專題檢測五(分值:150分)學(xué)生用書P193一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024湖南長沙模擬)某10人的射擊小組,在一次射擊訓(xùn)練中射擊成績數(shù)據(jù)如下表所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()成績/環(huán)678910人數(shù)12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5答案D解析將射擊成績由小到大排列為6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,所以其中位數(shù)為8+92=8.5.故選D2.(2024福建龍巖一模)2xy-1(x+y)7的展開式中含x5y2的項的系數(shù)為()A.-91 B.-21 C.14 D.49答案D解析2xy-1(x+y)7=2xy(x+y)7-(x+y)7.(x+y)7的展開式的通項為Tk+1=C7kx7則(x+y)7的展開式中含x4y3的項為T4=C73x4y3=35x4y3,含x5y2的項為T3=C72x5y2=21x5y2,則2xy-1(x+y)7的展開式中含x5y2的項的系數(shù)為2×35-1×21=493.(2023新高考Ⅱ,3)某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果有()A.C400B.C400C.C400D.C答案D解析由題意,初中部和高中部總共有400+200=600(人),按照分層隨機抽樣的原理,應(yīng)從初中部抽取400600×60=40(人),從高中部抽取200600×60=第一步,從初中部抽取40人,有C40040種方法,第二步,從高中部抽取20人,有C根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有C40040C200204.(2024遼寧鞍山二模)某校數(shù)學(xué)興趣社團對“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查.其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同.男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的45,女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)的35.若依據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗,可以認為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān),則被調(diào)查的男生人數(shù)不可能為附:χ2=n(ad-bc)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.20 B.30 C.35 D.40答案A解析零假設(shè)為H0:選學(xué)生物學(xué)和性別無關(guān).設(shè)被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為2m,則由題可得列聯(lián)表如下.性別選學(xué)情況合計選學(xué)生物學(xué)未選學(xué)生物學(xué)男生4515m女生3525m合計75352m根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到χ2=2因為根據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗,可以推斷H0不成立,即認為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān),所以χ2≥x0.1=2.706,即2m21≥2.706,解得m≥28由題可知,m為5的倍數(shù),所以m≥30且m為5的整數(shù)倍,故男生人數(shù)不可能為20.故選A.5.(2024廣東江門一模)已知9名女生的身高(單位:cm)平均值為162,方差為26,若增加1名身高為172cm的女生,則這10名女生身高的方差為()A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8答案A解析設(shè)9名女生的身高分別為aicm,i=1,2,…,9.由題可知∑i=19ai=9×162,∑i=19(ai-162)2=9×26.增加1名女生后身高的平均值為110(∑i=19ai+172)=110(9×162+172)=163,所以這10名女生身高的方差為110[∑i=19(ai-163)2+(172-163)2]=110{∑i=19[(ai-162)-1]2+81}=110{∑i=19[6.(2024廣東佛山二模)勞動可以樹德、增智、健體、育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動實踐比賽,已知冠軍是甲、乙當中的一人,丁和戊都不是最差的,則這5名同學(xué)的名次排列(無并列名次)的可能結(jié)果共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種答案B解析依題意,排第1名,有C21種方法,排丁和戊,有A32種方法,排余下2人,有A22種方法,所以這5名同學(xué)的名次排列(無并列名次)的可能結(jié)果共有C217.(2024華中師大一附中模擬)如圖所示,已知一質(zhì)點在外力的作用下,從原點O出發(fā),每次向左移動的概率為23,向右移動的概率為13.若該質(zhì)點每次移動1個單位長度,設(shè)經(jīng)過5次移動后,該質(zhì)點的坐標為X,則P(X>0)=A.50243 BC.29答案D解析依題意,當X>0時,X的可能取值為1,3,5.