第04講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值

（5類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第10題,6分求已知函數(shù)的極值點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

利用導數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)對稱性的應用

2024年新II卷，第11題,6分極值與最值的綜合應用

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

判斷零點所在的區(qū)間

求在曲線上一點處的切線方程

2024年新H卷，第16題,15分根據(jù)極值求參數(shù)

利用導數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性

2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷

基本（均值）不等式的應用、求平面軌跡

2023年新I卷，第22題,12分由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長

2023年新II卷，第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范鬧

利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2023年新R卷，第22題,12分根據(jù)極值點求參數(shù)利用導數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

錐體體積的有關(guān)計算球的體積的有關(guān)計算

2022年新I卷，第8題,5分由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

多面體與球體內(nèi)切外接問題

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新1卷,第10題,5分求已知函數(shù)的極值點

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

2022年新I卷，第22題,12分由導數(shù)求函數(shù)的最值（含參）利用導數(shù)研究方程的根

2021年新I卷，第15題,5分由導數(shù)求函的最值（不含參）無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-13-15分

【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件

2能夠利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值

3體會導數(shù)與極大(，.、)值、最大(小)值的關(guān)系

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的

極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復習

知識講解

1.函數(shù)的極值與導數(shù)

⑴函數(shù)的極小值與極小值點

若函數(shù)/(用在點x處的函數(shù)值/S)比它在點工二。附近其他點的函數(shù)值都小，=0,

而且在點工二。附近的左側(cè)右側(cè)/''(x)>0,則點。叫做函數(shù)的極小值點，/⑷叫做函

數(shù)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值與極大值點

若函數(shù).ZU)在點x=b處的函數(shù)值次6)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)=0,

而且在點x=b附近的左側(cè)/V)>0,右側(cè)/'(X)<0,則點b叫做函數(shù)的極大值點，/S)叫做函

數(shù)的極大值.

(3)極值與導數(shù)的關(guān)系

/⑴是極值點n/'(x)=0

外幻=0?/&)是極值點，即：/'(x)=0是/'(外為極值點的必要非充分條件

2.函數(shù)的最值與導數(shù)

(1)函數(shù)人工)在口，可上有最值的條件

如果在區(qū)間口，句上函數(shù)y=/?的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求y=/(x)在［明切上的最大(小)值的步驟

①求函數(shù)y=/(x)在(%b)內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=/U)的各極值與端點處的函數(shù)值火。)，人份比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值.

考點一、求函數(shù)的極值或極值點

典例乳領(lǐng)

1.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)f(x)=(l-ov)ln(l+x)-x.

⑴當〃=-2時，求/(力的極值；

(2)當工之0時，〃x)20,求。的取值范圍.

2.(2023?北京?高考真題)設函數(shù)/(x)=x-通。*，曲線片/(工)在點QJ⑴)處的切線方程為y=-x+i.

⑴求〃,方的值；

(2)設函數(shù)g(x)=/'(%),求股x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶求/(X)的極值點個數(shù).

3.(2021?天津?高考真題)已知〃>0,函數(shù)f(x)=or-M.

(I)求曲線V=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程:

(II)證明/G)存在唯一的極值點

(III)若存在〃，使得“外<〃+人對任意xcR成立，求實數(shù)人的取值范圍.

1.(2024?湖南長沙?三模)已知函數(shù)/(力=工+1”洲+’.武(0<0).

a

⑴求函數(shù)/(X)的極值;

⑵若集合有且只有一個元素，求。的值.

2.(2024浙江溫州?三?！翟O函數(shù)/(》)=川!3-2/的導函數(shù)為g(x).

6

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)證明：函數(shù)/")存在唯一的極大值點而，且

(參考數(shù)據(jù)：In2才0.6931)

3.(2024?陜西商洛?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=xh"x-lnx+l的導函數(shù)為/'(x).

