專題03代數(shù)方程

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.爐+）,=正是二元二次方程B.f-x=O是二項方程

C.寧:2是分式方程D.土二=0是無理方程

x

X2+1

x+1=°,如果設二旦=y,那么原方程化為關于），的整式方程是（）

2.用換元法解分式方程丁-

312+1)

X

A.3/+3}'-1=()B.3/-3y-I=()

C.3），2-），+|=0D.3y2-y-\=()

231公

xy2

小明在解方程組的過程中,以下說法錯誤的是（）

3.7I

-+-(x+l)=l@

A.②-①可得），=21-4,再用代入消元法解

令L=〃，L=b,可用換元法將原方程組化為關于〃、6的二元一次方程組

B.

y

C.由①得y二法‘再代入②,可得一個關于x的分式方程，亦可求解

x=8

D.經(jīng)檢驗：s是方程組的一組解

*y=12

4.下列方程中，有實數(shù)解的是（）

1

A.VA+2+1=0B.

x2-\x2-\

c.V-v-1+V1-X=1D.-3=2

5.張老師和李老師同時從學校出發(fā)，步行15T?米去書店購買書籍，張老師比李老師每小時多走1千米,

結果比李老師早到半小時，兩位老師每小時各走多少千米？設李老師每小時走x千米，根據(jù)題意，所列的方

程是（）

15151c15151

A.—B.-------=-

X+IX2xx+12

151511515_1

C.D.------------------

~2

X-1Xxx-\2

6.下列關于”的方程中，一定有實數(shù)解的是（）

A.Jx—\=-1B.Vx-1=

C.x2+/zir-l=0D.一=——

x-1x-

7.若關于x的分式方程擊二擊的根為正數(shù)，則k的取值范圍匙）

A.k<-（且2-1B.k#-lC.-gvkvlD.k<-1

8.若關于x的分式方程生<=?有增根，則a的值是（）

x-22

A.4B.2C.3D.0

V=X2

9.方程組，）有兩組不同的實數(shù)解，則（）

y=x+in

1

A.m>——B.w>--C.D以上答案都不對

一44

10.如果xA0,）＞0,且3X2），=而，則十的值可能是（）

99

A.B.1C.-D.以上都無可能

"44

二、填空題

11.試寫出一個二項方程，使得它有一個解為％=1,這個二項方程可以是.

12.方程（3x-4）"=16的根是.

13.方程x+L的解是

x2

kY

14.如果解方程一一+kJ=0會產(chǎn)生增根，那么k的值是.

15.某工人要完成1000個零件，起初機器出現(xiàn)故障，每分鐘比原計劃少加工4個零件，加工320個零件后，

換了一臺新機器，每分鐘比原計劃多加工8個零件.已知用新機器加工零件的時間比前面用舊機器加工零件

的時間少6分鐘，設原計劃每分鐘加工x個零件，則可列方程為；.

16.若關于x的分式方程2十二三=三無解，則機的值為一.

x-2x-4x+2

17.如果關于上的方程岳二F=2-3。無實數(shù)根，那么〃的取值范圍是.

18.關于x、y的方程組,2:一八有實數(shù)解，則機的取值范圍是

y-2x+3y+4=0

19.觀察下列方程：①X+2=3；②X+9=5；③%+工=7,可以發(fā)現(xiàn)它們的解分別是①戶1或2；②戶2或3；

XXX

③廣3或4.利用上述材料所反映出來的規(guī)律，可知關于x的方程.1+2=2〃+4（〃為正整數(shù)）的解尸

A-3

三、解答題

x2-5xy-6y2=0,

20.解方程組:

xy-2x-y+2=0.

21.解方程：x+2jx-4=4.

22.(1)解方程：x—=4

(2)解方程：^/3x-5-^/^^2=l

---------=1

x-2y+3

23.解方程組:

31

---+----=10

x-2y+3

24.解方程:士一

25.若關于工的方程冬-鐺=,無解，求實數(shù)”的值.