用Y表示5次移動中向左移動的次數(shù),則Y~B5,23,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=C50135230+C518.(2024廣東湛江一模)在一次考試中有一道4個選項的雙選題,其中B和C是正確選項,A和D是錯誤選項,甲、乙兩名同學(xué)都完全不會這道題目,只能在4個選項中隨機選取兩個選項.設(shè)事件M=“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”,事件N=“甲、乙兩人所選選項完全不同”,事件X=“甲、乙兩人所選選項完全相同”,事件Y=“甲、乙兩人均未選擇B選項”,則()A.事件M與事件N相互獨立B.事件X與事件Y相互獨立C.事件M與事件Y相互獨立D.事件N與事件Y相互獨立答案C解析由題可知P(M)=C42C21C21C42C42=23,P(N由題可知事件M與事件N互斥,所以P(MN)=0.又P(M)P(N)=19,所以事件M與事件N不相互獨立,故A錯誤由題可知P(XY)=C因為P(X)P(Y)=124,所以事件X與事件Y不相互獨立,故B錯誤由題可知P(MY)=C因為P(M)P(Y)=16,所以事件M與事件Y相互獨立,故C正確由題可知事件N與事件Y互斥,所以P(NY)=0.又P(Y)P(N)=124,所以事件N與事件Y不相互獨立,故D錯誤.故選C二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2024遼寧撫順一模)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)是國際上通用的監(jiān)測宏觀經(jīng)濟走勢的指標,具有較強的預(yù)測、預(yù)警作用.2023年12月31日,國家統(tǒng)計局發(fā)布了中國制造業(yè)PMI指數(shù)(經(jīng)季節(jié)調(diào)整)圖,如下圖所示,則下列說法正確的是()A.圖中前三個月的數(shù)據(jù)的平均值為49.9%B.2023年四個季度的PMI指數(shù)中,第一季度方差最大C.圖中PMI指數(shù)的極差為3.8%D.2023年P(guān)MI指數(shù)的75%分位數(shù)為50.1%答案AB解析對于A,根據(jù)題表中數(shù)據(jù)可知題圖中前三個月的數(shù)據(jù)的平均值為13×(47%+50.1%+52.6%)=49.9%,故A對于B,從題表中數(shù)據(jù)可以看出2023年四個季度的PMI指數(shù)中,第一季度的波動性最大,穩(wěn)定性最差,所以方差最大,故B正確;對于C,易知題圖中PMI指數(shù)的極差為52.6%-47%=5.6%,故C錯誤;對于D,易知12×75%=9,可知2023年P(guān)MI指數(shù)的75%分位數(shù)為從小到大排列的第9項和第10項的平均數(shù),即50.1%+50.2%2故選AB.10.(2024云南保山模擬)若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,則下列正確的是()A.a0=1B.a0+a1+…+a2024=32024C.a0-a1+a2-a3+…+a2024=1D.a1-2a2+3a3+…+(-2024a2024)=-2024答案ABC解析令x=0,得a0=(1+2×0)2024=1,故A正確;令x=1,得a0+a1+…+a2024=(1+2×1)2024=32024,故B正確;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2024=(1-2×1)2024=1,故C正確;由(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024兩邊同時求導(dǎo),得2024×2×(1+2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023,令x=-1,得a1-2a2+3a3+…+(-2024a2024)=2024×2×(1-2×1)2023=-4048,故D錯誤.故選ABC.11.(2024山西朔州一模)在信道內(nèi)傳輸M,N,P信號,信號的傳輸相互獨立,輸入某一信號時,輸出的信號字母不變的概率為α(0<α<1),輸出其他兩個字母的概率均為1-α2.設(shè)事件M1=“輸入信號MMMM”,N1=“輸入信號NNNN”,P1=“輸入信號PPPP”,P(M1)=p1,P(N1)=p2,P(P1)=p3,且p1+p2+p3=1.設(shè)事件D=“依次輸出MNPM”,A.若輸入信號MMMM,則輸出的信號只有兩個M的概率為α2(1-α)2B.P(D|M1)=α21C.P(D|P1)=αD.P(M1|D)=2答案BCD解析因為輸入某一信號時,輸出的信號字母不變的概率為α(0<α<1),輸出其他兩個字母的概率均為1-α2,即輸出的信號字母改變的概率為1-α,且信號的傳輸相互獨立,所以用X表示輸入4個字母的信號時,輸出的信號中不變的字母個數(shù),X~B(4,α),所以輸入信號MMMM,輸出的信號只有兩個M的概率為P(X=2)=C42α2(1-α)2=6α2(1-α)P(D|M1)=P(DM1)P(M1P(D|P1)=P(DP1)P(P(D|N1)=P(D因為p1+p2+p3=1,所以Ω=M1∪N1∪P1,且M1,N1與P1兩兩互斥,所以由全概率公式,得P(D)=P(M1)P(D|M1)+P(N1)P(D|N1)+P(P1)P(D|P1)=α21-α22p1+α(1-α2)3p2+α1-α23p3=α2(1-α2)2p1+α1-α23(1-p1)=α(1-αα)2αp1+1-α2(1-p故選BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024山東濟南一模)已知隨機變量X~N(1,22),則D(2X+1)的值為.

答案16解析由X~N(1,22),可得D(X)=22=4,則D(2X+1)=4D(X)=16.13.(2024山東棗莊一模)盒子內(nèi)裝有編號為1,2,3,…,10的10個除編號外完全相同的玻璃球.從中任取三球,則其編號之和能被3整除的概率為.