⑴證明：函數(shù)/(》)有且只有一個極值點；

(2)若礦⑴-3-〃ac，恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

C3

考點二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點求參數(shù)值或范■U

典例引領(lǐng)

1.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'-ax-/.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(X)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

2.(2023?全國?高考真題)(1)證明：當0<x<l時，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/(x)=cosat-ln(l-x2),若x=0是/(x)的極大值點，求a的取值范圍.

3.(2023?全國?高考真題)己知函數(shù)/(x)=(：+a)ln(l+x).

⑴當a=-1時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

⑵是否存在a，b,使得曲線y=/(g)關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若/(X)在(0,+句存在極值，求。的取值范圍.

4.(2021?全國?高考真題)設函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)j二干八工)的極值點.

(1)求4：

(2)設函數(shù)g(x)=x\(?.證明：g(x)vl.

xf(x)

1.(2024?陜西銅川?模擬預測)已知函數(shù)。(x)=2/+3/—⑵+加(〃?eR)的一個極值為-2.

⑴求實數(shù)用的值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間嗚上的最大值為18,求實數(shù)々與，〃的值.

2.(2024?重慶?模擬預測)已知/(x)=e、aln(17)

⑴若/(-V)在X=0處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)若〃x)存在極值點，求〃的取值范圍.

3.(2023?湖南郴州?一模)已知函數(shù)/(x)=21nx+；&-(2a+l)x.

⑴若曲線y=/(x)在(1J⑴)處切線與x軸平行，求。；

(2)若/(》)在x=2處取得極大值，求a的取值范圍.

2t

4.(2024?山東泰安?模擬預測)已知函數(shù)/(xhf,g(x)=—+Zlnx.

fx

⑴求函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)”")=/(x)-g(x)在(0,2)有兩個極值點，求實數(shù)，的取值范圍.

考點三、利用導數(shù)求函數(shù)最值

典例引領(lǐng)

1.（2024?安徽?三模）己知函數(shù)/⑺=2（x-l）e'-a/.

⑴求曲線y=/（x）在x=0處的切線方程；

（2）若〃=e2,求函數(shù)/（X）在［1,3］上的最值.

2.（2024?廣東東莞?模擬預測）已知函數(shù)=a）x-alnx（qeR）.

⑴求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當。＞0時，求函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,同上的最大值.

1.（2024?山東泰安三模）已知函數(shù)/（x）=x。一笥

⑴i寸論/'⑴的最值：

（2）若。=1,且/（x）W竺二，求上的取值范圍.

X

2.（2024?山西晉中?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=lnx+sinx+si咔.

⑴求函數(shù)〃力在區(qū)間［Le］上的最小值;

⑵判斷函數(shù)〃x）的零點個數(shù)，并證明.

3.（2021?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）==2.

尸+a

（1）若”0,求曲線J=/（x）在點（1,/⑴）處的切線方程：

（2）若/（X）在尸-1處取得極值，求/（X）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

考點四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=e、-ox,和g"）="-hx有相同的最小值.

⑴求。；

（2）證明：存在直線歹二心其與兩條曲線卜二/（幻和卜=8&）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數(shù)列.

2.（2024?海南?模擬預測）已知函數(shù)/（力=》2-Hnx+l,〃eR.

⑴當4=1時，求曲線y=/W在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)當。>0時，若函數(shù)/(X)有最小值2,求。的值.

3(2024?四川?模擬預測)已知函數(shù)/("=北-2atm>0).

⑴若函數(shù)/W在x=l處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為求。的值；

⑵若函數(shù)/W的最小值為-e,求4的值.

1.(2024?湖北武漢?模擬預測)己知函數(shù)/(x)=&%x>0).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)有最大值9求實數(shù)。的值.

2.(2024?陜西西安?一模)已知函數(shù)/(x)=e'-%3->20r.

⑴若/(x)在［0,xo)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若。=/(%)的最小值為1,求

3.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=；(ln"-a4.

⑴若/")在(。,+8)上單調(diào)遞減，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(x)的最小值為6,求實數(shù)。的值.

4.(2024,全國?模擬預測)已知函數(shù)/(力哈和函數(shù)g(x)=臂有相同的最大值.

