第二十五章概率初步知識點01隨機事件與概率1.

事件的類型：必然事件是在一定條件下必然會發(fā)生的事件；不可能事件是在一定條件下必然不會發(fā)生的事件；隨機事件是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。2.

事件發(fā)生的可能性：必然事件發(fā)生的可能性為1；不可能事件發(fā)生的可能性為0；隨機事件發(fā)生的可能性介于0和1之間。3.

概率：對于一個隨機事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)。4.

概率的計算：如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=m/n，0≤P(A)≤1。5.

事件發(fā)生的可能性與概率的關(guān)系：事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0。知識點02用列舉法求概率1.

直接列舉法：當(dāng)事件涉及的對象比較單一且等可能結(jié)果數(shù)目較少時，可直接列舉出所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式P(A)=m/n求概率。2.

列表法：當(dāng)一次試驗涉及兩個因素，且可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多時，常采用列表法。選其中一次操作或一個條件為橫行，另一次操作或另一個條件為豎行，列出表格，再用概率公式計算。3.

畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗涉及三個或更多個因素時，為不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法。知識點03利用頻率估計概率1.

在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P(A)=p。2.

用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率。易錯點1模球?qū)嶒炛械挠蟹呕嘏c無放回易錯問題1.易錯問題總結(jié)：有放回時，每次摸球概率獨立不變，如連續(xù)摸2次紅球概率為單次概率平方；無放回時概率受前次結(jié)果影響，需用組合數(shù)計算，易混淆兩種情境下的概率公式。計算“至少”類問題時，有放回可用對立事件簡化，無放回易因忽略剩余球數(shù)變化導(dǎo)致計算錯誤。2.注意事項總結(jié)明確實驗規(guī)則：判斷是否放回，確定樣本空間是否變化，有放回樣本數(shù)恒定，無放回隨次數(shù)減少。區(qū)分有序與無序：有放回注重順序，無放回用組合時需注意是否有序，避免重復(fù)或遺漏計數(shù)。例題1．2023年10月15日上午，我校迎來了重量級嘉賓一曼聯(lián)傳奇球星，英超歐冠雙料射手王德懷特·約克和陜西長安聯(lián)合足球俱樂部優(yōu)秀球員糜昊倫，與同學(xué)們面對面交流指導(dǎo)．為了進一步普及和推廣足球運動，發(fā)揚光大“足球精神”，初一年級體育組在第二課堂活動中安排了班級之間的足球比賽．經(jīng)過第一輪的比拼后，四個班級、、、進入半決賽．半決賽中對陣班級按如下方式?jīng)Q定：準(zhǔn)備四張一模一樣的卡片，在卡片的正面寫上四個班級的名字，將卡片背面朝上放在桌上，隨機地從中依次無放回地抽取兩張卡片，抽取到的兩張卡片代表的班級比賽，剩余兩個班級進行比賽．(1)抽第一張卡片時，抽到班的概率為________；(2)請用樹狀圖或者列表法求出半決賽中班與班進行比賽的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，注意是放回實驗還是不放回實驗是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式直接得出答案；（2）根據(jù)題意先畫列表列求出所有等可能結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）∵有A、B、C、D四張卡片，∴抽到D班的概率為．故答案為：；（2）列表如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到A班和B班進行比賽的結(jié)果有2種，∴半決賽中A班與B班進行比賽的概率為．易錯點2幾何概率問題1.易錯問題總結(jié)混淆幾何度量類型：誤將長度、面積、體積等度量方式混用，如在平面問題中錯用線段長度計算概率。忽略等可能性：未確?；臼录趲缀螀^(qū)域內(nèi)均勻分布，導(dǎo)致概率計算基于非均勻模型而出錯。2.注意事項總結(jié)明確幾何模型：根據(jù)問題場景確定用長度、面積還是體積作為度量，保證樣本空間與事件的度量維度一致。驗證均勻性：確認(rèn)隨機點在區(qū)域內(nèi)等可能分布，必要時通過圖形分割或坐標(biāo)轉(zhuǎn)換簡化計算。例題2．（1）如圖1，一邊長為的正方形木質(zhì)鏢靶，四個角的空白部分是以正方形的頂點為圓心，半徑為的扇形，某人向此鏢靶投鏢，假設(shè)每次都投中，求他投中陰影部分的概率．（2）如圖2，是由邊長分別為和的兩個正方形組成的圖案，若在圖案內(nèi)隨機取一點P，則點P恰好在陰影部分的概率是．（3）若一個小玻璃球在如圖3所示的地磚圖案內(nèi)自由滾動，甲、乙兩人打賭，甲說，小玻璃球一定會停在黑色區(qū)域上，乙說，小玻璃球一定會停在白色區(qū)域上，你認(rèn)為誰獲勝的概率較大？通過計算說明．【答案】（1）（2）（3）乙獲勝的概率大，理由見解析【分析】本題考查幾何概率的求法，掌握正方形面積和陰影部分面積的計算方法是解題關(guān)鍵．（1）用陰影部分的面積除以總面積即可；（2）用陰影部分的面積除以總面積即可；（3）分別求出兩人獲勝的概率即可解答．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，圖中正方形的面積為，圖中陰影部分的面積為：，則它擊中陰影部分的概率：；（2）∵圖形的總面積為，陰影部分面積為，∴點P恰好在陰影部分的概率是：；（3）乙獲勝的概率大，理由如下：由圖可知：甲獲勝的概率為：，乙獲勝的概率為：，∴，故乙獲勝的概率大．易錯點3求概率涉及其他知識點的綜合問題1.易錯問題總結(jié)知識銜接斷層：如與函數(shù)結(jié)合時，誤將概率定義域等同于函數(shù)定義域；與數(shù)列結(jié)合時，忽略概率事件的遞推邏輯。