1/2專題06立體幾何初步目錄目錄學(xué)考要求速覽必備知識梳理高頻考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積與體積考點(diǎn)三：空間中的位置關(guān)系考點(diǎn)四：空間角的計(jì)算考點(diǎn)五：立體幾何綜合問題實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練必備知識梳理 1高頻考點(diǎn)精講 3考點(diǎn)一：集合的含義與表示 3考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系 4考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算 5考點(diǎn)四：充分條件與必要條件 6考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞 7實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 1、利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形,認(rèn)識棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系,能運(yùn)用這些結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2、知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡單的實(shí)際問題.3、知道圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡單的實(shí)際問題.4、知道球的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡單的實(shí)際問題.5、了解基本事實(shí)1~3和確定平面的推論,掌握平面的畫法及表示方法.6、借助長方體認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.7、掌握直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,并加以證明.8、掌握平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,并加以證明.9、掌握直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并加以證明.10、掌握平面與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理,并加以證明.11、掌握空間角和空間距離的計(jì)算方法1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．空間幾何體多面體:由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體旋轉(zhuǎn)體:由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體.2．棱柱:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.①直棱柱:側(cè)棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱.②正棱柱:底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.3．棱錐:有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.①正棱錐:底面為正多邊形,且頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心.②正三棱錐:底面為正三角形,側(cè)棱相等,對棱垂直.③正四面體：側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體.(特殊正三棱錐,四個(gè)面都是等邊三角形)4.棱臺:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分,這樣的多面體叫做棱臺.①正棱臺：側(cè)面是全等的等腰梯形;側(cè)棱延長后相交于一點(diǎn).5．圓柱:以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.①上、下底及平行于底面的截面都是等圓;過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.②圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.6．圓錐:以直角三角形的一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比②軸截面是等腰三角形③l2=?④圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心,以母線長為半徑的扇形.7．圓臺:用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺.8．球:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體①球心與截面圓心的連線垂直于截面;②R2=r2+d22、空間幾何體的表面積與體積(1)由于棱柱、棱錐、棱臺是由多個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，所以它們的表面積就是各個(gè)面的面積和.(2)圓柱的側(cè)面積S=2πrl(側(cè)面展開圖是矩形)圓柱的表面積(3)圓錐的側(cè)面積S=12(4)圓臺的側(cè)面積S=πr(5)V柱體(6)V錐體(7)V(8)S球=4π3、立體幾何基本事實(shí)1．公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).∵A∈α2．公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.∵A,B,C三點(diǎn)不共線,∴推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.∵A?l,∴經(jīng)過A與推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.∵m∩n=A,∴經(jīng)過推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.∵m//l,∴經(jīng)過m與l3．公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.∵P∈α,4．公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.∵a5．等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4、平行的判定及其性質(zhì)1．直線與平面平行(1)判定定理文字語言.如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.圖形語言符號語言a(2)性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.圖形語言符號語言a//α,a?2．平面與平面平行(1)判定定理文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.圖形語言符號語言a?β,(2)性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行.圖形語言符號語言α//β,α∩4．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)（1）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線,則這兩個(gè)平面平行.（2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面.5、垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直(1)判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.圖形語言符號語言l(2)性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.圖形語言符號語言a⊥2．平面與平面垂直(1)判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直.圖形語言符號語言l⊥α,(2)性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.圖形語言符號語言α考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例題1（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，在三棱臺ABC?A1B1C1中，沿平面A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】B【分析】根據(jù)錐體、柱體、臺體等知識確定正確答案.【詳解】截去三棱錐B1?A故選：B例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）在空間，到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合表示的圖形是（