⑴求a的值：

⑵設集合力={x|/(x)=b},8={x|g(x)=〃}(人為常數(shù)).證明：存在實數(shù)A使得集合力U8中有且僅有3

個元素.

考點五、選填小題中極值的應用與求解

典例同領(lǐng)

1.(2022?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2可的最小值、最大值分別為()

兀兀3兀兀兀兀?3兀兀c

A.—,-B.------,-C.—,—F2D.-------,—F2

22222222

2.(2021?全國?高考真題)設。工0,若。為函數(shù)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a~D.ab>a2

3.(2024?全國?高考真題)(多選)設函數(shù)/(外=2%3_3#+1,則()

A.當時，/(x)有三個零點

B.當。<0時，x=0是的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在〃，使得點(1J⑴)為曲線y=/(x)的對稱中心

4.(2022?全國?高考真題)已知》=再和不二/分別是函數(shù)/(x)=21—ex2(。>0且awl)的極小值點和極

大值點.若則。的取值范圍是.

1.(2021?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

Az?

2.(2023?全國?高考真題)(多選)若函數(shù)/("=41g+-+=(400)既有極大值也有極小值，則().

X-X

A.bc>0B.ah>0C.b2+Sac>0D.ac<0

3.(2024?全國?高考真題)(多選)設函數(shù)/(外=(X-1)2(X-4),則()

A.x=3是/(x)的極小值點B.當0cx<1時，/(x)</(x2)

C.當l<x<2時，-4</(2x-l)<0D.當一l<x<0時，/(2-x)>/(A)

4.(2022?全國?高考真題)(多選)已知函數(shù)/(x)=f-x+1,則()

A./*)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/'(x)的切線

代.好題沖關(guān)?

一、單選題

L(2024?河北承德?二模)設。為實數(shù)，若函數(shù)/(》)=；/一。/+3在工=1處取得極小值，則。=()

A.1B.yC.0D.-1

2.(2024?重慶?模擬預測)若函數(shù)x+alnx有極值，則實數(shù)。的取值范圍是()

二、多選題

3.(2024?遼寧?模擬預測)已知函數(shù)/(')=-三，則下列說法正確的是()

C

A./(x)的極值點為fl,-，

\e)

B./(x)的極值點為1

C.直線y=是曲線歹=/(x)的一條切線

ee

D./(x)有兩個零點

三、填空題

4.(2024?安徽?二模)已知函數(shù)/(x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,當x目0,可時/("的最大值與最小值的和

為?

四、解答題

5.(2024?陜西銅川?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ln(2x+l)-4"+(〃-2)X(〃€R).

⑴當a=0時，求/")的最大值；

⑵若g(x)=/(x)+3ae'對定義域內(nèi)任意實數(shù)》都有g(shù)(x)K0,求。的取值范圍.

6.(2024?山東濰坊?二模)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e、-哀+"曲線尸/⑴在點(以⑴)處的切線方程為

y=(e-2)x+3-e.

⑴求實數(shù)。，6的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

7.(23-24高二下?廣東佛山?階段練習)已知函數(shù)/(%)=(/—2x+4)e\“wR.

⑴若4=1,求函數(shù)/J)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

(2)討論函數(shù)/*)的單調(diào)性.

8.(2024?河南?三模)已知函數(shù)〃x)="Tnx,且/(x)在x=l處的切線方程是x-y+b=0.

⑴求實數(shù)。，b的值；

⑵求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

9.(2022高三上?河南?專題練習)已知函數(shù)/(x)=xe、-加/

⑴求曲線y=/(x)在(0J(0))處的切線方程：

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-d在x=0處取到極小值，求實數(shù)w的取值范圍.

10.(2024?重慶?模擬預測)已知函數(shù)/("=/一5x+alnx在x=2時取得極值.

(1)求實數(shù)。；

(\\

(2)若XG-,4,求/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值.