邏輯分層混亂：多步驟問題中，混淆分步與分類計數(shù)原理，或在含統(tǒng)計圖表題中誤讀數(shù)據(jù)與概率的對應(yīng)關(guān)系。2.注意事項總結(jié)拆解知識鏈條：明確各模塊銜接點，如用不等式確定概率事件范圍時，先厘清變量取值邏輯。分步驗證邏輯：復(fù)雜問題按“事件分解→對應(yīng)知識點套用→概率公式計算”分步推進，每步驗證合理性。例題3．甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把轉(zhuǎn)盤A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，如圖．游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn)．(1)甲先單獨轉(zhuǎn)A轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到4的概率_____；(2)請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；(3)若指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字都是方程的解時，則甲獲性；若指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字都不是方程的解時，則乙獲勝．問他們兩人誰獲勝的概率大？請分析說明．【答案】(1)(2)見解析(3)甲獲勝的概率更大，說明見解析【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接利用概率公式進行計算即可；（2）列出表格，進行求解即可；（3）求出方程的解，分解求出兩人獲勝的概率，進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意，轉(zhuǎn)到4的概率為；故答案為：（2）由題意，列出樹狀圖如下：（3）此游戲乙獲勝的概率更大，理由如下：解方程得：，所以，從上表中可看出，指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字有12種等可能的結(jié)果，其中兩個數(shù)字都是方程的解有4次，兩個數(shù)字都不是方程的解有2次，所以，P（甲勝）=，P（乙勝）=，所以，此游戲甲獲勝的概率更大．易錯點4概率與統(tǒng)計的綜合易錯問題1.易錯問題總結(jié)數(shù)據(jù)解讀偏差：誤將頻率直接等同于概率，忽略大樣本下頻率的穩(wěn)定性；或混淆統(tǒng)計量（如均值、方差）與概率事件的關(guān)聯(lián)。抽樣邏輯混淆：分層抽樣中錯算各層概率權(quán)重，或在獨立性檢驗時誤將相關(guān)性當(dāng)作因果性，導(dǎo)致概率推斷錯誤。2.注意事項總結(jié)明確頻率與概率關(guān)系：用頻率估計概率需基于足夠樣本，區(qū)分“實際數(shù)據(jù)”與“理論概率”的差異。緊扣抽樣與檢驗規(guī)則：按抽樣方法確定概率計算的樣本基數(shù)，獨立性檢驗中嚴(yán)格遵循卡方值判斷邏輯，不牽強關(guān)聯(lián)。例題4．2024年8月12日，2024巴黎奧運會落下帷幕．6名貴州籍運動員為國征戰(zhàn)，贏得了3枚奧運金牌．射擊運動員謝瑜在男子10米氣手槍項目中獲得金牌，為中國隊奪得第三金，這也是貴州歷史上第一個射擊奧運冠軍．為了解學(xué)生對觀看奧運比賽的喜愛程度，某興趣小組在本校隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，被調(diào)查的每個學(xué)生按A（非常喜歡），B（比較喜歡），C（一般），D（不喜歡）四個等級進行評價．繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖①，圖②）．請你結(jié)合圖中信息解答下列問題：(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有________人；并補全條形統(tǒng)計圖；(2)在A（非常喜歡），B（比較喜歡），C（一般），D（不喜歡）這四個等級中，選擇________等級的人數(shù)是最多的，調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在________等級．(3)學(xué)校決定成立“羽毛球”“籃球”“乒乓球”“排球”四個球類運動社團．若小亮、小穎都只能參加其中一個社團，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求他們選擇同一社團的概率．【答案】(1)300，畫圖見解析(2)B，B(3)【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合、求中位數(shù)、樹狀圖求概率等知識點，從統(tǒng)計圖中獲取所需信息是解題的關(guān)鍵．（1）用組的人數(shù)除以其所占的百分比即可求得總?cè)藬?shù)；總?cè)藬?shù)減去組人數(shù)即可求出組的人數(shù)，最后補全條形統(tǒng)計圖即可；（2）比較各個等級即可得出人數(shù)最多；根據(jù)中位數(shù)是第150、151個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可解答；（3）先利用樹狀圖確定所有等可能結(jié)果數(shù)和滿足題意的結(jié)果數(shù)，然后運用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：這次被調(diào)查的學(xué)生共有（人），故答案為：300；∴組的人數(shù)為（人），補全條形統(tǒng)計圖：（2）解：∵，∴選擇B等級的人數(shù)是最多的，將所有數(shù)據(jù)按等級人數(shù)從小到大排列，有60人，有110人,有90人，有40人，總共有300個數(shù)據(jù)，中位數(shù)是第150和151個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．前A和B等級共有人，所以第150、151個數(shù)據(jù)都在等級，故中位數(shù)落在等級．故答案為：B，B；（3）解：“羽毛球”“籃球”“乒乓球”“排球”四個球類運動社團分別用E、F、G、H，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中他們選擇同一社團的結(jié)果有4種，∴他們選擇同一社團的概率為．易錯點5概率與頻率的綜合易錯問題易錯問題總結(jié)1.