答案7解析依題意,問題相當于從1,2,3,…,10的10個數(shù)中任取3個,這3個數(shù)的和能被3整除的概率,顯然樣本空間包含的樣本點個數(shù)為n(Ω)=C103=120,10個數(shù)中能被3整除的有3,6,9;除以3余數(shù)是1的有1,4,7,10;除以3余數(shù)是2的有2,5,8,取出的3個數(shù)的和能被3整除的事件A包含的樣本點個數(shù)為n(A)=2C33所以P(A)=n14.(2024山東濰坊模擬)已知隨機變量X~B(2,p),其中0<p<1,隨機變量Y的分布列為Y012P231q表中0<q<23,則D(Y)的最大值為.我們可以用M=∑k=02P(X=k)lnP(X=k)P(Y=k)來刻畫X與Y的相似程度,則當D(X)=12答案23-解析由題意,可得E(Y)=0×23-q+1×13+2×q=13+2則D(Y)=0-13+2q223-q+1-13+2q2×13+2-13+2qq2=-4q2+83q+29=-4(q-13)2+2因為0<q<23,所以當q=13時,D(Y)取得最大值所以P(Y=0)=13,P(Y=1)=13,P(Y=2)又由X~B(2,p),可得D(X)=2p(1-p)=12,解得p=1所以P(X=0)=C201201-122=14,P(X=1)=C21121-12=12,P(X=2)=C22(所以M=∑k=02P(X=k)lnP(X=k)P(Y=k)=14ln所以M-ln3四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024山東濟寧二模)為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了抽樣調(diào)查,從全體學(xué)生中隨機抽取男女各100名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計,抽查數(shù)據(jù)如下表所示.性別體育鍛煉情況合計經(jīng)常不經(jīng)常男生8020100女生6040100合計14060200(1)依據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,分析性別與體育鍛煉的經(jīng)常性是否有關(guān);(2)為提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,學(xué)校決定在上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中,按性別用比例分配的分層隨機抽樣隨機抽取7名同學(xué)組成體育鍛煉宣傳小組,并從這7名同學(xué)中選出3人擔任宣傳組長,記擔任宣傳組長的女生人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:χ2=n(ad-bc)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)零假設(shè)為H0:性別與鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)聯(lián),根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到χ2=200×(80×40-20×60)2100×100×60×140≈9.524>根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為性別與鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.(2)由題可知,隨機抽取的7名同學(xué)中男生4人,女生3人.易知X服從超幾何分布,且N=7,M=3,n=3.X的分布列為P(X=k)=C3kC4E(X)=nM16.(15分)(2024新疆烏魯木齊一模)地區(qū)生產(chǎn)總值(地區(qū)GDP)是衡量一個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的重要指標,在2019年—2023年中,某地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值實現(xiàn)了“翻一番”的飛躍,從1464億元增長到了3008億元,若該地區(qū)在這五年中的年份編號x(2019年對應(yīng)的x值為1,2020年對應(yīng)的x值為2,以此類推)與地區(qū)生產(chǎn)總值y(單位:百億元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表:年份編號x12345地區(qū)生產(chǎn)總值y/百億元14.6417.4220.7225.2030.08(1)該地區(qū)2023年的人均生產(chǎn)總值為9.39萬元,若2023年全國的人均生產(chǎn)總值X(單位:萬元)服從正態(tài)分布N(8.57,0.822),那么在全國其他城市或地區(qū)中隨機挑選2個,用Y表示其中人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的數(shù)量,求P(Y=1);(2)該地區(qū)的人口總數(shù)t(單位:百萬人)關(guān)于年份編號x的經(jīng)驗回歸方程為t^=0.2x+2.2,估算該地區(qū)人均生產(chǎn)總值(人均GDP)u(單位:萬元)關(guān)于年份編號x的經(jīng)驗回歸方程u^參考公式與數(shù)據(jù):人均生產(chǎn)總值=地區(qū)生產(chǎn)總值÷地區(qū)人口總數(shù);經(jīng)驗回歸方程y=b^x+a^中,斜率參數(shù)和截距參數(shù)的最小二乘估計分別為若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.解(1)易知9.39=8.57+0.82,因為X~N(8.57,0.822),所以P(X>9.39)=1-P(8.57-0.即全國某個其他城市或地區(qū)大于該地區(qū)的人均生產(chǎn)總值的概率約為0.16,則Y~B(2,0.16),所以P(Y=1)=C21×(0.16)×(1-0.16)=0.268(2)因為t^=0.2x+2.2,所以由題意可知,每年的人均生產(chǎn)總值分別依次為u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.2×3+2所以x=15×(1+2+3+4+5)=3,u=15×(6.1+6.7+7.4+8.4則∑i=15(xi-x)(ui-u)=8.3,所以b^=∑i=15(xi-x)(ui-u)∑i=15(xi-x)217.(15分)(2024四川南充二診)已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經(jīng)過全面檢測后,分為Ⅰ級和Ⅱ級,兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示.