岳西2025-2026九年級(jí)12月月考試卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查一元二次函數(shù)的識(shí)別．根據(jù)一元二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A：是一次函數(shù)，不符合題意；B：是二次函數(shù)，符合題意；C：含有分式，不是二次函數(shù)，不符合題意；D：當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意．故選：B．2.點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，的最大值是（）．A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了求二次函數(shù)的最值，把代入得出，再得出的表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，即可求出最值．【詳解】解：把代入得：，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，故選：C．3.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間不含端點(diǎn)，如圖所示，有以下結(jié)論：；；；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根其中結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：由圖象可知：開口向下，即，頂點(diǎn)，則該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，即，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則有，故①正確；∵對(duì)稱軸為直線，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間不含端點(diǎn)，∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)在和之間不含端點(diǎn)，∴由函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，則，故②正確；當(dāng)時(shí)，則有，故③正確；由方程可變形為，即可看作方程的解是直線與二次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題意可知：該方程的解有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；故選D．4.為了美觀，在加工太陽(yáng)鏡時(shí)將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，軸，，最低點(diǎn)在軸上，高，，則右輪廓所在拋物線的解析式為（??）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，頂點(diǎn)式，求得二次函數(shù)的解析式即可．【詳解】解：如圖，∵對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，，∴，∵軸，，∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，，∴，設(shè)右輪廓所在拋物線的解析式為，把，代入，得：，∴右輪廓所在拋物線的解析式為；故選B．5.已知點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，且，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)的增減性解答即可．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，，∴該函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限y隨x的增大而增大，∵，∴．∴．故選：D．6.如圖，點(diǎn)，在矩形的邊，上，矩形矩形．①若四邊形是正方形，則點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．②若，則矩形矩形．上述命題，（）A.①②都正確 B.①②都錯(cuò)誤C.①正確②錯(cuò)誤 D.①錯(cuò)誤②正確【答案】A【解析】【分析】本題考查命題與定理，矩形的性質(zhì)，相似多邊形的判定和性質(zhì)．①正確，證明即可；②正確，設(shè)，則，利用相似多邊形的性質(zhì)求出，可得結(jié)論．【詳解】解：①∵四邊形是正方形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵矩形矩形，∴，∴，∴，∴點(diǎn)F是線段的黃金分割點(diǎn)，故①正確；②∵，∴可以假設(shè)，則，∵矩形矩形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴矩形與矩形全等，∴矩形與矩形相似，故②說(shuō)法正確，故選：A．7.如圖，在平行四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，它們相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中的相似三角形共有（）A.對(duì) B.對(duì) C.對(duì) D.對(duì)【答案】C【解析】【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，然后根據(jù)相似三角形的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴圖中相似三角形有4對(duì)；故選C．8.如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，則下列條件中：；②；；，能使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似的條件有（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)相似三角形的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴當(dāng)添加時(shí)，則根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”判定，故①符合題意；當(dāng)添加可判定，故②符合題意；當(dāng)添加時(shí)，可根據(jù)“兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似”判定；故③符合題意；當(dāng)添加，即，不能判定這兩個(gè)三角形相似，故④不符合題意；故選C．9.如圖，的中線交于點(diǎn)F，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理、三角形中線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；根據(jù)三角形的中位線定理結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得，可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步判斷即可.【詳解】解：∵的中線交于點(diǎn)F，∴，∴，，故D選項(xiàng)結(jié)論正確；∴，，∴，，，故A、C選項(xiàng)結(jié)論正確，B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；故選：B.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)位似比的性質(zhì)可知，用點(diǎn)的坐標(biāo)分別乘以即可求解．【詳解】解：點(diǎn)，相似比為，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，或者，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似的性質(zhì)，掌握位似的性質(zhì)，用點(diǎn)坐標(biāo)乘以相似比（正數(shù)相似比，負(fù)數(shù)相似比）是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．11.二次函數(shù)的圖象如圖所示，若，．則、的大小關(guān)系為_____．(填“”、“”或“”)【答案】<【解析】【分析】由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，然后用作差法比較即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作差法比較代數(shù)式的大小，熟練掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.12.如圖，在四邊形中，，，，設(shè)的長(zhǎng)為x，四邊形的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為___________．【答案】【解析】【分析】過(guò)作與點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)等角的余角相等得到，易證得，所以，，得到，在中，根據(jù)勾股定理得到，所以有，即；根據(jù)四邊形的面積三角形的面積三角形的面積，即可得到．【詳解】解：過(guò)作于點(diǎn)，如圖，設(shè)，則，，，∴，，而，，∴，，，，在中，由勾股定理得，，即，又四邊形的面積三角形的面積三角形的面積，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．也考查了勾股定理、函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是三角形全等的判定與性質(zhì)．13.如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊向點(diǎn)C以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著邊向點(diǎn)B以的速度運(yùn)動(dòng)．如果P與Q同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)_____秒和相似．【答案】或【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)x秒和相似，先求出，，再利用相似三角形性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到答案，因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊不明確，答案要分兩種情況①當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，②當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，分別列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，兩三角形相似，則，，①當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：秒；②當(dāng)與是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，，即，解得：秒；綜上所述：經(jīng)過(guò)秒或秒，兩個(gè)三角形相似，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，以及解一元一次方程；表示出邊，的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，需要注意分情況討論，避免漏解而導(dǎo)致出錯(cuò)．