專題03計(jì)數(shù)原理

經(jīng)典基礎(chǔ)題

1.（2023春?電白區(qū)期中）某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新

聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有（）

A.24種B.9種C.3種D.26種

【分析】分清是分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理，即可求出答案.

【解答】解：某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選

一本閱讀，共有4+3+2=9種選法，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是容易題.

2.（2023春?東城區(qū)校級(jí)期中）一次演出，原計(jì)劃要排4個(gè)節(jié)目，因臨時(shí)有變化，擬再添加2個(gè)小

品節(jié)目，若保持原有4個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則這6個(gè)節(jié)目不同的排列方法有（）

A.20種B.25種C.30種D.32種

【分析】當(dāng)兩個(gè)節(jié)目放在相鄰的位置，有C；8種結(jié)果，當(dāng)兩個(gè)節(jié)目不相鄰，從原來形成的五個(gè)空中

選兩個(gè)空排列，共有8種結(jié)果，做出組合數(shù)的結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果數(shù).

【解答】解：本題需要分類來解，

首先當(dāng)兩個(gè)節(jié)目放在相鄰的位置，有C；用=10種結(jié)果，

當(dāng)兩個(gè)節(jié)目不相鄰，從原來形成的五個(gè)空中選兩個(gè)空排列，共有&=20種結(jié)果，

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有10+20=30種結(jié)果，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問思，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，解題時(shí)一定要分清做這件事鐳要分

為兒類，每一類包含幾種方法，把幾個(gè)步驟中數(shù)字相加得到結(jié)果.

I

題型02|分步乘法計(jì)數(shù)原理

3.（2023春?信宜市期中）設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)方案有〃種，這4名

學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭(zhēng)奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有〃種，貝1"4〃）為（）

A.（34,34）B.（4134）C.（34,43）D.（A；,￡）

【分析】本題是一個(gè)分步乘法問題，每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共

有34種選擇，同理三項(xiàng)冠軍的結(jié)果數(shù)也有類似的做法.

【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分步乘法問題，

首先每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，

有4名學(xué)牛.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有34種選擇，

每項(xiàng)冠軍有4種可能結(jié)果，

3項(xiàng)冠軍根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有個(gè)種可能結(jié)果.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法原理，考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理的題目，

沒有同分類原理結(jié)合，也沒有排列組合問題的應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題.

4.（2023春?富源縣校級(jí)期中）從I,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，

組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.432B.288C.216D.108

【分析】本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，先從4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中取2個(gè)共再把4

個(gè)數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.

【解答】解：?.?由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，

第一步先從4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中取2個(gè)共=18利

第二步再把4個(gè)數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共HA；=12種,

所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)共有18x12=216種.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)數(shù)字問題，數(shù)字問題是排列中的一大類問題，把排列問題

包含在數(shù)字問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏.

5.（2023春?吉林期中）現(xiàn)有5種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的

兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法種數(shù)為180

【分析】按A、B、C、。順序著色，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【脩答】解：按A、B、。、。順序著色,

A區(qū)塊有5種著色方案,

8區(qū)塊有4種著色方案，

C區(qū)塊有3種著色方案，

。區(qū)塊有3種著色方案，

故不同的著色方法種數(shù)為5x4x3x3=180,

故答案為：180.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

題型03計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

A.48個(gè)B.36個(gè)C.24個(gè)D.18個(gè)

【分析】這是分步計(jì)數(shù)和分類計(jì)數(shù)問題，第一位只能是2,3,4,5共4種可能，末位是2,4共2

種可能，當(dāng)首位是2時(shí)，末位只能是4,有種結(jié)果，當(dāng)首位是4時(shí)，有6種結(jié)果，當(dāng)首位是3,5

時(shí)，共有2x2xA；種結(jié)果，把三種情況相加，得到結(jié)果.

【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，

大于20000決定了第一位只能是2,3,4,5共4種可能，

偶數(shù)決定了末位是2,4共2種可能

當(dāng)首位是2時(shí)，末位只能是4,有可=6種結(jié)果，

當(dāng)首位是4時(shí)，同樣有6種結(jié)果，

當(dāng)首位是3,5時(shí)?，共有2x2x8=24種結(jié)果，

總上可知共有6+6+24=36種結(jié)果，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題，有時(shí)分類以后，

每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決.