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知王為，是函數(shù)/(x)=(x-l)3-x兩個極值點，則()

A.茍+當=一2B.x,+x2=1C./(X,)+/(X2)=-2D./(^)+/(x2)=2

2.(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數(shù)/(x)="s3：co.)+x在(0㈤上恰有兩個極值點,則實數(shù)。的取

值范圍是()

二、多選題

3.(2024?全國?模擬預測)設函數(shù)/(x)=x，-3hu,記/(x)的極小值點為々，極大值點為巧,則()

X

A.xA+x2=3B.x］<x2

C./(x)在(s,xj上單調(diào)遞減D./(xj+/(x2)=-31n2

4.(2024?重慶?三模)若函數(shù)/(6二。1取-2/+云既有極小值又有極大值，則()

A.ab<0B.a<0C.b2+\6a>0D.\a-b\<4

三、填空題

S.(2024?新疆喀什?三模)已知函數(shù)/(力=喈和8(》)=4五一》)(6>0)有相同的最大值.則的

最小值為.

四、解答題

6.(2024?廣東茂名?二模)己知函數(shù)/(x)=e'sinx-ov.

⑴若曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程為x+y=0,求實數(shù)”的值；

⑵若〃=|，求函數(shù)〃力在區(qū)間［嗚］上的最大值.

7.(2024?河南開封?三模)已知函數(shù)/(力=/-31nx,廣(x)為/卜)的導函數(shù).

⑴求曲線V=/'(')在點(1J⑴)處的切線方程；

9

⑵求函數(shù)8")=/(力-/''(')-:的單調(diào)區(qū)間和極值.

8.(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=oxTnx-a,若/(x)的最小值為0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=M(x),證明:g(x)存在唯一的極大值點.％,且g(xo)<:.

9.(2024?福建泉州?一模)設函數(shù)/(x)=QX-"lnx.

⑴討論的單調(diào)性；

(2)當。>0時，若g(x)=M\x)—的值域為。內(nèi))，證明：2—〃=ln2—Ino.

10.(2024?青海西寧?模擬預測)已知函數(shù)/(工)=/+。工1世-工

⑴當”=1時，求“X)的零點；

⑵若/")恰有兩個極值點，求。的取值范圍.

1.(2023?全國?高考真題)(多選)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(xy)=)，2/(x)+//(y),則().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為/(X)的極小值點

2.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/G)=G-L-(a+l)lnx.

x

⑴當。=0時，求/*)的最大值；

⑵若八外恰有一個零點，求。的取值范圍.

3.(2020?北京?高考真題)已知函數(shù)〃幻=12-真.

(I)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(II)設曲線>=/(人)在點0JS)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為面。,求s”)的最小值.

4.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx-x-l.證明:

(1)/3)存在唯一的極值點；

(2)〃x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

5.(2019?江蘇?高考真題)設函數(shù)/(x)=(x-4)(x-b)(x-c),a/,cwR,/⑴為/(x)的導函數(shù).

(1)若a=b=c,/(4)=8,求a的值；

(2)若mb,b=c,且/(x)和"x)的零點均在集合｛-3,1,3｝中，求/(x)的極小值；

(3)若a=0,0<&.l,c=1,且/(x)的極大值為"，求證:近；

6.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,則/(x)的最小值是.

7.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)/⑺:0+工+^^加卜不卜入.

(1)若a=0,證明：當T<x<。時，/(X)<0；當x>0時，/(工)>0；

(2)若x=0是/(工)的極大值點，求。.

8.(2018?北京?高考真題)設函數(shù)〃%)=卬2―(34+1)工+3°+2-.

(I)若曲線N=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率為0,求〃；

(II)若/。)在x=l處取得極小值，求a的取值范圍.

9.12018?江蘇?高考真題)若函數(shù)〃到=2/—加+在(0,+oo)內(nèi)有且只有一個零點，則f(x)在［-1/

上的最大值與最小值的和為.

10.(2017?山東?高考真題)已知函數(shù)/(x)=/+2cosx,g(A-)=ev(cosx-sinx+2r-2),其中e=2.71828…

是日然對數(shù)的底數(shù).

