高中執(zhí)信、金中、深外三校高三（第一學(xué)期）聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（學(xué)科）試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準考證號碼等信息填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.62.若復(fù)數(shù)，則（）A2 B. C.4 D.53.已知直線，，是三條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，，則4.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.5.平行四邊形中，,點P在邊CD上，則的取值范圍是（）A.[-1,8] B. C.[0,8] D.[-1,0]6.在等差數(shù)列中，公差是與的等比中項．已知數(shù)列成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)圖象是由的圖象向右平移個單位得到的．若在上僅有一個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分9.已知函數(shù)，則（）A.曲線關(guān)于軸對稱 B.曲線關(guān)于原點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增10.函數(shù)的所有極值點從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前項和，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C. D.11.已知正方體棱長為2，如圖，為棱上的動點，平面．下面說法正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值范圍為B.點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D.已知為中點，當?shù)暮妥钚r，的長度為三、填空題：本大題共3小題，共15分12已知平面向量，，若，則___________.13.在△ABC中，，面積為12，則=______．14.當時，函數(shù)圖象在直線的下方，則實數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若∠BAC的角平分線交BC于點D，且，求面積的最小值．16.已知的周長為12，頂點的坐標分別為為動點．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過原點作兩條關(guān)于軸對稱直線（不與坐標軸重合），使它們分別與曲線交于兩點，求這四點所對應(yīng)的四邊形的面積的最大值．17.如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，.（1）求證：平面平面ACD；（2）若，，五面體ABCDE的體積為，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.18.已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．19.已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)m為正整數(shù)，若存在首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列（），對任意正整數(shù)k，當時，都有成立，求m的最大值．

執(zhí)信、金中、深外三校高三（第一學(xué)期）聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（學(xué)科）試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準考證號碼等信息填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則中的元素個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用并運算求，即可得元素個數(shù).【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個.故選：B2.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，所以，故選：B3.已知直線，，是三條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中的線面關(guān)系及面面垂直的性質(zhì)定理，逐項分析判斷即可求解.【詳解】若，，，，則或，故選項A不正確；若，，則或，故選項B不正確；若，，，則或，故選項C不正確；由面面垂直的性質(zhì)定理可知選項D正確.故選：D.4.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，則，代入計算即可得到，繼而得到.【詳解】數(shù)列滿足，則，，則，故選：A.5.平行四邊形中，,點P在邊CD上，則的取值范圍是（）A.[-1,8] B. C.[0,8] D.[-1,0]【答案】A【解析】【詳解】∵,，∴，∴，A=60°，以A為原點，以AB所在的直線為軸，以AB的垂線為軸，建立如圖所示的坐標系，∴A(0,0),B(4,0),，設(shè)，∴，∴，設(shè)，∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)的最小值為：，函數(shù)的最大值為，則的取值范圍是[?1,8]，本題選擇A選項.點睛：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何中的問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標系，利用坐標運算題目會容易的多．6.在等差數(shù)列中，公差是與的等比中項．已知數(shù)列成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算等差數(shù)列的基本量，進而得，數(shù)列記為，則為等比數(shù)列，即可得，由等差數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】依題意，即，解得，故．新數(shù)列，記為，則為等比數(shù)列，所以公比，所以，又因為，所以．故選：B7.已知函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位得到的．若在上僅有一個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題化為函數(shù)在上僅有一個零點，求出零點，然后討論由第一個正零點在區(qū)間上，第二個正零點大于列不等式組求解可得.【詳解】由題知，函數(shù)在上僅有一個零點，所以，所以，令，得，即.若第一個正零點，則（矛盾），因為函數(shù)在上僅有一個零點，所以，解得.故選：A8.若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及得到或，分別討論兩種情況下四個選項是否正確，A選項可以用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行求解，D選項，需要構(gòu)造函數(shù)進行求解.【詳解】因為，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因為，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分9.已知函數(shù)，則（）A.曲線關(guān)于軸對稱 B.曲線關(guān)于原點對稱C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】【分析】求得函數(shù)的奇偶性判斷選項AB；利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)性判斷選項C；求得在上的單調(diào)性判斷選項D.