混淆概率與頻率的概念：誤將頻率當(dāng)作概率，忽略“大量重復(fù)試驗”的前提。例如，僅做幾次拋硬幣試驗，就認(rèn)為正面朝上的頻率等于概率，而概率是頻率在大量試驗下的穩(wěn)定值。2.

計算等可能結(jié)果時重復(fù)或遺漏：用列舉法求概率時，對“等可能”理解不到位，導(dǎo)致結(jié)果重復(fù)計數(shù)或遺漏。比如同時擲兩枚骰子，錯誤列舉結(jié)果數(shù)量，影響概率計算的準(zhǔn)確性。注意事項總結(jié)1.

明確概率與頻率的關(guān)系：概率是理論值，頻率是實驗值，大量重復(fù)試驗中頻率才會趨近于概率，解題時需關(guān)注試驗次數(shù)是否足夠多。2.

嚴(yán)謹(jǐn)列舉等可能結(jié)果：使用列表法或樹狀圖法時，務(wù)必確保所有結(jié)果不重不漏，且每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等，以此保證概率計算的正確性。例題5．在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，如下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m73117152370604751摸到白球的頻率(1)請估計：當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率將會接近___________；隨機摸出一個球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留兩位小數(shù)）(2)試估算，口袋中黑球的個數(shù)是________，白球的個數(shù)是___________；(3)從口袋中任意摸出一個球，記下顏色后放回口袋中攪拌均勻，再任意摸出一個球，請用樹狀圖的方法求兩次摸到的球的顏色正好相同的概率．【答案】(1)，，(2)1，3(3)【分析】（1）本題考查了由頻率估計概率，隨著n的增大，頻率逐漸穩(wěn)定在，即得到摸到白球的概率，從而得到摸到黑球的概率．（2）本題考查了概率的相關(guān)計算，根據(jù)概率乘以總數(shù)即可解題．（3）本題考查了用樹狀圖求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到兩次摸到的球的顏色正好相同的情況數(shù)再除以總的情況數(shù)，即可解題．【詳解】（1）解：由題意知，摸到白球的頻率逐漸接近：，則摸到白球的概率可看作：，摸到黑球的概率：．故答案為：，，；（2）解：由（1）可知摸到白球的概率為，摸到黑球的概率為，而小球總數(shù)為4，所以口袋中黑球的個數(shù)：，口袋中白球的個數(shù)：．故答案為：1，3；（3）解：畫樹狀圖如下，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球的顏色正好相同的有10種情況，兩次摸到的球的顏色正好相同的概率為．一、單選題1．一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“最”