X+\X~+XX

26.為響應國家號召，全體公民接種疫苗，提高對“新冠”病毒的免疫功能.現(xiàn)某大型社區(qū)有6000人需要接

種疫苗，為了盡快完成該項任務，防疫部門除固定接種點外還增加了一輛流動疫苗接種車，實際每口接種

人數(shù)比原計劃多了250人，結果提前了2天完成全部接種任務.求原計劃每天接種人數(shù)是多少？

27.某中學為配合開展“垃圾分類進校園”活動，新購買了一批不同型號的垃圾分類桶，學校先用4050元購

買了一批給班級使用的小號垃圾桶，再用5400元購買了一批放在戶外永久使用的大號垃圾桶，已知每個大

號垃圾桶的價格是小號垃圾桶的倍，旦購買的數(shù)量比小號垃圾桶少60個，求每個小號垃圾桶的價格是多

少元？

y2-4x-2y+l=0

28.左為何值時，方程組《

y=kx+2

（1）有兩組相等的實數(shù)解；

（2）有兩組不相等的實數(shù)解;

（3）沒有實數(shù)解.

29.若關于工的方程檢二。+學1=1+竺有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)攵的所有可能值.

x廠+xx+1

30.對于兩個不相等的非零實數(shù)/%〃，分式（L/—?）的值為零,則工=，〃或又因為

dr-”）/（加+如+.+絲_y）,所以關于x的方程x+絲=〃?+〃有兩個解,分別為

XXXX

玉=切，占=〃.應用上面的結論解答下列問題：

⑴方程4+9=7有兩個解，分別為司=,X2=：

X

（2）關于文的方程x+竺=切丁一"的兩個解分別為4,々，若毛與招互為倒數(shù)且再<勺，則

X]=?X2=；

⑶關于x的方程3x+±a=2〃的兩個解分別為玉，%2（X,<x2）,求產(chǎn)的值.

3x-l

專題03代數(shù)方程

一、單選題

i.下列說法正確的是（）

A.彳2+'=也是二元二次方程B.x2-x=0是二項方程

C.￡1^=2是分式方程D.二^=&是無理方程

3X

【答案】A

【分析】利用無理方程、高次方程、分式方程、二項方程的定義分別進行判斷即可得到答案.

【解析】解：A、含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,故是二元二次方程，故正確;

B、犬-%=0是二次方程，故錯誤；

C、分母里不含未知數(shù)，不是分式方程，故錯誤；

D、被開方數(shù)不含未知數(shù)，不是無埋方程，故錯誤，

故選：A.

【點睛】本題考查了無理方程、高次方程、分式方程、二項方程的定義，解題的關鍵是熟悉

這些方程的定義.

+1X?八j-2+1

2.用換元法解分式方程入-一3卜2+1）+，如果程一二）1那么原方程化為關于）'的

整式方程是（）

A.3y2+3）'-1=0B.3y2-3y-l=O

C.3），—），+1=（）D.3y2一y一1二()

【答案】A

r2+11

【分析】由原方程可化為」-豆去分母把分式方程化成整式方程’即可

得出答案.

【解析】解：設立。二），，

X

X2+\X,..1

.?分式方程丁-年可+1=°可化為廣豆十】町

化為整式方程：3y2+3y-l=（）,

故選：A.

【點睛】本題考查了換元法解分式方程，掌握換元法及正確把分式方程化成整式方程是解決

問題的關鍵.