(I)求曲線歹=/("在點(乃J3))處的切線方程；

(II)令Mx)=g(x2(x)("R),討論力(力的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極

第04講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值

（5類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新1卷，第10題,6分求已知函數(shù)的極值點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

利用導數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)對稱性的應用

2024年新D卷,第11題,6分極值與最值的綜合應用

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

判斷零點所在的區(qū)間

求在曲線上一點處的切線方程

2024年新H卷，第16題,15分根據(jù)極值求參數(shù)

利用導數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性

2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷

基本（均值）不等式的應用、求平面軌跡

2023年新I卷，第22題,12分由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長

2023年新U卷，第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍

利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2023年新H卷，第22題,12分根據(jù)極值點求參數(shù)利用導數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

錐體體積的有關(guān)計算球的體積的有關(guān)計算

2022年新I卷，第8題,5分由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

多面體與球體內(nèi)切外接問題

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新1卷，第10題,5分求已知函數(shù)的極值點

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

2022年新I卷，第22題,12分由導數(shù)求函數(shù)的最值（含參）利用導數(shù)研究方程的根

2021年新1卷，第15題,5分由導數(shù)求函的最值（不含參）無

2.命題規(guī)律及備考策略

［命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-13-15分

【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件

2能夠利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值

3體會導數(shù)與極大（個）值、最大（?。┲档年P(guān)系

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的

極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合及習

知識講解

3.函數(shù)的極值與導數(shù)

⑴函數(shù)的極小值與極小值點

若函數(shù)/U）在點x=a處的函數(shù)值八。）比它在點x二。附近其他點的函數(shù)值都小，/'（〃）=0,

而且在點x附近的左側(cè)外幻＜0,右側(cè)/'（外＞0,則點。叫做函數(shù)的極小值點，加）叫做函

數(shù)的極小值.

（2）函數(shù)的極大值與極大值點

若函數(shù)/（X）在點x=b處的函數(shù)值/S）比它在點x=h附近其他點的函數(shù)值都大，/（b）=0,

而且在點x=b附近的左側(cè)外幻＞0,右側(cè)在（x）vO,則點力叫做函數(shù)的極大值點，/S）叫做函

數(shù)的極大值.

（3）極值與導數(shù)的關(guān)系

/（工）是極值點n/'（x）=O

r（x）=04/（x）是極值點，即：/'（幻=0是/（x）為極值點的必要非充分條件

4.函數(shù)的最值與導數(shù)

（1）函數(shù)/（劃在口，切上有最值的條件

如果在區(qū)間［%0上函數(shù)＞=兒丫）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小

值.

（2）求＞=（丫）在口，句上的最大（?。┲档牟襟E

①求函數(shù)在（％份內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=/U）的各極值與端點處的函數(shù)值｛。），./S）比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值.

考點一、求函數(shù)的極值或極值點

典例引領(lǐng)

1.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)/(工)=(1-ax)ln(l+x)-x.

⑴當q=-2時，求/(%)的極值；

⑵當工20時,〃x)20,求〃的取值范圍.

【答案】(1)極小值為0,無極大值.

⑵"4—

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導數(shù)，就a二、-“20分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

22

【詳解】(1)當〃=-2時，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故r(x)=21n(l+x)+^^-l=21nQ+x)---+1,

\+x1+x

因為y=2皿(1+外,)，=-丁!一+1在(-1,+8)上為增函數(shù)，

故fa)在上為增函數(shù)，而/'(o)=o,

故當一1<%<0時，f\x)<0,當x>0時，/'(x)>0,

故/(x)在x=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)//(x)=-aln(l+x)+aX-1=-aln(1+@,x>(.

設s(x)=-aln(l+x)—(：+"/>0,

」(4+1)=，(x+l)+"l=6+2a.

人“()x+1(1+x)2(1+x)2(l+@2，

當g時，s,(x)>0,故s(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

故心)>s(O)=O,即r(x)>0,

所以/(x)在［0,+8)上為增函數(shù),故/(x)”(0)=0.