）A．一個(gè)點(diǎn) B．一條直線 C．一個(gè)平面 D．一個(gè)球面【答案】B【分析】易得空間中到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線，如圖，設(shè)點(diǎn)O為△ABC的外心，且直線l⊥平面ABC，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，證明PA=PB=PC即可.【詳解】空間中到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線，如圖，設(shè)點(diǎn)O為△ABC的外心，且直線l⊥平面ABC，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，則OA=OB=OC，且OA,OB,OC?平面ABC，所以直線l⊥OA，直線l⊥OB，直線l⊥OC，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PA=PB=PC，即直線l的點(diǎn)到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合時(shí)，由勾股定理可得PA=PB=PC，即直線l的點(diǎn)到△ABC的三個(gè)定點(diǎn)距離相等，綜上直線l的點(diǎn)到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，反之到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以空間中到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線.故選：B例題3．（2024高二上·黑龍江佳木斯·學(xué)業(yè)考試）一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體是（

A．球體 B．圓柱 C．圓臺 D．圓錐【答案】D【分析】根據(jù)圓錐定義可得結(jié)論.【詳解】依題意可知一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°故選：D1．已知圓錐的母線長為22，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（

A．2 B．22 C．3 D．【答案】A【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)=2πr，所以l=2r故選：A.2．如圖所示，這個(gè)幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征是（

）A．圓錐和圓柱的組合體B．球和圓柱的組合體C．圓錐和棱柱的組合體D．球和棱柱的組合體【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的特征可得出結(jié)論.【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)球和棱柱構(gòu)成的組合體.故選：D3．如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（

）A．四棱臺 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱【答案】C【分析】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征直接判斷即可.【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點(diǎn)分別為D,E,D由三棱錐性質(zhì)可知，ABED和A1又平面ABB1A平面ACC1A1分別與平面ABB所以AA1//又AA1//所以盛水部分的幾何體是四棱柱.故選：C考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積與體積例題1（2024高二上·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知圓柱的底面半徑是2，高是3，則該圓柱的體積是（

）A．2π B．4π C．6π【答案】D【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，圓柱的體積為V=s?=π故選：D.例題2．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）若長方體的長、寬、高分別為1，1，3，且它的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球體積為（

）A．55π3 B．5π C．【答案】D【分析】由長方體外接球直徑為體對角線，結(jié)合球體體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，長方體外接球直徑為體對角線為12所以該球體積為43故選：D例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個(gè)半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（

）A．4π B．8π C．12π【答案】B【分析】設(shè)底面圓半徑為r，則圓柱的高為24?r2【詳解】設(shè)底面圓半徑為r，則圓柱的高為24?圓柱側(cè)面積為S=2π當(dāng)且僅當(dāng)r=4?r2故選：B.1．一個(gè)圓錐的底面直徑和高都同一個(gè)球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（

）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9【答案】C【分析】設(shè)球體的半徑r，根據(jù)已知條件把圓錐和球體的體積表示出來相比就可以了.【詳解】設(shè)球體的半徑為r，圓錐底面半徑為r，高為2r則圓錐的體積為：V1球體的體積：V所以圓錐與球的體積之比為：1∶2故選：C.2．如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個(gè)全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD和△FBC是兩個(gè)全等的正三角形．已知該多面體的棱BF與平面ABCD成的角45°，A．80 B．803 C．160 D．【答案】D【分析】先求兩個(gè)等腰梯形的高，進(jìn)而計(jì)算出屋頂?shù)膫?cè)面積.【詳解】設(shè)G,H分別是BC,AD的中點(diǎn)，連接HG，根據(jù)對稱性可知，F(xiàn)在平面ABCD的射影在HG上，設(shè)其為O，連接FO,OB，則FO⊥平面ABCD，而OB?平面ABCD，所以O(shè)F⊥OB，所以∠FBO是BF與平面ABCD成的角，即∠FBO=45所以FO=OB=8×2過O作OP⊥AB，垂足為P，連接FP，由于OP,AB?平面ABCD，所以FO⊥OP,FO⊥AB，由于FO∩OP=O,FO,OP?平面FOP，所以AB⊥平面FOP，由于FP?平面FOP，所以AB⊥FP，OP=12BC=4所以BP=82?所以該屋頂?shù)膫?cè)面積為：2×12+20故選：D3．已知圓柱的底面半徑和球的半徑均為2，圓柱的體積為8π，則圓柱與球的表面積之比為（