9.（2023春?清遠(yuǎn)期中）某天上午要排語文、數(shù)學(xué)、體育、計(jì)算機(jī)四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，

那么這天上午課程表的不同排法共有（）

A.6種B.9種C.18種D.24種

【分析】分兩步進(jìn)行，先排體育課，再排其他三科，分別計(jì)算其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步乘法公式計(jì)

算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，先排體育課，有3鐘排法，

再排其他三科，有A；=6種排法；

則不同排法共有3x6=18種；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，要優(yōu)先處理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素.

10.（2023春?洛陽(yáng)期中）如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有4條路；從甲地到丙地有

4條路，從丙地到丁地有2條路.則從甲地到丁地共有16條不同的路.

【分析】先分類，再分步，即可求解.

【解答】解：分兩類如下，

①?gòu)募椎揭以俚蕉?，共?x4=8種，

②從甲到丙再到丁，共有4x2=8種，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有8+8=16種，

則從甲地到丁地共有16條不同的路線.

故答案為：16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2023春?廣州校級(jí)期中）如圖所示，在A,8間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)

致斷路.則電路不通，則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有13種.

2

【分析】運(yùn)用分類加法原理直接求解.

【解答】解：若電路不通，則分情況：

（1）若焊接點(diǎn)脫落一個(gè)，則有I,4共2種情況；

（2）若焊接點(diǎn)脫落兩個(gè)，則有（1、2）,（1、3）（1、4）,（2、3）,（2、4）,（3、4）共6情況；

2

（3）若焊接點(diǎn)脫落三個(gè),則有（1、2、3）,（1、2、4）,（1、3、4）,（2、3、4）共4種情況；

（4）若焊接點(diǎn)脫落四個(gè)，則有（1、2、3、4）共1種情況；

???電路不通共有2+6+4+1=13種.

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)加法原理，分類要選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.是基礎(chǔ)題.

12.（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）兩名女生，4名男生排成一排，則兩名女生不相鄰的排法共有480

種(以數(shù)字作答)

【分析】由題意，先排男生，再插入女生，可得結(jié)論.

【解答】解：由題意，先排男生，再插入女生，可得兩名女生不相鄰的排法共有A：?田=48。種

故答案為:480

【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2023春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期中)有6名同學(xué)參加兩項(xiàng)課外活動(dòng)，每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)活動(dòng)且不能

同時(shí)參加兩項(xiàng)，每項(xiàng)活動(dòng)最多安排4人，則所有的安排方法有烈種.(用數(shù)學(xué)作答)

【分析】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，根據(jù)每項(xiàng)活動(dòng)最多安排4人，可以有三種安排方法，當(dāng)安排4,

2時(shí)，需要選出4個(gè)人參加第一個(gè)活動(dòng)，當(dāng)安排3,3,時(shí)，共有C；種結(jié)果，當(dāng)安排2,4時(shí)，共有C：

種結(jié)果，相加得到結(jié)果.

【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，

每項(xiàng)活動(dòng)最多安排4人，

.?.可以有三種安排方法，即(4,2)(3,3)(2,4)

當(dāng)安排4,2時(shí)，需要選出4個(gè)人參加共有C：=15,

當(dāng)安排3,3,時(shí)，共有C；=20種結(jié)果，

當(dāng)安排2,4時(shí)，共有C；=15種垢果，

.??根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有15+20+15=50種結(jié)果，

故答案為：50

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，解題時(shí)一定要分清做這件事需要分

為幾類，每一類包含幾種方法，把幾個(gè)步驟中數(shù)字相加得到結(jié)果.

排列及排列數(shù)公式

14.(2023春?泗陽(yáng)縣期中)58+4盤=()

A.74B.98C.124D.148

【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)公式，計(jì)算即可.

【解答】解：5/1/+4C；=5x5x44-4x^=124.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

15.(2023春?順德區(qū)校級(jí)期中)方程用=156的解為〃=()

A.11B.12C.13D.14

【分析】由排列數(shù)公式可得，要求的方程即〃5-1)=12x13,從而求得〃的值.