“美”

“遼”

“寧”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個球上的漢字恰能組成“遼寧”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了畫樹狀圖求概率，先畫出樹狀圖，即可得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，及符合條件的結(jié)果，再根據(jù)概率公式得出答案，掌握樹狀圖求概率是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：畫樹狀圖如圖，一共有種可能出現(xiàn)的情況，取出的兩個球上的漢字恰能組成“遼寧”的種情況，∴取出的兩個球上的漢字恰能組成“遼寧”的概率是，故選：．2．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以、為直徑作兩個半圓．向直角扇形內(nèi)隨機取一點，則該點剛好來自陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為，根據(jù)將下面的陰影正好平分兩部分，且這兩部分繞點C旋轉(zhuǎn)后正好可以與、上方的空白部分重疊，求出陰影部分的面積為：，然后求出概率即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為，記以、為直徑的兩個半圓的另一個交點為，

如圖，連接，，，，∵，，∴，∵點C在半圓上，∴，∴在上，，∴，∴，同理可得：，∴，∴將下面的陰影正好平分為兩部分，且這兩部分繞點C旋轉(zhuǎn)后正好可以與、上方的空白部分重疊，∴陰影部分的面積為：，∴在扇形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為：，故選：A．【點睛】本題主要考查了求幾何概率，扇形面積的計算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出陰影部分的面積．3．已知A，B兩個口袋中都有6個分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除標(biāo)示的數(shù)字外沒有區(qū)別．甲、乙兩位同學(xué)分別從A，B兩個口袋中隨意摸出一個球．記甲摸出的球上數(shù)字為x，乙摸出的球上數(shù)字為y，數(shù)對對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點Q，則點Q落在以原點為圓心，半徑為的圓上或圓內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是用列表法或者用樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．根據(jù)已知列表得出所有結(jié)果，進而得出滿足條件的點的個數(shù)為8個，即可求出點Q落在以原點為圓心，半徑為的圓上或圓內(nèi)的概率．【詳解】解：根據(jù)題意列表得出：012345012345∵數(shù)對對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點Q，點Q落在以原點為圓心，半徑為的圓上或圓內(nèi)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的平方和小于或等于5，∴滿足橫、縱坐標(biāo)的平方和小于或等于5的點有、、、、、、、，∴滿足條件的點的個數(shù)為：8個，且所有的點由表可得共計36個，∴點Q落在以原點為圓心，半徑為的圓上或圓內(nèi)的概率為：．故選：A．4．不透明的口袋里裝有若干個除顏色外都相同的小球，將球搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，得到一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見下表），則下列說法錯誤的是（