【詳解】函數(shù)定義域為，，則函數(shù)為偶函數(shù)，曲線關(guān)于軸對稱.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；當時，，，則當時，，單調(diào)遞增，則選項C判斷錯誤；當時，，，則當時，，單調(diào)遞增，則選項D判斷正確.故選：AD10.函數(shù)的所有極值點從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前項和，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值點，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.【詳解】由，令，得或，，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)的極值點為或，，又，則，，，，…，對于A，數(shù)列的奇數(shù)項成首項為，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項成首項為，公差為的等差數(shù)列，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，，故C正確；對于D，由，則，故D錯誤.故選：BC.11.已知正方體棱長為2，如圖，為棱上的動點，平面．下面說法正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值范圍為B.點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D.已知為中點，當?shù)暮妥钚r，的長度為【答案】AC【解析】【分析】以點D為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；證明出平面，分別取棱,,,,,的中點，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點，判斷四邊形的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形與矩形攤平為一個平面，利用三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得,可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，以點D為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則點、、設(shè)點，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；對于B選項，當與重合時，連接，在正方體中，平面，平面，，∵四邊形是正方形，則，，平面，平面，平面，，同理可證，，平面，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.分別取棱,,,,,的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；對于C選項，設(shè)平面交棱于點，點，，平面，平面，，即，得，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；對于D選項，將矩形與矩形沿攤平為一個平面，如下圖所示：若最短，則三點共線，，，又，，D選項錯誤.故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，共15分12.已知平面向量，，若，則___________.【答案】【解析】【分析】由向量平行可得，再由向量線性運算的坐標表示可得，最后應(yīng)用向量模長的坐標運算求.【詳解】由題設(shè)，，即，則，所以，故.故答案為：.13.在△ABC中，，面積為12，則=______．【答案】【解析】【分析】利用面積公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C．【詳解】由題意，在中，，，面積為12，則，解得．∴．故答案為．【點睛】本題考查了三角形的面積公式，二倍角公式在解三角形中的應(yīng)用，其中解答中應(yīng)用三角形的面積公式和余弦的倍角公式，合理余運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14.當時，函數(shù)的圖象在直線的下方，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析出單調(diào)性，求出該函數(shù)的最小值，即可得到的取值范圍.【詳解】由題意知，，即構(gòu)造函數(shù)，則令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，故當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若∠BAC的角平分線交BC于點D，且，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助降冪公式及正弦定理與輔助角公式計算即可得解.（2）借助等面積法及基本不等式即可得解.【小問1詳解】，由正弦定理可知：，又，化簡得，即，所以，，即，因為，所以，從而；【小問2詳解】由題意可得：，且，即，化簡得，而，解得，等號成立當且僅當，的面積，等號成立當且僅當，綜上所述，的面積的最小值為.16.已知的周長為12，頂點的坐標分別為為動點．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過原點作兩條關(guān)于軸對稱的直線（不與坐標軸重合），使它們分別與曲線交于兩點，求這四點所對應(yīng)的四邊形的面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求出，求得曲線的方程；（2）設(shè)兩直線的方程為與，求出與曲線在第一象限內(nèi)的交點坐標，表示其面積并利用基本不等式求解.【小問1詳解】由題意知，所以的軌跡為橢圓的一部分，且，所以.故曲線的方程為【小問2詳解】設(shè)兩直線的方程為與，記與曲線在第一象限內(nèi)的交點為，由，可得，結(jié)合圖形的對稱性可知：四交點對應(yīng)的四邊形為矩形，且其面積，因為，所以（當且僅當時取等號），故四邊形面積的最大值為.17.如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，.（1）求證：平面平面ACD；（2）若，，五面體ABCDE的體積為，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）若是中點，連接，作，根據(jù)題設(shè)可得兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，令，并確定點坐標，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示即可證結(jié)論.（2）根據(jù)已知體積，結(jié)合棱錐的體積公式求出，進而求面ABED的法向量、直線CE的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求線面角的正弦值.【小問1詳解】若是中點，連接，作，由知：，因為面ABC，則面ABC，又面ABC，所以，，綜上，兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，

令，，，則，，，所以，，若是面的一個法向量，即，令，則，又是面的一個法向量，則，所以面面.小問2詳解】由面ABC，面ABED，則面ABED面ABC，故到面ABED的距離，即為△中上的高，因為，，則，故，所以上的高.又面ABC，則，而，有，，所以為直角梯形，令，則，綜上，，故.由（1）知：，，，，所以，，若是面ABED的一個法向量，即，令，則，而，則，所以直線CE與平面ABED所成角的正弦值為.18已知且，函數(shù)．（1）當時，求單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所以當且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，不滿足題意；當時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，