永州市省重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．若圓被直線截得的弦長為6，則（）A．26 B．31 C．39 D．434．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．5．三星堆古遺址是迄今在西南地區(qū)發(fā)現(xiàn)的范圍最大，延續(xù)時間最長，文化內(nèi)涵最豐富的古城、古國、古蜀文化遺址.三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明的母體，被譽(yù)為“長江文明之源”.考古學(xué)家在測定遺址年代的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)的碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14的含量隨時間（年）變化的數(shù)學(xué)模型：（表示碳14的初始量）.2020年考古學(xué)家對三星堆古遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的含量約為初始量的68%，據(jù)此推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．21 B．11 C．-21 D．07．展開式中的系數(shù)為（）A．-3 B．3 C．-15 D．158．在三棱錐中，底面是面積為的正三角形，若三棱錐的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，且點(diǎn)恰好在平面內(nèi)，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知平面向量，，且，則（）A． B． C． D．10．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個解，則的值可能為（）A．-2 B．-1 C．0 D．111．已知，，且，則（）A． B．C． D．12．設(shè)，同時為橢圓，與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（）A．，則B．，則C．，則的取值范圍是D．，則的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．若，則______.14．沙漏是一種古代的計(jì)時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，該圓錐的高為1，若上面的圓錐中裝有高度為的液體，且液體能流入下面的圓錐，則液體流下去后的液面高度為______.15．規(guī)定記號“”表示一種運(yùn)算，即，，若，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則______.16．三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損一”“三分益一”兩層含義.三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度生得長度.兩種方法可以交替運(yùn)用、連續(xù)運(yùn)用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生.假設(shè)能發(fā)出第一個基準(zhǔn)音的樂器的長度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在①，，成等差數(shù)列；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，______？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.18．（12分）在公比大于0的等比數(shù)列中，已知，，依次組成公差為4的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，.（1）證明：.（2）若平面平面，經(jīng)過，的平面將四棱錐分成左、右兩部分的體積之比為1:2，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知直線交拋物線于點(diǎn)，，且，證明：直線過定點(diǎn).21．（12分）某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)同種產(chǎn)品的生產(chǎn)線.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，100次生產(chǎn)該產(chǎn)品所用時間的頻數(shù)分布表如下：所用的時間（單位：天）10111213甲生產(chǎn)線的頻數(shù)10201010乙生產(chǎn)線的頻數(shù)520205假設(shè)訂單約定交貨時間為11天，訂單約定交貨時間為12天.（將頻率視為概率，當(dāng)天完成即可交貨）（1）為盡最大可能在約定時間交貨，判斷訂單和訂單應(yīng)如何選擇各自的生產(chǎn)線（訂單，互不影響）；（2）已知甲、乙生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本分別為3萬元、2萬元，訂單，互不影響，若規(guī)定實(shí)際交貨時間每超過一天就要付5000元的違約金，現(xiàn)訂單，用（1）中所選的生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品，記訂單，的總成本為（萬元），求隨機(jī)變量的期望值.22．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.高三數(shù)學(xué)試卷參考答案1．A2．C3．C4．B5．B6．D7．D8．B9．AD11．BCD12．BD13．14．15．116．17．解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，又，所?選擇①因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，解得.由，，所以，故存在滿足題意的..選擇②因?yàn)椋?，這與矛盾，所以不存在.選擇③因?yàn)?，所以，得，所以，此時存在.又，所以，所以，所以.18．解：（1）設(shè)的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，則，又，所以.又因?yàn)?，所以，所?（2）由題可知，則，①，②①-②得.故.19．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)?，，所以為平行四邊形，又，所?因?yàn)椋?，又，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平?因?yàn)椋云矫婕礊槠矫?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以.又平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面所成的角（銳角）為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．（1）解：過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為（圖略），則，故.又在拋物線上，所以，則，解得，.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，則，.因?yàn)椋?，即，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，，則，，所以，直線的方程為，則直線過定點(diǎn).21．解：（1）頻率分布表如下：所用的時間（單位：天）10111213甲生產(chǎn)線的頻率0.20.40.20.2乙生產(chǎn)線的頻率0.10.40.40.1設(shè)事件，分別表示訂單選擇甲、乙生產(chǎn)線在約定時間交貨；事件，分別表示訂單選擇甲、乙生產(chǎn)線在約定時間交貨.，，，，所以訂單選擇甲生產(chǎn)線，訂單選擇乙生產(chǎn)線.（2）設(shè)表示訂單實(shí)際交貨時間超過約定時間的天數(shù)，表示訂單實(shí)際交貨時間超過約定時間的天數(shù)，，的分布列分別如下：0120.60.20.2010.90.1設(shè)，則的分布列如下：01230.540.240.20.02，所以（萬元），所以訂單，的總成本的期望值為5.35萬元.22．解