）摸球的次數(shù)1001503005008001000摸到紅球的次數(shù)6193b301480601摸到紅球的頻率a0.620.590.6020.600.601A． B．C．摸到紅球的概率約為0.60 D．若袋中有9個紅球，則總球數(shù)有14個【答案】D【分析】本題考查了利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是理解頻率與概率的關(guān)系，以及掌握頻率的計算方法．根據(jù)頻率的計算公式“頻率頻數(shù)總數(shù)”，分別計算各選項中的值，再結(jié)合大量重復(fù)試驗中頻率穩(wěn)定值可估計概率，對各選項進行判斷．【詳解】解：A、計算100次摸球時的頻率，，正確，不符合題意；B、300次摸球時，摸到紅球的次數(shù)，正確，不符合題意；C、隨著試驗次數(shù)增加，頻率穩(wěn)定在0.60附近，可估計概率約為0.60，正確，不符合題意；D、若袋中有9個紅球，由摸到紅球的概率約為0.60可得，總球數(shù)有，故該選項說法錯誤，符合題意．故選：D．二、填空題5．在3張相同的小紙條上分別寫有“石頭”“剪子”“布”，將這3張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻．甲、乙兩人通過抽簽分勝負(fù)，規(guī)定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”．甲先從盒子中任意抽出1支簽（不放回），乙再從余下的2支簽中任意抽出1支簽，則甲取勝的概率為．【答案】【分析】本題主要考查了列表求概率．先列出表格得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而得出符合條件的結(jié)果，再根據(jù)概率公式得出答案．【詳解】解：用表格列出所有可能的結(jié)果：石頭剪子布石頭（石頭，剪子）（石頭，布）剪子（剪子，石頭）（剪子，布）布（布，石頭）（布，剪子）由表格可知，共有6種可能的結(jié)果，并且它們的出現(xiàn)是等可能的．“甲取勝”記為事件，它的發(fā)生有3種可能．，所以甲取勝的概率為．故答案為：6．1777年，法國科學(xué)家布豐提出了一種計算圓周率的方法——隨機投針法，即著名的布豐投針問題．在平面上畫有一組間距為的平行線，將一根長度為的針任意擲在這個平面上，求此針與平行線中任一條相交的概率，同時也證明了這個概率是．某數(shù)學(xué)興趣小組做了這個試驗來估計的近似值，他們?nèi)。玫皆囼灁?shù)據(jù)如下：試驗次數(shù)500相交頻數(shù)157相交頻率0.314由此估計的近似值為（精確到0.01）【答案】【分析】本題考查了頻率估計概率，根據(jù)這個概率是，，得出，即可作答．【詳解】解：∵，，∴，則，∴的近似值為，故答案為：．7．有甲、乙兩個黑布袋，甲布袋中有兩個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字和；乙布袋中有三個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字，，．小明從甲布袋中隨機取出一個小球，記其標(biāo)有的數(shù)字為，再從乙布袋中隨機取出一個小球，記其標(biāo)有的數(shù)字為，則滿足有兩個不相等實數(shù)根的概率是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、列表法求概率，根據(jù)一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，可得：，列表表示出的所有情況，可知共有種等可能的情況出現(xiàn)，其中滿足的只有種，所以滿足有兩個不相等實數(shù)根的概率是.【詳解】解：有兩個不相等實數(shù)根，，，由表可知，共有種等可能的情況出現(xiàn)，其中滿足的只有種，滿足有兩個不相等實數(shù)根的概率是．故答案為：．8．2024年6月2日清晨，嫦娥六號成功著陸在月球背面南極——艾特肯盆地預(yù)選著陸區(qū)，開啟了人類探測器首次在月球背面的樣品采集任務(wù)．小亮同學(xué)是航天知識愛好者，他利用邊長為的正方形制作出七巧板如圖1，并拼出火箭模型如圖2．在對火箭模型進行創(chuàng)意宣講時，激光筆射出的小紅點落在該模型的任意位置，它停在陰影部分的概率為．【答案】【分析】本題主要考查幾何概率．用陰影部分的面積除以正方形的總面積，即可得解．【詳解】解：如圖，由題意得：，，，∴圖③的面積為，圖④的面積為，正方形的面積為，∴停在陰影部分的概率為，故答案為：三、解答題9．茂陵博物館是以漢武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等為主的西漢斷代史博物館，館藏文物豐富．