A．1:1 B．1:2 C．2:3 D．3:4【答案】A【分析】由圓柱的體積求出圓柱的高，再由圓柱與球的表面積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑和球的半徑為R,圓柱的高為?，所以R=2，所以球的表面積為S1所以圓柱的體積為V=πR2圓柱的表面積為：S2所以S1故選：A.考點(diǎn)三：空間中的位置關(guān)系例題1（2024高二·江蘇·學(xué)業(yè)考試）設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若l//α，lB．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βC．若α⊥β，l//αD．若l//α，l⊥β【答案】D【分析】利用線面位置關(guān)系判斷ABC，利用線面平行的性質(zhì)定理與面面垂直的判定定理判斷D，從而得解.【詳解】對于A：若l//α，l//β，則α//對于B：若α⊥β，l⊥α，則l//β或?qū)τ贑：若α⊥β，l//α，則l//β或l?β或?qū)τ贒：若l//α，由線面平行的性質(zhì)定理可得過l的平面γ，若γ∩α=m，則因?yàn)閘⊥β，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，故D正確；故選：D.例題2．（2024高二上·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知直線l∥平面α，則（

）A．l與α內(nèi)所有直線都平行B．α內(nèi)不存在直線與l垂直C．過l的平面與α必平行D．α內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直【答案】D【分析】由直線與平面平行定義可得答案.【詳解】對于A，直線l∥平面α，則平面內(nèi)的直線與直線l可能平行，或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，由A分析，在與直線l異面的直線中，存在與直線l垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，過l的平面可能與α相交，故C錯(cuò)誤；對于D，由B分析，可在平面α內(nèi)做無數(shù)條與直線l垂直的直線，故D正確.故選：D例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知直線l∥平面α，直線m?平面α，則l與m不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【分析】若l與m相交，得到l與α有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾，得到答案.【詳解】直線l∥平面α，直線m?平面α，則l與m可能平行，異面和垂直，若l與m相交，l∩m=A，則A∈l，A∈m，直線m?平面α，故A∈α，即l與α有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.故選：B1．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．異面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直【答案】A【分析】由圖正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及異面直線的定義可得答案.【詳解】由圖知DD1∩平面ABCD=D，BC?平面ABCD根據(jù)異面直線的定義，直線BC與直線DD故選：A2．已知平面α，直線m，n．（

）A．若m//n,n//α，則m//α B．若m⊥n,n//α，則m⊥αC．若m//α,n//α，則m//n D．若m⊥α,n//α，則m⊥n【答案】D【分析】根據(jù)線面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A，若m//n,n//α，則m//α或m?α，故A錯(cuò)誤；對B，若m⊥n,n//α，則m和α平行、相交或在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對C，若m//α,n//α，則m,n平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤；對D，若m⊥α,n//α，則m⊥n，故D正確.故選：D.3．關(guān)于三條不同直線a，b，l以及兩個(gè)不同平面γ，β，下面命題正確的是（

）A．若a//γ，b//γ，則a//b B．若a//γ，b⊥γ，則b⊥aC．若a//γ，γ⊥β，則a⊥β D．若a?γ，b?γ，且l⊥a，l⊥b，則l⊥γ【答案】B【分析】ACD可舉出反例，B選項(xiàng)，可利用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)推出.【詳解】A選項(xiàng)，若a//γ，b//γ，則a，b平行，相交或異面，比如圖1和圖2，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)閍//γ，如圖3，不妨設(shè)a?α，且α∩γ=c，則a//c，因?yàn)閎⊥γ，c?γ，所以b⊥c，由a//c，則b⊥a，B正確；C選項(xiàng)，如圖4，滿足a//γ，γ⊥β，但a?β，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，a?γ，b?γ，且l⊥a，l⊥b，若a//b，則不能得到l⊥γ，D錯(cuò)誤.故選：B考點(diǎn)四：空間角的計(jì)算例題1（2024高二上·江蘇·學(xué)業(yè)考試）在正方體ABCD?A1B1C1DA．33 B．63 C．2 【答案】D【分析】根據(jù)正方體的特征結(jié)合線面角的定義得出線面角為∠A【詳解】在正方體ABCD?A1B又因?yàn)锳A1⊥所以直線A1C與平面ABCD所成角為∠A故選：D.例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，正方體ABCD?A1B1C1DA．1 B．32 C．22 【答案】C【分析】連接BD，DD1⊥平面ABCD，故∠DBD1【詳解】如圖所示：連接BD，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，故∠DBD1線B∴tan∠DB故選：C例題3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（