當-，va<0時，當0cx1時,5f(x)<0,

2a

故s(x)在伍-生堂)上為減函數(shù)，故在(0,-網(wǎng)里］上s(x)<s(0),

即在（0,—個B上/'（x）＜o即/（X）為減函數(shù)，

故在（0,-等■，上/（x）＜/（0）=0,不合題意，舍.

當“20,此時s'（x）＜0在（0,+8）上恒成立，

同理可得在（0,+。）上/（力＜/（。）=0恒成立，不合題意，舍；

綜上，

2

【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導

數(shù)進一步利用導數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.

2.（2023?北京?高考真題）設函數(shù)/（x）=x-x%a*,曲線y=在點（1J⑴）處的切線方程為y=-x+i.

⑴求的值：

（2）設函數(shù)g（x）=/a）,求g（函的單調(diào)區(qū)間:

⑶求/（X）的極值點個數(shù).

【答案】⑴。=-l,b=l

⑵答案見解析

（3）3個

【分析】（1）先對/（x）求導，利用導數(shù)的幾何意義得到/⑴=（），/'⑴=-1,從而得到關(guān)于d〃的方程組,

解之即可；

（2）由（1）得g（x）的解析式，從而求得式（x）,利用數(shù)軸穿根法求得g'（x）＜0與g'（x）＞0的解,由此求

得g（x）的單調(diào)區(qū)間：

（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間（-嗎0）,（。川），（再也）與伉，內(nèi)）上/'（X）

的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得/（X）的極值點個數(shù).

【詳解】（1）因為/（x）=x—x3c"E＞eR,所以廣（力二1一（3/+?3卜"+"

因為在QJ⑴）處的切線方程為J=r+1，

所以/⑴=-1+1=0,廣⑴=一1,

l-l3xea+z>=0a=-\

則l-(3+af=-l'解得'

b=\

所以。二-1,〃=1.

(2)由(1)得屋%)=/?)=1-(3/--)葭*6R),

貝lJg'(x)=-x(x2-6x+6)c-3,

令/一6工+6=0,解得x=3±\/J，不妨設其=3—百，占=3+百，則0＜X＜x），

易知e-*+i＞0恒成立，

所以令g'（x）＜0，解得。＜工＜玉或刀＞/；令g'（x）＞0,解得x＜0或$＜》＜占；

所以g（x）在（0/3（巧,+＜?）上單調(diào)遞減,在（-8,（））,（蒼,%2）上單調(diào)遞增，

即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3-間和（3+百,+8）,單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,0）和（3-石,3+6）.