館內(nèi)文創(chuàng)店新推出四款特色明信片(除畫面不同外，其他完全相同)，分別是：．馬踏匈奴，．西漢鎏金馬，．四神紋玉鋪首，．四神紋銅染器，店員將這四款明信片各取一張背面朝上洗勻后放于展示臺上．(1)小茂隨機抽取一張明信片，則抽到“．西漢鎏金馬”的概率是____________；(2)小茂想隨機抽取兩張明信片(先隨機抽取一張，不放回，洗勻后再隨機抽取一張)，一張送給朋友，一張自己收藏．請用列表法或畫樹狀圖法求他抽取的兩張明信片中含有．四神紋玉鋪首的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了概率公式、畫樹狀圖求概率等知識點，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）直接運用概率公式求解即可；（2）先根據(jù)題意畫出樹狀圖確定所有等可能結(jié)果數(shù)和滿足題意的結(jié)果數(shù)，然后運用概率公式求解即可．【詳解】（1）總共有四張?zhí)厣餍牌?，“．西漢鎏金馬”是其中一張，∴抽到“．西漢鎏金馬”的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：由上圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中含有．四神紋玉鋪首的結(jié)果有6種，∴(抽取的兩張明信片中含有．四神紋玉鋪首)．10．如圖，圖1、圖2是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．圖1被等分成9個扇形，分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字：圖2被涂上紅色與綠色，綠色部分的扇形圓心角的度數(shù)是，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的顏色即為轉(zhuǎn)出的顏色．(1)在圖1的轉(zhuǎn)盤中轉(zhuǎn)出數(shù)字9的概率是___________．(2)小明轉(zhuǎn)動圖1的轉(zhuǎn)盤，小亮轉(zhuǎn)動圖2的轉(zhuǎn)盤（若轉(zhuǎn)盤的指針恰好指在分界線上時重轉(zhuǎn)），小穎認(rèn)為：小明轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率與小亮轉(zhuǎn)出紅色的概率相同．小穎的觀點對嗎？為什么？【答案】(1)(2)小穎的觀點是對的，理由見解析【分析】本題考查概率的應(yīng)用．熟練掌握概率公式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．（1）共有9種結(jié)果，轉(zhuǎn)出數(shù)字9的結(jié)果有1種，利用概率公式計算即可；（2）分別求出轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率和轉(zhuǎn)出的顏色是紅色的概率，進行比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：共有9種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，“轉(zhuǎn)出數(shù)字是9的結(jié)果有1種，∴P（轉(zhuǎn)出數(shù)字9）；故答案為：；（2）解：小穎說法正確，理由：小明轉(zhuǎn)動圖1的轉(zhuǎn)盤：轉(zhuǎn)出的數(shù)字共有9種等可能的結(jié)果，其中，轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7共有6種等可能的結(jié)果，所以小明轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率是，小亮轉(zhuǎn)動圖2的轉(zhuǎn)盤：紅色部分所在扇形的圓心角度數(shù)是，P（轉(zhuǎn)出紅色），P（轉(zhuǎn)出數(shù)字小于7）（轉(zhuǎn)出紅色），小穎的觀點是對的．11．某奶茶店舉辦“盲盒抽獎”活動，在一個不透明的盒子里裝有紅、黑兩種顏色的球共40個，這些球除顏色外其余完全相同，每次摸獎，店員將球攪勻后，顧客從盒子里隨機摸出一個球記下顏色，再把球放回盒子中，店員記錄了抽獎數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)5010030050080010002000摸到紅球的次數(shù)143395155241298602摸到紅球的頻率