）A．33 B．22 C．2 【答案】C【分析】利用定義作出∠A1OA【詳解】如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，則AO⊥BD,A1O⊥BD，∠A1OA為二面角A1－BD設(shè)A1A＝a，則AO＝22a所以tan∠故選：C【點(diǎn)睛】求二面角，可利用定義直接作出其平面角來求，或者利用法向量公式解決.1．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E為A1C的中點(diǎn)，A．23 B．33 C．22【答案】C【分析】將異面直線AE與BC所成角轉(zhuǎn)化為∠EAD或其補(bǔ)角，再通過邊的計(jì)算得到∠EAD=π【詳解】連接DE,AC,A1D，由BC∥AD可得∠EAD或其補(bǔ)角即為異面直線AE與BC所成角，又A1A⊥面ABCD，AC?則AE=12A1C=12×2則異面直線AE與BC所成角的余弦值為cosπ故選：C.2．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A．π2 B．π3 C．π4【答案】D【分析】平移直線B1C至A1D，將直線DP與B1【詳解】如圖，連接A1P，A1D，所以∠PDA1或其補(bǔ)角為直線DP與因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1DBB1∩B1D1=B又PD?平面BDD1B設(shè)正方體的棱長為2，則A1D=22在Rt△A1DP中，故選：D.3．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】連接AC，由已知條件可證得BD⊥平面AA1C1C【詳解】連接AC，則AC⊥BD，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD所以AA因?yàn)锳A所以BD⊥平面AA因?yàn)镃E在平面AA所以BD⊥CE，所以異面直線CE與BD所成的角為90°，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題考點(diǎn)五：立體幾何綜合問題例題1（2024高二上·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，已知正方體ABCD?A(1)A1B1∥(2)B1C⊥平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）通過證明A1B1（2）通過證明B1【詳解】（1）由題，四邊形ABB1A1為正方形，則A又A1B1?平面ABC1D1，AB?面（2）由題，AB⊥平面BCC1B1，又B1又四邊形CBB1C因B1C⊥BC1，B1則B1C⊥例題2．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，∠CBA=90°，PA⊥平面ABCD，(1)求證：PC⊥CD；(2)已知三棱錐A?PCD的體積為13，求直線PC與平面PAB【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)題意分析證明CD⊥平面PAC，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由體積可得PA=1，可證BC⊥平面PAB，結(jié)合線面夾角的定義分析求解.【詳解】（1）在梯形ABCD中，由AB=BC=12AD=1，AD//BC所以AC2+C又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且CD?平面ABCD，則PA⊥CD，因?yàn)镻A?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．又PC?平面PAC，所以CD⊥PC．（2）由（1）知S△ACD所以VA?PCD=V又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC，因?yàn)椤螩BA=90°，所以BA⊥BC，因?yàn)镻A?平面PAB，BA?平面PAB，且PA∩BA=A，所以BC⊥平面PAB，故PB是PC在平面PAB上的投影，所以∠CPB即為直線PC與平面PAB所成的角的平面角，在△PAB中，解得PB=P所以tan∠CPB=所以直線PC與平面PAB所成角正切值為22例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱錐P?ABC的底面ABC和側(cè)面PBC都是邊長為2的等邊三角形，M,N分別是AB,BC的中點(diǎn)，PN⊥AN.(1)證明：MN//平面PAC；(2)求三棱錐P?ABC的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明PN⊥平面ABC，即可求出三棱錐的體積【詳解】（1）因?yàn)镸,N分別是AB,BC的中點(diǎn)，所以MN//因?yàn)镸N?