231公

xv2

3.小明在解方程組.；的過程中，以下說法錯誤的是()

-+l(x+l)=l(2)

XV

A.②-①可得)，=2'-4,再用代入消元法解

B.令工=，，-=h,可用換元法將原方程組化為關于。、〃的二元一次方程組

y

C.由①得y=再代入②'可得一個關于”的分式方程，亦口」求解

；二：2是方程組的一組解

D.經(jīng)檢驗:

【答案】B

131

【分析】②-①得出一"+1)-二=|一弓，整理后得出y=2x-4,即可判斷選項A；換元后得

y)，

出方程組心"+3〃=5,即可判斷選項B；由①求出丁二白，代入②后即可判斷選項C：

2a+b(x+\)=1A

把s代入方程組中的兩個方程，看看方程的兩邊是否都相等，即可判斷選項D.

y=12

[231小

xy2

【解析】解：「；，

_+l(x+|)=l@

〔Xy

i31

A.②一①，得一(x+1)——=1--,

yy2

整理得：y=2x-4t再用代入消元法解，故本選項不符合題意；

B.令'=〃，則原方程組化為：

xy

2a+3b=-

2

1,

2a+b(-+\)=\

a

不能得出關于。、力的二元一次方程組，故本選項符合題意；

C.由①得)，=々，

x-4

把y=63x代入②得：

x-4

2_J_

7+jT(A+l)=，,得出一個關于X的分式方程，即可求解，故本選項不符合題意；

x-4

D.把［x尸=8］2代入①_,得

左邊［+《=；+；=；，右邊=；，左邊=右邊,

把’小代入②，得

y=l2

2113

=—+—(8+1)=—+—=1,右邊=1,左邊=右邊,

fx=8

所以s是方程組的解，故本選項不符合題意；

y=12

故選：B.

【點睛】本題考查了解分式方程組和方程組的解，能把分式方程組轉化成方程和理解方程組

的解的定義是解此題的關犍.

4.下列方程中，有實數(shù)解的是()

A.Vx+2+1=0

B.十

C.y/x-1+x/1—x=1D.J<-3=2

【答案】D

【分析】移項后得出=根據(jù)算術平方根的非負性即可判斷選項A；方程兩邊都乘

》2_1得出工=1,再進行檢驗即可判斷選項B；根據(jù)二次根式有意義的條件得出無-1"且

l-x>0,求出工，再進行檢驗即可判斷選項C；方程兩邊平方得出f一3=4,求出方程的

解，再進行檢驗叩可判斷選項D.

【解析】解：A：Jx+2+1=0,

/.Jx+2=-1?

不論X為何值，V.v+2>0,不能為負數(shù)，

「?此方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

cX1

B：-~~，

X-1X-1

方程兩邊都乘丁-1,得x=l,

檢驗：當x=l時，Y-1是增根，

即原分式方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

C：Jx-l+\/\-x=1,

要使G萬有意義，必須x-1對且1-xNO,

解得：x=\,

經(jīng)檢驗x=l不是原方程的解，

即原方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

D：yjx2—3=2>

方程兩邊平方，得12一3=4,

解得:X=土幣?

經(jīng)檢驗X=±"都是原方程的解，

即原方程的解是百=5，%=-幣,故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了解無理方程，解分式方程和二次根式有意義的條件等知識點，能把解無

理方程轉化成有理方程和能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵.

5.張老師和李老師同時從學校出發(fā)，步行15千米去書店購買書籍，張老師比李老師每小時

多走I千米，結果比李老師早到半小時，兩位老師每小時各走多少千米？設李老師每小時走

工千米，根據(jù)題意，所列的方程是（）

1515115151

x+1x2xx+12

【答案】B

【分析】根據(jù)等量關系“結果比李老師早到半小時''即可列出方程.

【解析】解：李老師所用時間為：張老師所用的時間為：與；

xx+1

所列方程為：---^7=7-

xx+\2

故選：B.

【點睛】本題考查分式方程的應用，找出題目的等量關系是解題的關鍵.

6.下列關于％的方程中，一定有實數(shù)解的是（）

A.Vx-1=-1B.-Jx-1=x

C.x2+/ZIX-1=0D.-r

x-\x-1

【答案】c

【分析】先解答選項中的各個方程，即可判斷那個選項中的方程一定有實數(shù)解，從而可以解

答本題.