（3）由（1）得/（x）=x-x%3（xeR）,r（x）=i-（3x2-x3）e'x+，,

由（2）知/'（X）在（0,芍），（%k）上單調(diào)遞減，在（-8,0）,（5,G）上單調(diào)遞增，

當了＜0時，/f（-i）=i-4e2＜o,r（o）=i〉o,gpr（-i）.r（（））＜（）

所以/（x）在（-8,0）上存在唯一零點,不妨設為小,則

此時，當x＜》3時，/（力＜0,則/（X）單調(diào)遞減；當天＜工＜0時，/幻）＞0,則/（X）單調(diào)遞增；

所以/（x）在（-%0）上有一個極小值點；

當xw（0內(nèi)）時，/'（X）在（0?。┥蠁握{(diào)遞減，

則:（為）=/'（3—行）＜/'⑴=1一2＜0,故/'（0）/'&）＜。，

所以/'（X）在（0，M）上存在唯一零點，不妨設為（，則0＜七＜內(nèi)，

此時,當0。＜七時，"（、）＞0,則/（x）單調(diào)遞增;當〈內(nèi)時，外力＜0,則/（x）單調(diào)遞減；

所以/W在（0,xJ上有一個極大值點：

當工€（外,七）時，/'（X）在（司,占）上單調(diào)遞增，

則/（%）=/'（3+仃）＞/'（3）=1＞0,故/'（為）/'（&）＜。,

所以/'（'）在（司,々）上存在唯一零點，不妨設為天，則

此時，當內(nèi)時，/'（可＜0,則/（x）單調(diào)遞減；當/＜工＜9時，r（x）＜0,則/（x）單調(diào)遞增；

所以/（X）在（％七）上有一個極小值點；

當1＞占=3+＞/1＞3時，3x2-x3=x2（3-x）＜0,

所以/'（x）=1-（3/一丁,-川＞0,則/（x）單調(diào)遞增，

所以/⑺在（和田）上無極值點；

綜上：/（力在（-%0）和（西,々）上各有一個極小值點，在（0/J上有一個極大值點，共有3個極值點.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷/'（演）與/'（公）的正負情況，充分利用/'（X）的單調(diào)性,

尋找特殊點判斷即可得解.

3.（2021?天津?高考真題）已知。＞0,函數(shù)〃x）=at-xe1

（I）求曲線y=/（x）在點（o,/（o））處的切線方程：

(II)證明/(x)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得/。)4。十8對任意XWR成立，求實數(shù)力的取值范圍.

【答案】(I)y=("l)X,(a>0)；(||)證明見解析；(III)卜4*0)

【分析】(I)求出/(x)在x=0處的導數(shù)，即切線斜率，求出/(0)，即可求出切線方程；

(II)令/'(x)=0,可得。=a+l)e'，則可化為證明卜=。與y=g(x)僅有一個交點，利用導數(shù)求出g(x)的

變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；

(III)令人。)=，7-1)/,(、>-1),題目等價于存在xe(-l,+oo),使得〃(x)。，g[Jb>A(x)mn,利用導數(shù)

即可求出川力的最小值.

【詳解】⑴/'(勸=。-(工+1片，則/'(0)="1,

又/(0)=0,則切線方程為y=(a-l)x,(a>0)；

(II)令/'(x)="(x+l)e，=0,則a=(x+l)e',

令g(x)=(x+l)el,則=(x+2)e',

當ie(Y>,-2)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當xe(-2,+oo)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當Xf-co時，g(x)<0,g(-l)=0,當x->+8時，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下：

歹八

g(x)=(x+l)ev

2-

y=a

I|11?

■^3-2Omix

所以當a>0時，歹=。與y=g(x)僅有一個交點，令g(川)=a,則〃?>一1,且/'(機)=a-gO〃)二O，

當工€(-co,〃?)時，a>g(x),Jjlljf\x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當ie(m,+8)時,a<g(x),則八x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

x=,n為/(x)的極大值點，故/(x)存在唯一的極值點；

(III)由(II)知/(0皿=/(〃?)，此時。=(1+〃?只7加>一1,

n>

所以{/W-?}miLX=f(m)-a=(nr-nz-1)e，(加>一1),

令人(工)=卜2-,

若存在a,使得/a)二+力對任意xeR成立,等價于存在x€(T,+oo),使得力(x)口，即此初初2

/f(.r)=(X2+X-2)^=(x-1)(x4-2)^,x>-l,

當工e(T,l)時,h\x)<0,〃(力單調(diào)遞減，當xe(l,+?>)時,h\x)>0,Mx)單調(diào)遞增,

所以力('*in=蛆)=一6，故人N-e,

所以實數(shù)〃的取值范I韋I卜4侄).

【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明歹=。與y=g(x)僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是

轉(zhuǎn)化為存在xw(-l,+8),使得為g[Jb>/z(x)min.

1.(2024.湖南長沙.三模)已知函數(shù)/(丫)=丫+ln(〃4+■!■(a<o).

a

⑴求函數(shù)/(工)的極值；

(2)若集合卜|/(》)2-1｝有且只有一個元素，求。的值.

【答案】⑴極大值是/(-1)=-l+ln(-無極小值；

ae

(2)4=——.

e

【分析】(1)利用求導，通過參數(shù)時0,可分析出/'(')為正負的區(qū)間，從而可以判斷/‘(X)的極值：

(2)利用不等式有唯一解，則正好是最大值取到等號，再去分析取等號的含參方程有解的條件，所以重新

構(gòu)造新的函數(shù)，通過求導來研究函數(shù)的零點和方程的解.