平面PAC，AC?平面PAC，所以MN//平面PAC；（2）因?yàn)椤鱌BC是等邊三角形，N是BC的中點(diǎn)，所以PN⊥BC，因?yàn)镻N⊥AN，AN,BC?平面ABC，AN∩BC=N,所以PN⊥平面ABC，因?yàn)榈酌鍭BC和側(cè)面PBC都是邊長為2的等邊三角形，所以V1．如圖在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD上一點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面FAE；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）證明BD與PA,AC垂直，由線面垂直的判定定理得證；（2）先證明EA與平面PAB垂直，即可得證面面垂直．【詳解】（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴PA⊥BD，而AC∩PA=A，AC?面PAC，PA?面PAC，∴BD⊥平面PAC；（2）∵ABCD是菱形，∠BC=60°，∴△ACD是等邊三角形，又E為CD中點(diǎn)，∴AE⊥CD，而CD//AB，∴AE⊥AB，又PA⊥面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，而AB∩PA=A，AB?面PAB，PA?面PAB，∴AE⊥平面PAB，又AE?平面AEF，∴平面PAB⊥平面FAE．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和面面垂直的證明，掌握線面垂直與面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E為AP的中點(diǎn)，且AB=2,AP=4．(1)證明：CP//平面BDE；(2)求三棱錐P?BDE的體積．【答案】(1)證明過程見解析(2)4【分析】（1）作出輔助線，利用中位線得到線線平行，從而求出線面平行；（2）求出VP?ABD，進(jìn)而求出V【詳解】（1）連接AC交BD于點(diǎn)H，連接EH，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以H為AC的中點(diǎn)，因?yàn)镋為AP的中點(diǎn)，所以EH//PC，因?yàn)镋H?平面BDE，PC?平面BDE，所以PC//平面BDE；（2）因?yàn)锳B=2,AP=4，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，所以VP?ABD因?yàn)镋為AP的中點(diǎn)，所以VP?BDE3．如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，側(cè)面CDD1C1是菱形，（1）求證：EF//平面AD（2）求EF與平面ABCD所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）5117【分析】（1）設(shè)DD1中點(diǎn)為G，連接EG,AG，得EG//CD,EG=1（2）過D1作D1M⊥DC于M，過E作EH⊥DC于H，連接FH，則EH//D1M，得EH⊥平面ABCD，所以∠EFH為直線EF與平面ABCD所成的角，設(shè)正方形ABCD的邊長為a【詳解】（1）設(shè)DD1中點(diǎn)為G，連接因?yàn)镋，G分別為CD所以EG//在正方形ABCD中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以AF=12AB=所以EG//AF且所以四邊形AFEG是平行四邊形，所以EF//因?yàn)锳G?平面ADD1A所以EF//平面AD（2）過D1作D1M⊥DC于M，過E作EH⊥DC于H，連接FH因?yàn)槠矫鍯1D1DC⊥平面ABCD，且平面EH?平面C1D1DC，所以所以FH是EF在平面ABCD內(nèi)的射影，所以∠EFH為直線EF與平面ABCD所成的角，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，因?yàn)閭?cè)面CDD1C1是菱形，又因?yàn)镋H//D1M且E是在正方形ABCD中，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，H為CD的四等分點(diǎn)，F(xiàn)H=17所以在直角三角形EHF中，tan∠EFH=所以EF與平面ABCD所成角的正切值為5117.訓(xùn)練1、已知圓錐的底面半徑為1，且其軸截面是一個(gè)等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（