【解答】解：由排列數(shù)公式可得，方程用=156即〃(〃-1)=12x13,.??“=13.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，把方程化為“5-1)=12x13,是解題的關(guān)鍵.

16.(2023春?淮安期中)若成=10耳，則〃=()

A.1B.8C.9D.10

【分析】利用排列數(shù)的計(jì)算公式即可得出.

【解答】解；???八匕=10耳，2?(2?-1)(2?-2)=10?(?-\)(n-2),

化為：4〃-2=5〃-10,

則〃=8.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2023春?興化市期中)89x90x91x92x…xlOO可表示為()

A.%B.A'；C.靡D.喘

【分析】把給出的式子變形為君二理,然后結(jié)合排列數(shù)公式得答案.

Ix2x...x88

lx2xxl00

【解答】解：89x90x91x92x...xl(X)=-=122-=A'2

1X2X...X8888;例

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列及排列數(shù)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

18.(2023春?博湖縣期中)將4名司機(jī)、4名售票員分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有1名司機(jī)

和I名售票員，則可能的分配方案有()

A.4B.4C.D.2A：

【分析】先分配4名司機(jī)，再分配4名售票員即可完成分配.

【解答】解：先分配4名司機(jī)，共A：種分配方案，

再分配4名售票員，共A：種分配方案,

故可能的分配方案有4：?用種，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考行了排列數(shù)公式及分步乘法原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2023春?三元區(qū)校級(jí)期中)滿足關(guān)系式2C；,,A：的正整數(shù)〃組成的集合為()

A.{2,3,4}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【分析】根據(jù)組合數(shù)、排列數(shù)公式，化簡(jiǎn)求解即可.

neN,

【解答】解：不等式可化為.幾.3

解得3領(lǐng)％5,且〃wN*,

所以正整數(shù)〃組成的集合為(3,4,5}.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)與排列數(shù)公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

20.(2023春?湖北期中)計(jì)算刑+產(chǎn)明)

3!

人70D100130n260

3333

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式，即可求解.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2023春?濟(jì)寧期中)下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是()

A.5+1)4"=然：B.=

C；=弋D.

【分析】由題意利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.

【解答】解：由題意利用排列、組合數(shù)公式，可得(〃+1)4"=(〃+1)?小(〃-1)?〃-2)...(〃-〃?+1)=瑞、

故A正確;

—W=上,=〃.上-〃,(”一2)…。一〃+1)=工,

ml(m-l)!(〃1)！(AM-I)!(/n-1)!

；.“C=V故8成立；

?/c;=---,且=*"-w…。L〃?+D=—一=一!一,,c：T雪故c不成

〃?!(〃一〃?)！〃！〃！〃!(〃一〃?)！(n—/n)l〃！

立；

——A；”=—―?〃(〃一1)(〃一2)...(〃一〃?)=〃(〃-1)(〃一2)...(〃一"1+1)=A：,故O成立，

n-mn-m

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22.(2023春?廣州校級(jí)期中)下列等式中，正確的是()

A.7%=(〃-2)!B.4―

ml

C.(〃+1)父=孀D.mC：=nC：：；

【分析】直接由排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)公式逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【解答】解：一^一=(〃-2)!,故A正確；

N：=—~—，故B錯(cuò)誤；

(〃―〃1)！

(w+1)A；=(H+1)--^―=?故c正確；

n\nl

mC,=m---------=-------------，

〃?!(〃_，〃)！("L1)!(〃_/〃)！

嗚：=n——叱國(guó)一=-----------,〃iC；=

'(/?-1)!(/:-/H)!(w-1)!(?-/?)!

故D正確.

故選；ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

23.(2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中)若&=206，則〃=3.

【分析】由題意利用排列數(shù)公式，計(jì)算求得〃的值.

【解答】解：若成=20耳,則2小(2〃-1),(2〃-2)=20小(〃一1),

〃=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2023春?市中區(qū)校級(jí)期中）三個(gè)人坐在一排八個(gè)座位上，若每人的兩邊都要有空位，則不同的

坐法種數(shù)為24.