1*

【詳解】(1)由r(x)=(i+x)「Te

因為x0,所以/(*)的定義域為(―8,0)，則1尸<0,

xa

因為時，/'(x)>0：v€(-1,0)時，/'(x)<0.

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,7);單調(diào)遞減區(qū)間為(TO),

所以―-1是/(x)的極大值點，/(x)的極大值是/(-l)=T+ln(-〃)-'，無極小值.

ae

⑵由⑴可得/(力2=/(—l)=—l+ln(—。)—,，

要使得集合｛x|/(x"-l｝有且只有一個元素，則只需要-1+1"-。)-2=-1

設g(x)=-l+ln(-x)一--,則/(上，+工=^^,

exxex"ex'

(\\、

因為xe-8,-一時，g'(x)<0；xc時,g'(x)>。，

所以g(x)mm=gj,l=7,所以關(guān)于“的方程一1+仙(一。)一上二一1有解時，

Iejae

只能是。=一1，

e

所以集合｛x|/(x)2-1｝有且只有一個元素時a=-J

2.(2024?浙江溫州?三模)設函數(shù)/(x)=xh?!/的導函數(shù)為g(“.

6

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)證明：函數(shù)/(》)存在唯一的極大值點小,且

(參考數(shù)據(jù):1112ao.6931)

【答案】⑴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+8)上單調(diào)遞減，極大值g(l)=；，無極小值.

⑵證明見解析

【分析】(1)利用導數(shù)求函數(shù)g。)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)利用導數(shù)求函數(shù)/(x)的極大值點由單調(diào)性證明/

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=xlnx-!d,定義域為((),+司，

6

g(x)=f，(x)=\nx+\-^x2,g,(x)=1-x=^-^(x>0),

g[x)>0解得0vx<l,g'(x)<0解得x>l,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故極大值為g(l)=lnl+l-；=無極小值.

(2)由(1)可知，r(l)=g(1)=：>0且/'(1]=一白<0,7(e)=l^-<0,

2\CJ2e2

所以根據(jù)零點定理，肛wgl)使/(』)=0,玉2c(l，e)使廣(乙)二0，

即XW(0,X1)u(X2，+8)時，/'(%)<0,/(X)為減函數(shù)；

xe(x”%2)時，八x)>0,/(x)為增函數(shù)，

所以/(X)存在唯一極大值點々，即見=x2€(l,e),

又因為/'(g=ln-+l--f-l=ln3-ln2+l-^-ln3-fln2+

=ln3-0.8⑻>0=gX°),

22\1)8I8

所以占小川，即Xo>g，得證！

3.（2024?陜西商洛?模擬預測）己知函數(shù)/a）=.Hnx-x-lnx+l的導函數(shù)為尸（x）.

⑴證明：函數(shù)/（比）有且只有一個極值點；

（2）若耳"（％）-/4）4一3—〃吠^恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）（-8,-1]

【分析】

（1）求導，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理說明/（X）的單調(diào)性即可證明；

（2）換元/=m，>0,并分離參數(shù)求函數(shù)最值即可求解.

【詳解】（1）證明：由題意知/"）的定義域為（（）,+功，且/'（，二山+1-1」二山」,

XX

令9（x）=hw-L貝iJd（x）='+-=工0（x>0）,

X.\X

所以。（X）（即/'（X））在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又「⑴=-l<0/（c）=l」>0,

e

所以/'（》）在（l,e）上有唯一零點七，

當0<工</時，/'（x）<0,當X〉工時，/^（-v）>0,

所以在（0,%）上單調(diào)遞減，在（%,笆）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（另有且只有?個極值點片.

（2）必"（x）—/（x）4—3—e7亙成立，

HP（xlnx-1）-（xlnx-x-hiv+1）<-3-mxe'恒成立，

即lnx+x+1?-九?恒成立，即ln（xe'）+l0-陽北恒成立.

令/=xe'>0,則In/+1<-mt,所