2025年下半年教師資格證考試《高中數(shù)學(xué)專業(yè)面試》練習(xí)題及答案解析練習(xí)題一：《等比數(shù)列的前n項和》題目要求1.試講時間約10分鐘。2.講解等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程。3.有適當(dāng)?shù)陌鍟?。面試過程開場“同學(xué)們好，在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)認(rèn)識了等比數(shù)列，了解了它的定義和通項公式。今天呢，我們就一起來探究等比數(shù)列的前n項和。大家有沒有聽說過國際象棋棋盤上放麥粒的故事呀？傳說，古印度的舍罕王打算重賞國際象棋的發(fā)明人——宰相西薩·班·達依爾。宰相說：‘陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！’國王覺得這要求太容易滿足了，就答應(yīng)了他。那么同學(xué)們，你們覺得國王能滿足宰相的要求嗎？這其實就涉及到了等比數(shù)列前n項和的問題?！蓖茖?dǎo)公式“我們先來看一般的等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，它的首項是\(a_1\)，公比是\(q\)，它的前\(n\)項和\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)。根據(jù)等比數(shù)列的通項公式\(a_n=a_1q^{n1}\)，那么\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1}\)①。接下來我們給①式兩邊同時乘以公比\(q\)，就得到\(qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^{n1}+a_1q^n\)②。然后用①式減去②式，即\(S_nqS_n=(a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1})(a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^{n1}+a_1q^n)\)。通過化簡可以發(fā)現(xiàn)，很多項都抵消掉了，得到\((1q)S_n=a_1a_1q^n\)。當(dāng)\(q\neq1\)時，我們就可以得到\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)。當(dāng)\(q=1\)時，等比數(shù)列的每一項都相等，都等于\(a_1\)，那么\(S_n=na_1\)。所以等比數(shù)列前\(n\)項和公式為\(S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\\frac{a_1(1q^n)}{1q},&q\neq1\end{cases}\)?！苯鉀Q問題“現(xiàn)在我們回到剛才棋盤放麥粒的問題。棋盤上放麥粒形成了一個首項\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，項數(shù)\(n=64\)的等比數(shù)列。根據(jù)我們剛剛推導(dǎo)出的公式\(S_{64}=\frac{1\times(12^{64})}{12}=2^{64}1\)。\(2^{64}1\)這個數(shù)字非常巨大，大約是\(1.84\times10^{19}\)粒麥子。據(jù)估算，這些麥子的重量約為7000億噸，而當(dāng)時全世界一年小麥的產(chǎn)量也不過幾千億噸，所以國王根本無法滿足宰相的要求。”板書等比數(shù)列前\(n\)項和\(S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\\frac{a_1(1q^n)}{1q},&q\neq1\end{cases}\)推導(dǎo)過程：\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1}\)①\(qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^{n1}+a_1q^n\)②①②得\((1q)S_n=a_1a_1q^n\)練習(xí)題二：《函數(shù)的單調(diào)性》題目要求1.試講時間10分鐘左右。2.引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念。3.結(jié)合具體函數(shù)進行單調(diào)性的判斷。面試過程導(dǎo)入“同學(xué)們，我們來看這樣一個生活場景。隨著時間的推移，一天中氣溫是不斷變化的。如果我們把時間看作自變量\(x\)，氣溫看作因變量\(y\)，那么氣溫\(y\)就可以看成是時間\(x\)的函數(shù)。從早晨到中午，氣溫逐漸升高；從中午到晚上，氣溫又逐漸降低。像這種函數(shù)值隨著自變量的變化而呈現(xiàn)出上升或下降的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中我們就用函數(shù)的單調(diào)性來描述。今天我們就一起來學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性?！敝v解概念“我們先來看函數(shù)\(y=x^2\)的圖象。大家可以在草稿紙上畫出它的圖象，它是一個開口向上的拋物線，對稱軸是\(y\)軸。當(dāng)\(x\in(\infty,0)\)時，我們?nèi)蓚€不同的自變量\(x_1\ltx_2\)，計算\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)。因為\(x_1\ltx_2\)，所以\(x_1x_2\lt0\)，又因為\(x_1,x_2\in(\infty,0)\)，所以\(x_1+x_2\lt0\)，那么\((x_1x_2)(x_1+x_2)\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)。這說明當(dāng)自變量\(x\)在\((\infty,0)\)內(nèi)逐漸增大時，函數(shù)值\(y\)反而逐漸減小。當(dāng)\(x\in(0,+\infty)\)時，同樣取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)(x_1+x_2)\)，此時\(x_1x_2\lt0\)，\(x_1+x_2\gt0\)，所以\((x_1x_2)(x_1+x_2)\lt0\)，即\(f(x_1)\ltf(x_2)\)。這表明當(dāng)自變量\(x\)在\((0,+\infty)\)內(nèi)逐漸增大時，函數(shù)值\(y\)也逐漸增大。一般地，設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(I\)：如果對于定義域\(I\)內(nèi)某個區(qū)間\(D\)上的任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)\ltf(x_2)\)，那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)；如果對于定義域\(I\)內(nèi)某個區(qū)間\(D\)上的任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)\gtf(x_2)\)，那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是減函數(shù)。如果函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)\(y=f(x)\)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間\(D\)叫做\(y=f(x)\)的單調(diào)區(qū)間?！崩}講解“我們來看這樣一個例題，判斷函數(shù)\(f(x)=2x+1\)在\(R\)上的單調(diào)性。設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)上的任意兩個實數(shù)，且\(x_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)f(x_2)=(2x_1+1)(2x_2+1)=2(x_1x_2)\)。因為\(x_1\ltx_2\)，所以\(x_1x_2\lt0\)，那么\(2(x_1x_2)\lt0\)，即\(f(x_1)\ltf(x_2)\)。所以函數(shù)\(f(x)=2x+1\)在\(R\)上是增函數(shù)?！卑鍟瘮?shù)的單調(diào)性1.增函數(shù)：\(x_1\ltx_