【分析】?jī)啥说淖灰罩?，每人的兩邊都要有空位，中間6個(gè)座位坐三個(gè)人，再空三個(gè)座位，這

三個(gè)座位之間產(chǎn)生四個(gè)空，可以認(rèn)為是坐后產(chǎn)生的空，根據(jù)分析得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，兩端的座位要空著，

中間6個(gè)座位坐三個(gè)人，

再空三個(gè)座位，這三個(gè)座位之間產(chǎn)生四個(gè)空，

可以認(rèn)為是坐后產(chǎn)生的空.

故共有4；種.

解法一：三個(gè)人帶著三個(gè)座位往空里插，讓人占座位之間的空，因有5個(gè)座位，它們之間有四個(gè)空,

人去插空,共有國(guó)種

故答案為:24.

【點(diǎn)評(píng)】本題采用的是一種執(zhí)果索因的方法，這種執(zhí)果索因的思考方法是處理排列、組合問題常用

的方法.本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實(shí)際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，

把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解出結(jié)果以后再還原為實(shí)際問題.

25.（2023春?龍門縣校級(jí)期中）（1）計(jì)算：”If；

^7-A

（2）已知專一專=看，求ct+cr+GM+q”的值?

【分析】根據(jù)排列組合數(shù)公式計(jì)算即可.

4禺+2#_4x7x6x5+2x7x6x5+4_7x6x5x4x3__12_3

【解答】ft?：（1）

4-<"7x6x5x4x3x2xl-8x7x6x5一7x6x5x(4x3x2x1-8)一記一I

“”(5-〃?)!，〃!(6-/〃)!_7xmx(l-m)l

(/八2)由A--I-----I-=---7--可得

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-5!675!—10x7x6x5;

可得「厘=2s爵吟整理可得研42=。,

解得〃?=2或"7=21,因?yàn)槠旒??可得/〃=2,

所以C：+C；+C；+C：=C+C+C；=C；+《=C；=126.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合數(shù)公式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

組合及組合數(shù)公式

26.（2023春?巴楚縣校級(jí)期中）若6=42（“eN'），則=（）

A.20B.21C.30D.35

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式求出〃，利用組合數(shù)公式求解即可.

【解答】解：:A：=〃（〃-1）=42,即〃2-九-42=0,

解得〃=7或〃=-6（舍），

則C：=C；=35.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)和組合數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

27.（2023春?浙江期中）已知C；2=21,則〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】由組合數(shù)的性結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算可得〃2-〃-42=0,解之即可.

【解答】解：由組合數(shù)的性質(zhì)可得G"=c；=里展1=21,

化簡(jiǎn)可得〃2—〃-42=0,即（〃+6）（〃-7）=0,解得〃=7,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的求解，以及組合數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

28.（2023春?濟(jì)寧期中）若C；=C；,則x的值為（）

A.3B.6C.9D.3或6

【分析】由已知直接利用組合數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：由C；=C；,得x=3或3+x=9,

即1=3或x=6.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

29.（2023春?溫州期中）己知C；=C；+l則x的取值為（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)列方程計(jì)算即可.

【解答】解：由題意可得：x=x+l（舍）或x+x+l=5,

解得x=2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

30.（2023春?鄭州期中）計(jì)算2C；+38的值是（）

A.72B.102C.507D.510

【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)的定義求解.

【解答】解：2C；+36=2C；+3￡=2X21+3X20=102.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

31.（2023春?新吳區(qū)校級(jí)期中）若片=6C；j則m=（）

A.7B.6C.5D.4

【分析】由排列數(shù)、組合數(shù)公式列方程求解即可.

【解答】解：由4：=6仁：得用=6C：T，

即=6（/n-1）,

又因?yàn)??一1>0，所以〃?=6.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

32.（2023春?常州期中）已知《：=15（〃￡汽,〃..2）,則4：的俏為（)

A.25B.30C.42D.56

【分析】利用排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系求解即可.

【解答】解：???第=15,

S=C：?&=15x2=30.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

33.（2023春?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）若用C；=C『，則x+〃=（

D.2或5

【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式列方程求出〃和x的值，再求和即可.