）A．2π B．3π C．4π 【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)確定圓錐母線長、底面周長，應(yīng)用側(cè)面積公式求圓錐側(cè)面積.【詳解】由題設(shè)，圓錐的母線長為2，底面周長為2π，故圓錐的側(cè)面積為1故選：A2、乒乓球是一項(xiàng)深受我國廣大人民群眾喜愛的體育運(yùn)動(dòng)，乒乓球臺主要由乒乓球網(wǎng)和臺面組成．如圖所示，如果將乒乓球臺的臺面抽象成平面α，將乒乓球網(wǎng)的上邊緣抽象成直線，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（

）．A．l?α B．l⊥αC．l//α D．l與【答案】C【分析】利用線面平行的判定定理證明即可.【詳解】由題意得l?α，且l平行于乒乓球網(wǎng)的下邊緣，而乒乓球網(wǎng)的下邊緣在平面α內(nèi)，由線面平行的判定定理得l//故選：C3、已知a，b是空間中兩條不同的直線，α，β，γ是空間中三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若a//α，b//α，則a//b B．若a⊥α,b⊥α，則a//bC．若a⊥b，a⊥α，則b//α D．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ【答案】B【分析】根據(jù)線面平行及線面垂直得出線面，線線位置關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】若a//α，b//α，則a//b或a,b相交或異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)若a⊥α,b⊥α，則a//b，B選項(xiàng)正確；若a⊥b，a⊥α，則b//α或b在平面α內(nèi)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若α⊥β，β⊥γ，則α//γ或α,γ相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.4、在正四棱錐P?ABCD中，PA=2,AB=2,E是PC中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成的角為（A．π2 B．π3 C．π4【答案】C【分析】根據(jù)線線平行可得∠BEO即為異面直線PA與BE所成的角或其補(bǔ)角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】連接AC,BD相交于O，連接OE,則O是AC,BD的中點(diǎn)，故OE//PA，故∠BEO即為異面直線PA與BE所成的角或其補(bǔ)角，由于PA=2,AB=2，故BD=2,OE=由于cos∠PCB=故BE=C故BE2=O故∠BEO=π4，即異面直線PA與BE所成的角為故選：C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC,AB⊥BC,BA=BC=BP=1，則這個(gè)三棱錐的體積為（

）A．17 B．16 C．15【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用錐體的體積公式直接計(jì)算即得.【詳解】在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC，則BP=1是三棱錐P?ABC的高，由AB⊥BC,BA=BC=1，得S△ABC所以該三棱錐的體積為V=1故選：B6、如圖，在三棱柱ABC?A1B1CA．AB B．CC1 C．BC 【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可得出答案.【詳解】由題意，AB?平面AA1B1B因?yàn)镃C1//AA1，CC所以CC1//故選：B.7、如圖，在長方體，ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA

A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義求解：說明∠A1C1D【詳解】∵CD//C∴∠A1C1D在直角△A1Ctan∠A1所以異面直線CD與A1C1故選：A．8、小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別記為A,B,C，如圖1所示，然后截去以△ABC為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（

）

A．108 B．162 C．180 D．189【答案】C【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以△ABC為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為V，則V=V故選：C.9、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為棱A1A．53 B．55 C．25【答案】D【分析】作出線面角，解直角三角形求得線面角的最小值.【詳解】設(shè)G是DD1的中點(diǎn)，連接由于EG//AD，所以EG⊥平面DCC1D1，且∠GC1E是直線C設(shè)正方體的邊長為2，則EG=2,C所以sin∠G故選：D10、如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=2AC=2BC，M是PB的中點(diǎn)，

(1)求證：PA??//平面(2)求直線CP與平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）只需證明PA//MO，再結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）由等體積法即可求解.【詳解】（1）∵AB=2AC=2∴∠ACB=90°，△ABC

又O為△ABC的外心，∴O為AB的中點(diǎn).連接MO，又M為PB的中點(diǎn)，所以△PAB中PA//MO，又PA?平面COM，MO?平面COM，∴PA//平面COM.（2）由（1）知AC⊥BC，又由已知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC，因?yàn)镻A∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面APC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC.不妨設(shè)BC=1，∵PA=AB=2∴AC=1，PA=AB=2，PB=2，CP=又∠PAB=∠PCB=90°，M為∴AM=CM=1，∴△ACM是邊長為1的等邊三角形，∴S設(shè)點(diǎn)P到平面ACM的距離為?，∵VP?ACM＝VM?ACP∴13×設(shè)直線CP與平面ACM所成的角為θ，∴sin所以直線CP與平面ACM所成角的正弦值為2311、如圖，在正方體ABCD?A1B1C(1)求證：AA(2)求證：PC//平面A1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)AA1⊥平面ABCD（2）根據(jù)平面ABCD//平面A1B