知量，故均為定值.對(duì)于①：在中，由余弦定理可得，且均為定值，故該方程為關(guān)于的一元二次方程，可能有兩解.例如，若，則可得，即，解得或，由勾股定理可得，由于為定值，而有兩解，故也有兩解，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：在中，由余弦定理可得，且均為定值，故也為定值，又因?yàn)椋渲芯鶠槎ㄖ?，故為定值，故②正確；對(duì)于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均為定值，故該方程為關(guān)于的一元二次方程.又，故，即有兩解，設(shè)兩解分別為，由韋達(dá)定理可知，，即異號(hào)，因此該方程僅有1個(gè)正數(shù)解，即有唯一確定解，又因?yàn)?，其中均為定值，故為定值，故③正確；對(duì)于④：在中，由余弦定理可知，，因?yàn)榫鶠槎ㄖ担室矠槎ㄖ?，故④正確，故答案為：②③④.12.數(shù)列：滿足：，且，記集合.若數(shù)列滿足：對(duì)任意，均有，則稱數(shù)列是“好的”.“好的”數(shù)列的個(gè)數(shù)為_____.【答案】1926【解析】【分析】由題意，要，則要滿足，可得，設(shè)，則，分析可得k的范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意，要，則需滿足，即，即，由已知數(shù)列為遞增數(shù)列，，則有，設(shè)，則，又，則，則；，則，則，所以，則整數(shù)個(gè)數(shù)為，則“好的”數(shù)列的個(gè)數(shù)為1926.故答案為：1926.二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】舉出反例可判斷，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可判斷B，進(jìn)而得到答案．【詳解】對(duì)于A，令，滿足，此時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，兩式相加得，故B正確；對(duì)于C，令，滿足，此時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，滿足，此時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B14.若為兩條不同直線，為兩個(gè)不同平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷AB，利用面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷CD.【詳解】若，，則或?yàn)楫惷嬷本€，故A錯(cuò)誤；若，，則或，故B錯(cuò)誤；若，，則，滿足面面垂直的判定定理，故C正確；若，，這缺少了2個(gè)條件，即，才可以得到，故D錯(cuò)誤；故選：C.15.已知雙曲線，點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，則向量、的夾角（）A.有最大值，但無最小值 B.無最大值，但有最小值C.既有最大值，又有最小值 D.既無最大值，又無最小值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，以及向量的夾角的定義，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，所以雙曲線的其中一條漸近線方程為，則點(diǎn)滿足漸近線，所以點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以過點(diǎn)存在雙曲線右支的切線，但不存在與左支相切的直線，所以向量的夾角不存在最小值，過點(diǎn)作軸的平行線，交雙曲線的左右兩支分別為兩點(diǎn)，此時(shí)，因?yàn)?，所以向量的夾角存在最大值，最大值為，綜上可得，向量的夾角存在最大值，不存在最小值.故選：A.16.函數(shù)的定義域、值域均為，定義集合.給出如下兩個(gè)結(jié)論：①存在函數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)均有；②對(duì)任意函數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)均有.下面判斷正確的是（）A.①正確，②正確 B.①正確，②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確 D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤【答案】B【解析】【分析】對(duì)于①，根據(jù)定義找到滿足條件的一個(gè)函數(shù)進(jìn)行說明即可；對(duì)于②，假設(shè)，分討論即可說明②不成立.【詳解】假設(shè)，在上單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，，，故①正確；設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)取，則，不滿足；當(dāng)時(shí)，，取，則，因?yàn)椋?，所以，此時(shí)，不滿足；當(dāng)時(shí)，，取，則，不滿足.綜上，不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意均有.故②錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.如圖，在長方體中，為上一動(dòng)點(diǎn)，已知，.（1）求直線與平面所成角的大?。唬ㄓ梅慈潜硎荆?）求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先找出即為直線與平面所成角，再求的大小即可；（2）根據(jù)，再利用三棱錐的體積公式即可求解.【小問1詳解】連接，由題意得平面，則即為直線與平面所成角，又，在直角中，，，，則，所以直線與平面所成角的大小為.【小問2詳解】由題意得，平面，則.所以三棱錐的體積為.18.已知函數(shù)，.（1）記，求證：函數(shù)為偶函數(shù)；（2）在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式得，再根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；（2）利用輔助角公式整理，根據(jù)已知求出，利用余弦定理結(jié)合已知可得的值，最后由三角形面積公式求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)；【小問2詳解】由輔助角公式得，則，所以，可得，由余弦定理可得，由于，，則，解得（舍去負(fù)根），由已知得，則，所以.19.為了了解某校高三年級(jí)學(xué)生的體育成績，隨機(jī)選取名學(xué)生參加考核，將考核的成績（滿分分，成績均為不低于分的整數(shù)）分成六組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）在考核成績?yōu)椋?，的三組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取人，則考核成績?cè)谥械膶W(xué)生應(yīng)抽取多少人?（3）若落在學(xué)生的平均成績是，方差是，落在學(xué)生的平均成績?yōu)椋讲钍?，求這兩組學(xué)生成績的平均數(shù)和方差.（結(jié)果精確到）【答案】（1）（2）（3）平均數(shù)為，方差為【解析】【分析】（1）利用頻率之和為結(jié)合頻率分布直方圖列式求出；（2）利用頻率分布直方圖求出成績?yōu)椋?，的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的概念求解即可；（3）先利用頻率分布直方圖求出和的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)和方差公式計(jì)算求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，解得.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，樣本考核成績?cè)?，，的三組學(xué)生有（人），其中樣本考核成績?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，用分層抽樣的方法應(yīng)從考核成績?cè)诘氖忻裰谐槿。ㄈ耍拘?詳解】由頻率分布直方圖知，成績?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，成績?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，所以總平均數(shù)，總方差.20.已知橢圓：，過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于，（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn).（1）若橢圓的離心率為，求的值；（2）已知，且是線段的垂直平分線，求的值；（3）已知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，求直線的斜率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率的概念列式求即可.（2）根據(jù)題意，設(shè)，則，，根據(jù)列式可求的值，在根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可求的值.（3）根據(jù)題意，可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求直線的斜率.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，又，所?【小問2詳解】因?yàn)?，且是線段的垂直平分線，所以是線段的中點(diǎn).所以可設(shè)，則，.所以，.由.又點(diǎn)在第一象限，所以，所以，即.又點(diǎn)在橢圓上，所以.又，所以.【小問3詳解】因?yàn)?，所以橢圓：.如圖，作出符合題意的圖形，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可設(shè)，，則.設(shè)，因?yàn)?因都在橢圓上，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.所以，，.因?yàn)椋灾本€的方程為：.由.由.所以.可得，即直線的斜率為.21.已知區(qū)間，函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足：對(duì)任意，均有，則稱函數(shù)為壓縮函數(shù).（1）判斷函數(shù)，，是否為壓縮函數(shù)?并說明理由；（2）若函數(shù)，為壓縮函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)，為壓縮函數(shù)，求證：，為單調(diào)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意，均有.【答案】（1）是壓縮函數(shù).（2）（3）證明過程詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)壓縮函數(shù)的定義，判斷對(duì)于任意，是否都有成立.（2）根據(jù)壓縮函數(shù)的定義，得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出的取值范圍.（3）結(jié)合壓縮函數(shù)的定義，分充分性和必要性進(jìn)行證明.【小問1詳解】已知函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，那么，所以函?shù)，，是壓縮函數(shù).【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，為壓縮函數(shù)，所以對(duì)于任意，均有.不妨設(shè)，則不等式可化為：，即.有導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)，，因此需