【解答】解：因?yàn)槠洹?6個(gè)，

所以2n（2n-1）=6n（n-1）>

解得〃=2,

又因?yàn)镃；=C/，

所以x=2x或x+2x=9,

解得x=0或x=3,

當(dāng)x=0,”=2時(shí)，x+n=2；

當(dāng)工=3,〃=2時(shí)，x+n=5.

綜上，工+〃的值是2或5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

34.（2023春?通州區(qū)期中）已知（1+工）8=。+。工+《r++C：f,則以+盤++。；=（）

A.127B.128C.255D.256

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的系數(shù)特征，計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)椋╨+x）8=d+C*+4f+…+c；d,

所以仁+C：++《=C+《+...+C：=gx28=128.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)展開式系數(shù)的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

35.（2023春?太和縣校級(jí)期中）對(duì)于〃?，〃eN?關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（）

B.-C：

D.淄=(m+l)C

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，以及排列數(shù)的運(yùn)算逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案.

【解答】解：選項(xiàng)A,C：=,4正確;

選項(xiàng)A,B正確;

選項(xiàng)c,A：=C：M，C正確;

5+1)!,上二〃！

選項(xiàng)。,,（〃+i）A；，。錯(cuò)誤?

嫦”(〃-，〃)!

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

36.（2023春?橫山區(qū)校級(jí)期中）若組合數(shù)C：和A：滿足。：=%，則加=8.

【分析】由已知直接展開組合數(shù)與排列數(shù)公式計(jì)算.

【解答】解：由C；：=%，得一空一=

3!（利-3）!

可得絲二Z=l,解得，,?=8.

6

故答案為:8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合與排列數(shù)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

37.（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：《+C：+C；++C1=330.（用數(shù)字作答）

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【解?答】解：Cf+C4+C5+---+C|Q

=C+c：+o+C；+...+C(Q

=c；+G+c；…+c；o

=c：+c：+a+...+C]

=c；++G+...+CjQ

=Cg+Cg+Cj+C)0

=c；+c：+《

Y

=C；=q\=330.

故答案為:330.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

38.（2023春?泉州期中）若C；+6=3。，則〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)公式求解即可.

【解答】解：由題意可得崎D+〃（"T）=30,即〃-20=0,

解得〃=5或〃=T（舍去），

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列數(shù)和組合數(shù)公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

39.（2023春?天津期中）&xC；=（）

A.960B.480C.160D.80

【分析】直接利用排列組合公式展開求解即可.

【解答】解：A；x《=4x3x2x空經(jīng)=480.

463x2x1

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

40.（2023春?龍亭區(qū)校級(jí)期中）滿足方程的工的值可能為（）

A.1B.3C.5D.-7

【分析】由已知可得關(guān)于工的方程，求解后驗(yàn)證0/F-x16,旗放-516,即可得到x的值.

0M2-x16-x16

=,得Jo為5%-516或J。效5%-516

【解答】解：由G；"

x1-x=5x-5x2-x+5x-5=\6

解得：工=1或工=3.

.?.X的值可能為1或3.

故選：AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合及組合數(shù)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

41.（2023春?句容市校級(jí)期中）下列式子正確的是（）

A.C；=C；B.C；=C：+C：

C.c=c港D.

【分析】利用組合數(shù)與排列數(shù)的性質(zhì)及其計(jì)算公式即可判斷出正誤.

【解答】解：由組合數(shù)的性質(zhì)可得：C；=C：,C；=C：+C：，M=C；片,4=6x5x4x3，A；=6x5x4,

所以可工4弋.即ABC正確，。錯(cuò)誤，

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列與組合數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

42.（2023春?呼蘭區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.C；=3B.=6

C.后+品=52D.不=99

【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式對(duì)各選項(xiàng)一一求解判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,C；=C；=3,故A正確；

對(duì)于3,A；=3x2=6,故8正確；

對(duì)于C,A；+C=7x6+C：°=42+10=52,故C正確;

對(duì)于。，CS）=C：oo=IOO，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)和組合數(shù)的公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

題型06排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題

43.（2023春?米東區(qū)校級(jí)期中）其研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動(dòng)需要

挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名

女生，則不同的選法種數(shù)為（）

A.120B.84C.52D.48

【分析】根據(jù)題意，從反面分析，分別求得“8人中任選3人的組隊(duì)方案”與“沒有女生的方案”

的方法數(shù)，進(jìn)而由“沒有女生的方案”與“至少有一名女生入選的組隊(duì)方案”互為對(duì)立，計(jì)算可

得答案.