【解析】解：

***Jx-l=-1無解，故選項A錯誤；

,**vx-l=x,得x-\=x2-

則/=（-l『-4xlxl=l-4=-3V0,故此方程無解，故選項B錯誤：

*/x2+/nx-l=O,，/=療一4x1x（-1）=/+4>0,

Ax2=0一定有兩個不相等的實數(shù)根，故選項C正確；

???一、=」，解得，x=l,而X=1時，x-l=0,故此分式方程無解，故選項D錯誤；

x-lX-[

故選：C.

【點睛】本題考查無理方程、根的判別式、分式方程的解，解題的關鍵是明確無理方程根號

里面的數(shù)或式子大于等于0,根的判別式△之0時，方程有實數(shù)根，分式方程的解要使得原

分式方程有意義.

7.若關于x的分式方程一」二J的根為正數(shù)，則k的取值范圍是（）

x+kx-\

A.k<-，且kr-lB.k#-lC.-1<k<lD.k<[

【答案】A

【分析】先去分母求出分式方程的解，再根據(jù)此方程的解為正數(shù)，列出關于k的不等式，注

意此方程有解，則x*,x#-k,求出k的取值范圍即可.

【解析】方程兩邊同時乘以（x+k）（x-1）得：

x-l=5x+5k

5Z+1

解之：――

Vx>0且x#l,x#-k

.5k+15k+\5女+1

??>0且一聲且一r-k,

44~1~

解得：k<---1,

J

??,1<<一（且卜打1

故答案為：A

【點睛】本題考查分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式，理解分式方程的解，熟

練掌握分式方程的解法是解答的關鍵，注意使分式有意義的隱含條件.

8.若關于x的分式方程行有增根’則a的值是（）

A.4B.2C.3D.0

【答案】A

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根求出工的值，代入整式方程計

算即可求出〃的值.

【解析】解：去分母得：4x-2a=x-2,

由分式方程有增根，得至1卜—2=0,即x=2,

代入整式方程得：〃=4,

故選：A.

【點睛】此題考杳了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式

方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

9.方程組［‘'="一有兩組不同的實數(shù)解，則()

A.m>--B.fn>--C.--<m<-D.以上答案都不對

4444

【答案】B

【分析】將丫=*2與丫=乂+由函數(shù)聯(lián)立，根據(jù)解的個數(shù)求解即可.

V=廠2

【解析】方程組〈有兩組不同的實數(shù)解，兩個方程消去y得，Y-x=0,需要

y=x+m

△>0,即l+4m>0,所以加>-L故選B.

4

【點睛】本題考查了二元二次方程，用到的知識點是加減消元法解方程組，根的判別式、解

一元二次方程等知識，關灌是根據(jù)根的判別式求出m的值.

10.如果工?0,y一。，且3x—2y=而，則"的值可能足()

99

A.--B.IC.-D.以上都無可能

44

【答案】B

【分析】可將方程兩邊同時平方，從而將無理方程轉化為整式方程，運用因式分解法即可得

到y(tǒng)與x的關系，從而解決問題.

【解析】將方程3x-2y=而兩邊同時平方，并整理得，

9x2-13xy+4/=0(其中3x-2y>0)

即(9x-4y)(x-y)=0,

9

解得，y=-x,或丫=*,

93

當)，=不時，3x-2y=-1xr

Vx>0,

3x-2y<0,不符合要求，

當y=x時，3x-2y=x>0,符合要求.

故選B.

【點睛】本題主要考查了解無理方程，運用因式分解法解方程，需要注意的是將無理方程轉

化為整式方程，可能會出現(xiàn)增根，本題需要挖掘出隱含條件3x-2y>0.

二、填空題

11.試寫出一個二項方程，使得它有一個解為尸1，這個二項方程可以是.

【答案】x2-l=O(答案不哇一)

【分析】按要求寫出二項、有一個解為1的方程即可.

【解析】解：二項方程，使得它有一個解為尸1,這樣的方程不唯一，

比如：/-1=0,%-1=0等，

故答案為：x2-l=0(答案不唯一).