14.如圖，四邊形和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與四邊形的面積比為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了位似變換，利用位似圖形面積比為相似比的平方即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，∴，∴四邊形與四邊形的面積比為，故答案為：．三、解答題：本題共9小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（其中）．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，y是x的二次函數(shù)？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，y是x的一次函數(shù)？【答案】（1）2（2）或或【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義得到得且，然后解不等式和方程即可得到滿足條件的m的值；（2）根據(jù)一次函數(shù)的定義分類討論：當(dāng)且時(shí)，y是x的一次函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，y是x的一次函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，y是x的一次函數(shù)，然后分別解方程或不等式即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，得且，解得，即當(dāng)時(shí)，y是x的二次函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，y是x的一次函數(shù)；②當(dāng)且時(shí)，y是x的一次函數(shù)，解得；③當(dāng)且時(shí)，y是x的一次函數(shù)，解得；即當(dāng)為或或時(shí)，y是x的一次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B（0,3）,且這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸為直線l，頂點(diǎn)為C.（1）求拋物線的解析式；（2）連接AB、AC、BC，求△ABC的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用割補(bǔ)法求△ABC的面積.【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)、由上兩式解得拋物線的解析式為：；（2）由（1）拋物線對(duì)稱軸為直線把代入，得則點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)線段所在直線為：解得解析式為：線段所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、拋物線的對(duì)稱軸于直線交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)代入，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)待定系數(shù)法、用割補(bǔ)法求三角形面積，解答時(shí)注意數(shù)形結(jié)合.17.平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出，使它與關(guān)于軸對(duì)稱：（2）以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫出的位似圖形，且與的相似比為；（3）設(shè)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則依上述變換后點(diǎn)在內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】（1）圖見詳解（2）圖見詳解（3）【解析】【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形與坐標(biāo)及位似，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）先得出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后問(wèn)題可求解；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)可進(jìn)行作圖；（3）根據(jù)位似的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】解：所作如圖所示：【小問(wèn)2詳解】解：所作如圖所示；【小問(wèn)3詳解】解：由（2）可知：點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則依上述變換后點(diǎn)在內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是；故答案為．18.已知拋物線．（1）用配方法確定它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸；（2）取何值時(shí)，？【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線（2）或【解析】【分析】本題考查了用配方法將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)配方法可以將拋物線化為頂點(diǎn)式，然后即可寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（2）令求出的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可寫出取何值時(shí)，．【小問(wèn)1詳解】解：，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線；【小問(wèn)2詳解】解：，該函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，，得，，當(dāng)或時(shí)，．19.某公司在年初上市了一款新款手機(jī)，該款手機(jī)自上市以來(lái)產(chǎn)生的利潤(rùn)（萬(wàn)元），與銷售時(shí)間（月份）之間滿足二次函數(shù)的關(guān)系，其部分圖象如圖所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問(wèn)題．（1）求與之間的函數(shù)解析式．（2）求幾月份該公司所獲得的利潤(rùn)恰好為萬(wàn)元．（3）年月份該公司所獲得的利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？【答案】（1）（2）月份（3）萬(wàn)元【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建二次函數(shù)模型，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（1）先確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)代入即可求解；

（2）代入，求解即可；

（3）將代入，求解即可．小問(wèn)1詳解】解：由圖可知二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，結(jié)合二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)與的函數(shù)解析式為．將點(diǎn)代入，得，解得：，與之間函數(shù)解析式為；【小問(wèn)2詳解】解：把代入，得，解得：，（不符合題意，舍去），月份該公司所獲得的利潤(rùn)恰好為萬(wàn)元；【小問(wèn)3詳解】解：將代入，得，年月份該公司所獲得的利潤(rùn)是萬(wàn)元．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)D，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，C．連接．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及三角形的面積，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合三角形的面積公式即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：由題知，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入得，，所以反比例函數(shù)的解析式為．將點(diǎn)A坐標(biāo)代入得，，所以一次函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋逸S于點(diǎn)D，則將代入得，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．同理可得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．又因?yàn)辄c(diǎn)A坐標(biāo)為，所以．21.設(shè)二次函數(shù)（a，b是常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y的最小值．（3）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，比較，的大小．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，比較函數(shù)值的大小，將函數(shù)正確整理變形是解題的關(guān)鍵．（1）將，點(diǎn)代入函數(shù)解析式中即可求解；（2）將代入整理后，得，令，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)回答即可；（3）將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，整理后比較大小即可．【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，把點(diǎn)代入解析式，得，解得，或，或；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，則，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最小值為，函數(shù)的最小值為；【小問(wèn)3詳解】分別將點(diǎn)，點(diǎn)代入函數(shù)解析式整理，得，，，，，．22.如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，小明在距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得此時(shí)他的影長(zhǎng)為5米．（1）求小明的身高；（2）小明沿所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？【答案】（1）米（2）變短了，變短了米【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．（1）通過(guò)證明，得出，即可解答；（2）通過(guò)證明，得出，求出，即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：∵米，米，∴米，∵，，∴，∴，即解得，．即小明的身高為米．【小問(wèn)2詳解】解：∵米，米，∴米，∵，，∴，∴，即，解得，，∴（米），∴小明的身影變短了，變短了