【脩答】解：8人中任選3人的組隊(duì)方案有C；=56,

沒有女生的方案有C；=4,

所以符合要求的組隊(duì)方案數(shù)為52種；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合的運(yùn)用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法.

44.（2023春?徐州期中）將4名鄉(xiāng)村振興志愿者分配到科技助農(nóng)，文藝文化，科普宣傳和鄉(xiāng)村環(huán)境

治理4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，志愿者小王不去文藝文化項(xiàng)目，則不同的

分配方案共有（）

A.12種B.18種C.24種D.48種

【分析】先考慮小王的分配方案種數(shù)，再排其他志愿者，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【解答】解：志愿者小王不去文藝文化項(xiàng)目，則小王有3種分配方案，

剩下的三名志愿者有A；=6種分配方案，

則不同的分配方案共有3x6=18種.

故過：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

45.（2023春?鼓樓區(qū)期中）導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授

課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé)，已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某

學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.90B.15C.60D.180

【分析】首先把6名同學(xué)平均分成3組，再由6名教師全排列即可得答案.

【解答】解：首先把6名同學(xué)分成3組，共有隼G=15種不同分法，

再讓3名課任教師進(jìn)行全排列，故不同的分配方法的種數(shù)為15?=90.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，是基礎(chǔ)題.

46.（2023春?淮安區(qū)期中）從3,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為

〃，則共可得到g的不同值的個(gè)數(shù)為（）

b

A.6B.8C.12D.16

【分析】應(yīng)用排列數(shù)求從四個(gè)數(shù)中任選2個(gè)的種數(shù)，即可得結(jié)果.

【解答】解：二值的個(gè)數(shù)為從3,5,7,11這四個(gè)數(shù)中任選2個(gè)數(shù)的排列數(shù)A：=I2.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

47.（2023春?華龍區(qū)期中）歡歡同學(xué)從4本漫畫書和5本繪本書中各任選1本出來參加義賣活動(dòng)，

則不同的選法共有（）

A.7種B.9種C.12種D.20種

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.

【解答】解：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,

共有4x5=20種不同的選法.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

48.（2023春?濠江區(qū)校級(jí)期中）樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了

行走安全，第一盞和最后一盞不美，則關(guān)燈方案的種數(shù)為（）

A.10B.15C.20D.24

【分析】本題看作模型問題，相當(dāng)于在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈，問題得以解決

【解答】解：把需要關(guān)的燈插入到亮的6盞燈排成一列中除了兩端的空中，故有C；=10種,

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合中構(gòu)造模型問題，需要轉(zhuǎn)化為易解決的類型，需要認(rèn)真審題，體會(huì)采取的

方法.

49.（2023春?滄縣校級(jí)期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂

一種顏色，且相鄰兩個(gè)面（有公共棱的兩個(gè)面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供

選擇，則不同的涂色方案有（）

A.6（）0種B.1080種C.1200種D.1560種

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合五面體的幾何結(jié)構(gòu)，依次分析各個(gè)側(cè)面的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理

計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，先涂面%5,有6種選擇；再涂面必C,有5種選擇；再涂面A3CD,

有4種選擇，

若面也，與面所涂顏色不同，則面E4Z）有3種選擇，面PCD有3種選擇.

若而小。與面尸8c所涂顏色相同，則面PCD有4種選擇.

故不同的涂色方法有6x5x4x（3x3+4）=1560種.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

50.（2023春?鏡湖區(qū)校級(jí)期中）“仁義禮智信”儒家“五?！?，由偉大的教育家孔子提出，現(xiàn)將“仁

義禮智信”排成一排，則“禮智”互不相鄰的排法總數(shù)為72.