【點睛】本題考查項及方程的解等概念的應用，屬開放性題日，答案不唯一，解題的美鍵是

理解項、方程的解等概念.

12.方程(3x-4)4=16的根是.

22

【答案】3=2或1=一##)=—或x=2

33

【分析】將方程化為二項方程，因式分解法解方程即可求解.

【解析】解：???(3X-4)4=16,

即(3工-盯-16=0,

工[(3X-4)2+4][(3X-4)2-4]=0,

V(3X-4)2+4>0,

A(3X-4)2-4=0,

即(3X-4)2=4,

.,.3^-4—±2,

…2

/.x=2^^x=—,

3

2

經(jīng)檢驗，x=2或x=],是原方程的解，

二?方程(3%-4)=16的根是工=2或彳=：,

2

故答案為：x=2或x=

【點睛】本題考查了解二項方程，將方程因式分解是解題的關鍵.

13.方程的解是

x2

【答案】尸2和尸;

【分析】方程兩邊同時乘以2x,把分式方程化成整式方程，解整式方程檢驗后，即可得出

分式方程的解.

【解析】解：方程兩邊同時乘以2x得：2f+2=5x，

2.r-5x+2=0.

解得：X=2,蒼=；，

當x=2時，x=0,

當戶,時，XX0,

2

??,分式方程的解為42和尸3.

【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵，注意解分式方程要

檢驗根.

14.如果解方程」二十；■一二0會產(chǎn)生增根，那么攵的值是___________.

x+22A+4

【答案】1

【分析】先去分母，然后再根據(jù)會產(chǎn)生增根的條件確定J的值，然后代入方程確定存在增根

時2的取值范圍.

【解析】解:----+----=-0

x+22x+4

2k+x=0

是分式方程的增根，

把％=-2代入整理后的方程得，2%-2=0,

解得改=1,

???當A=1時，方程一一+丁三=。會產(chǎn)生增根，

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了分式方程的增根，確定有增根時的x的值是解答本題的關鍵.

15.某工人要完成1000個零件，起初機器出現(xiàn)故障，每分鐘比原計劃少加工4個零件，加工

320個零件后，換了一臺新機器，每分鐘比原計劃多加工8個零件.已知用新機器加工零件

的時間比前面用舊機器加工零件的時間少6分鐘，設原計劃每分鐘加工％個零件，則可列方

程為：.

320?1000-320

【答案】

x-4x+8

【分析】根據(jù)題意可知：用新機器加工零件的時間比前面用舊機器加工零件的時間少6分鐘,

即可列出相應的分式方程.

【解析】解：由題意可得:

320/1000-320

-----6=---------

x-4x+8

320/1003-320

故答案為:O=

x-4-------x+8

【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系,

列出相應的方程.

16.若關于x的分式方程三+二一=三無解，則機的值為一.

x-2x'-4x+2

【答案】10或T或3

【分析】分式方程無解的情況有兩種：(1)原方程存在增根；(2)原方程約去分母后，整

式方程無解.

【解析】解：(1)工=-2為原方程的增根，

此時有2(x+2)+,“v=5(x_2),gp2X(-2+2)-2//J=5X(-2-2),

解得〃?=10；

(2)x=2為原方程的增根，

此時有2(x+2)+"n:=5(x-2),即2x(2+2)+2,〃=5x(2-2),

解得m=-4.

(3)方程兩邊都乘(*+2)-以

得2(>+2)+〃1￥=50：-2),

化簡得：。〃-3)x=-14.

當帆=3時，整式方程無解.

綜上所述，當m=10或"?=-4或，〃=3時，原方程無解.

故答案為：10或T或3.

【點睛】本題考杳的是分式方程的解，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，乂要

考慮整式方程無解的情形.

17.如果關于x的方程757=1=2-3〃無實數(shù)根，那么〃的取值范圍是.

2

【答案】

【分析】因為二次根式具有非負性，所以方程無實數(shù)根的條件是2-3aV0,解不等式即可.