Ⅰ級品Ⅱ級品若只利用該指標制定一個標準,需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標大于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機,小于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機.若將Ⅰ級品中該指標小于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于A型手機會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元;若將Ⅱ級品中該指標大于或等于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于B型手機會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元;假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)設(shè)臨界值K=70時,將2個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機,求芯片生產(chǎn)商的損失ξ(單位:元)的分布列及期望;(2)設(shè)K=x且x∈[50,55],現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品,分別應(yīng)用于A型手機、B型手機各1萬部的生產(chǎn):方案一:將芯片不作該指標檢測,Ⅰ級品直接應(yīng)用于A型手機,Ⅱ級品直接應(yīng)用于B型手機;方案二:重新檢測該芯片Ⅰ級品,Ⅱ級品的該項指標,并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機型號,會避免方案一的損失費用,但檢測費用共需要130萬元.請求出按方案一,芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值f(x)(單位:萬元)的表達式,并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮,選擇合理的方案.解(1)當臨界值K=70時,Ⅰ級品中該指標小于70的頻率為(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,所以將不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機,每部手機損失800元的概率為310.用X表示將2個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機,其中指標小于70的芯片數(shù)量,則X~B2,310ξ的可能取值為0,800,1600,所以P(ξ=0)=P(X=0)=C20×3100×7102=49100P(ξ=1600)=P(X=2)=C2所以ξ的分布列為ξ08001600P49429所以E(ξ)=0×49100+800×42100+1600(2)當臨界值K=x且x∈[50,55]時,若采用方案一,則Ⅰ級品中該指標小于臨界值K的頻率為0.002×10+0.005×(x-50)=0.005x-0.23,所以可以估計10000部A型手機中有10000(0.005x-0.23)=50x-2300(部)手機芯片應(yīng)用錯誤;Ⅱ級品中該指標大于或等于臨界值K的頻率為0.01×10+0.03×(60-x)=-0.03x+1.9,所以可以估計10000部B型手機中有10000(-0.03x+1.9)=19000-300x(部)手機芯片應(yīng)用錯誤,所以f(x)=0.08(50x-2300)+0.04(19000-300x)=576-8x,即f(x)=576-8x,x∈[50,55],因為x∈[50,55],所以f(x)∈[136,176].又采用方案二需要檢測費用共130萬元,故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮,應(yīng)選擇方案二.18.(17分)(2024山東濰坊一模)若ξ,η是樣本空間Ω上的兩個離散型隨機變量,則稱(ξ,η)是Ω上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量.設(shè)(ξ,η)的所有可能取值為(ai,bj),i,j=1,2,…,記pij表示(ai,bj)在Ω中出現(xiàn)的概率,其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].(1)將三個相同的小球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中,記1號盒子中的小球個數(shù)為ξ,2號盒子中的小球個數(shù)為η,則(ξ,η)是一個二維隨機變量.①寫出該二維離散型隨機變量(ξ,η)的所有可能取值;②若(m,n)是①中的值,求P(ξ=m,η=n).(結(jié)果用m,n表示)(2)P(ξ=ai)稱為二維離散型隨機變量(ξ,η)關(guān)于ξ的邊緣分布律或邊際分布律,求證:P(ξ=ai)=∑j=1+(1)解①該二維離散型隨機變量(ξ,η)的所有可能取值為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依題意,0≤m≤3,0≤n≤3,0≤m+n≤3,P(ξ=m,η=n)=P[(ξ=m)∩(η=n)]=P(ξ=m|η=n)·P(η=n),顯然η~B3,13,則P(η=n)=C3n13n233-n,P(ξ=m|η=n)=C3-nm(2)證明由定義及全概率公式知,P(ξ=ai)=P{(ξ=ai)∩[(η=b1)∪(η=b2)∪…∪(η=bj)∪…]}=P{[(ξ=ai)∩(η=b1)]∪[(ξ=ai)∩(η=b2)]∪…∪[(ξ=ai)∩(η=bj)]∪…}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+…+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+…=∑j=1+∞P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=∑j=1+∞P(ξ=ai,η=b19.(17分)(2024福建漳州模擬)“綠色出行,低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心,逐漸成為新的時尚.甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行,低碳環(huán)保”號召,他們計劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種.他們之間的出行互不影響,其中,甲每天選擇“共享單車”的概率為12,乙每天選擇“共享單車”的概率為23,丙在每月第一天選擇“共享單車”的概率為34,從第二天起,若前一天選擇“共享單車”,后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為14,若前一天選擇“地鐵”,后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為(1)若3月1日有2人選擇“共享單車”出行,求丙選擇“共享單車”的概率;(2)記甲、乙、丙三人中3月1日