【分析】先將“仁義信”排好，然后將“禮智”插到“仁義信”之間的四個(gè)空中去，即可解決問題.

【解答】解：先將“仁義信”排好，有A；=6種方法，

再將“禮智”插到“仁義信”之間的四個(gè)空中去，有A；=12種方法，

故共有A；?A：=72種排法.

故答案為：72.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查“插空法”解決排列問題中的不相鄰問題，屬于基礎(chǔ)題.

51.（2023春?靜海區(qū)校級(jí)期中）某校有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加北大、清華、浙大3所大學(xué)自

主招生考試，每人限報(bào)一所學(xué)校，每所大學(xué)至少有1人報(bào)考，則共有36種不同的報(bào)考方法:若

甲不報(bào)考北大，則共有一種不同的報(bào)考方法.（用數(shù)字作答）

【分析】由題意得到其中有兩個(gè)人報(bào)名一個(gè)學(xué)校，得到種報(bào)考方法；根據(jù)甲不報(bào)考北大，分為

兩類：第1類：甲單獨(dú)報(bào)名一個(gè)學(xué)校，第2類，甲和其中一名同學(xué)報(bào)名一個(gè)學(xué)校，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原

理，即可求解.

【解答】解：由題意，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加北大、清華、浙大3所大學(xué)自主招生考試，

其中每人限報(bào)一所學(xué)校，每所大學(xué)至少有1人報(bào)考，可得其中有兩個(gè)人報(bào)名一個(gè)學(xué)校，

所以共有CM：=36種不同的報(bào)考方法；

又由甲不報(bào)考北大，可分為兩類：

第I類：甲單獨(dú)報(bào)名一個(gè)學(xué)校，則有C；C；&=12種不同的報(bào)考方法；

第2類，甲和其中一名同學(xué)報(bào)名一個(gè)學(xué)校，則有C；C；6=I2種不同的報(bào)考方法，

由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有12+12=24種不同的報(bào)考方法.

故答案為：36；24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

I題型07

52.（2023春?米東區(qū)校級(jí)期中）若（or+l）s的展開式中V的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.

【解答】解：（依+1）5的展開式的通項(xiàng)公式：乙尸骸依）"=，"'，令r=3，

則/的系數(shù)是洲f=80,解得4=2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

53.（2023春?寶安區(qū)校級(jí)期中）［2x2—3,的展開式中，f的系數(shù)是（）

x

A.40B.-40C.80D.-80

【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,解出，?，代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可.

2

【解答】解：（2x」）,展開式的通項(xiàng)公式為=G（2V）A（-與=C；2?（-1）32,r=0,1,2...5,

XX

令10—3r=4,解得r=2,

則3的系數(shù)是C；23（7）2=80.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式展開式的應(yīng)用，考查特定項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

54.（2023春?泗陽(yáng)縣期中）（2x-Ip展開式中/的系數(shù)為（）

A.-40B.-80C.80D.40

【分析】先求出展開式中的通項(xiàng)公式，再求出々值即可.

【解答】解：（2》-1）5展開式中的通項(xiàng)公式為：

加=C*（2X）5'*（-1）*=C*（-l）*2,

令5-&=3,則2=2,

（2x-a展開式中V的系數(shù)為C-（-1產(chǎn)23=80,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6256

55.（2023春?大理市校級(jí)期中）已知多項(xiàng)式（x—2）s+（x-l）=4-a}x+a2x++?5x+ahx,則q=

74.

【分析】由題意，％的值，即（x-2）$+*-1尸中展開式中x的系數(shù)，結(jié)合展開式的通項(xiàng)公式，求出

結(jié)果.

【解答】解：?,,多項(xiàng)式（工一2）5=4+4/+42工2+…+%?+4工6，

J的值，即（X-2）$+（X-I），中展開式中X的系數(shù).

故4=C-（-2）4+C；?（-1）5=80-6=74.

故答案為:74.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

56.（2023春?南安市期中）（/-'+2）3中常數(shù)項(xiàng)是（寫出數(shù)字）

x

【分析】（f一！+2）3即三個(gè)（/一人+2）相乘，利用組合數(shù)的運(yùn)算求出常數(shù)項(xiàng).