【解析】解：???方程ViT萬=2-3a沒有實數(shù)根，

：.2-3?<0?

2

故答案為：

【點睛】本題考查了無理方程，根據(jù)二次根式具有非負性，得到方程無實數(shù)根的條件是2?

3a<0,這是解題的關鍵.

18.關于X、)，的方程組[,：—八有實數(shù)解，則，〃的取值范圍是

[yz-2x+3y+4=0

【答案】m>^-

O

【分析】由①得出③，把③代入②得出y2-2(tn+y)+3)H-4=0,整理后得出)2+y+(42〃)

=0,根據(jù)已知方程組有實數(shù)根和根的判別式得出l2-4xlx(4-2,?)>0,求出不等式的解集即

可.

X-y=772@

【解析】解:

y2-2x+3y+4=O?

由①，得x=，〃+y③，

把③代入②，得戶2(m+y)+3y+4=0,

整理得：y2+y+(4-2m)=3,

x-y=in

關于X、y的方程組「二.4八有實數(shù)解，

?-2x+3y+4=0

,-.l2-4xlx(4-2w)^O,

解得：mN9

o

故答案為：〃此J.

O

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，根的判別式，解一元一次不等式等知識點，能把方

程組轉化成一元二次方程是解此題的關鍵.

19.觀察下列方程：@x+-=3：②.計9=5；③X+2=7,可以發(fā)現(xiàn)它們的解分別是①E或

XXX

2；②,2或3；③k3或4.利用上述材料所反映寓來的規(guī)律，可知關于x的方程

x+n+n=2n+4(n為正整數(shù))的解x=______________.

x-3

【答案】〃+3或〃+4

【分析】分別對三個方程式變形，并求三個方程式的解，根據(jù)方程的解發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求解.

【解析】分別對三個方程式變形，并求三個方程式的解：

21x2

?x+—=x+-----=1+2,在等式兩邊同時乘以工，

XX

移項得x2-3x+2=0,即(x-2)(x-3)=0,故解得了=1或x=2；

②X+9=X+&^=2+3,同理解得X=2或X=3；

XX

I?3x4

③x+上=x+二二=3+4,同理解得x=3或x=4；

XX

以此類推，第〃個方程為：X+^^=X+迎W=2〃+l=〃+(〃+l),

XX

且解為：x=〃或x=〃+l：

22

將方程x+t2=2〃+4兩力同時減3,得(x-3)+二*=2〃+1,

x-3x-3

根據(jù)規(guī)律得：x-3=〃或x-3=/z+1,即x=〃+3或x=n+4.

故答案為：〃+3或〃+4.

【點睛】此題考杳數(shù)字的規(guī)律，分別對三個方程式變形，并求三個方程式的解發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解

答此題的關鍵.

三、解答題

x2-5xy-6y2=0,

20.解方程組:

xy-2x-y+2=0.

1

y-%=2乂=2

【答案】

x\=1x=-2X=12

2W=14

【分析】把方程①因式分解得出K與)，的關系式,，分別苛入方程②即可解得.

x2-5xy-6y2=0?

【解析】

xy-2x-y+2=0@

由①得(x+〉)(x_6y)=0

x=-y,x=6y

把m-y帶入②得

y2-y-2=0,

整理得(y+i)(y-2)=0

解得y=-1，必=2

y.=-1=2

得i

%]=1[x2=-2

把x=6y帶入②得

6/-13y+2=0

【點睛】此題考查了求方程組的解，解題的關鍵是對方程用十字交叉法進行因式分解.

21.解方程：x+2\/x-4=4.

【答案】

【分析】化為有理方程，再解出有理方程，最后檢驗即可得答案.

【解析】解：由x+2&^=4得：2H5=47，

兩邊平方得：4x-16=16+.F8x,

解得尸4或尸8,

當x=4時，左邊=4+2"二4=4，右邊=4,

，左邊二右邊，

，x=4是原方程的解，

當x=8時，左邊=8+2折7=12，右邊=4,

???左邊,右邊,

???戶8不是原方程的解，

/.x=4.