(1)通過以上摸獎數(shù)據(jù)，摸到紅球的概率估計為________．（結(jié)果精確到）(2)若先從袋子中取出個紅球，不放回，再從袋子中隨機摸出1個球，此時“摸出黑球”為必然事件，則________．(3)若先從袋子中取出個紅球，再放入個一樣的黑球并搖勻，隨機摸出1個紅球的概率為，求的值．【答案】(1)(2)12(3)2【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率．大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率，用到的知識點為：部分的具體數(shù)目總體數(shù)目相應(yīng)概率，還涉及了必然事件．（1）由表中摸球次數(shù)逐漸增大后，摸到紅球的頻率逐漸靠近于；（2）根據(jù)題意可得需要拿出所有的紅球即可；（3）根據(jù)題意可得拿掉個紅球，加入個黑球后，則紅球，總球數(shù)不變，再由概率公式計算，即可求解．【詳解】（1）解：通過以上實驗，摸到紅球的概率估計為，故答案為：；（2）解：∵估計摸到紅球的概率為，∴盒子里紅球的數(shù)量為個，∵“摸出黑球”為必然事件，∴袋子只有黑球，需要拿出所有的紅球，，故答案為：12；（3）解：由（2）知紅球的數(shù)量為12個，根據(jù)題意得，解得：．12．某商場有一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖）．規(guī)定：顧客購物100元以上可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一個區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎品．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701落在“鉛筆”的頻率(1)計算并完成表格（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）；(2)轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？【答案】(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.68、0.70(2)【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，數(shù)值越來越精確．（1）根據(jù)頻率的算法，頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)，可得各個頻率；（2）根據(jù)頻率的定義，可得當(dāng)n很大時，頻率將會接近其概率．【詳解】（1）解：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)68111136345546701落在“鉛筆”的頻率0.680.740.680.690.680.70（2）由表格可知：獲得鉛筆的概率約是；故轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是．13．為響應(yīng)生態(tài)文明，增強居民環(huán)保意識，某社區(qū)舉辦“綠色生活”問答賽，答對道以上題目的居民可參與如圖①的自由轉(zhuǎn)盤抽獎（指針指向邊界需重新轉(zhuǎn)）．請根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)小遠(yuǎn)在此次問答賽中共答對道題目，他轉(zhuǎn)到環(huán)保購物袋的概率是；(2)請你重新設(shè)計一種轉(zhuǎn)盤抽獎方案，使得最后抽到環(huán)保衛(wèi)士徽章、節(jié)能臺燈和環(huán)保購物袋的概率分別為，要求獎項包含內(nèi)容同圖①．你可以寫出設(shè)計方案，也可以在圖②中畫出具體設(shè)計方法（標(biāo)清楚具體獎項名稱）．【答案】(1)(2)設(shè)計方法見解析【分析】本題考查了幾何概率，掌握概率計算方法是解題的關(guān)鍵．（）用環(huán)保購物袋所在扇形的圓心角度數(shù)除以即可求解；（）根據(jù)概率求出各獎項所在扇形圓心角的度數(shù)，進而畫出設(shè)計方法即可；【詳解】（1）解：環(huán)保購物袋所在扇形的圓心角度數(shù)為，∴他轉(zhuǎn)到環(huán)保購物袋的概率是，故答案為：；（2）解：∵抽到環(huán)保衛(wèi)士徽章、節(jié)能臺燈和環(huán)保購物袋的概率分別為，∴環(huán)保衛(wèi)士徽章所在扇形圓心角的度數(shù)為，節(jié)能臺燈所在扇形圓心角的度數(shù)為，環(huán)保購物袋所在扇形的圓心角度數(shù)為，∴謝謝參與所在扇形的圓心角度數(shù)為，∴設(shè)計方法如圖所示：14．我市啟動“陽光體育”活動以后，各中小學(xué)體育活動精彩紛呈，形式多樣．現(xiàn)有四項體育活動：籃球、乒乓球、羽毛球、跳繩（依次用A，B，C，D表示），為了解學(xué)生對以上四項活動的喜好程度，我市對中小學(xué)進行最喜好的體育活動抽樣調(diào)查．并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖：(1)請補全條形統(tǒng)計圖；(2)估計某校3000名學(xué)生中最喜歡乒乓球活動的人數(shù)約為__________人；(3)現(xiàn)從喜好籃球的甲、乙．丙、丁四名學(xué)生中任選兩人參加?；@球隊進行集訓(xùn)，請用樹狀圖或列表法求恰好甲和丁同時被選到的概率．【答案】(1)圖見解析(2)1200；(3)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，能夠讀懂統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關(guān)鍵．（1）用條形統(tǒng)計圖中A的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中A的百分比可得抽取的學(xué)生人數(shù)，再用抽取的學(xué)生人數(shù)乘以扇形統(tǒng)計圖中C的百分比可得C類的人數(shù)，用抽取的學(xué)生人數(shù)分別減去A，C，D類的人數(shù)，求出B類的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可．（2）根據(jù)用樣本估計總體，用3000乘以樣本中B類的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．