XX

【解答】解：（f」+2）3即三個(gè)（爐二+2）相乘,

XX

常數(shù)項(xiàng)為一個(gè)Y兩個(gè)（一3相乘，或三個(gè)2相乘：C>2（--）2+Cj23=3+8=ll.

XX

故答案為：II.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

57.（2023春?蘇州期中）在（?一-1）9的展開式中（）

lx

A.常數(shù)項(xiàng)為二B.爐項(xiàng)的系數(shù)為一2

22

C.系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)D.有理項(xiàng)共有5項(xiàng)

【分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.

?19-3r

【解答】解：在（?-卷）9的展開式中，通項(xiàng)公式為，+1=C；?（-；）,了亍，

令等=0,求得r=3,可得展開式中常數(shù)項(xiàng)為?；=《.（—$=一日，故A錯(cuò)誤；

令上匕=3,求得r=1,可得展開式中丁項(xiàng)的系數(shù)為-2,故B正確；

22

要使第1+1項(xiàng)的系數(shù),最大，需，?為偶數(shù)，檢驗(yàn)可得，

當(dāng)『=2時(shí)、系數(shù)C〉（-；）'最大，即系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，故C正確；

令”攵為整數(shù)，求得r=l,3,5,7,9,共計(jì)5項(xiàng)，故O正確.

2

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

n

58.（2023春?東莞市校級(jí)期中）設(shè)（1+x）"=%+乎+生/++anx,若%=4,則〃=（）

A.13B.14C.15D.16

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式（1+幻”的展開式的通項(xiàng)公式，可得q=C：j=0,l,…利用組合數(shù)的性質(zhì)求

出〃的值.

【解答】解：因?yàn)椋?+幻”的展開式的第廠+1項(xiàng)為加=C：XL=C；?X’,r=o,1,…,〃，

可得a,=C：,r=0,l，…,〃，由%=4可得結(jié)合合數(shù)的性質(zhì)可知〃=7+8=15.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)定理及其應(yīng)用、組合數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

59.（2023春?大余縣校級(jí)期中）己知。-十）”的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.〃=8

B.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

C.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15

D.將展開式中的各項(xiàng)重新隨機(jī)排列，有理項(xiàng)相鄰的概率為一

35

【分析】由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得〃，可得二項(xiàng)式系數(shù)之和，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)

公式，求出常數(shù)項(xiàng)和行理項(xiàng)，再根據(jù)排列組介與概率的知識(shí)，從而得出結(jié)論.

【解答】解：.（x-9）”的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，.?.〃=6,故A錯(cuò)誤；

二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=26=64,故8正確；

由于展開式的通項(xiàng)公式為rr+l=q-c-ir-x~^,

令6一日=0,求得r=4,可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：=15,故C正確；

令6-①為整數(shù)，可得廠=0,2,4,6,

2

故展開式中共有7項(xiàng)，其中，有理項(xiàng)共計(jì)4項(xiàng)，今,

將展開式中的各項(xiàng)重新隨機(jī)排列，有理項(xiàng)相鄰的概率為￡=—二，故。錯(cuò)誤，

4210

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，排列組

合與概率，屬于中檔題.

60.（2023春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期中）（1+_?川一_1）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A.-15B.16C.15D.-16

【分析】把（1-4）6按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

XX

【解答】解：（l+f）（l」）6=（l+W）（］—￡+g—義+與一?十二）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1+15=16,

XXXXX.VX

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)

題.

!優(yōu)選提升題?

一.選擇題（共5小題）

1.（2023春?新安縣校級(jí)期中）某班團(tuán)支部換屈選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中選

出三人分別擔(dān)任書記、副書記和組織委員，并且規(guī)定：上屆任耿的甲、乙、丙三人不能連任原職，

則不同的任職結(jié)果有（）

A.15B.11C.14D.23

【分析】本題選法有兩種，一是丁不入選，則由甲乙丙三個(gè)人擔(dān)任，甲有2中選擇，余下的乙和丙

只有一種結(jié)果，當(dāng)丁入選時(shí)有C；=3種結(jié)果，丁若擔(dān)任三個(gè)人中沒