【點睛】本題考查解無理方程，將無理方程化為有理方程是解題的關鍵，容易漏掉檢驗.

22.(1)解方程：x-VT二=4

(2)解方程：yj3x-5-yJX+2=1

【答案】(1)尸6；(2)x=7.

【分析】(I)移項后兩邊平方，即可把無理方程轉化成有理方程，求出方程的解，再進行

檢驗即可；

(2)移項后兩邊平方，即可把無理方程轉化成有理方程，求出方程的解，再進行檢驗即可.

【解析】解：(1)移項得：J7二1=4一4,

兩邊平方得：x-2=N-8x+16,

整理得：/-%+18=0,

解得：x/=3,X2=6,

經(jīng)檢驗x=3是原方程的增根，舍去；x=6是原方程的解，

所以原方程的解為戶6；

(2)移項得：j3x-5=yJx+2+1,

兩邊平方得：3x-5=%+2+2^/m+l,

整理得：Vx+2=x-4,

兩邊平方得：x+2=--8x+16,

整理得：F9x+14=(),

解得：X/=2,X2=7,

經(jīng)檢驗X=2是原方程的增根，舍去；x=7是原方程的根，

所以原方程的解為戶7.

【點睛】本題考查了解無理方程和解?元二次方程，能把無理方程轉化成有理方程是解此題

的關鍵.

23.解方程組：Ja1

—+—=10

x-2y+3

=7

【答案】產(chǎn)二3

)=-2

【分析】利用換元法和加減消元法解二元一次方程組.

【解析】解：設一二=%二",

a—2b=1①

則原方程組變形為'人⑺行，

3a+b=\0?

②x2,得：+勖=20③，

①+③，得：7a=21,

解得：〃=3,

把。=3代入①，得：3-2b=\,

解得：b=l,

7

解得：A=-,

經(jīng)檢驗V是原分式方程的解.，

-^=1,

y+3

解得：y=-2,

經(jīng)檢驗2是原分式方程的解,

7

X=—

二方程組的解為3.

3=一2

【點睛】本題考查解二元一次方程組和解分式方程，掌握消元法解二元一次方程組和解分式

方程的步驟是解題關鍵.

24.解方程:-----1=--------

x—3x*—2x—3

【答案】x=0

【分析】變形后方程兩邊都乘以(x+l)(x-3)得：x+1-(x+1)(x-3)=4,求出方程的解,

再進行檢驗即可.

14

【解析】解：原方程變形為：--l=，

x-3(rx-3)(x+ln)

方程兩邊都乘以(x+1)5-3)得：x+l-(A-+l)(x-3)=4,

整理，得/-340,

解得：x/=0,X2=3,

經(jīng)檢驗x/=0是原方程的解，也=3是增根，舍去，

所以原方程的解是40.

【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵.

25.若關于工的方程之一"=」無解，求實數(shù)”的值.

X+1X+XX

【答案】-2或-2或5

32

【分析】方程去分母轉化為整式方程，求出x的表達式，根據(jù)分式方程無解可得1=0或尸-1

或x的表達式中分母為0,再代入x的表達式中即可求出機的值.

【解析】解：方程兩邊同時乘以x(x+D,

得:2mx-x=l+(m+1),

解得；(2〃?-l)x=2+〃?，

當2m-1=0時，此方程無解，原分式方程也無解，解得：m=

當2機一1工0時，

.原分式方程無解,

x(x+l)=0,

.?.x=O或x=-l,

當％=U時，；=0>解得：m=-2,

zm-1

當AI時，；=T,解得：用=-!,

=-25y一13

綜上，加的值為-2或或

【點睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解的特點，并能分情況進行討論是解

題的關鍵.