（3）畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲和丁同時被選到的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：抽取的學(xué)生人數(shù)為：（人），的人數(shù)為：（人），的人數(shù)為：（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）解：估計全校3000名學(xué)生中最喜歡乒乓球活動的人數(shù)約為（人），故答案為：1200；（3）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好甲和丁被選到的結(jié)果有2種，恰好甲和丁被選到的概率為．15．高爾頓釘板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型．如圖1是一個豎直放置的高爾頓釘板，其中，灰色圓面表示釘板上的釘子，分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等，從入口A，處投放一個直徑略小于兩顆釘子之間空隙的小球，小球下落過程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個相鄰空隙繼續(xù)下落的機會相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽內(nèi)．(1)求從入口A，處投放一個小球落入甲槽內(nèi)的概率；(2)某商家在研究了高爾頓釘板實驗后，利用其進行抽獎促銷活動銷售一種商品．現(xiàn)有如下抽獎方案：方案一：商品定價54元，顧客入店購買一件該商品，可以在圖1所示的釘板上玩一次游戲，小球落入甲槽內(nèi)則該商品立減2元，落入乙槽內(nèi)則該商品立減6元；方案二：商品定價a元，商家改進高爾頓釘板后如圖2所示，將釘子減少為3層．顧客入店購買一件該商品，可以在圖2所示的釘板上玩一次游戲，小球落入甲槽內(nèi)則該商品立減2元，落入乙槽內(nèi)則該商品立減6元．已知一件該商品的成本為40元，假如某天有100人各購買了一件該商品，并參與了此抽獎，請估算若要使商家采用方案一獲利不少于方案二，那么方案二中的定價a最高為多少元？并說明理由．【答案】(1)(2)商品的定價最高為55元，理由見解析【分析】本題考查了概率的計算與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過樹形圖分析所有可能情況，結(jié)合概率公式進行計算，并根據(jù)獲利情況建立不等式求解．（1）通過畫樹形圖列出小球下落的所有可能情況，根據(jù)概率公式計算小球落入甲槽的概率．（2）分別計算方案一和方案二商家的獲利，根據(jù)方案一獲利不少于方案二列出不等式，求解得出方案二商品定價的最大值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫出如下樹形圖，共有8種等可能情況，其中落入甲槽內(nèi)的有6種，∴從入口處投放一個小球落人甲槽內(nèi)的概率；（2）解：方案二中的定價最高為55元．理由如下：由（1）知方案一中，從入口處投放一個小球落人甲槽內(nèi)，∴（從入口處投放一個小球落人乙槽內(nèi)，則商家的獲利大約為（元）；由題可知，方案二中，（從入口處投放一個小球落入甲槽內(nèi)），從入口處投放一個小球落人乙槽內(nèi)，則商家的獲利大約為（元）；∵要使商家采用方案一的獲利不少于方案二，則，解得，故方案二中商品的定價最高為55元．16．某中學(xué)開展“國慶70周年閱兵盛典觀看情況”調(diào)查活動，隨機調(diào)查了部分初中生觀看閱兵盛典的收視情況，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后繪制成如圖1和圖2所示的不完整統(tǒng)計圖．(1)被調(diào)查初中生的人數(shù)為人；(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整；(3)若該學(xué)校有學(xué)生1000人，請估計該校沒觀看閱兵盛典的學(xué)生人數(shù)？(4)某班級3名同學(xué)都觀看了閱兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要從這3人中任選2人寫觀后感在班級交流，請用列表法或畫樹形圖法求選出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率．【答案】(1)(2)見解析(3)估計該校沒觀看閱兵盛典的學(xué)生人數(shù)為人(4)【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，樣本估計總體，畫樹狀圖法求概率；（1）由“看完整”的人數(shù)及其所占百分比可得被調(diào)查初中生的人數(shù)，（2）用總?cè)藬?shù)減去其它類型人數(shù)求得“看一多半”的人數(shù)，據(jù)此補全圖形即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“沒看”人數(shù)所占百分比可得；（4）設(shè)甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根據(jù)畫樹狀圖法即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：被調(diào)查初中生的人數(shù)為：（人）故答案為：．（2）“看一多半”的人數(shù)為：（人）補全條形圖如下：（3）（人）答：估計該校沒觀看閱兵盛典的學(xué)生人數(shù)為人；（4）解：設(shè)甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半共有種等可能結(jié)果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有種，∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率為17．某商場在促銷活動中設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤等分為10份，如圖所示．同時規(guī)定：顧客購物滿20元就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，下表是活動中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n100200300400500指針落在“謝謝參與”區(qū)域的次數(shù)m296093122b指針落在“謝謝