26.為響應國家號召，全體公民接種疫苗，提高對“新冠''病毒的免疫功能.現(xiàn)某大型社區(qū)有

6000人需要接種疫苗，為了盡快完成該項任務，防疫部門除固定接種點外還增加了一輛流

動疫苗接種車，實際每口接種人數(shù)比原計劃多了250人，結果提前了2天完成全部接種任

務.求原計劃每天接種人數(shù)是多少？

【答案】750人

【分析】設原計劃每天接種人數(shù)為x人，則實際每日接種人數(shù)為（x+250）人，由題意：現(xiàn)

某大型社區(qū)有6000人需要接種疫苗，實際每日接種人數(shù)比原計劃多了250人，結果提前了

2天完成全部接種任務，列出方程，解方程即可.

【解析】解：設原計劃每天接種人數(shù)為x人，則實際每H接種人數(shù)為（x+250）人，

6000

由題意得：—=2,

x7+250

解得：尸750或尸-1000（舍去），

經(jīng)檢驗，戶750是原方程的解，且符合題意，

答：原計劃每天接種人數(shù)為750人.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的解法，解答本題的關鍵是讀懂題意,

設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗.

27.某中學為配合開展“垃圾分類進校園”活動，新購買了一批不同型號的垃圾分類桶，學校

先用4050元購買了一批給班級使用的小號垃圾桶，再用5400元購買了一批放在戶外永久使

用的大號垃圾桶，已知每個大號垃圾桶的價格是小號垃圾桶的4倍，且購買的數(shù)量比小號垃

圾桶少60個，求每個小號垃圾桶的價格是多少元？

【答案】每個小號垃圾桶的價格是45元

【分析】設每個小號垃圾桶的價格是x元，則每個大號垃圾桶的價格是4%元，由購買大號

垃圾桶的數(shù)量比小號垃圾桶少60個列出方程解答即可.

【解析】解：設每個小號垃圾桶的價格是x元，則每個大號垃圾桶的價格是4x元，

心的十㈤54004050/八

依題意得：--=------60,

4xx

解得：x=45,

經(jīng)檢驗，x=45是原方程的解，

答：每個小號垃圾桶的價格是45元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適

的相等關系，列方程求解.

y2-4x-2y+l=0

28.4為何值時，方程組

y=kx+2

（1）有兩組相等的實數(shù)解：

（2）有兩組不相等的實數(shù)解;

（3）沒有實數(shù)解.

【答案】（1）1；（2）%<1且原0；（3）k>\

【分析】（1）將方程組轉化為N/+（2h4）x+l=0,用根的判別式，列出方程求解即可;

（2）同（1）用根的判別式，列出不等式求解即可；

（3）通過討論2=0和片0,根據(jù)方程無實根，確定人的范圍即可.

【解析】解：將（2）代入（1）,整理得N/+（2M）"1=0（3）,

k，=0

（1）當A八時，方程（3）有兩個相等的實數(shù)根.

A=0

女工0

叫(24-4)2-4公=0

k豐0

解得：

k=l

???當k=l時，原方程組有兩組相等的實數(shù)根.

（2）當1K>工。0時'方程（3）有兩個不相等的實數(shù)根.

我工0

即4,

(2&-4尸-4二>0

女工0

解得：

k<\

???當&<1且原0時，原方程組有兩組不等實根.

k2.0

（3）①若方程（3）是一元二次方程，無解條件是L八

A<0

心0

即4,■?

（22-4）2-4公<0

②若方程（3）不是二次方程，則后0,此時方程（3）為-4/1=0,它有實數(shù)根

4

綜合①和②兩種情況可知，當Q1時，原方程組沒有實數(shù)根.

【點睛】本題考查了二次方程組根的情況，解題關鍵是把方程組轉化為方程，再分類討論,

利用根的判別式進行求解.

29.若關于x的方程@二D+”.=1+絲有且只有一個實數(shù)根,求實數(shù)k的所有可能值.

Xx~+xX+1

【答案】I或1或7或-;

【分析】先去分母，將該分式方程化為整式方程，再分為方程